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文档简介

响水县清源高级中学2023年秋学期高二年级期中考试数学试卷(本试卷满分150分,考试时间120分钟)注意事项:1.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.2.答题前务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、单选题(本题共8小题,每题5分,共40分)1.直线的倾斜角为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据倾斜角和斜率的关系即可求得倾斜角.【详解】由已知,故,设直线倾斜角为所以,又因为所以故选:D2.抛物线的焦点到原点的距离为(

)A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根据抛物线方程得出焦点坐标后即可得.【详解】由题意,,所以焦点为,其到原点距离为.故选:B.3.已知函数(是导函数),则(

)A. B.1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】先对函数求导,代入,求出的值,进而求解的值即可.【详解】因为所以定义域为.所以当时,,,则故选:A4.已知数列中,,,则等于(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意代入计算可得数列是周期为3的周期数列,即可得.【详解】根据并利用可得,,,,…所以可得数列是周期为3的周期数列,即.故选:D5.若双曲线(,)的一条渐近线与直线垂直,则该双曲线的离心率为(

)A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率公式以及两直线的垂直与斜率的关系求解.【详解】双曲线的渐近线方程为,直线的斜率为,所以由题可知,,所以双曲线的离心率为,故选:C.6.已知数列与数列,其中.它们的公共项由小到大组成新的数列,则的前项的和为(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定公共项为为等差数列,求出首项和公差后即可求和.【详解】明显数列和数列均为等差数列令,可得,则,则数列为等差数列,且,公差为,所以的前项的和为.故选:C.7.已知,,动点满足,则点的轨迹与圆相交的弦长等于(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设,根据题设整理可得点P的轨迹方程为圆,由两圆方程消去二次项可得公共弦所在直线方程,然后由点到直线的距离公式和圆的弦长公式可得.【详解】设,则,整理得,联立消去二次项得公共弦所在直线方程,圆的圆心为,半径为,圆心到直线的距离为1,所以公共弦长为.故选:A8.已知椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,若离心率,则椭圆的离心率的取值范围为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知,结合椭圆的定义解得,再由求解.【详解】因为,所以,由椭圆的定义得:,解得,因为,所以,两边同除以a得,解得,因为,所以,所以该离心率的取值范围是故选:D.二、多选题(本题共4小题,每题5分,共20分,全部选对的得5分,部分选的对得2分,选错的得0分)9.已知是等差数列的前n项和,且,则下列选项正确的是()A.数列为递减数列 B.C.的最大值为 D.【答案】AC【解析】【分析】根据等差数列的性质得出,从而可判断数列的单调性,再结合等差数列的前项和公式判断各选项.【详解】是等差数列,则,又,∴,所以,是递减数列,从而中最大,,故选:AC.10.已知圆,直线.则(

)A.直线恒过定点B.直线与圆有两个交点C.当时,圆上恰有四个点到直线的距离等于1D.若,则圆与圆恰有三条公切线【答案】BD【解析】【分析】直线方程整理成关于的方程,由恒等式知识可得定点坐标,判断A,由定点在圆得直线与圆位置关系,判断B,求出圆心到直线的距离得距离为1的平行直线与圆的位置关系判断C,由圆心距离判断两圆位置关系后判断D.【详解】直线的方程整理为,由得,所以直线过定点,A错;又,即定点在圆内,因此直线与圆相交,有两个交点,B正确;时直线方程为,圆心到直线的距离为,圆半径为2,,因此与直线平行且距离为1的两条直线只有一条与圆相交,另一条与圆相离,因此只有2个点到直线的距离等于1,C错;时,圆的标准方程为,圆心为,半径为3,两圆圆心距为,两圆外切,因此它们有三条公切线,D正确,故选:BD.11.在直角坐标系中,已知抛物线:的焦点为,过点的倾斜角为的直线与相交于,两点,且点在第一象限,的面积是,则(

)A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】联立直线与抛物线方程,利用根与系数的关系和焦半径公式求出弦长,由点到直线的距离公式结合的面积求解,从而利用焦半径公式求解,逐项判断即可.【详解】抛物线的焦点为,准线为,设过焦点的直线方程为设直线:,,,联立直线与抛物线方程得消元得,由韦达定理可得,,所以,又点到直线的距离是,所以,得,所以,故选项A错误,B正确;由知,解得,所以,故选项C正确;,故选项D正确;故选:BCD.12.已知数列满足,则(

)A.当且时,为等比数列B.当时,为等比数列C.当时,为等差数列D.当,且时,的前n项和为【答案】ACD【解析】【分析】利用等差数列,等比数列的定义判断ABC,利用裂项求和来计算D.【详解】对于A:当且时,,数列是公比为2的等比数列,A正确;对于B:当,即时,数列不为等比数列,B错误;对于C:当时,,等式两边同除得,数列是公差为的等差数列,C正确;对于D:当,,得,则数列是首项为,公比为2的等比数列,所以,所以,的前n项和为,D正确.故选:ACD.三、填空题(本题共4小题,每题5分,共20分)13.若直线与直线平行,则___________.【答案】【解析】【分析】利用两直线平行,通过分类讨论即可得出的值.【详解】由题意,直线与直线平行,当时,直线与直线不平行,舍去,当时,,解得:,综上,.故答案为:.14.圆在点处切线的一般式方程为____________.【答案】2【解析】【分析】由切线与过切点的半径垂直求得切线斜率后可得切线方程.【详解】圆心坐标为,圆心与切点连线斜率为,所以切线的斜率为2,切线方程为,即.故答案为:.15.两个等比数列,的前n项和分别为和,已知,则__________.【答案】##【解析】【分析】设数列,的公比分别为,在已知式中令得,再令,得的关系,进而联立方程组解得,进而求解即可.【详解】设数列,的公比分别为,则时,,即,当时,,即,当时,,即,联立,解得或,当时,,符合题意;当时,,不符合题意.所以.故答案为:.16.已知点,点P是双曲线左支上的动点,点为双曲线右焦点,N是圆的动点,则的最小值为_______________.【答案】【解析】【分析】利用,当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号,及,当且仅当三点共线时取等号,再结合双曲线的定义可得.【详解】由已知,是双曲线的左焦点,它也是圆的圆心,,圆半径为,,当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号,,当且仅当三点共线时取等号,所以,又由双曲线的定义,,所以,即的最小值为,故答案为:.四、解答题(第17题10分,其余每题12分,共70分)17.已知圆经过,两点,且圆的圆心在直线上.(1)求圆的方程;(2)若直线过点与圆相交截得的弦为,且,求直线的方程.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)设圆的方程为,利用待定系数法求出即可;(2)根据圆的弦长公式求出圆心到直线的距离,再分直线斜率是否存在两种情况讨论即可.【小问1详解】设圆的方程为,则,解得,所以圆的方程为;【小问2详解】圆的标准方程为,圆心,半径,设圆心到直线的距离为,则,解得,当直线的斜率不存在时,方程为,圆心到直线的距离为,符合题意,当直线的斜率存在时,设直线方程为,即,则,解得,所以直线的方程为,综上所述,直线的方程为或.18.已知数列的前项和为,且.(1)求通项公式(2)若,求的前项和.【答案】(1).(2).【解析】【分析】(1)利用与的关系式进行通项公式的求解;(2)由通项公式可知,当时,其和为负数,则当求绝对值之和时,可直接添加负号即可,当时,可通过前8项的变号来进行计算即可.【小问1详解】由,当时,可得,当时,,适合上式,所以数列的通项公式为.【小问2详解】由,可得,则,令,可得,当时,可得,当时,可得,因为,所以,所以.注意:分类标准和,都可以.19.已知椭圆,左右焦点分别为,,直线与椭圆交于A,两点,弦被点平分.(1)求直线的一般式方程;(2)求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)设,代入双曲线方程相减,利用弦中点坐标可得直线斜率,从而得直线方程,检验直线与双曲线是否相交.(2)由韦达定理得,代入的坐标表示中计算即得.【小问1详解】因为弦被点平分,所以设交点坐标,则,两式相减得:),所以直线的斜率,故直线的一般式方程为联立椭圆与直线方程得,直线与双曲线相交,满足题意.所以直线方程为,【小问2详解】由(1)知:,由(1)得,,所以.20.记为数列的前项和,为数列的前项和,若且.(1)证明:数列是等比数列;(2)若成立,求的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)5【解析】【分析】(1)利用得出关于的递推关系,从而根据等比数列的定义得证;(2)由分组求和法求得后,解不等式得结论.【小问1详解】由可得,即,即,而,所以是以3为首项,3为公比的等比数列.【小问2详解】由(1)知,即,由可得,整理可得,解得,因为,所以的最小值为5.21.已知椭圆焦距为,离心率为.(1)求曲线方程;(2)过点作直线交曲线于、两个不同的点,记的面积为,求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由已知条件可得出关于、、的方程组,求出这三个量的值,即可得出椭圆的方程;(2)分析可知,直线直线与轴不重合,设直线的方程为,设点、,将该直线方程与椭圆方程联立,列出韦达定理,利用基本不等式可求出的最大值.【小问1详解】解:由题意可得,解得,所以,椭圆的方程为.【小问2详解】解:当直线与轴重合时,、、三点重合,不符合题意,易知点,设直线的方程为,设点、,联立可得,则,由韦达定理可得,,所以,,当且仅当时,即当时,等号成立,故的最大值为.【点睛】方法点睛:圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种:一是几何法,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值;二是代数法,常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.22.从双曲线上一点向轴作垂线,垂足恰为左焦点,点分别是双曲线的左、右顶点,点,且,.(1)求双曲线的方程;(2)过点作直线分别交双曲线左右两支于两点,直线与直线交于点,证明:点在定直线上.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)由可得,再由可得,解方程即可求出,即可得出答案.(2)设,,直线,联立直线与双曲线的方程可求出的范围,再根据根与系数的关系可得③,设直线方程结合③求解,即可证明点在定直线上.【小问1详解】令,代入双曲线方程可得,所以设,,因为,所以,即,所

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