江苏省响水县清源高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

响水县清源高级中学2023年秋学期高二年级期中考试数学试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.2．答题前务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分）1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据倾斜角和斜率的关系即可求得倾斜角.【详解】由已知，故，设直线倾斜角为所以，又因为所以故选：D2.抛物线的焦点到原点的距离为（

）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根据抛物线方程得出焦点坐标后即可得．【详解】由题意，，所以焦点为，其到原点距离为．故选：B．3.已知函数（是导函数），则（

）A. B.1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】先对函数求导，代入，求出的值，进而求解的值即可.【详解】因为所以定义域为.所以当时，，，则故选：A4.已知数列中，，，则等于（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意代入计算可得数列是周期为3的周期数列，即可得.【详解】根据并利用可得，，，，…所以可得数列是周期为3的周期数列，即.故选：D5.若双曲线（，）的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（

）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率公式以及两直线的垂直与斜率的关系求解.【详解】双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为，所以由题可知，，所以双曲线的离心率为，故选:C.6.已知数列与数列，其中.它们的公共项由小到大组成新的数列，则的前项的和为（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定公共项为为等差数列，求出首项和公差后即可求和.【详解】明显数列和数列均为等差数列令，可得，则，则数列为等差数列，且，公差为，所以的前项的和为.故选：C.7.已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，根据题设整理可得点P的轨迹方程为圆，由两圆方程消去二次项可得公共弦所在直线方程，然后由点到直线的距离公式和圆的弦长公式可得.【详解】设，则，整理得，联立消去二次项得公共弦所在直线方程，圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为1，所以公共弦长为.故选：A8.已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，若离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知，结合椭圆的定义解得，再由求解.【详解】因为，所以，由椭圆的定义得：，解得，因为，所以，两边同除以a得，解得，因为，所以，所以该离心率的取值范围是故选：D.二、多选题（本题共4小题，每题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选的对得2分，选错的得0分）9.已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（）A.数列为递减数列 B.C.的最大值为 D.【答案】AC【解析】【分析】根据等差数列的性质得出，从而可判断数列的单调性，再结合等差数列的前项和公式判断各选项．【详解】是等差数列，则，又，∴，所以，是递减数列，从而中最大，，故选：AC．10.已知圆，直线．则（

）A.直线恒过定点B.直线与圆有两个交点C.当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1D.若，则圆与圆恰有三条公切线【答案】BD【解析】【分析】直线方程整理成关于的方程，由恒等式知识可得定点坐标，判断A，由定点在圆得直线与圆位置关系，判断B，求出圆心到直线的距离得距离为1的平行直线与圆的位置关系判断C，由圆心距离判断两圆位置关系后判断D．【详解】直线的方程整理为，由得，所以直线过定点，A错；又，即定点在圆内，因此直线与圆相交，有两个交点，B正确；时直线方程为，圆心到直线的距离为，圆半径为2，，因此与直线平行且距离为1的两条直线只有一条与圆相交，另一条与圆相离，因此只有2个点到直线的距离等于1，C错；时，圆的标准方程为，圆心为，半径为3，两圆圆心距为，两圆外切，因此它们有三条公切线，D正确，故选：BD．11.在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（

）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系和焦半径公式求出弦长，由点到直线的距离公式结合的面积求解，从而利用焦半径公式求解，逐项判断即可.【详解】抛物线的焦点为，准线为，设过焦点的直线方程为设直线：，，，联立直线与抛物线方程得消元得，由韦达定理可得，，所以，又点到直线的距离是，所以，得，所以，故选项A错误，B正确；由知，解得，所以，故选项C正确；，故选项D正确；故选：BCD.12.已知数列满足，则（

）A.当且时，为等比数列B.当时，为等比数列C.当时，为等差数列D.当，且时，的前n项和为【答案】ACD【解析】【分析】利用等差数列，等比数列的定义判断ABC，利用裂项求和来计算D.【详解】对于A：当且时，，数列是公比为2的等比数列，A正确；对于B：当，即时，数列不为等比数列，B错误；对于C：当时，，等式两边同除得，数列是公差为的等差数列，C正确；对于D：当，，得，则数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，所以，的前n项和为，D正确.故选：ACD.三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13.若直线与直线平行，则___________．【答案】【解析】【分析】利用两直线平行，通过分类讨论即可得出的值.【详解】由题意，直线与直线平行，当时，直线与直线不平行，舍去，当时，，解得：，综上，.故答案为：.14.圆在点处切线的一般式方程为____________．【答案】2【解析】【分析】由切线与过切点的半径垂直求得切线斜率后可得切线方程．【详解】圆心坐标为，圆心与切点连线斜率为，所以切线的斜率为2，切线方程为，即．故答案为：．15.两个等比数列，的前n项和分别为和，已知，则__________．【答案】##【解析】【分析】设数列，的公比分别为，在已知式中令得，再令,得的关系，进而联立方程组解得，进而求解即可．【详解】设数列，的公比分别为，则时，，即，当时，，即，当时，，即，联立，解得或，当时，，符合题意；当时，，不符合题意.所以.故答案为：.16.已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为_______________．【答案】【解析】【分析】利用，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，及，当且仅当三点共线时取等号，再结合双曲线的定义可得．【详解】由已知，是双曲线的左焦点，它也是圆的圆心，，圆半径为，，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，，当且仅当三点共线时取等号，所以，又由双曲线的定义，，所以，即的最小值为，故答案为：．四、解答题(第17题10分，其余每题12分，共70分)17.已知圆经过，两点，且圆的圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）若直线过点与圆相交截得的弦为，且，求直线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）设圆的方程为，利用待定系数法求出即可；（2）根据圆的弦长公式求出圆心到直线的距离，再分直线斜率是否存在两种情况讨论即可.【小问1详解】设圆的方程为，则，解得，所以圆的方程为；【小问2详解】圆的标准方程为，圆心，半径，设圆心到直线的距离为，则，解得，当直线的斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离为，符合题意，当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，则，解得，所以直线的方程为，综上所述，直线的方程为或.18.已知数列的前项和为，且.（1）求通项公式（2）若，求的前项和.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）利用与的关系式进行通项公式的求解；（2）由通项公式可知，当时，其和为负数，则当求绝对值之和时，可直接添加负号即可，当时，可通过前8项的变号来进行计算即可.【小问1详解】由，当时，可得，当时，，适合上式，所以数列的通项公式为.【小问2详解】由，可得，则，令，可得，当时，可得，当时，可得，因为，所以，所以.注意：分类标准和，都可以.19.已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于A，两点，弦被点平分．（1）求直线的一般式方程；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，代入双曲线方程相减，利用弦中点坐标可得直线斜率，从而得直线方程，检验直线与双曲线是否相交．（2）由韦达定理得，代入的坐标表示中计算即得．【小问1详解】因为弦被点平分，所以设交点坐标，则，两式相减得：），所以直线的斜率，故直线的一般式方程为联立椭圆与直线方程得，直线与双曲线相交，满足题意．所以直线方程为，【小问2详解】由（1）知：，由（1）得，，所以．20.记为数列的前项和，为数列的前项和，若且.（1）证明：数列是等比数列；（2）若成立，求的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）利用得出关于的递推关系，从而根据等比数列的定义得证；（2）由分组求和法求得后，解不等式得结论．【小问1详解】由可得，即，即，而，所以是以3为首项，3为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）知，即，由可得，整理可得，解得，因为，所以的最小值为5．21.已知椭圆焦距为，离心率为.（1）求曲线方程；（2）过点作直线交曲线于、两个不同的点，记的面积为，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，求出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；（2）分析可知，直线直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用基本不等式可求出的最大值.【小问1详解】解：由题意可得，解得，所以，椭圆的方程为.【小问2详解】解：当直线与轴重合时，、、三点重合，不符合题意，易知点，设直线的方程为，设点、，联立可得，则，由韦达定理可得，，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．22.从双曲线上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，点分别是双曲线的左、右顶点，点，且，.（1）求双曲线的方程；（2）过点作直线分别交双曲线左右两支于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由可得，再由可得，解方程即可求出，即可得出答案.（2）设，，直线，联立直线与双曲线的方程可求出的范围，再根据根与系数的关系可得③，设直线方程结合③求解，即可证明点在定直线上.【小问1详解】令，代入双曲线方程可得，所以设，，因为，所以，即，所