清单10二次函数的图象与性质(2个考点梳理18种题型解读提升训练)(原卷版)_第1页
清单10二次函数的图象与性质(2个考点梳理18种题型解读提升训练)(原卷版)_第2页
清单10二次函数的图象与性质(2个考点梳理18种题型解读提升训练)(原卷版)_第3页
清单10二次函数的图象与性质(2个考点梳理18种题型解读提升训练)(原卷版)_第4页
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清单10二次函数的图象与性质(2个考点梳理+18种题型解读+提升训练)【知识导图】【知识清单】基本形式y=ax2y=ax2+ky=a(xh)2y=a(xh)2+ky=ax2+bx+c对称轴y轴y轴x=hx=h顶点(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)a>0时,开口向上,顶点是最低点,此时y有最小值;a<0时,开口向下,顶点是最高点,此时y有最大值.说明:最小值(或最大值)为0(k或).增

性a>0x<0(h或)时,y随x的增大而减小,即在对称轴的左边y随x的增大而减小;x>0(h或)时,y随x的增大而增大,即在对称轴的右边y随x的增大而增大.a<0x<0(h或)时,y随x的增大而增大,即在对称轴的左边y随x的增大而增大.x>0(h或)时,y随x的增大而减小,即在对称轴的右边y随x的增大而减小.二次函数的最值问题1)如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值);即:当时,(a>0,取得最小值;a<0,取得最大值);2)如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2,首先看x=是否在自变量取值范围x1≤x≤x2内:①若对称轴在在此范围内,则当时,;②若对称轴不在此范围内,则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性:1))如果在此范围内,y随x的增大而增大:则:当x=x2时,取最大值;当x=x1时,取最小值;2))如果在此范围内,y随x的增大而减小:则:当x=x1时,取最大值,当x=x2时,取最小值。求二次函数解析式的一般方法:1)一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a,b,c的方程组,并求出a,b,c,就可以写出二次函数的解析式.2)顶点式y=a(xh)2+k.根据顶坐标点(h,k),可设顶点式y=a(xh)2+k,再将另一点的坐标代入,即可求出a的值,从而写出二次函数的解析式.3)交点式y=a(xx1)(xx2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时,可设y=a(xx1)(xx2),再将另一点的坐标代入即可求出a的值,从而写出二次函数的解析式.考点一二次函数图象与性质【考试题型1】根据二次函数解析式判断其性质【典例1】抛物线y=2x2,y=﹣2x2,y=0.5x2共有的性质是(

)A.开口向下 B.对称轴是y轴 C.都有最低点 D.y的值随x的值增大而减小【专训11】(2022上·山东济南·九年级统考期末)已知点A(-2,y1),B(1,y2),C(3,y3)在二次函数y=-2x2图象上,则y1,y2,y3的大小关系是(A.y1<y3<y2 B.【专训12】(2020上·广东广州·九年级校考期中)已知关于x的二次函数y=x+m2-3,当x>2时,y随着x的增大而增大,则mA.m≤2 B.m≥-2 C.m<2 D.m≤-2【专训13】(2022上·安徽亳州·九年级统考期末)抛物线y=4x2抛物线y=-4x+2A.顶点相同 B.对称轴相同 C.开口方向相同 D.顶点都在x轴上【专训14】抛物线y=12x2,y=-3x2,A.y=12x2 B.y=-3x【专训15】(2022上·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中)下列关于二次函数图象的性质,说法正确的是()A.抛物线y=axB.抛物线y=2x2C.抛物线y=3(x-1)2在对称轴左侧,即x<1时,D.抛物线y=2(x-1)2【专训16】(2021上·浙江杭州·九年级统考期末)已知-3,y1,-2,y2,1,y3A.y2>y1>y3 B.【专训17】(2023上·福建泉州·九年级校考期中)下列关于抛物线y=x2+2x-1A.开口向上 B.顶点坐标-1,-2C.与y轴的交点为0,-1 D.当x<0时,y随x的增大而减小【考试题型2】将二次函数的一般式化为顶点式【典例2】(2023上·吉林·九年级校考期中)将二次函数y=2x2+4x-6化成y=aA.y=2x-12+8C.y=2x+12-8【专训21】(2023上·甘肃定西·九年级统考期中)二次函数y=x2+4x+5A.

B.

C.

D.

【专训22】(2023上·浙江衢州·九年级校考阶段练习)已知y=x2-4x+2A.y=x+22-2C.y=x-22-2【考试题型3】利用五点法绘二次函数图象【典例3】(2023上·安徽·九年级统考期中)已知二次函数y=2x(1)求该二次函数的对称轴和顶点坐标;(2)在平面直角坐标系中,画出这个二次函数的图象.【专训31】(2023上·福建厦门·九年级统考期中)已知二次函数y=x2+ax+b

(1)求出该二次函数的解析式;(2)用描点法在直角坐标系中画出该二次函数的图象.【专训32】(2023上·江苏盐城·九年级校考期中)已知二次函数y=x-1

x……y…(1)请在坐标系中画出二次函数y=x-1①列表②描点③连线(2)观察图像,回答下列问题:①直接写出方程x-12-4=0的解是②当y>0时,x的取值范围是【考试题型4】利用待定系数法求二次函数解析式【典例4】(2023上·河北廊坊·九年级校考期中)如图所示的抛物线的解析式为(

)A.y=-43xC.y=-49x【专训41】(2023上·北京西城·九年级北京十四中校考期中)初三数学课本上,用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+cx…-2-1012…y…3430-5…根据表格上的信息回答问题:一元二次方程axA.x1=2,x2=-2 BC.x1=2,x2=-4 D【专训42】(2023上·广西防城港·九年级统考期中)已知某二次函数的图象经过点(2,-6),顶点为(-1,4),求此二次函数的解析式.【专训43】(2023上·浙江杭州·九年级杭州绿城育华学校校考期中)已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点-3,0(1)求该二次函数的表达式;(2)求该二次函数的顶点坐标.【专训44】(2023上·山东青岛·九年级统考期中)根据下列条件,选取你认为合适的方法求出二次函数的解析式:(1)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过(2,3),(-2,-5)(2)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过一次函数y=32x+3的图象与【专训45】(2023上·浙江温州·九年级校考期中)设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,b是实数).已知函数值yx…0123…y…60-20…(1)求二次函数的表达式.(2)若点Mm,n是抛物线上一点,且0<m<3,则n的取值范围是【考试题型5】二次函数的平移变换问题【典例5】(2022上·九年级单元测试)抛物线y=-2x-12-1可由抛物线y=-2x+2A.右移3个单位长度,再下移4个单位长度B.右移3个单位长度,再上移4个单位长度C.左移3个单位长度,再下移4个单位长度D.左移3个单位长度,再上移4个单位长度【专训51】(2021·江苏徐州·统考中考真题)在平面直角坐标系中,将二次函数y=x2的图像向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得抛物线对应的函数表达式为(A.y=x-22+1 B.y=x+22+1【专训52】(2022·四川泸州·统考中考真题)抛物线y=-12xA.y=-12xC.y=-12x【专训53】(2023上·福建厦门·九年级校联考期中)将二次函数y=2x2的图像向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度后得到的新函数的对称轴是(A.直线x=-2 B.直线x=3 C.直线x=-3 D.直线x=2【考试题型6】二次函数的对称变换问题【典例6】(2020·广西玉林·统考中考真题)把二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象作关于x轴的对称变换,所得图象的解析式为y=-a(x-1)2+4a,若A.-4 B.0 C.2 D.6【专训61】(2023上·湖北咸宁·九年级统考期中)如图,在平面直角坐标中,对抛物线y=-2x2+2x在x轴上方的部分进行循环反复的轴对称或中心对称变换,若点A是该抛物线的顶点,则经过第2023次变换后所得的A

【专训62】(2023·广西玉林·统考一模)把二次函数:y=ax2+bx+c(a>0)的图象作关于y轴的对称变换,所得图象的解析式为:y=a(x+2)2+(a-1)2【专训63】(2023·湖南株洲·统考一模)把二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像作关于x轴的对称变换,所得图像的解析式为y=-a(x-1)2+2a,a+c=【专训64】(2023上·安徽黄山·九年级统考期中)定义:关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”.例如:y=x-12-2的“同轴对称抛物线”(1)抛物线y=-12x-12+32的顶点坐标为(2)如图,在平面直角坐标系中,第四象限的点B是抛物线y=ax2-4ax+1上一点,点B的横坐标为1,过点B作x轴的垂线,交抛物线y=ax2-4ax+1的“同轴对称抛物线”于点C,分别作点B、C关于抛物线y=ax2-4ax+1的对称轴对称的点B'、C',连接BC【考试题型7】已知抛物线上对称的两点求对称轴【典例7】(2022上·河南安阳·九年级校考阶段练习)抛物线y=x+1x-3的对称轴是(A.x=-3 B.x=1 C.x=3 D.x=1【专训71】(2023上·河北唐山·九年级统考期中)若点(2,a)、(4,b)都在二次函数y=x-32+k的图象上,则aA.a>b B.a<b C.a=b D.无法确定【专训72】(2023·山东济宁·校联考三模)某二次函数图象经过1,8,3,-1,5,8,那么该图象的对称轴的解析式为.【考试题型8】利用二次函数的对称性求函数值【典例8】(2022上·福建南平·九年级校考阶段练习)已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与xx…-3-20…y…0-3-3…则一元二次方程ax2+bx+c=0【专训81】(2023上·广东惠州·九年级校考期中)数学课本上,用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c…

-2

-1012…y…61

-2

-3

-2…根据表格上的信息回答问题:该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时,【考试题型9】利用二次函数的对称轴、最值求参数【典例9】(2020·上海奉贤·统考一模)抛物线y=x2+bx+2与y轴交于点A,如果点B(2,2)和点A关于该抛物线的对称轴对称,那么b【专训91】(2023上·浙江温州·九年级校考期中)已知抛物线y=x2-2mx-1≤m≤2经过点Ap,t和点Bp+2,t,则t的最小值是(

)A.-3 B.-1【专训92】(2023上·广东广州·九年级统考阶段练习)点Pm,n在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上.则m+nA.154 B.4 C.-154【专训93】(2023上·江苏镇江·九年级统考期中)已知二次函数y=x2+2x+k的最小值为5,则k=【专训94】(2023上·山西运城·九年级统考期末)抛物线y=-2x2+4x+n经过-1,m和a,m两点,则a【考试题型10】利用二次函数的增减性求参数的取值范围【典例10】(2023上·湖北荆州·九年级统考期中)已知二次函数y=-x-42-3,若y随x的增大而减小,则xA.x<-4 B.x<4 C.x>-4【专训101】(2023上·河北保定·九年级统考期中)二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,当m<x<2时,y随xA.m≤-1 B.m>-1 C.0<m<2 D.-1≤m<2【专训102】(2023上·安徽合肥·九年级合肥38中校考阶段练习)已知函数y=-12x2+x,当函数值y随xA.x<1 B.x>1 C.x<-12 D【专训103】(2023上·重庆江津·九年级校联考期中)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,根据图中提供的信息,可求得使y≥1成立的xA.-1≤x≤3 B.x≥3 C.x≤-1 D.x≤-1或x≥3【专训104】(2023上·河南新乡·九年级河南师大附中校考期中)如图,抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1,当y<0时,x

【考试题型11】利用二次函数的图象特征求参数的值或取值范围【典例11】(2023上·湖北恩施·九年级校考期中)已知函数y=k-1x2-4x+4的图像与x轴只有一个交点,则A.k≤2且k≠1 B.k>2,且k≠1C.k=2 D.k=2或1【专训111】(2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习)若抛物线y=2x-m-12+2m+4的顶点在第二象限,则mA.m>1 B.m<2 C.1<m<2 D.-2<m<-1【专训112】(2023下·江西南昌·九年级统考期末)如图,是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,则a

A.a>1 B.a>2 C.0<a<1 D.0<a<2【考试题型12】根据规定范围内二次函数的最值求参数的取值范围【典例12】(2022上·福建福州·九年级校考期中)已知函数y=ax2-2ax+3(a<0),当0≤x≤m时,有最大值-a+3,最小值3,则mA.m≥1 B.0≤m≤2 C.1≤m≤2 D.1≤m<3【专训121】(2022上·浙江丽水·九年级期末)已知y=2x-1,且0≤x≤1,令S=xy,则函数S的取值范围是(

)A.-18≤S≤0 B.0≤S≤1 C.-【专训122】(2022上·浙江宁波·九年级统考期末)已知二次函数y=ax2-4ax+5a>0,当0≤x≤m时,y有最小值-4a+5和最大值5,则A.m≥2 B.0≤m≤2 C.1≤m≤2 D.2≤m≤4【专训123】(2022上·福建福州·九年级校考期中)已知函数y=ax2-2ax+3a<0,当0≤x≤m时,有最大值-a+3,最小值A.m≥1 B.0≤m≤2 C.1≤m≤2 D.1≤m≤3【专训124】(2022上·安徽·九年级校联考期中)已知二次函数y=3x2+6x-5,关于该函数在-2≤x≤2的取值范围内,下列说法正确的是(

A.有最大值-5,最小值-8 B.有最大值-5,最小值-11C.有最大值19,最小值-8 D.有最大值19,最小值-5【专训125】(2023上·浙江绍兴·九年级校考阶段练习)已知函数y=ax2+2ax+1在-3≤x≤2上有最大值9,则常数a【专训126】(2023·陕西西安·校考一模)已知二次函数y=mx2-2mx+2(m≠0)在-2≤x<2时有最小值A.-4或-12 B.4或-12 C.-4或12【专训127】((2022上·浙江金华·九年级校考期中)当-9≤x≤a时,二次函数y=-13x+32+5恰好有最大值2,则A.0 B.0和-6 C.-6 D.-7【专训128】(2023上·山东威海·九年级校联考期中)已知y=x2-4x+3,当m≤x≤m+2时,函数y的最小值为54【考试题型13】根据二次函数的性质求最值【典例13】(2023上·浙江金华·九年级校联考期中)二次函数y=-2x+6x+5的最大值是【专训131】(2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期中)点m,n在二次函数y=-x2+3图象上,m+n的最大值是(

).A.3 B.23 C.【专训132】(2023上·江苏宿迁·九年级统考期末)已知非负数x,y,z满足x+y=3,z-3x=4,设s=-x2+y+z的最大值为a,最小值为b,则a-bA.6 B.5 C.4 D.10考点二二次函数图象与系数的关系二次函数图象与系数之间的关系:1)二次项系数a:决定抛物线的开口大小和方向①当a>0时,抛物线开口向上,a越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大;②当a<0时,抛物线开口向下,a越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大.【总结】QUOTEaa决定了抛物线开口的大小和方向,aQUOTEa的正负决定开口方向,|QUOTEaa|的大小决定开口的大小,|a|越大,抛物线的开口越小;|a|越小,抛物线的开口越大.2)一次项系数b:决定了抛物线的对称轴①在a>0的前提下,当b>0时,-b2a<0,即抛物线的对称轴在y当b=0时,-b2a=0当b<0时,-b2a>0,即抛物线对称轴在y②在a<0的前提下,当b>0时,-b2a>0,即抛物线的对称轴在y当b=0时,-b2a=0当b<0时,-b2a<0,即抛物线对称轴在y【总结】在QUOTEaa确定的前提下,QUOTEbb决定了抛物线对称轴的位置。3)常数项cQUOTEc①当c>0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;②当c=0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;③当c<0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.【总结】QUOTEcc决定了抛物线与QUOTEyy轴交点的位置。【考试题型14】由二次函数图象确定各项系数符号【典例14】(2023下·四川绵阳·九年级统考期中)二次函数y=ax2+bx+c的图象不经过第二象限,则A.a>0,b<0,C.a<0,b<0,c>0【专训141】(2023上·浙江台州·九年级统考期末)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是(A.a<0 B.b<0 C.c<0 D.abc>0【专训142】(2023上·山东济宁·九年级统考期末)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(-1,0),对称轴为直线x=1A.a<0B.x=3是一元二次方程axC.c>0D.当x>1时,y随x的增大而增大【专训143】(2022上·广西贺州·九年级校考期末)二次函数y=ax2+bx+c的图象A.a<0 B.b>0 C.c>0 D.b【考试题型15】由各项系数符号确定二次函数图象【典例15】(2022·湖南株洲·统考中考真题)已知二次函数y=ax2+bx-ca≠0,其中b>0、c>0,则该函数的A. B.C. D.【专训151】如图,若a<0,b>0,c<0,则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为()A. B. C. D.【专训152】(2023上·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考期末)已知,ab>0,4a+2b+c=0,4a-2b+c>0,则下列结论成立的是(

)A.a>0,b2≥4ac B.a>0,C.a<0,b2<4ac D【考试题型16】一次函数、二次函数图象综合判断【典例16】(2023上·辽宁朝阳·九年级校考期中)已知一次函数y=bax+c的图象如图所示,则二次函数y=ax2

A.

B.

C.

D.

【专训161】(2023上·河南周口·九年级校考期中)已知一次函数y=cx+ba的图象如下,则函数y=ax2+bx+c

A.B.

C.

D.

【专训162】(2023·广东广州·统考二模)已知二次函数y=ax²+bxa≠0的图象如图所示,则一次函数y=ax+ba≠0的

A.

B.

C.

D.

【专训163】(2023上·湖北武汉·九年级统考期中)二次函数y=ax2+bx的图象所示,则一次函数y=ax+b的图象A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【考试题型17】反比例函数、二次函数图象综合判断【典例17】(2023上·湖南邵阳·九年级统考期末)已知反比例函数y=kx的图像如图所示,则二次函数A.B.C. D.【专训171】(2023上·山西朔州·九年级统考期末)在平面直角坐标系中,反比例函数y=kxk≠0的图象如图所示,则二次函数y=kx2A.仅经过第三、四象限 B.仅经过第一、二、四象限 C.经过第一、二、三、四象限 D.仅经过第一、二象限【专训172】(2023上·河北秦皇岛·九年级秦皇岛市第七中学校考期末)二次函数y=ax2-a与反比例函数y=axA. B. C. D.【考试题型18】根据二次函数图象判断式子符号【典例18】已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示,有以下4个结论:①abc>0;②a-b+c>0;③4a+2b+c>0;④bA.1个 B.2个 C.3个 D.4个【专训181】(2022·四川绵阳·统考中考真题)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称,与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,若-2<x1<-1,则下列四个结论:正确结论的个数为(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【专训182】(2022上·上海闵行·九年级统考期末)二次函数y=ax`2+bx+ca≠0的图像如图所示,现有以下结论:(1)b>0:(2)abc<0;(3)a-b+c>0,(4)a+b+c>0;(5)b2A.2个 B.3个 C.4个 D.5个.【专训183】(2019上·广西南宁·九年级统考期中)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有以下结论:①abc>0;②a-b+c<0;③2a=b;④4a+2b+c>0;⑤若点(-2,y1)和(-13,y2)在该图象上,则y1>y2.其中正确的结论个数是(

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【专训184】如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,在下列说法中:①ac<0;②方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=3;③a+b+c>0;【专训185】(2023·上海徐汇·上海市第四中学校考一模)如图所示的抛物线y=x2-bx+b2【提升练习】1.(2022·浙江金华·校联考三模)若二次函数y=2(x-1)2-1的图象如图所示,则坐标原点可能是(A.点A B.点B C.点C D.点D2.(2021上·湖北孝感·九年级校联考阶段练习)若在同一直角坐标系中,对于抛物线y=2x2,y=x2-2A.开口方向相同 B.都有最低点 C.都经过原点 D.对称轴都是y轴3.(2021上·北京·九年级北京一七一中校考阶段练习)已知二次函数y=a(x﹣1)2﹣4,当﹣1≤x≤4时,y的最大值是5,则a的值是()A.﹣1 B.﹣2 C.1 D.24.(2019·湖北咸宁·统考中考真题)已知点A(-1,m),B

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