清单10二次函数的图象与性质（2个考点梳理18种题型解读提升训练）（原卷版）

清单10二次函数的图象与性质（2个考点梳理+18种题型解读+提升训练）【知识导图】【知识清单】基本形式y=ax2y=ax2+ky=a(xh)2y=a(xh)2+ky=ax2+bx+c对称轴y轴y轴x=hx=h顶点(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)a>0时，开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.说明：最小值(或最大值)为0（k或）.增

减

性a>0x<0(h或)时，y随x的增大而减小，即在对称轴的左边y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大，即在对称轴的右边y随x的增大而增大.a<0x<0(h或)时，y随x的增大而增大，即在对称轴的左边y随x的增大而增大.x>0(h或)时，y随x的增大而减小，即在对称轴的右边y随x的增大而减小.二次函数的最值问题1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)；即：当时，（a>0，取得最小值；a<0,取得最大值）；2）如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，首先看x=是否在自变量取值范围x1≤x≤x2内：①若对称轴在在此范围内，则当时，；②若对称轴不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性：1））如果在此范围内，y随x的增大而增大：则：当x=x2时，取最大值；当x=x1时，取最小值；2））如果在此范围内，y随x的增大而减小：则：当x=x1时，取最大值，当x=x2时，取最小值。求二次函数解析式的一般方法：1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a,b,c的方程组，并求出a,b,c，就可以写出二次函数的解析式.2）顶点式y=a(xh)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(xh)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.3）交点式y=a(xx1)(xx2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(xx1)(xx2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.考点一二次函数图象与性质【考试题型1】根据二次函数解析式判断其性质【典例1】抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝0.5x2共有的性质是(

)A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．都有最低点 D．y的值随x的值增大而减小【专训11】（2022上·山东济南·九年级统考期末）已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y=-2x2图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（A．y1<y3<y2 B．【专训12】（2020上·广东广州·九年级校考期中）已知关于x的二次函数y=x+m2-3，当x>2时，y随着x的增大而增大，则mA．m≤2 B．m≥-2 C．m<2 D．m≤-2【专训13】（2022上·安徽亳州·九年级统考期末）抛物线y=4x2抛物线y=-4x+2A．顶点相同 B．对称轴相同 C．开口方向相同 D．顶点都在x轴上【专训14】抛物线y=12x2，y=-3x2，A．y=12x2 B．y=-3x【专训15】（2022上·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）下列关于二次函数图象的性质，说法正确的是（）A．抛物线y=axB．抛物线y=2x2C．抛物线y=3(x-1)2在对称轴左侧，即x＜1时，D．抛物线y=2(x-1)2【专训16】（2021上·浙江杭州·九年级统考期末）已知-3,y1，-2,y2，1,y3A．y2>y1>y3 B．【专训17】（2023上·福建泉州·九年级校考期中）下列关于抛物线y=x2+2x-1A．开口向上 B．顶点坐标-1,-2C．与y轴的交点为0,-1 D．当x<0时，y随x的增大而减小【考试题型2】将二次函数的一般式化为顶点式【典例2】（2023上·吉林·九年级校考期中）将二次函数y=2x2+4x-6化成y=aA．y=2x-12+8C．y=2x+12-8【专训21】（2023上·甘肃定西·九年级统考期中）二次函数y=x2+4x+5A．

B．

C．

D．

【专训22】（2023上·浙江衢州·九年级校考阶段练习）已知y=x2-4x+2A．y=x+22-2C．y=x-22-2【考试题型3】利用五点法绘二次函数图象【典例3】（2023上·安徽·九年级统考期中）已知二次函数y=2x(1)求该二次函数的对称轴和顶点坐标；(2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象．【专训31】（2023上·福建厦门·九年级统考期中）已知二次函数y=x2+ax+b

(1)求出该二次函数的解析式；(2)用描点法在直角坐标系中画出该二次函数的图象．【专训32】（2023上·江苏盐城·九年级校考期中）已知二次函数y=x-1

x……y…(1)请在坐标系中画出二次函数y=x-1①列表②描点③连线(2)观察图像，回答下列问题：①直接写出方程x-12-4=0的解是②当y>0时，x的取值范围是【考试题型4】利用待定系数法求二次函数解析式【典例4】（2023上·河北廊坊·九年级校考期中）如图所示的抛物线的解析式为（

）A．y=-43xC．y=-49x【专训41】（2023上·北京西城·九年级北京十四中校考期中）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+cx…-2-1012…y…3430-5…根据表格上的信息回答问题：一元二次方程axA．x1=2，x2=-2 BC．x1=2，x2=-4 D【专训42】（2023上·广西防城港·九年级统考期中）已知某二次函数的图象经过点(2,-6)，顶点为(-1,4)，求此二次函数的解析式．【专训43】（2023上·浙江杭州·九年级杭州绿城育华学校校考期中）已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点-3,0(1)求该二次函数的表达式；(2)求该二次函数的顶点坐标．【专训44】（2023上·山东青岛·九年级统考期中）根据下列条件，选取你认为合适的方法求出二次函数的解析式：(1)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过(2,3)，(-2,-5)(2)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过一次函数y=32x+3的图象与【专训45】（2023上·浙江温州·九年级校考期中）设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，b是实数）．已知函数值yx…0123…y…60-20…(1)求二次函数的表达式．(2)若点Mm,n是抛物线上一点，且0<m<3，则n的取值范围是【考试题型5】二次函数的平移变换问题【典例5】（2022上·九年级单元测试）抛物线y=-2x-12-1可由抛物线y=-2x+2A．右移3个单位长度，再下移4个单位长度B．右移3个单位长度，再上移4个单位长度C．左移3个单位长度，再下移4个单位长度D．左移3个单位长度，再上移4个单位长度【专训51】（2021·江苏徐州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数y=x2的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（A．y=x-22+1 B．y=x+22+1【专训52】（2022·四川泸州·统考中考真题）抛物线y=-12xA．y=-12xC．y=-12x【专训53】（2023上·福建厦门·九年级校联考期中）将二次函数y=2x2的图像向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的新函数的对称轴是（A．直线x=-2 B．直线x=3 C．直线x=-3 D．直线x=2【考试题型6】二次函数的对称变换问题【典例6】（2020·广西玉林·统考中考真题）把二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y=-a(x-1)2+4a，若A．-4 B．0 C．2 D．6【专训61】（2023上·湖北咸宁·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标中，对抛物线y=-2x2+2x在x轴上方的部分进行循环反复的轴对称或中心对称变换，若点A是该抛物线的顶点，则经过第2023次变换后所得的A

【专训62】（2023·广西玉林·统考一模）把二次函数：y=ax2+bx+c(a>0)的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式为：y=a(x+2)2+(a-1)2【专训63】（2023·湖南株洲·统考一模）把二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像作关于x轴的对称变换，所得图像的解析式为y=-a(x-1)2+2a，a+c=【专训64】（2023上·安徽黄山·九年级统考期中）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y=x-12-2的“同轴对称抛物线”(1)抛物线y=-12x-12+32的顶点坐标为(2)如图，在平面直角坐标系中，第四象限的点B是抛物线y=ax2-4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线y=ax2-4ax+1的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线y=ax2-4ax+1的对称轴对称的点B'、C'，连接BC【考试题型7】已知抛物线上对称的两点求对称轴【典例7】（2022上·河南安阳·九年级校考阶段练习）抛物线y=x+1x-3的对称轴是（A．x=-3 B．x=1 C．x=3 D．x=1【专训71】（2023上·河北唐山·九年级统考期中）若点(2,a)、(4,b)都在二次函数y=x-32+k的图象上，则aA．a>b B．a<b C．a=b D．无法确定【专训72】（2023·山东济宁·校联考三模）某二次函数图象经过1,8，3,-1，5,8，那么该图象的对称轴的解析式为．【考试题型8】利用二次函数的对称性求函数值【典例8】（2022上·福建南平·九年级校考阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与xx…-3-20…y…0-3-3…则一元二次方程ax2+bx+c=0【专训81】（2023上·广东惠州·九年级校考期中）数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c…

-2

-1012…y…61

-2

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-2…根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时，【考试题型9】利用二次函数的对称轴、最值求参数【典例9】（2020·上海奉贤·统考一模）抛物线y=x2+bx+2与y轴交于点A，如果点B(2,2)和点A关于该抛物线的对称轴对称，那么b【专训91】（2023上·浙江温州·九年级校考期中）已知抛物线y=x2-2mx-1≤m≤2经过点Ap,t和点Bp+2,t，则t的最小值是（

）A．-3 B．-1【专训92】（2023上·广东广州·九年级统考阶段练习）点Pm,n在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上．则m+nA．154 B．4 C．-154【专训93】（2023上·江苏镇江·九年级统考期中）已知二次函数y=x2+2x+k的最小值为5，则k=【专训94】（2023上·山西运城·九年级统考期末）抛物线y=-2x2+4x+n经过-1,m和a,m两点，则a【考试题型10】利用二次函数的增减性求参数的取值范围【典例10】（2023上·湖北荆州·九年级统考期中）已知二次函数y=-x-42-3，若y随x的增大而减小，则xA．x<-4 B．x<4 C．x>-4【专训101】（2023上·河北保定·九年级统考期中）二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，当m<x<2时，y随xA．m≤-1 B．m>-1 C．0<m<2 D．-1≤m<2【专训102】（2023上·安徽合肥·九年级合肥38中校考阶段练习）已知函数y=-12x2+x，当函数值y随xA．x<1 B．x>1 C．x<-12 D【专训103】（2023上·重庆江津·九年级校联考期中）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使y≥1成立的xA．-1≤x≤3 B．x≥3 C．x≤-1 D．x≤-1或x≥3【专训104】（2023上·河南新乡·九年级河南师大附中校考期中）如图，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，当y<0时，x

【考试题型11】利用二次函数的图象特征求参数的值或取值范围【典例11】（2023上·湖北恩施·九年级校考期中）已知函数y=k-1x2-4x+4的图像与x轴只有一个交点，则A．k≤2且k≠1 B．k>2，且k≠1C．k=2 D．k=2或1【专训111】（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）若抛物线y=2x-m-12+2m+4的顶点在第二象限，则mA．m>1 B．m<2 C．1<m<2 D．-2<m<-1【专训112】（2023下·江西南昌·九年级统考期末）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，则a

A．a>1 B．a>2 C．0<a<1 D．0<a<2【考试题型12】根据规定范围内二次函数的最值求参数的取值范围【典例12】（2022上·福建福州·九年级校考期中）已知函数y=ax2-2ax+3(a<0)，当0≤x≤m时，有最大值-a+3，最小值3，则mA．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．1≤m<3【专训121】（2022上·浙江丽水·九年级期末）已知y=2x-1，且0≤x≤1，令S=xy，则函数S的取值范围是（

）A．-18≤S≤0 B．0≤S≤1 C．-【专训122】（2022上·浙江宁波·九年级统考期末）已知二次函数y=ax2-4ax+5a>0，当0≤x≤m时，y有最小值-4a+5和最大值5，则A．m≥2 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．2≤m≤4【专训123】（2022上·福建福州·九年级校考期中）已知函数y=ax2-2ax+3a<0，当0≤x≤m时，有最大值-a+3，最小值A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．1≤m≤3【专训124】（2022上·安徽·九年级校联考期中）已知二次函数y=3x2+6x-5，关于该函数在-2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（

A．有最大值-5，最小值-8 B．有最大值-5，最小值-11C．有最大值19，最小值-8 D．有最大值19，最小值-5【专训125】（2023上·浙江绍兴·九年级校考阶段练习）已知函数y=ax2+2ax+1在-3≤x≤2上有最大值9，则常数a【专训126】（2023·陕西西安·校考一模）已知二次函数y=mx2-2mx+2（m≠0）在-2≤x<2时有最小值A．-4或-12 B．4或-12 C．-4或12【专训127】（（2022上·浙江金华·九年级校考期中）当-9≤x≤a时，二次函数y=-13x+32+5恰好有最大值2，则A．0 B．0和-6 C．-6 D．-7【专训128】（2023上·山东威海·九年级校联考期中）已知y=x2-4x+3，当m≤x≤m+2时，函数y的最小值为54【考试题型13】根据二次函数的性质求最值【典例13】（2023上·浙江金华·九年级校联考期中）二次函数y=-2x+6x+5的最大值是【专训131】（2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期中）点m,n在二次函数y=-x2+3图象上，m+n的最大值是（

）．A．3 B．23 C．【专训132】（2023上·江苏宿迁·九年级统考期末）已知非负数x，y，z满足x+y=3，z-3x=4，设s=-x2+y+z的最大值为a，最小值为b，则a-bA．6 B．5 C．4 D．10考点二二次函数图象与系数的关系二次函数图象与系数之间的关系：1）二次项系数a：决定抛物线的开口大小和方向①当a>0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；②当a<0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．【总结】QUOTEaa决定了抛物线开口的大小和方向，aQUOTEa的正负决定开口方向，|QUOTEaa|的大小决定开口的大小，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．2)一次项系数b:决定了抛物线的对称轴①在a>0的前提下，当b>0时，-b2a<0，即抛物线的对称轴在y当b=0时，-b2a=0当b<0时，-b2a>0，即抛物线对称轴在y②在a<0的前提下，当b>0时，-b2a>0，即抛物线的对称轴在y当b=0时，-b2a=0当b<0时，-b2a<0，即抛物线对称轴在y【总结】在QUOTEaa确定的前提下，QUOTEbb决定了抛物线对称轴的位置。3）常数项cQUOTEc①当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；②当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；③当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．【总结】QUOTEcc决定了抛物线与QUOTEyy轴交点的位置。【考试题型14】由二次函数图象确定各项系数符号【典例14】（2023下·四川绵阳·九年级统考期中）二次函数y=ax2+bx+c的图象不经过第二象限，则A．a>0，b<0，C．a<0，b<0，c>0【专训141】（2023上·浙江台州·九年级统考期末）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是(A．a<0 B．b<0 C．c<0 D．abc>0【专训142】（2023上·山东济宁·九年级统考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(-1,0)，对称轴为直线x=1A．a<0B．x=3是一元二次方程axC．c>0D．当x>1时，y随x的增大而增大【专训143】（2022上·广西贺州·九年级校考期末）二次函数y=ax2+bx+c的图象A．a<0 B．b>0 C．c>0 D．b【考试题型15】由各项系数符号确定二次函数图象【典例15】（2022·湖南株洲·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx-ca≠0，其中b>0、c>0，则该函数的A． B．C． D．【专训151】如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）A． B． C． D．【专训152】（2023上·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考期末）已知，ab>0，4a+2b+c=0，4a-2b+c>0，则下列结论成立的是（

）A．a>0，b2≥4ac B．a>0，C．a<0，b2<4ac D【考试题型16】一次函数、二次函数图象综合判断【典例16】（2023上·辽宁朝阳·九年级校考期中）已知一次函数y=bax+c的图象如图所示，则二次函数y=ax2

A．

B．

C．

D．

【专训161】（2023上·河南周口·九年级校考期中）已知一次函数y=cx+ba的图象如下，则函数y=ax2+bx+c

A．B．

C．

D．

【专训162】（2023·广东广州·统考二模）已知二次函数y=ax²+bxa≠0的图象如图所示，则一次函数y=ax+ba≠0的

A．

B．

C．

D．

【专训163】（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）二次函数y=ax2+bx的图象所示，则一次函数y=ax+b的图象A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考试题型17】反比例函数、二次函数图象综合判断【典例17】（2023上·湖南邵阳·九年级统考期末）已知反比例函数y=kx的图像如图所示，则二次函数A．B．C． D．【专训171】（2023上·山西朔州·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，反比例函数y=kxk≠0的图象如图所示，则二次函数y=kx2A．仅经过第三、四象限 B．仅经过第一、二、四象限 C．经过第一、二、三、四象限 D．仅经过第一、二象限【专训172】（2023上·河北秦皇岛·九年级秦皇岛市第七中学校考期末）二次函数y=ax2-a与反比例函数y=axA． B． C． D．【考试题型18】根据二次函数图象判断式子符号【典例18】已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，有以下4个结论：①abc>0；②a-b+c>0；③4a+2b+c>0；④bA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【专训181】（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称，与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，若-2<x1<-1，则下列四个结论：正确结论的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【专训182】（2022上·上海闵行·九年级统考期末）二次函数y=ax`2+bx+ca≠0的图像如图所示，现有以下结论：（1）b>0：（2）abc<0；（3）a-b+c>0，（4）a+b+c>0；（5）b2A．2个 B．3个 C．4个 D．5个．【专训183】（2019上·广西南宁·九年级统考期中）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a－b＋c＜0；③2a＝b；④4a＋2b＋c＞0；⑤若点(－2，y1)和(－13，y2)在该图象上，则y1＞y2.其中正确的结论个数是(

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【专训184】如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac<0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3；③a+b+c>0；【专训185】（2023·上海徐汇·上海市第四中学校考一模）如图所示的抛物线y=x2-bx+b2【提升练习】1．（2022·浙江金华·校联考三模）若二次函数y=2(x-1)2-1的图象如图所示，则坐标原点可能是（A．点A B．点B C．点C D．点D2．（2021上·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）若在同一直角坐标系中，对于抛物线y=2x2，y=x2-2A．开口方向相同 B．都有最低点 C．都经过原点 D．对称轴都是y轴3．（2021上·北京·九年级北京一七一中校考阶段练习）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣4，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，则a的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．24．（2019·湖北咸宁·统考中考真题）已知点A(-1,m),B