专题72锐角三角函数（全章分层练习）（基础练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（苏科版）

专题7.2锐角三角函数（全章分层练习）（基础练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2022·山东日照·统考中考真题）在实数，x0（x≠0），cos30°，中，有理数的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2022·贵州毕节·统考中考真题）如图，在中，，，则（

）A． B． C． D．3．（2022·福建·统考模拟预测）如图是一间外观迷人的A型框架木屋，是年轻人户外度假住宿的理想选择．正如其名，A型木屋从正面来看呈现字母A的形状，两个侧边斜屋顶变成建筑的外立面，在顶部相交于点A．已知B、C两点间的距离为6米，，则木屋的侧边斜屋顶的长度为（

）A．米 B．米 C．米 D．米4．（2021·云南·统考中考真题）在中，，则的值是（）A． B． C． D．5．（2020·山东聊城·中考真题）如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，则的值是（

）A． B． C． D．26．（2014·四川凉山·统考中考真题）王明同学遇到了这样一道题，，则锐角的度数为（

）A．40° B．30° C．20° D．10°7．（2022·四川广元·统考中考真题）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（）A． B．3 C．2 D．8．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点P在射线OA上，OP＝13，cosα＝，则点P的坐标为（）A．（5，13） B．（5，12） C．（13，5） D．（12，5）9．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西方向上，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西方向上，当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，则轮船航程的距离是（）

A．20海里 B．40海里 C．60海里 D．80海里10．（2023·山东淄博·统考中考真题）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于（

）

A． B． C． D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11．（2022·湖北荆门·统考中考真题）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝．12．（2013·浙江杭州·中考真题）计算：＝．13．（2023·江苏·统考中考真题）如图，在中，，点D在边AB上，连接CD．若，，则．

14．（2023·山西·统考中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为．

15．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，在矩形中，为上的点，，，则．16．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为；当点M的位置变化时，DF长的最大值为．17．（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为海里．18．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图，在直角中，，，将绕点顺时针旋转至的位置，点是的中点，且点在反比例函数的图象上，则的值为．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023·江苏镇江·统考中考真题）（1）计算：； （2）化简：．20．（8分）（2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：解：小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：①；②；③；____________________________________________________________________________．请写出正确的计算过程．（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．21．（10分）（2023·湖北襄阳·统考中考真题）年6月6日是第个全国“爱眼日”某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动，如图，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度的长为cm，此时用眼舒适度不太理想，小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时（点是A的对应点），用眼舒适度较为理想，求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．（结果精确到1cm；参考数据：，，）22．（10分）（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在中，，，点D在边上，将线段绕点D按顺时针方向旋转得到，线段交于点E，作于点F，与线段交于点G，连接．

（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，当平分四边形的面积时，求的长．23．（10分）（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，菱形中，相交于点O，过点B作，且，连结．（1）求证：四边形是矩形．（2）连接，若，则的值是___________．24．（12分）（2023·辽宁·统考中考真题）在中，，，点为的中点，点在直线上（不与点重合），连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，过点作，垂足为点，直线交直线于点．（1）如图，当点与点重合时，请直接写出线段与线段的数量关系；（2）如图，当点在线段上时，求证：；（3）连接，的面积记为，的面积记为，当时，请直接写出的值．参考答案：1．B【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答．解：在实数，x0（x≠0）=1，，中，有理数是，x0=1，所以，有理数的个数是2，故选：B．【点拨】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．2．C【分析】根据勾股定理，可得与的关系，根据正弦函数的定义，可得答案．解：∵，∴，∴，，故C正确．故选：C．【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，先利用勾股定理得出与的关系，再利用正弦函数的定义．3．D【分析】过点A作于点D，可得米，在中，根据锐角三角函数，即可求解．解：如图，过点A作于点D，根据题意得：，米，，∴米，在中，米．故选：D【点拨】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的意义是解题的关键．4．C【分析】由题意即可得出，设，则，利用勾股定理可求出的长，最后根据，代入数据求值即可．解：如图，根据题意可知，故可设，则，∴，∴．故选：C．【点拨】本题考查锐角三角形函数和勾股定理．掌握正弦和正切的定义是解题关键．5．D【分析】先根据勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，进而根据正切的定义即可求解．解：根据网格可得，，，∴，∴，∴是直角三角形，∴，故选：D．【点拨】本题考查了网格与勾股定理，求正切，证明是直角三角形是解题的关键．6．C【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．解：∵tan（α+10°）=1，∴tan（α+10°）=，∵α为锐角，∴α+10°=30°，α=20°．故选C．【点拨】熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．7．A【分析】由题意易得MN垂直平分AD，AB=10，则有AD=4，AF=2，然后可得，进而问题可求解．解：由题意得：MN垂直平分AD，，∴，∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，∴，∴AD=4，AF=2，，∴；故选A．【点拨】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数，熟练掌握勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数是解题的关键．8．B【分析】过点P作PE⊥x轴于点E．根据a的余弦值和OP，先求出OE，再利用勾股定理求出PE即可．解：如图，过点P作PE⊥x轴于点E．设点P的坐标为（x，y），则OE＝x，PE＝y．在Rt△OPE中，∵cosα＝，OP＝13，∴OE＝5．∴PE＝＝12．∴P点的坐标为（5，12）．故选：B．【点拨】本题考查了解直角三角形和勾股定理，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．9．C【分析】解：根据三角形外角和定理可求得的值，然后放到中，根据直角三角形角的性质即可解答．解：由题意得，，∴，∴，∵，∴，∴，则轮船航程的距离是60海里．故选：C．【点拨】此题主要考查了方位角和含直角三角形的性质的应用，将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中求解是解决有关直角三角形的常规思路．10．A【分析】设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x，由题意得，解得，即可求解．解：过点D作交的延长线于点N，由题意可得，两个正方形之间是4个相等的三角形，设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x，即，，，由题意得，，解得，在中，，则，，则，∴，故选：A．

【点拨】本题考查解直角三角形的应用、正方形的性质及勾股定理，确定a、b和x之间的关系是解题的关键．11．﹣1【分析】先计算立方根、特殊角的三角函数值、零指数幂，再进行计算即可解答．解：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣+﹣1＝0﹣1＝﹣1故答案为：﹣1．【点拨】本题考查了立方根、特殊角的三角函数值、零指数幂等知识点，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．12．3【分析】针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解：＝4+﹣1﹣＝3．故答案为：3．【点拨】本题考查了负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简解答关键是按照相关法则进行计算．13．/【分析】由题意可设，则，，在中求得，在中求出答案即可．解：，，设，则，，在中，由勾股定理得：，在中，．【点拨】本题考查的是求锐角三角函数，解题关键是根据比值设未知数，表示出边长从而求出锐角三角函数值．14．【分析】证明，，，再利用正切函数的定义求解即可．解：∵在中，，∴，，由作图知平分，，∴是等边三角形，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，尺规作图—作角平分线，等边三角形的判定和性质，正切函数的定义，求得是解题的关键．15．/解：设，在矩形中，为上的点，，，，，，故答案为：．【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，求正切，掌握正确的定义是解题的关键．16．【分析】当点M与点B重合时，EF垂直平分AB，利用三角函数即可求得EF的长；根据折叠的性质可知，AF=FM,若DF取最大值，则FM取最小值，即为边AD与BC的距离DG，即可求解.解：当点M与点B重合时，由折叠的性质知EF垂直平分AB，∴AE=EB=AB=3，在Rt△AEF中，∠A=60°，AE=3，tan60°=，∴EF=3；当AF长取得最小值时，DF长取得最大值，由折叠的性质知EF垂直平分AM，则AF=FM，∴FM⊥BC时，FM长取得最小值，此时DF长取得最大值，过点D作DG⊥BC于点C，则四边形DGMF为矩形，∴FM=DG，在Rt△DGC中，∠C=∠A=60°，DC=AB=6，∴DG=DCsin60°=3，∴DF长的最大值为ADAF=ADFM=ADDG=63，故答案为：3；63．【点拨】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．17．20【分析】过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解．解：如图，过点A作AC⊥BD，依题意可得∠ABC=45°∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20（海里）∴AC=BC=ABsin45°=10（海里）在Rt△ACD中，∠ADC=90°60°=30°∴AD=2AC=20（海里）故答案为：20．【点拨】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．18．【分析】依据题意，在中，，，从而，可得，又结合题意，，进而，故可得点坐标，代入解析式可以得解．解：如图，作轴，垂足为．

由题意，在中，，，．．．又绕点顺时针旋转至的位置，．．又点是的中点，．在中，，．，．又在上，．故答案为：．【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，旋转的性质，勾股定理等知识，解题时需要熟练掌握并灵活运用是关键．19．（1）；（2）【分析】（1）先将算术平方根、特殊角的三角函数、零指数幂化简，然后计算可得答案；（2）先通分算出括号内的结果，再将除数中的分子进行因式分解，同时将除法运算转化为乘法运算，最后约分即可得到结果．解：（1）原式．（2）原式．【点拨】本题考查了实数的混合运算、分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握以上知识点．20．（1）④tan30°=；⑤（2）2=，⑥（2）0=1；28；（2），．【分析】（1）根据乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数幂、零指数幂的法则计算即可；（2）先把括号内通分，接着约分得到原式=，然后利用因式分解法解方程x22x3=0得到x1=3，x2=1，则利用分式有意义的条件把x=1代入计算即可．解：（1）其他错误，有：④tan30°=；⑤（2）2=，⑥（2）0=1，正确的计算过程：解：=28；（2）=，∵x22x3=0，∴（x3）（x+1）=0，x3=0或x+1=0，∴x1=3，x2=1，∵x=3分式没有意义，∴x的值为1，当x=1时，原式==．【点拨】本题考查了实数的运算，解一元二次方程因式分解法，分式的化简求值．也考查了特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数幂、零指数幂．21．【分析】根据，得到，再根据，得到，在中根据三角函数即可求解．解：∵，∴，在中，，∴，由题意得：，∵，∴，在中，∴此时顶部边缘处离桌面的高度的长约为．【点拨】本题考查直角三角形角所对直角边等于斜边一半及解直角三角形，解题的关键是根据已知角度求出角的大小．22．（1）见分析；（2）见分析；（3）【分析】（1）根据旋转的性质可得，再根据，可得，即可；（2）根据，可得点B，C，G，F四点共圆，从而得到，，从而得到，进而得到，可证明，即可；（3）连接，根据，，可得，，，设，则可得，，，，，，再由平分四边形的面积，可得，从而得到关于x的方程，即可求解．解：（1）证明：∵线段绕点D按顺时针方向旋转得到，∴，∴，∵，即，∴，∵，∴，在和中，∵，，∴；（2）证明：∵，∴点B，C，G，F四点共圆，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即；（3）解：如图，连接，

∵，∴，，∵，，∴，∴，，∴，设，则，∴，，，∴，∴，，∵平分四边形的面积，∴，∴，即，解得：（负值舍去），∴．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．23．（1）见分析；（2）【分析】（1）证，再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论；（2）由锐角三角函数得设，则，再由勾股定理得，然后由锐角三角函数即可得出结论．解：（1）证明：∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，即，∴四边形是矩形；（2）解：如图，∵四边形是菱形