理科数学一轮复习高考帮试题第8章第4讲直线平面垂直的判定及性质（考题帮数学理）

第四讲直线、平面垂直的判定及性质题组直线、平面垂直的判定与性质1.[2017全国卷Ⅲ,10,5分]在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC2.[2013新课标全国Ⅱ,4,5分][理]已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则()A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于l D.α与β相交,且交线平行于l3.[2017北京,18,14分]如图841,在三棱锥PABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.图841(Ⅰ)求证:PA⊥BD;(Ⅱ)求证:平面BDE⊥平面PAC;(Ⅲ)当PA∥平面BDE时,求三棱锥EBCD的体积.4.[2017全国卷Ⅲ,19,12分][理]如图842,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.图842(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角DAEC的余弦值.5.[2016全国卷Ⅱ,19,12分][理]如图843,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=54,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置,OD'=10图843(Ⅰ)证明:D'H⊥平面ABCD;(Ⅱ)求二面角BD'AC的正弦值.6.[2015湖北,20,13分][数学文化题]《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图844所示的阳马PABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连接DE,BD,BE.(Ⅰ)证明:DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;(Ⅱ)记阳马PABCD的体积为V1,四面体EBCD的体积为V2,求V1V图8447.[2013全国卷Ⅰ,18,12分][理]如图845,三棱柱ABCA1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.图845(Ⅰ)证明:AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.A组基础题1.[2018南昌市高三调考,10]如图846,四棱锥PABCD中,△PAB与△PBC是正三角形,平面PAB⊥平面PBC,AC⊥BD,则下列结论不一定成立的是图846()A.PB⊥AC B.PD⊥平面ABCDC.AC⊥PD D.平面PBD⊥平面ABCD2.[2018南宁市摸底联考,16]如图847,在正方形ABCD中,AC为对角线,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点.现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H.下列说法错误的是(将符合题意的序号填到横线上).

图847①AG⊥△EFH所在平面;②AH⊥△EFH所在平面;③HF⊥△AEF所在平面;④HG⊥△AEF所在平面.3.[2018惠州市一调,19]如图848,在底面是菱形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,∠ABC=60°,AA1=AC=2,A1B=A1D=22,点E在A1D上.图848(1)证明:AA1⊥平面ABCD;(2)当A1EED为何值时,A1B∥平面EAC,并求出此时直线A1B与平面4.[2018辽宁五校联考,19]如图849所示,等腰梯形ABCD的底角A等于60°,直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD,∠EDA=90°,且ED=AD=2AB=2AF.图849(1)证明:平面ABE⊥平面EBD;(2)若三棱锥ABDE的外接球的体积为82π3,求三棱锥AB组提升题5.[2017甘肃二诊,19]如图8410,在Rt△ABC中,AB⊥BC,点D,E分别在AB,AC上,AD=2DB,AC=3EC,沿DE将△ADE翻折起来,使得点A到P的位置,满足PB=3DB.图8410(1)证明:DB⊥平面PBC;(2)若PB=BC=3,PC=6,求二面角DPEC的正弦值.6.[2017长春第四次质量监测,19]如图8411,四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,AA1⊥平面ABCD,E为B1D的中点.图8411(1)证明:平面ACE⊥平面ABCD;(2)若二面角DAEC为60°,AA1=AB=1,求三棱锥CADE的体积.7.[2017南昌市三模,19]如图8412,四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形,平面PAB⊥平面ABCD,PB=PC,∠ABC=45°,点E是线段PA上靠近点A的三等分点.图8412(1)求证:AB⊥PC;(2)若△PAB是边长为2的等边三角形,求直线DE与平面PBC所成角的正弦值.答案1.C由正方体的性质,得A1B1⊥BC1,B1C⊥BC1,所以BC1⊥平面A1B1CD,又A1E⊂平面A1B1CD,所以A1E⊥BC1,故选C.2.D由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l,故选D.3.(Ⅰ)因为PA⊥AB,PA⊥BC,且AB∩BC=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥平面ABC.又因为BD⊂平面ABC,所以PA⊥BD.(Ⅱ)因为AB=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC.由(Ⅰ)知,PA⊥BD,且PA∩AC=A,AC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC.又BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(Ⅲ)因为PA∥平面BDE,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BDE=DE,所以PA∥DE.因为D为AC的中点,所以DE=12PA=1,BD=DC=2由(Ⅰ)知,PA⊥平面ABC,所以DE⊥平面ABC.所以三棱锥EBCD的体积V=16BD·DC·DE=14.(1)由题意可得△ABD≌△CBD,从而AD=DC.又△ACD是直角三角形,所以∠ADC=90°.取AC的中点O,连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.又由于△ABC是正三角形,故BO⊥AC.所以∠DOB为二面角DACB的平面角.在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故∠DOB=90°.所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由题意及(1)知,OA,OB,OD两两垂直.以O为坐标原点,OA的方向为x轴正方向,|OA|为单位长,建立如图D845所示的空间直角坐标系Oxyz,则A(1,0,0),B(0,3,0),C(1,0,0),D(0,0,1).图D845由题意知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的12,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的12,即E为DB的中点,得E(0,32,12).故AD=(1,0,1),AC=(2,0,0),AE=(1,3设n=(x,y,z)是平面DAE的法向量,则n即-可取n=(1,33,1)设m是平面AEC的法向量,则m同理可取m=(0,1,3).则cos<n,m>=n·m|由图可知,二面角DAEC为锐角,所以二面角DAEC的余弦值为775.(Ⅰ)由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得AEAD=CFCD,故AC因此EF⊥HD,从而EF⊥D'H.由AB=5,AC=6得DO=BO=AB2-由EF∥AC得OHDO=AEAD=所以OH=1,D'H=DH=3.于是D'H2+OH2=32+12=10=D'O2,故D'H⊥OH.又D'H⊥EF,而OH∩EF=H,所以D'H⊥平面ABCD.(Ⅱ)如图D846,以H为坐标原点,HF的方向为x轴正方向,HD的方向为y轴正方向,HD'的方向为z轴正方向,建立空间直角坐标系H图D846则H(0,0,0),A(3,1,0),B(0,5,0),C(3,1,0),D'(0,0,3),AB=(3,4,0),AC=(6,0,0),AD'=(3,1,3)设m=(x1,y1,z1)是平面ABD'的法向量,则m·AB所以可取m=(4,3,5).设n=(x2,y2,z2)是平面ACD'的法向量,则n·AC所以可取n=(0,3,1).于是cos<m,n>=m·n|m||sin<m,n>=295因此二面角BD'AC的正弦值是2956.(Ⅰ)因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC.由底面ABCD为长方形,可知BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD.因为DE⊂平面PCD,所以BC⊥DE.因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC.而PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.由BC⊥平面PCD,DE⊥平面PBC,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形,即四面体EBCD是一个鳖臑,其四个面的直角分别是∠BCD,∠BCE,∠DEC,∠DEB.(Ⅱ)由已知,知PD是阳马PABCD的高,所以V1=13S长方形ABCD·PD=13BC·CD·由(Ⅰ)知,DE是鳖臑DBCE的高,BC⊥CE,所以V2=13S△BCE·DE=16BC·CE在Rt△PDC中,因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE=CE=22CD于是V1V2=13BC7.(Ⅰ)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.因为CA=CB,所以OC⊥AB.由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C.(Ⅱ)由(Ⅰ)知OC⊥AB,OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两相互垂直.以O为坐标原点,OA的方向为x轴的正方向,|OA|为单位长,建立如图D847所示的空间直角坐标系Oxyz.图D847由题意知A(1,0,0),A1(0,3,0),C(0,0,3),B(1,0,0).则BC=(1,0,3),BB1=AA1=(1,3,0),A1C=设n=(x,y,z)是平面BB1C1C的法向量,则n·BC=0,n·BB1=0故cos<n,A1C>=n·所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为105A组基础题1.B如图D848,对于选项A,取PB的中点O,连接AO,CO.∵在四棱锥PABCD中,△PAB与△PBC是正三角形,平面PAB⊥平面PBC,∴AO⊥PB,CO⊥PB,∵AO∩CO=O,∴PB⊥平面AOC,∵AC⊂平面AOC,∴PB⊥AC,故选项A正确;对于选项B,设AC与BD交于点M,易知M为AC的中点,若PD⊥平面ABCD,则PD⊥BD,由已知条件知点D满足AC⊥BD且位于BM的延长线上,∴点D的位置不确定,∴PD与BD不一定垂直,∴PD⊥平面ABCD不一定成立,故选项B不正确;对于选项C,∵AC⊥PB,AC⊥BD,PB∩BD=B,∴AC⊥平面PBD,∵PD⊂平面PBD,∴AC⊥PD,故选项C正确;对于选项D,∵AC⊥平面PBD,AC⊂平面ABCD,∴平面PBD⊥平面ABCD,故选项D正确.选B.图D8482.①③④根据折叠前AB⊥BE,AD⊥DF可得折叠后AH⊥HE,AH⊥HF,可得AH⊥平面EFH,即②正确;∵过点A只有一条直线与平面EFH垂直,∴①不正确;∵AG⊥EF,AH⊥EF,∴EF⊥平面HAG,∴平面HAG⊥平面AEF,过H作直线垂直于平面AEF,该直线一定在平面HAG内,∴③不正确;∵HG不垂直AG,∴HG⊥平面AEF不正确,④不正确,综上,说法错误的是①③④.3.(1)因为四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,所以AB=AD=AC=2,在△AA1B中,由AA12+AB2=A1B2,知AA1⊥同理AA1⊥AD,又AB∩AD=A,所以AA1⊥平面ABCD.当A1EED=1时,A1B∥平面EAC.证明如下:如图D849,连接BD交AC图D849当A1EED=1,即点E为A1D的中点时,连接OE,则OE∥A1B,又A1B⊄平面EAC,所以A1B直线A1B与平面EAC之间的距离等于点A1到平面EAC的距离,因为E为A1D的中点,所以点A1到平面EAC的距离等于点D到平面EAC的距离,VDEAC=VEACD,设AD的中点为F,连接EF,则EF∥AA1,且EF=1,所以EF⊥平面ACD,又△ACD为边长为2的等边三角形,所以可求得S△ACD=3,所以VEACD=13×1×3=3又AE=2,AC=2,CE=EF2+CF2=2,所以S△EAC=72,所以13S△EAC·d=33(d表示点D到平面EAC的距离),解得d=2214.(1)∵平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,ED⊥AD,ED⊂平面ADEF,∴ED⊥平面ABCD,∵AB⊂平面ABCD,∴AB⊥ED,设AD=2a,则AB=a,又∠BAD=60°,∴AB⊥BD.又BD∩ED=D,BD⊂平面EBD,ED⊂平面EBD,∴AB⊥平面EBD,又AB⊂平面ABE,∴平面ABE⊥平面EBD.(2)由(1)得AD⊥DE,AB⊥BE,∴三棱锥ABDE的外接球的球心为线段AE的中点.∴43·π·(AE2)3=82π3,解得AE=22∴VABEF=VBAEF=13×12×1×2×32B组提升题5.(1)在Rt△ABC中,设AB=3,∵AD=2DB,PB=3DB,∴PD=AD=2,DB=1,PB=3,∴PD2=DB2+PB2,∴DB⊥PB.在Rt△ABC中,AB⊥BC,∵PB∩BC=B,PB⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,∴DB⊥平面PBC.(2)∵PB=BC=3,PC=6,∴PB⊥BC.由(1)知,DB⊥平面PBC,以B为坐标原点,建立如图D8410所示的平面直角坐标系Bxyz,图D8410则P(0,0,3),D(1,0,0),C(0,3,0),E(1,233,0),DP=(1,0,3),DE=(0,2设m=(x,y,z)是平面PDE的法向量,则m即-可取m=(3,0,1).同理,可知平面PEC的一个法向量n=(3,3,3).则|cos<m,n>|=|m·n设二面角DPEC的平面角为θ,由图可知θ为钝角,即cosθ=217∴sinθ=277,即二面角DPEC的正弦值为6.(1)连接BD,设AC与BD的交点为F,连接EF,因为E为B1D的中点,F为BD的中点,所以EF∥BB1,所以EF⊥平面ABCD,因为EF⊂平面ACE,所以平面ACE⊥平面ABCD.(2)由于四边形ABCD为菱形,所以以F为坐标原点,以FC,FD,FE的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角