举一反三系列高考高中数学同步及复习资料人教A版必修1专题5.7 三角函数的图象与性质-重难点题型精讲（含答案及解析）

专题5.7三角函数的图象与性质-重难点题型精讲1．正弦函数与余弦函数的图象(1)正弦函数的图象①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示.

②五点法观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”.(2)余弦函数的图象

①图象变换法作余弦函数的图象

由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示.②五点法作余弦函数的图象

类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2]上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象.(3)正弦曲线、余弦曲线

正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.2．正弦函数与余弦函数的性质(1)周期函数①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.(2)正弦函数与余弦函数的性质正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：3．正弦型函数及余弦型函数的性质函数和的性质4．正切函数的性质与图象(1)正切函数的图象及性质(2)三点两线法作正切曲线的简图类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点(-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-,)上的简图.5．余切函数的图象及性质正切函数的图象及性质：=，即将的图象先向右平移个单位长度，再以x轴为对称轴上下翻折，可得的图象.余切函数的图象与性质如下表：【题型1正、余弦函数图象的应用】【方法点拨】正、余弦函数图象的应用主要有：函数图象的识别问题、解三角不等式、利用图象解决与函数零点或图象交点个数有关的问题；需要结合具体条件，根据正、余弦函数的图象及性质进行求解.【例1】（2022·上海高一期中）函数y=10sinx与函数y=x的图像的交点个数是（A．3 B．6 C．7 D．9【变式1-1】（2022·湖南·高三开学考试）与图中曲线对应的函数可能是（

）A．y=|sinx| C．y=−|sinx| 【变式1-2】（2021·江苏·高一课时练习）从函数y=cosx,x∈[0,2π)的图象来看，当x∈[0,2π)时，对于cosx=−32A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式1-3】（2021·全国·高一专题练习）在x∈0,2π上，满足cosx>sinx的A．π4,5π4 B．0,π4【题型2定义域、值域与最值问题】【方法点拨】求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助正弦函数的有界性、单调性求解；(2)转化为关于的二次函数求解.注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期性.【例2】（2022·全国·高一课时练习）函数f(x)=sin(2x+π6)A．1，-1 B．12，−12 C．1，1【变式2-1】（2022·甘肃·高二开学考试）函数f(x)=tanx+πA．x|x≠kπ+πC．x|x≠kπ−π【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）函数fx=sin(2x+πA．0,1 B．−C．−32,1 【变式2-3】（2022·湖南高三阶段练习）奇函数f(x)=cos(ωx+φ),(ω>0,φ∈(0,π))在区间[−π3,A．[2,6) B．[2,92) C．[【题型3单调性问题】【方法点拨】单调性问题主要有：函数的单调区间的求解、比较函数值的大小；结合具体条件，根据三角函数的图象与性质进行求解即可.【例3】（2022·广东广州·高二期中）下列区间中，函数fx=2sinA．π,10π9 B．2π3,π【变式3-1】（2022·内蒙古·高三阶段练习（文））已知函数fx=1+2sinωxω>0，若fx在A．0,12 B．0,2 C．9,10 D．0,2【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）函数fx=tanA．2k−32,2k+12，k∈C．k−32,k+12，k∈【变式3-3】（2022·广西南宁·高三阶段练习（文））若函数fx=2cosωx+π4A．1 B．114 C．113 【题型4奇偶性与对称性问题】【方法点拨】掌握正弦、余弦、正切函数的奇偶性和对称性相关知识，结合具体题目，灵活求解.【例4】（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，偶函数是（

）A．fx=sinC．fx=tan【变式4-1】（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数fx=2sinx+A．−1 B．1 C．1或-1 D．2【变式4-2】（2023·北京市高三期中）函数f（x）的图象是中心对称图形，如果它的一个对称中心是（π2，0），那么f（x）的解析式可以是（

A．sinx B．cosx C．sinx+1 D．【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）设函数fx=2cos2x+φ的图象关于点5πA．7π6 B．5π6 C．【题型5三角函数的周期性】【方法点拨】证明一个函数是否为周期函数或求函数周期的大小常用以下方法：(1)定义法：即对定义域内的每一个x值，看是否存在非零常数T使f(x+T)=f(x)成立，若成立，则函数是周期函数且T是它的一个周期.(2)公式法：利用三角函数的周期公式来求解.(3)图象法：画出函数的图象，通过图象直观判断即可.【例5】在函数y=sin2x,y=sinx,y=cosA．y=sin2x B．y=sinx C．【变式5-1】（2022·河南安阳·高三期中（文））已知函数fx=sinωx−πA．f2<f0C．f−2<f0【变式5-2】（2020·福建省高三阶段练习）给出下列函数：①y=cos2x；②y=cosx；③y=其中最小正周期为π的有（

）A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③【变式5-3】（2022·河南省高一阶段练习）下列四个函数中，在区间π2,π上单调递增，且最小正周期为π的是（A．y=−sin2x B．y=cosx C．【题型6三角函数的图象与性质的综合应用】【方法点拨】解决正(余)弦型函数的图象与性质的综合应用问题的思路：1.熟练掌握函数或的图象，利用基本函数法得到相应的函数性质，然后利用性质解题.2.直接作出函数图象，利用图象形象直观地分析并解决问题.【例6】（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数fx=2sin(1)求函数fx(2)若函数gx=fx−m在【变式6-1】（2022·湖南·高二阶段练习）已知函数fx=sinωx+φ（ω>0，(1)若fx的最小正周期为2π，求(2)若x=−π4是fx的零点，是否存在实数ω，使得fx在【变式6-2】（2022·湖北·高三阶段练习）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤(1)若fx的最小正周期为2π，求f(2)若∀x∈R，fx+π4=fπ4−x，是否存在实数【变式6-3】（2022·湖北·高三阶段练习）已知函数fx=Acosωx+φ+3(A>0,ω>0,0<φ<π)(1)求fx(2)将曲线y=fx向左平移π12个单位长度，得到曲线专题5.7三角函数的图象与性质-重难点题型精讲1．正弦函数与余弦函数的图象(1)正弦函数的图象①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示.

②五点法观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”.(2)余弦函数的图象

①图象变换法作余弦函数的图象

由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示.②五点法作余弦函数的图象

类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2]上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象.(3)正弦曲线、余弦曲线

正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.2．正弦函数与余弦函数的性质(1)周期函数①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.(2)正弦函数与余弦函数的性质正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：3．正弦型函数及余弦型函数的性质函数和的性质4．正切函数的性质与图象(1)正切函数的图象及性质(2)三点两线法作正切曲线的简图类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点(-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-,)上的简图.5．余切函数的图象及性质正切函数的图象及性质：=，即将的图象先向右平移个单位长度，再以x轴为对称轴上下翻折，可得的图象.余切函数的图象与性质如下表：【题型1正、余弦函数图象的应用】【方法点拨】正、余弦函数图象的应用主要有：函数图象的识别问题、解三角不等式、利用图象解决与函数零点或图象交点个数有关的问题；需要结合具体条件，根据正、余弦函数的图象及性质进行求解.【例1】（2022·上海高一期中）函数y=10sinx与函数y=x的图像的交点个数是（A．3 B．6 C．7 D．9【解题思路】作出函数y=10sinx和【解答过程】y=10sinx的最小正周期是2π，y=x∈[−10,10]时，x∈[−10,10]，作出函数y=10sinx和y=x的图象，只要观察故选：C．【变式1-1】（2022·湖南·高三开学考试）与图中曲线对应的函数可能是（

）A．y=|sinx| C．y=−|sinx| 【解题思路】判断各选项中函数在区间0,π或π,2π上的函数值符号以及奇偶性，可得出合适的选项.【解答过程】对于A选项，当0<x<π时，y=sin对于B选项，当0<x<π时，0<x<π，对于C选项，当π<x<2π时，y=−sin对于D选项，令fx=−sinf−x=−sin当0<x<π时，fx故选：D.【变式1-2】（2021·江苏·高一课时练习）从函数y=cosx,x∈[0,2π)的图象来看，当x∈[0,2π)时，对于cosx=−32A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解题思路】画出y=cosx,x∈[0,2π)和【解答过程】先画出f(x)=cosx，x∈[0,2π)的图象，即A与再画出g(x)=−3由图象可知它们有2个交点B、C，所以当x∈[0,2π)时，cosx=−32故选：C.【变式1-3】（2021·全国·高一专题练习）在x∈0,2π上，满足cosx>sinx的A．π4,5π4 B．0,π4【解题思路】作出y=sinx和y=cos【解答过程】作出y=sinx和y=cos根据函数图象可得满足cosx>sinx的x故选：C.【题型2定义域、值域与最值问题】【方法点拨】求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助正弦函数的有界性、单调性求解；(2)转化为关于的二次函数求解.注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期性.【例2】（2022·全国·高一课时练习）函数f(x)=sin(2x+π6)A．1，-1 B．12，−12 C．1，1【解题思路】利用正弦型函数的性质求区间最值即可.【解答过程】由题设，2x+π6∈[所以f(x)最大值和最小值分别为1，−1故选：D.【变式2-1】（2022·甘肃·高二开学考试）函数f(x)=tanx+πA．x|x≠kπ+πC．x|x≠kπ−π【解题思路】根据正切函数的定义域可得结果.【解答过程】因为x+π4≠k故f(x)的定义域为x|x≠kπ故选：A.【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）函数fx=sin(2x+πA．0,1 B．−C．−32,1 【解题思路】根据正弦型函数的图像和单调性即可求解.【解答过程】当x∈−π3,π3时，2x+π3∈−π3,π，当故值域为−3故选：C.【变式2-3】（2022·湖南高三阶段练习）奇函数f(x)=cos(ωx+φ),(ω>0,φ∈(0,π))在区间[−π3,A．[2,6) B．[2,92) C．[【解题思路】由f(x)为奇函数且φ∈(0,π)得φ=π2，由已知有【解答过程】由f(x)为奇函数，则φ=kπ+π2，k∈Z，又φ∈(0,π)所以f(x)=−sinωx，在x∈[−π3,当0<ωπ4<π2当π2≤ωπ4<当−π2<−综上，ω的取值范围是[2,9故选：B.【题型3单调性问题】【方法点拨】单调性问题主要有：函数的单调区间的求解、比较函数值的大小；结合具体条件，根据三角函数的图象与性质进行求解即可.【例3】（2022·广东广州·高二期中）下列区间中，函数fx=2sinA．π,10π9 B．2π3,π【解题思路】利用代入检验的方式，分别得到3x−π【解答过程】对于A，当x∈π,10π9时，对于B，当x∈2π3,π时，对于C，当x∈2π9,2π3对于D，当x∈π9,π2故选：A.【变式3-1】（2022·内蒙古·高三阶段练习（文））已知函数fx=1+2sinωxω>0，若fx在A．0,12 B．0,2 C．9,10 D．0,2【解题思路】由2kπ−π2≤ωx≤2kπ+π2k∈Z【解答过程】令2kπ−π2≤ωx≤2kπ+故2kπω−π2ω∵ω>0，∴k＝0时，0<ω≤2；k＝1时，9≤ω≤10；k≥2时，∵12k−3>8k+2，故k≥2不符合题意．综上所述，ω∈0,2故选：D．【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）函数fx=tanA．2k−32,2k+12，k∈C．k−32,k+12，k∈【解题思路】利用正切函数的单调递增区间，可令−π2+k【解答过程】根据正切函数的单调性可得，欲求fx令−π2+kπ<π2所以函数fx的单调递增区间为2k−32故选：A.【变式3-3】（2022·广西南宁·高三阶段练习（文））若函数fx=2cosωx+π4A．1 B．114 C．113 【解题思路】根据题意得3π4-π2=π4≤12T=πω，即0<【解答过程】因为函数f(x)=2cos所以3π4-所以x因为y=cosx的单调递减区间为所以π2ω+由于-12+4所以当k=1时，得ω的最大区间：7故ω的最大值是113故选：C.【题型4奇偶性与对称性问题】【方法点拨】掌握正弦、余弦、正切函数的奇偶性和对称性相关知识，结合具体题目，灵活求解.【例4】（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，偶函数是（

）A．fx=sinC．fx=tan【解题思路】根据诱导公式化简函数解析式，再根据正弦、余弦、正切函数的奇偶性可得答案.【解答过程】对于A，f(x)=sin对于B，f(x)=cos对于C，fx=tan对于D，fx=sin故选：D.【变式4-1】（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数fx=2sinx+A．−1 B．1 C．1或-1 D．2【解题思路】由函数为偶函数得到π4+φ=π【解答过程】由函数fx=2sinx+π4tanφ故选：B.【变式4-2】（2023·北京市高三期中）函数f（x）的图象是中心对称图形，如果它的一个对称中心是（π2，0），那么f（x）的解析式可以是（

A．sinx B．cosx C．sinx+1 D．【解题思路】判断各选项中函数是否有对称中心(π【解答过程】四个选项中函数都是连续函数，x=π由余弦函数性质知，B正确．故选：B．【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）设函数fx=2cos2x+φ的图象关于点5πA．7π6 B．5π6 C．【解题思路】利用5π6,0为对称中心，列出方程，求出φ=−【解答过程】由题意得：2×5π6解得：φ=−7π6+k所以φ=−7π当k=1时，φ取得最小值为π6故选：D.【题型5三角函数的周期性】【方法点拨】证明一个函数是否为周期函数或求函数周期的大小常用以下方法：(1)定义法：即对定义域内的每一个x值，看是否存在非零常数T使f(x+T)=f(x)成立，若成立，则函数是周期函数且T是它的一个周期.(2)公式法：利用三角函数的周期公式来求解.(3)图象法：画出函数的图象，通过图象直观判断即可.【例5】在函数y=sin2x,y=sinx,y=cosA．y=sin2x B．y=sinx C．【解题思路】根据正余弦、正切函数的性质求各函数的最小正周期即可.【解答过程】由正弦函数性质，y=sin2x的最小正周期为2π2=由余弦函数性质，y=cosx的最小正周期为由正切函数性质，y=tanx2综上，最小正周期为π的函数是y=sin故选：A.【变式5-1】（2022·河南安阳·高三期中（文））已知函数fx=sinωx−πA．f2<f0C．f−2<f0【解题思路】由周期性得ω，再由对称性与单调性判断，【解答过程】因为fx的最小正周期为π，所以ω=2令2x−π3∈[−即fx在[−π12−而−2+π−5π12=24−7π12由三角函数性质得f故选：D.【变式5-2】（2020·福建省高三阶段练习）给出下列函数：①y=cos2x；②y=cosx；③y=其中最小正周期为π的有（

）A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③【解题思路】结合函数周期的定义以及三角函数的图像与性质即可.【解答过程】对于①，y=cos2x=对于②，结合图象，知y=cosx的最小正周期为对于③，y=cos2x+π对于④，y=tan2x−π故选：A．【变式5-3】（2022·河南省高一阶段练习）下列四个函数中，在区间π2,π上单调递增，且最小正周期为π的是（A．y=−sin2x B．y=cosx C．【解题思路】根据正弦、余弦函数的性质计算可得；【解答过程】解：y=−sin2x在区间y=cosx在区间π2y=sinx在区间y=sinx2故选：B.【题型6三角函数的图象与性质的综合应用】【方法点拨】解决正(余)弦型函数的图象与性质的综合应用问题的思路：1.熟练掌握函数或的图象，利用基本函数法得到相应的函数性质，然后利用性质解题.2.直接作出函数图象，利用图象形象直观地分析并解决问题.【例6】（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数fx=2sin(1)求函数fx(2)若函数gx=fx−m在【解题思路】（1）由最小正周期求得ω，函数式化简后由正弦函数的单调性求得结论；（2）转化为求f(x)在[0,π【解答过程】（1）因为函数fx=2sin所以T=2πω=π，由于ω<0所以fx所以函数fx单调递增区间，只需求函数y=2令π2+2kπ⩽2x−π所以函数fx单调递增区间为π（2）因为函数gx=fx所以函数y=fx的图像与直线y=m在0,因为x∈0,故函数fx在区间0,π所以当m∈−2,1时，函数y=fx的图像与直线y=m在所以当m∈−2,1时，函数gx=f【变式6-1】（2022·湖南·高二阶段练习）已知函数fx=sinωx+φ（ω>0，(1)若fx的最小正周期为2π，求(2)若x=−π4是fx的零点，是否存在实数ω，使得fx在【解题思路】（1）由题意，利用正弦函数的周期性和对称性，求出ω和φ，可得函数的解