版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
专题4.7等比数列的概念(重难点题型精讲)1.等比数列的概念2.等比中项如果在a与b中间插入一个数G(G≠0),使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.
若G是a与b的等比中项,则,所以=ab,即G=.3.等比数列的通项公式若等比数列{}的首项为,公比为q,则这个等比数列的通项公式是=(,q≠0).4.等比数列的通项公式与指数函数的关系等比数列{}的通项公式=可以改写为=,当q>0且q≠1时,等比数列{}的图象是指数型函数y=的图象上一些孤立的点.5.等比数列的单调性已知等比数列{}的首项为,公比为q,则
(1)当或时,等比数列{}为递增数列;
(2)当或时,等比数列{}为递减数列;
(3)当q=1时,等比数列{}为常数列(这个常数列中各项均不等于0);
(4)当q<0时,等比数列{}为摆动数列(它所有的奇数项同号,所有的偶数项也同号,但是奇数项与偶数项异号).6.等比数列的性质设{}为等比数列,公比为q,则
(1)若m+n=p+q,m,n,p,q,则.
(2)若m,n,p(m,n,p)成等差数列,则成等比数列.
(3)数列{}(为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列;
数列{}是公比为的等比数列;
数列{}是公比为的等比数列;
若数列{}是公比为q'的等比数列,则数列{}是公比为q·q'的等比数列.
(4)在数列{}中,每隔k(k)项取出一项,按原来的顺序排列,所得数列仍为等比数列,且公比为.
(5)在数列{}中,连续相邻k项的和(或积)构成公比为(或)的等比数列.
(6)若数列{}是各项都为正数的等比数列,则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列.【题型1等比数列的基本量的求解】【方法点拨】根据所给条件,求解等比数列的基本量,即可得解.【例1】(2022·江西·高三阶段练习(文))在等比数列an中,a2+a4=3,A.4 B.±4 C.2 D.±2【变式1-1】(2022·陕西·高二阶段练习)已知等比数列an中,a2=116,aA.±4 B.±22 C.22【变式1-2】(2022·甘肃·高三阶段练习(理))在等比数列an中,a2a4=64,aA.2 B.±2 C.2或43 D.【变式1-3】(2022·云南昆明·高二期末)在等比数列an中,a1+a3=2,A.2 B.3 C.13 D.【题型2等比中项】【方法点拨】根据题目条件,结合等比中项的定义,即可得解.【例2】(2022·黑龙江·高二期中)在等比数列an中,a1=18,q=2,则aA.±4 B.4 C.−2 D.−4【变式2-1】(2022·宁夏·高一期末)若等比数列的首项为4,公比为2,则数列中第2项与第4项的等比中项为(
)A.32 B.−16 C.±32 D.±16【变式2-2】(2022·广东·高二期中)若数列2,a,8是等比数列,则实数a的值为(
)A.4 B.− 4 C.±4【变式2-3】(2023·全国·高三专题练习)数列an为等比数列,a1=1,a5=4,命题p:a3=2,命题q:a3是A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要【题型3等比数列的通项公式】【方法点拨】结合所给数列的递推关系,分析数列之间的规律关系,转化求解即可.【例3】(2022·湖南·高二期中)正项等比数列an满足a1=2,a3=8A.2n−1 B.2n C.2n+1【变式3-1】(2022·陕西·高二阶段练习(文))在各项为正的递增等比数列an中,a1a2aA.2n+1 B.2C.3×2n−1 D.【变式3-2】(2022·全国·高二课时练习)已知在等比数列an中,a3=4,前三项和S3=12A.an=−1C.an=4 D.a【变式3-3】(2022·山西太原·高三期末(理))等比数列{an}中,a3=8,A.an=2C.an=2n或12【题型4等比数列的单调性】【方法点拨】判断单调性的方法:①转化为函数,借助函数的单调性,如基本初等函数的单调性等,研究数列的单调性.②利用定义判断:作差比较法,即作差比较与的大小;作商比较法,即作商比较与的大小,从而判断出数列{}的单调性.【例4】(2022·陕西·高二期中(理))数列an是等比数列,首项为a1,公比为q,则a1q−1<0A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【变式4-1】(2022·辽宁·高二期中)设等比数列an的首项为a1,公比为q,则anA.a1>0,q>1 B.aC.a1lgq>0【变式4-2】(2022·河南·高二阶段练习(理))已知等比数列{an}的公比为q.若{anA.q<−1 B.−1<q<0 C.0<q<1 D.q>1【变式4-3】(2022·安徽宿州·高二期中)已知等比数列an,下列选项能判断an为递增数列的是(A.a1>0,0<q<1 B.aC.a1<0,q=1 D.a【题型5等比数列的判定与证明】【方法点拨】只有定义法、递推法(等比中项法)可用于证明等比数列,通项公式法与前n项和公式法只能用于小题中等比数列的判定;在用定义法与递推法(等比中项法)证明等比数列时要注意≠0.【例5】(2022·湖南省高二期中)在数列an中,a1=2(1)求证:an(2)求数列an【变式5-1】(2022·全国·高三专题练习)已知数列an满足a1=1,an+1【变式5-2】(2022·福建省高三阶段练习)已知数列an满足an+1=12(1)求证:数列bn(2)若cn=−nb【变式5-3】(2022·全国·高三专题练习)在数列{an}中,已知各项都为正数的数列{(1)证明数列{a(2)若a1=15,【题型6等比数列性质的应用】【方法点拨】对于等比数列的运算问题,可观察已知项和待求项的序号之间的关系,利用等比数列的性质进行求解,这样可以减少运算量,提高运算速度.【例6】(2021·广西·高二阶段练习)在等比数列{an}中,已知a3aA.4 B.6 C.8 D.10【变式6-1】(2022·全国·高三专题练习)己知在等比数列an中,a2a3aA.−2 B.±2 C.2 D.±【变式6-2】(2022·吉林白山·高二期末)已知等比数列{an}的公比q为整数,且a1+a4A.2 B.3 C.-2 D.-3【变式6-3】(2020·北京高二期中)等比数列{an}中,a1•a2•a3=﹣26,a17•a18•a19=﹣254,则a9•a10•a11的值为()A.﹣210 B.±210 C.﹣230 D.±230专题4.7等比数列的概念(重难点题型精讲)1.等比数列的概念2.等比中项如果在a与b中间插入一个数G(G≠0),使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.
若G是a与b的等比中项,则,所以=ab,即G=.3.等比数列的通项公式若等比数列{}的首项为,公比为q,则这个等比数列的通项公式是=(,q≠0).4.等比数列的通项公式与指数函数的关系等比数列{}的通项公式=可以改写为=,当q>0且q≠1时,等比数列{}的图象是指数型函数y=的图象上一些孤立的点.5.等比数列的单调性已知等比数列{}的首项为,公比为q,则
(1)当或时,等比数列{}为递增数列;
(2)当或时,等比数列{}为递减数列;
(3)当q=1时,等比数列{}为常数列(这个常数列中各项均不等于0);
(4)当q<0时,等比数列{}为摆动数列(它所有的奇数项同号,所有的偶数项也同号,但是奇数项与偶数项异号).6.等比数列的性质设{}为等比数列,公比为q,则
(1)若m+n=p+q,m,n,p,q,则.
(2)若m,n,p(m,n,p)成等差数列,则成等比数列.
(3)数列{}(为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列;
数列{}是公比为的等比数列;
数列{}是公比为的等比数列;
若数列{}是公比为q'的等比数列,则数列{}是公比为q·q'的等比数列.
(4)在数列{}中,每隔k(k)项取出一项,按原来的顺序排列,所得数列仍为等比数列,且公比为.
(5)在数列{}中,连续相邻k项的和(或积)构成公比为(或)的等比数列.
(6)若数列{}是各项都为正数的等比数列,则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列.【题型1等比数列的基本量的求解】【方法点拨】根据所给条件,求解等比数列的基本量,即可得解.【例1】(2022·江西·高三阶段练习(文))在等比数列an中,a2+a4=3,A.4 B.±4 C.2 D.±2【解题思路】根据等比数列定义两式相除即可得出公比q.【解答过程】a2+a4=qa1+故选:A.【变式1-1】(2022·陕西·高二阶段练习)已知等比数列an中,a2=116,aA.±4 B.±22 C.22【解题思路】用基本量a1【解答过程】由题意,设等比数列an的首项为a1,公比为由a2=1可得a1q=116a故选:B.【变式1-2】(2022·甘肃·高三阶段练习(理))在等比数列an中,a2a4=64,aA.2 B.±2 C.2或43 D.【解题思路】根据等比数列的定义,结合等比中项,建立方程组,可得答案.【解答过程】设an的公比为q,由a2a4=64a3+a5=40故选:A.【变式1-3】(2022·云南昆明·高二期末)在等比数列an中,a1+a3=2,A.2 B.3 C.13 D.【解题思路】利用a3+a5=a1【解答过程】在等比数列an中,由6=q2所以,a1所以a1故选:D.【题型2等比中项】【方法点拨】根据题目条件,结合等比中项的定义,即可得解.【例2】(2022·黑龙江·高二期中)在等比数列an中,a1=18,q=2,则aA.±4 B.4 C.−2 D.−4【解题思路】先通过等比数列的通项公式计算a4【解答过程】由已知a所以a4与a8的等比中项是故选:A.【变式2-1】(2022·宁夏·高一期末)若等比数列的首项为4,公比为2,则数列中第2项与第4项的等比中项为(
)A.32 B.−16 C.±32 D.±16【解题思路】根据等比数列的首项和公比可得数列中第2项与第4项,再根据等比中项的定义求解即可【解答过程】由题,该等比数列为4,8,16,32...,设第2项与第4项的等比中项为x则x2=8×32=256,故故选:D.【变式2-2】(2022·广东·高二期中)若数列2,a,8是等比数列,则实数a的值为(
)A.4 B.− 4 C.±4【解题思路】由等比中项的性质列方程求得.【解答过程】由已知得a2=2×8=16,∴故选:C.【变式2-3】(2023·全国·高三专题练习)数列an为等比数列,a1=1,a5=4,命题p:a3=2,命题q:a3是A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要【解题思路】根据等比中项的定义结合等比数列的定义判断可得出结论.【解答过程】因为数列an为等比数列,且a1=1,a5=4则a3是a1、a5若a3是a1、a5的等比中项,设an的公比为因为a32=a1因此,p是q的充要条件.故选:A.【题型3等比数列的通项公式】【方法点拨】结合所给数列的递推关系,分析数列之间的规律关系,转化求解即可.【例3】(2022·湖南·高二期中)正项等比数列an满足a1=2,a3=8A.2n−1 B.2n C.2n+1【解题思路】利用等比数列的通项公式先求得公比q,从而求得an【解答过程】因为an是正项等比数列,所以q>0又因为a1=2,a3=8,所以所以an故选:B.【变式3-1】(2022·陕西·高二阶段练习(文))在各项为正的递增等比数列an中,a1a2aA.2n+1 B.2C.3×2n−1 D.【解题思路】首先根据等比数列的通项公式求a1q2【解答过程】数列an为各项为正的递增数列,设公比为q,且q>1∵a∴a∴a∵a∴4即4q2解得:q=2∴a∴a故选:B.【变式3-2】(2022·全国·高二课时练习)已知在等比数列an中,a3=4,前三项和S3=12A.an=−1C.an=4 D.a【解题思路】由a3=4和【解答过程】设等比数列an的公比为qa1q2=4a所以an=4或故选:D.【变式3-3】(2022·山西太原·高三期末(理))等比数列{an}中,a3=8,A.an=2C.an=2n或12【解题思路】由已知,结合等比数列的通项公式可得2q2−5q+2=0【解答过程】令公比为q,由题设有a2所以2q2−5q+2=(2q−1)(q−2)=0,解得q=所以an=a3q故选:C.【题型4等比数列的单调性】【方法点拨】判断单调性的方法:①转化为函数,借助函数的单调性,如基本初等函数的单调性等,研究数列的单调性.②利用定义判断:作差比较法,即作差比较与的大小;作商比较法,即作商比较与的大小,从而判断出数列{}的单调性.【例4】(2022·陕西·高二期中(理))数列an是等比数列,首项为a1,公比为q,则a1q−1<0A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解题思路】由a1(q−1)<0,解得a1【解答过程】由已知a1(q−1)<0,解得a1>0q<1(q≠0)此时数列{a所以a1q−1<0若数列{an}为递减数列,可得a1>0所以a1q−1<0所以“a1q−1<0故选:B.【变式4-1】(2022·辽宁·高二期中)设等比数列an的首项为a1,公比为q,则anA.a1>0,q>1 B.aC.a1lgq>0【解题思路】分析可知q>0,分a1<0、a1【解答过程】因为an=a1qn−1,若①若a1<0,则对任意的n∈N∗,an<0,由②若a1>0,则对任意的n∈N∗,an>0,由所以,an为递增数列的充要条件是a1>0,q>1或a1当a1>0,q>1时,lgq>0当a1<0,0<q<1时,lgq<0因此,数列an为递增数列的充要条件是a故选:C.【变式4-2】(2022·河南·高二阶段练习(理))已知等比数列{an}的公比为q.若{anA.q<−1 B.−1<q<0 C.0<q<1 D.q>1【解题思路】根据题设等比数列的性质,结合等比数列通项公式确定公比q的范围即可.【解答过程】由题意,an=a∴要使{an}当0<q<1时,{a当q>1时,{a故选:C.【变式4-3】(2022·安徽宿州·高二期中)已知等比数列an,下列选项能判断an为递增数列的是(A.a1>0,0<q<1 B.aC.a1<0,q=1 D.a【解题思路】根据指数函数单调性和单调性的性质逐项分析即可.【解答过程】对于A,a1>0,0<q<1,则对于B,a1>0,q<0,则an对于C,a1<0,q=1,则对于D,a1<0,0<q<1,∵a1q<0,y=q故选:D﹒【题型5等比数列的判定与证明】【方法点拨】只有定义法、递推法(等比中项法)可用于证明等比数列,通项公式法与前n项和公式法只能用于小题中等比数列的判定;在用定义法与递推法(等比中项法)证明等比数列时要注意≠0.【例5】(2022·湖南省高二期中)在数列an中,a1=2(1)求证:an(2)求数列an【解题思路】(1)结合等比数列的定义证得结论成立.(2)根据(1)的结论以及等比数列的通项公式求得正确答案.【解答过程】(1)依题意,数列an中,a1=2所以an所以数列an−1是首项为a1(2)由(1)得:数列an−1是首项为a1所以an【变式5-1】(2022·全国·高三专题练习)已知数列an满足a1=1,an+1【解题思路】根据题意即可证明an+1+1=3an+1【解答过程】因为an+1=3a又a1所以数列1+a则an所以an【变式5-2】(2022·福建省高三阶段练习)已知数列an满足an+1=12(1)求证:数列bn(2)若cn=−nb【解题思路】(1)根据等比数列的定义证明;(2)由(1)求得bn后可得cn,利用作商的方法得出c1【解答过程】(1)因为bn+1bn所以bn是首项为1,公比为1(2)由(1)得bn=12当n=1时,cn+1cn当n≥2时,2n>n+1>0,cn+1cn<1,又所以c1=c【变式5-3】(2022·全国·高三专题练习)在数列{an}中,已知各项都为正数的数列{(1)证明数列{a(2)若a1=15,【解题思路】(1)根据等比数列的定义分析即可.(2)由(1)可得{an+an+1【解答过程】(1)各项都为正数的数列{an
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 工厂供电课程设计塑料
- 2024年复合型胶粘剂项目立项申请报告模范
- 2024年良性前列腺增生用药项目提案报告模范
- 2024年有机膦类水处理剂项目申请报告模范
- 2024年氢氧化钴项目规划申请报告模范
- 平卧式婴儿车项目评价分析报告
- 2024年多谱勒天气雷达项目立项申请报告模范
- 2024年保温球阀项目规划申请报告模范
- 工程防洪应急预案
- 河南理工桥梁课程设计
- SY4205-2019石油天然气建设工程施工质量验收规范自动化仪表检验批表格
- 附录:常用液压与气动元件图形符号
- 国家重点研发计划课题任务书模板
- 精益生产评价打分表
- 史上最全的线材基础知识讲解
- 深入理解unity资源与ab包
- 英国文学史名词英文解释
- 水的饱和蒸汽压与温度对应表
- 案件代理人的社区推荐函
- 2021年秋新湘教版五年级上册科学 4.1燃烧 教案
- 我国连锁零售企业物流配送模式选择研究——以美宜佳便利店为例
评论
0/150
提交评论