举一反三系列高二高考数学同步及复习资料人教A版选择性必修2专题4.4 等差数列的概念（重难点题型检测）（含答案及解析）

专题4.4等差数列的概念（重难点题型检测）【人教A版2019选择性必修第二册】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·北京朝阳·高二期末）−2与−8的等差中项是（

）A．−5 B．−4 C．4 D．52．（3分）（2022·陕西·高二期中（理））在等差数列an中，a2=2,a10A．1 B．2 C．3 D．43．（3分）（2022·江西·高三阶段练习（文））已知数列an满足a1=3，an+1=A．80 B．100 C．120 D．1434．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知数列an满足a1=12，aA．12020 B．12021 C．120225．（3分）（2022·全国·高二课时练习）现有下列命题：①若an=a②若an+1−a③若an=bn+c（b、c是常量），则数列其中真命题有（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6．（3分）（2022·全国·高二课时练习）在等差数列-5，−312，-2，−1A．an=3C．an=−5−37．（3分）（2022·贵州·高三期中（文））已知数列an满足：a1=3，当n≥2时，an=A．a2=8 B．数列C．数列an为周期数列 D．8．（3分）（2022·江苏连云港·高二期末）图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME­7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=AA．n B．n C．n+1 D．n+1二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）设x是a与b的等差中项，x2是a2与−b2的等差中项，则a与A．a=−b B．a=3b C．a=b D．a=−3b10．（4分）（2023·全国·高三专题练习）在数列an中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点an,A．数列anB．数列anC．数列an的通项公式为D．数列an的通项公式为11．（4分）（2021·江苏·高二期中）已知等差数列an，下列结论一定正确的是（

A．若a1+a2>0，则a2C．若0<a1<a212．（4分）（2022·山东青岛·高二期中）已知数列an满足：a1=2，an=2−A．aB．对任意n∈N∗，C．不存在正整数p，q，r使ap，ar，D．数列1a三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·海南省高二期中）已知等差数列an中，a2=2，a12=12，则a14．（4分）（2021·北京·高三阶段练习）已知数列an满足an+1−an=3n∈N∗15．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{an}是递增数列，且a1+a2+a16．（4分）（2022·云南玉溪·模拟预测（理））以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．此表由若干个数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和．若每行的第一个数构成有穷数列an，并且得到递推关系为an=2an−1+四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2021·全国·高二课时练习）已知数列an为等差数列，且公差为d（1）若a15=8，a60（2）若a2+a3+18．（6分）（2022·福建·高二期中）（1）已知在递增的等差数列an中，a3a（2）已知数列an中，a1=19．（8分）（2022·上海·高二期中）已知等差数列an中，a1<a2<a(1)求此数列an(2)268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．20．（8分）（2022·江西·高三阶段练习（文））已知数列{an}满足：a(1)求证：{1an(2)是否存在正整数m，使得a2m=2a21．（8分）（2022·上海·高二专题练习）无穷数列{an}满足：a（1）求证：{1（2）若a2021为数列{an22．（8分）（2022·四川省高一期中（理））已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a(1)求数列{a(2)设数列{bn}满足；bn=(an专题4.4等差数列的概念（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·北京朝阳·高二期末）−2与−8的等差中项是（

）A．−5 B．−4 C．4 D．5【解题思路】代入等差中项公式即可解决.【解答过程】−2与−8的等差中项是−2−82故选：A.2．（3分）（2022·陕西·高二期中（理））在等差数列an中，a2=2,a10A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据等差数列的定义，列出方程，解之即可.【解答过程】设an的公差为d，则a1+d=2,故选：B．3．（3分）（2022·江西·高三阶段练习（文））已知数列an满足a1=3，an+1=A．80 B．100 C．120 D．143【解题思路】根据an+1=an+2an【解答过程】解：因为an+1所以an+1+1=a等式两边开方可得：an+1+1=所以数列an+1是以首项为所以an+1=2+(n−1)×1=n+1所以a10故选：C．4．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知数列an满足a1=12，aA．12020 B．12021 C．12022【解题思路】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化，构造等差数列，求出通项公式即可．【解答过程】因为an+1=a又a1=1所以数列1an是首项为2，公差为1的等差数列，所以1an=n+1故选：D．5．（3分）（2022·全国·高二课时练习）现有下列命题：①若an=a②若an+1−a③若an=bn+c（b、c是常量），则数列其中真命题有（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解题思路】由等差数列的定义即可得出结论.【解答过程】由an=an−1+an+1−an=nan=bn+c，an−1=b(n−1)+c=bn+c−b，故选：C.6．（3分）（2022·全国·高二课时练习）在等差数列-5，−312，-2，−1A．an=3C．an=−5−3【解题思路】直接利用公式法求出通项公式即可.【解答过程】因为新的等差数列的公差d=1所以an故选A.7．（3分）（2022·贵州·高三期中（文））已知数列an满足：a1=3，当n≥2时，an=A．a2=8 B．数列C．数列an为周期数列 D．【解题思路】利用数列的递推关系推出an+1=an−1【解答过程】解：由题意得：an即an所以数列an+1是以所以an+1=n+1所以a2函数y=x2+2x，在x>−1故选：C.8．（3分）（2022·江苏连云港·高二期末）图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME­7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=AA．n B．n C．n+1 D．n+1【解题思路】由几何关系得an2=an−12+1【解答过程】由题意知，OA1=所以a1=1，且所以数列an所以an2=1+故选：B．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）设x是a与b的等差中项，x2是a2与−b2的等差中项，则a与A．a=−b B．a=3b C．a=b D．a=−3b【解题思路】利用等差中项求解.【解答过程】由等差中项的定义知x=a+b2，所以a2−b所以a+ba−3b故a=−b或a=3b.故选：AB.10．（4分）（2023·全国·高三专题练习）在数列an中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点an,A．数列anB．数列anC．数列an的通项公式为D．数列an的通项公式为【解题思路】由点在直线上可知数列an是等差数列，由等差数列通项公式可求得an，推导可得【解答过程】∵点an,an−1在直线∴数列an是以a1=∴an=∴an−故选：BD.11．（4分）（2021·江苏·高二期中）已知等差数列an，下列结论一定正确的是（

A．若a1+a2>0，则a2C．若0<a1<a2【解题思路】根据等差数列的定义和通项公式，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.【解答过程】对于A中，由a1+a因为公差d的正负不确定，所以a2对于B中，由a1+a因为公差d的正负不确定，所以a2对于C中，因为0<a1<a2又因为a1+又由a1≠a对于D中，由等差数列的定义知a2故选：CD.12．（4分）（2022·山东青岛·高二期中）已知数列an满足：a1=2，an=2−A．aB．对任意n∈N∗，C．不存在正整数p，q，r使ap，ar，D．数列1a【解题思路】首先判断D，根据数列的递推关系，通过D构造等差数列的定义，即可判断；根据等差数列的通项公式，得到数列an【解答过程】因为an=2−1an−1，（n≥2,n∈即an+1−1=1−1所以1a得1an+1−1所以数列1an−1得anA.a5B.an+1−aC.若存在正整数p，q，r使ap，ar，aq即2+2r=2+1p故选：ABD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·海南省高二期中）已知等差数列an中，a2=2，a12=12，则a【解题思路】用基本量a1,d表示题干条件，求得通项公式，由a5与a【解答过程】由题意，不妨设数列an的首项为a1，公差为又a2=2，故a1+d=2a故an故a5与a11的等差中项为故答案为：8.14．（4分）（2021·北京·高三阶段练习）已知数列an满足an+1−an=3n∈N∗【解题思路】由an+1−an=3，可得数列a【解答过程】由题意，an+1故数列an为等差数列，公差d=3∴a故答案为：10.15．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{an}是递增数列，且a1+a2+a【解题思路】数列{an}是单调递增数列，根据满足a1+a2+a【解答过程】∵等差数列{an}是递增数列，且a1+a2+a3≤3，∴a2≤1,d>0，又∵a7故答案为−4,1116．（4分）（2022·云南玉溪·模拟预测（理））以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．此表由若干个数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和．若每行的第一个数构成有穷数列an，并且得到递推关系为an=2an−1+【解题思路】首先在an的递推关系式两边都除以2n，得到an2n【解答过程】解：∵有穷数列an，递推关系为a∴a∵a1∴an2n是以∴a∴a故答案为：(n+1)×2四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2021·全国·高二课时练习）已知数列an为等差数列，且公差为d（1）若a15=8，a60（2）若a2+a3+【解题思路】（1）由题意，根据等差数列的通项公式建立方程组可求得数列的首项和公差，由此可求得答案；（2）根据等差数列的性质得2a2+【解答过程】解：（1）由题意得a1+14d=8a1+59d=20所以a105（2）由a2+a3+a由a2+a5=17a2a5=52所以公差d为3或−3.18．（6分）（2022·福建·高二期中）（1）已知在递增的等差数列an中，a3a（2）已知数列an中，a1=【解题思路】（1）根据已知条件解方程组可得a3=5,a6=11（2）根据等差数的定义结合已知进行证明.【解答过程】（1）解：由a3a6得a3设数列an的公差为d所以a1+2d=5a所以an（2）证明：因为a1所以1a所以数列1a19．（8分）（2022·上海·高二期中）已知等差数列an中，a1<a2<a(1)求此数列an(2)268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．【解题思路】（1）根据题意得到a3=2，a6=8，再利用等差数列的通项公式列方程，解得（2）令268=2n−4n∈N∗【解答过程】（1）由已知条件得a3=2，又∵an为等差数列，设首项为a1，公差为∴a1+2d=2，a1+5d=8，解得∴an∴数列an的通项公式为a（2）令268=2n−4n∈N∗∴268是此数列的第136项．20．（8分）（2022·江西·高三阶段练习（文））已知数列{an}满足：a(1)求证：{1an(2)是否存在正整数m，使得a2m=2a【解题思路】（1）根据题意整理得1an+1−1an=−2【解答过程】（1）由an+1=an1−2又1a1=1，∴数列{∴1a∴a（2）∵a2m=2a则2m2−6m+3=0∴不存在正整数m，使得a2m21．（8分）（2022·上海·高二专题练习）无穷数列{an}满足：a（1）求证：{1（2）若a2021为数列{an【解题思路】（1）利用递推公式证得1a（2）由于数列{1an+2}是以1为公差的等差数列，所以若1a1+2>0，则数列{【解答过程】（1）因为an+1a所以1====1，故数列{1（2）若1a1+2>0，则数列{1an+2}是递增数列，所以数列{1an+2}无最大项，因此{an}中无最小项，故1a1故a1的取值范围为(−22．（8分）（2022·四川省高一期中（理））已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a(1)求数列{a(2)