2025届高考数学统考二轮复习增分强化练六不等式推理与证明理含解析

PAGE增分强化练(六)一、选择题1．(2024·恩施质检)已知集合A＝{x|x2－2x－15<0}，B＝{x|x≥e}，则A∪B＝()A．[e,5) B．(－∞，－3)∪[e，＋∞)C．(－3，＋∞) D．(5，＋∞)解析：集合A＝{x|x2－2x－15<0}＝(－3,5)，所以A∪B＝(－3，＋∞)．故选C.答案：C2．不等式(－x＋3)(x－1)<0的解集是()A．{x|－1<x<3} B．{x|1<x<3}C．{x|x<－1或x>3} D．{x|x<1或x>3}解析：不等式即：(x－3)(x－1)>0，由二次不等式的解法大于分两边可得不等式的解集为{x|x<1或x>3}．故选D.答案：D3．(2024·宝鸡模拟)下列推理不属于合情推理的是()A．由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电B．半径为r的圆面积S＝πr2，则单位圆面积为S＝πC．由平面三角形的性质推想空间三棱锥的性质D．猜想数列2,4,8，…的通项公式为an＝2n，n∈N＋解析：对于选项A,由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电．是归纳推理，所以属于合情推理，所以该选项是合情推理；对于选项B,半径为r的圆面积S＝πr2，则单位圆面积为S＝π.属于演绎推理，不是合情推理；对于选项C,由平面三角形的性质推想空间三棱锥的性质，属于类比推理，所以是合情推理；对于选项D,猜想数列2,4,8，…的通项公式为an＝2n，n∈N*，是归纳推理，所以是合情推理．故选B.答案：B4．若a，b∈R＋，则下列结论：①eq\f(2ab,a＋b)≤eq\f(a＋b,2)，②eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，③eq\f(b,\r(a))＋eq\f(a,\r(b))≥eq\r(a)＋eq\r(b)，其中正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：①a＞0，b＞0，∴a＋b≥2eq\r(ab)，所以(a＋b)2≥4ab，∴eq\f(2ab,a＋b)≤eq\f(a＋b,2)，∴①正确．②a＞0，b＞0，∴a＋b≥2eq\r(ab)，∴eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，∴②正确．③eq\f(b,\r(a))＋eq\f(a,\r(b))－eq\r(a)－eq\r(b)＝eq\f(a－b\r(a)－\r(b),\r(ab))≥0，故eq\f(b,\r(a))＋eq\f(a,\r(b))≥eq\r(a)＋eq\r(b)，∴③正确．故选D.答案：D5．函数y＝loga(x＋4)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线eq\f(x,m)＋eq\f(y,n)＝－1上，且m＞0，n＞0，则3m＋n的最小值为()A．13 B．16C．11＋6eq\r(2) D．28解析：函数y＝loga(x＋4)－1(a>0，a≠1)的图象恒过A(－3，－1)，由点A在直线eq\f(x,m)＋eq\f(y,n)＝－1上可得，eq\f(－3,m)＋eq\f(－1,n)＝－1，即eq\f(3,m)＋eq\f(1,n)＝1，故3m＋n＝(3m＋n)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,m)＋\f(1,n)))＝10＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)＋\f(m,n)))，因为m>0，n>0，所以eq\f(n,m)＋eq\f(m,n)≥2eq\r(\f(n,m)×\f(m,n))＝2(当且仅当eq\f(n,m)＝eq\f(m,n)，即m＝n时取等号)，故3m＋n＝10＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)＋\f(m,n)))≥10＋3×2＝16，故选B.答案：B6．(2024·宁德质检)已知平面区域Ω1：x2＋y2≤9，Ω2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x＋y≤0，,y＋2≥0，))则点P(x，y)∈Ω1是P(x，y)∈Ω2的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：平面区域Ω1：x2＋y2≤9，表示圆以及内部部分；Ω2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x＋y≤0，,y＋2≥0))的可行域如图三角形区域：则点P(x，y)∈Ω1是P(x，y)∈Ω2的必要不充分条件．故选B.答案：B7．在△ABC中，点D是AC上一点，且eq\o(AC,\s\up8(→))＝4eq\o(AD,\s\up8(→))，P为BD上一点，向量eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))＋μeq\o(AC,\s\up8(→))(λ>0，μ>0)，则eq\f(4,λ)＋eq\f(1,μ)的最小值为()A．16 B．8C．4 D．2解析：由题意可知：eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))＋4μeq\o(AD,\s\up8(→))，其中B，P，D三点共线，由三点共线的充分必要条件可得：λ＋4μ＝1，则：eq\f(4,λ)＋eq\f(1,μ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,λ)＋\f(1,μ)))×(λ＋4μ)＝8＋eq\f(16μ,λ)＋eq\f(λ,μ)≥8＋2eq\r(\f(16μ,λ)×\f(λ,μ))＝16，当且仅当λ＝eq\f(1,2)，μ＝eq\f(1,8)时等号成立，即eq\f(4,λ)＋eq\f(1,μ)的最小值为16.故选A.答案：A8．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不行割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋eq\f(1,x)＝x求得x＝eq\f(1＋\r(5),2)，类似上述过程，则eq\r(3＋\r(3)＋\r(…))()A.eq\f(\r(13)＋1,2) B．3C．6 D．2eq\r(2)解析：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解(舍去负根)，可得要求的式子，令eq\r(3＋\r(3)＋\r(…))＝m(m>0)，则两边平方得，得3＋eq\r(3＋\r(3)＋\r(…))＝m2，即3＋m＝m2，解得m＝eq\f(1＋\r(13),2)，m＝eq\f(1－\r(13),2)(舍去)，故选A.答案：A9．设x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1x－y≥－12x－y≤2))，若目标函数z＝ax＋3y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是()A．(－6，－3) B．(－6,3)C．(0,3) D．(－6,0]解析：作出x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1,x－y≥－1,2x－y≤2))的可行域如图所示：将z＝ax＋3y化成y＝－eq\f(a,3)x＋eq\f(z,3).当－1<－eq\f(a,3)<2时，y＝－eq\f(a,3)x＋eq\f(z,3)仅在点(1,0)处取得最小值，即目标函数z＝ax＋3y仅在点A(1,0)处取得最小值，解得－6<a<3.故选B.答案：B10．若x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2≤0,y≥1x＋y－3≤0))，则z＝|4x＋3y－12|的最小值为()A.eq\f(5,3) B．1C．2D.eq\f(3,5)解析：将目标函数变形为z＝5×eq\f(|4x＋3y－12|,5)，即“目标函数表示可行域内的点到直线4x＋3y－12＝0的距离的5倍”．画出可行域如图所示，由图可知，点A到直线4x＋3y－12＝0的距离最小，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2＝0,x＋y－3＝0))，解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(5,3)))，最短距离为eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)＋\f(15,3)－12)),5)＝eq\f(1,3)，乘以5得eq\f(5,3)，故选A.答案：A11．如图①，一块黄铜板上插着三根宝石针，在其中一根针上从下到上穿好由大到小的若干金片．若根据下面的法则移动这些金片：每次只能移动一片金片；每次移动的金片必需套在某根针上；大片不能叠在小片上面．设移完n片金片总共须要的次数为an，可推得an＋1＝2an＋1.如图②是求移动次数的程序框图模型，则输出的结果是()A．1022 B．1023C．1024 D．1025解析：记n个金属片从2号针移动到3号针最少须要an次；则据算法思想有：S＝1；第一次循环，S＝3；其次次循环，S＝7；第三次循环，S＝15；…，第九次循环S＝1023，S>1000，输出S＝1023，故选B.答案：B12．已知正实数a，b，c满意a2－2ab＋9b2－c＝0，则当eq\f(ab,c)取得最大值时，eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)－eq\f(12,c)的最大值为()A．3 B.eq\f(9,4)C．1 D．0解析：由正实数a，b，c满意a2－2ab＋9b2－c＝0，得eq\f(a2,c)－eq\f(2ab,c)＋eq\f(9b2,c)＝1≥eq\f(4ab,c)，当且仅当eq\f(a2,c)＝eq\f(9b2,c)，即a＝3b时，eq\f(ab,c)取最大值eq\f(1,4)，又因为a2－2ab＋9b2－c＝0，所以此时c＝12b2，所以eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)－eq\f(12,c)＝eq\f(1,b)(2－eq\f(1,b))，最大值为1.答案：C二、填空题13．不等式eq\f(2－x,x＋1)<1的解集是________．解析：由eq\f(2－x,x＋1)<1⇒eq\f(2－x,x＋1)－1<0⇒eq\f(1－2x,x＋1)<0，不等式的解集等价于(1－2x)(x＋1)<0⇔(2x－1)(x＋1)>0，解得x<－1或x>eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>\f(1,2)))))14．(2024·湛江模拟)若实数x，y满意不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－4≤0，,x－y＋m≥0，,y≥0，))且z＝x－2y的最小值为0，则实数m＝________.解析：画出可行域如图阴影部分所示：当z＝x－2y过A时取得最小值，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－4＝0,x－y＋m＝0))，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－m,3)，\f(4＋2m,3)))，则eq\f(4－m,3)－2×eq\f(4＋2m,3)＝0，解m＝－eq\f(4,5).答案：－eq\f(4,5)15．如图所示，在△ABC中，AD＝DB，F在线段CD上，设eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，eq\o(AF,\s\up8(→))＝xa＋yb，则eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值为________．解析：eq\o(AF,\s\up8(→))＝xa＋yb＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))＝2xeq\o(AD,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))，由图可知x，y均为正数．又C，F，D三点共线，则2x＋y＝1，则eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝(2x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝2＋4＋eq\f(y,x)＋eq\f(8x,y)≥6＋4eq\r(2).答案：6＋4eq\r(2)16．(2024·威海模拟)“克拉茨猜想”又称“3n＋1猜想”，是德国数学家