2025版新教材高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.2直线的交点坐标与距离公式学案新人教A版

8.2直线的交点坐标与距离公式必备学问预案自诊学问梳理1.两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括三种状况.

(1)两直线平行①对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2.②当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.(2)两条直线垂直①对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1⊥l2⇔k1k2=-1.②当直线l1,l2中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2.(3)由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1:A1x+B1y+C1=0(A12l2:A2x+B2y+C2=0(A22l1与l2平行的充要条件A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2+B1B2=0l1与l2相交的充要条件A1B2-A2B1≠0l1与l2重合的充要条件A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1=0(或A1C2-A2C1=0)2.两条直线的交点直线l1和l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组A1x相交⇔方程组有;

平行⇔方程组;

重合⇔方程组有.

3.三种距离点点距点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=

点线距点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=

线线距两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=

1.两个充要条件(1)两直线平行或重合的充要条件直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)与直线l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)(2)两直线垂直的充要条件直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)与直线l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)2.六种常见的对称点(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).(6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).3.三种直线系方程(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线系方程为Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).(2)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线系方程为Bx-Ay+n=0(n∈R).(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C考点自诊1.推断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)当直线l1和l2的斜率都存在时,肯定有k1=k2⇒l1∥l2.()(2)若两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积肯定等于-1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.()(4)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0),l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0),若直线l1⊥l2,则A1A(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()2.点P(2,3)到直线l:ax+y-2a=0的距离为d,则d的最大值为()A.3 B.4 C.5 D.73.若直线2ax+y-2=0与直线x-(a+1)y+2=0垂直,则这两条直线的交点坐标为()A.-25,-C.25,-64.(多选)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列说法正确的是()A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0C.直线l过定点(0,1)D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等5.直线l:x=1的倾斜角为;点P(2,5)到直线l的距离为.

关键实力学案突破考点两直线的位置关系(多考向探究)考向1推断两直线的位置关系【例1】(2024天津静海区联考)“a=1”是“直线ax+2y-8=0与直线x+(a+1)y+4=0平行”的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件考向2由两直线的位置关系求参数【例2】(1)(2024安徽芜湖四校联考)若直线(2m-1)x+my+1=0和直线mx+3y+3=0垂直,则实数m的值为()A.1 B.0 C.2 D.-1或0(2)(2024陕西宝鸡中学二模)若直线x+(1+m)y-2=0与直线mx+2y+4=0平行,则实数m的值为()A.1 B.-2 C.1或-2 D.-3考向3由两直线的位置关系求直线方程【例3】经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,且垂直于直线3x+4y-7=0的直线的方程为.

解题心得利用直线方程的一般式推断两直线的平行或垂直时可避开探讨直线斜率不存在的状况,但要留意由A1B2-A2B1=0不能推出两直线平行.依据两直线平行求参数时,要留意检验求得的参数值是否满意题意.对点训练1(1)求满意下列条件的直线方程.①过点P(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0;②已知A(1,2),B(3,1),线段AB的垂直平分线.(2)已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.①当l1∥l2时,求a的值;②当l1⊥l2时,求a的值.考点与距离有关的问题【例4】(1)(2024广东广州模拟)已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围为.

(2)(2024福建厦门模拟)若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为21313,则c的值是解题心得利用距离公式应留意(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)两平行线间的距离公式要求两条直线方程中x,y的系数分别相等.对点训练2(1)已知A(2,0),B(0,2),若点C在函数y=x2的图象上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为()A.4 B.3 C.2 D.1(2)已知直线l过点P(-1,2),且点A(2,3),B(-4,5)到直线l的距离相等,则直线l的方程为.

考点对称问题(多考向探究)考向1点关于点的对称【例5】过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为.

考向2点关于线的对称【例6】如图,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上,再经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是()A.210 B.6 C.33 D.25考向3线关于线的对称【例7】直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是()A.x-2y+3=0 B.x-2y-3=0C.x+2y+1=0 D.x+2y-1=0解题心得1.中心对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于点对称:若点M(x0,y0)及N(x,y)关于点P(a,b)对称,则由中点坐标公式得x=2a(2)直线关于点对称:①先在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式得到所求直线方程.②先在已知直线上取一点,求出它关于已知点的对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.2.轴对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于直线对称:若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)对称,则由方程组A可得到点P1关于l对称的点P2的坐标.(2)直线关于直线对称:一般转化为点关于直线的对称来解决.对点训练3(1)已知直线l1:2x+y+2=0与l2:4x+by+c=0关于点P(1,0)对称,则b+c=.

(2)设光线l从点A(-4,3)动身,经x轴反射后经过点B0,33,则光线l与x轴交点的坐标为,若该光线l经x轴发生折射,折射角为入射角的一半,则折射光线所在直线的纵截距为(3)已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).①求点A关于直线l的对称点A'的坐标;②求直线m:3x-2y-6=0关于直线l对称的直线m'的方程;③求直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l'的方程.8.2直线的交点坐标与距离公式必备学问·预案自诊学问梳理1.平行、相交、重合2.唯一解无解多数个解3.(|考点自诊1.(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2.A依题意,d=3a2+1.因为a2+1≥1,所以d≤3.3.B依题意,2a·1+1×[-(a+1)]=0,解得a=1.由2x+故这两条直线的交点坐标为25,654.AC对于A,当a=-1时,直线l的方程为x-y+1=0,明显与直线x+y=0垂直,故A正确;对于B,由直线l与直线x-y=0平行,可知a2+a+1=1,解得a=0或a=-1,故B不正确;对于C,当x=0时,y=1,所以直线l过定点(0,1),故C正确;对于D,当a=0时,直线l的方程为x-y+1=0,此时直线l在两坐标轴上的截距分别为-1,1,故D不正确.故选AC.5.π21依题意,直线l与x轴垂直,故直线l的倾斜角为π2,点P(2,5)到直线l的距离d=2-1=关键实力·学案突破例1A设直线l1:ax+2y-8=0,直线l2:x+(a+1)y+4=0.若l1与l2平行,则a(a+1)-2=0,即a2+a-2=0,解得a=1或a=-2.当a=-2时,直线l1的方程为-2x+2y-8=0,即x-y+4=0,直线l2的方程为x-y+4=0,此时两直线重合,故a≠-2.当a=1时,直线l1的方程为x+2y-8=0,直线l2的方程为x+2y+4=0,此时两直线平行.故“a=1”是“直线ax+2y-8=0与直线x+(a+1)y+4=0平行”的充要条件.故选A.例2(1)D(2)A(1)由题意可知m(2m-1)+3m=0,解得m=0或m=-1.故选D.(2)由题意可知2-m(1+m)=0,解得m=-2或m=1.经检验,当m=-2时,两直线重合,不符合题意,舍去;当m=1时,符合题意.故m的值为1.故选A.例34x-3y+9=0(方法1)由2x+3y+1=0,因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,所以所求直线的斜率为43所以所求直线的方程为y-79=43x+53,即(方法2)由垂直关系可设所求直线方程为4x-3y+m=0.由2x+3y将点-53,79的坐标代入4x-3故所求直线的方程为4x-3y+9=0.(方法3)由题意可设所求直线的方程为(2x+3y+1)+λ(x-3y+4)=0,即(2+λ)x+(3-3λ)y+1+4λ=0.因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,所以3(2+λ)+4(3-3λ)=0,解得λ=2.所以所求直线的方程为4x-3y+9=0.对点训练1解(1)①设所求直线方程为x-2y+c=0(c≠3),将P(-1,3)的坐标代入直线方程,得c=7.故所求直线方程为x-2y+7=0.②由已知得线段AB的中点的坐标为2,32,直线AB的斜率kAB=2-11-3所以线段AB的垂直平分线的方程为y-32=2(x-2),即4x-2y-5=0(2)①依题意,a即a2-a-2=0,a(a2②依题意,a+2(a-1)=0,解得a=23.故a的值为2例4(1)[0,10](2)2或-6(1)由题意得,点P到直线的距离为|4由|15-3a|5≤3,即|15-3a|≤15,得0≤a≤10(2)依题意,63=a-2≠c-1,解得a=-4,c≠-2,则直线方程6x+ay+c=0可化为3x-2y+c2=0.又两平行线之间的距离为213对点训练2(1)A(2)x+3y-5=0或x=-1(1)设点C(t,t2).由已知得直线AB的方程为x+y-2=0,|AB|=22,则点C到直线AB的距离d=|t因为△ABC的面积为2,所以12×22·即|t2+t-2|=2,即t2+t-2=2或t2+t-2=-2.解方程可知t的值有4个,故满意题意的点C有4个.(2)(方法1)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知|2k-3+k+2|k2+1=|-4k-5+k+2|k2+1,即|3k-1|=|-3k-3|,解得k=-13.所以直线l的方程为x+3y-5=0.当直线(方法2)当AB∥l时,直线l的斜率k=kAB=-13,则直线l的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.当直线l过AB的中点(-1,4)时,又直线l过点P(-1,2),所以直线l的方程为x=-1.故直线l的方程为x+3y-5=0或x=-例5x+4y-4=0设l1与l的交点为A(a,8-2a),由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,把点B的坐标代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.因为点A(4,0),P(0,1)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0.例6A易得直线AB的方程为x+y=4,则点P关于直线AB的对称点为P1(4,2),点P关于y轴的对称点为P2(-2,0).依题意,光线所经过的路程为P1(4,2)与P2(-2,0)之间的距离,即|P1P2|=(4+2)2+例7A设所求直线上随意一点P(x,y),点P关于直线x-y+2=0的对称点为P'(x0,y0),由x因为点P'(x0,