江苏省靖城中学2025届数学高二上期末经典试题含解析

江苏省靖城中学2025届数学高二上期末经典试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是()A. B.C. D.2．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（）A. B.C. D.3．设命题，，则为（）.A.， B.，C.， D.，4．设,则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．倾斜角为45°，在y轴上的截距为2022的直线方程是（）A. B.C. D.6．在区间内随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是（）A. B.C. D.7．设集合，集合，当有且仅有一个元素时，则r的取值范围为（）A.或 B.或C.或 D.或8．是首项和公差均为3的等差数列，如果，则n等于（）A.671 B.672C.673 D.6749．在中，已知角A，B，C所对边为a，b，c，，，，则（）A. B.C. D.110．青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．如图，是一青花瓷花瓶，其外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的瓶口直径为瓶身最小直径的2倍，花瓶恰好能放入与其等高的正方体包装箱内，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.11．正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，则与平面所成角的余弦值为（）A. B.C. D.12．一质点从出发，做匀速直线运动，每秒的速度为秒后质点所处的位置为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数列______14．设为等差数列的前n项和，若，，则______15．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2+n，则an＝_____16．将全体正整数排成一个三角形数阵（如图）：按照以上排列的规律，第9行从左向右的第2个数为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）物联网(Internetofthings)是一个基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能够被独立寻址的普通物理对象实现互联互通的网络，具有十分广阔的市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：千米）之间的关系为，每月库存货物费（单位：万元）与x之间的关系为：；若在距离车站11.5千米建仓库，则和分别为4万元和23万元.（1）求的值；（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？18．（12分）如图，在四棱雉中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，，，，E为棱BC上的点，且（1）求证：平面PAC；（2）求二面角A-PC-D的正弦值19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P(5，a)为抛物线C上一点，且|PF|＝8（1）求抛物线C的方程；（2）过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过Q(0，﹣3)，求直线l的方程20．（12分）如图1，在中，，，，分别是，边上的中点，将沿折起到的位置，使，如图2（1）求点到平面的距离；（2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为．若存在，求出长；若不存在，请说明理由21．（12分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程（1）中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线；（2）椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线的焦点；（3）经过点抛物线22．（10分）已知圆：，定点，Q为圆上的一动点，点P在半径CQ上，且，设点P的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）过点的直线交曲线E于A，B两点，过点H与AB垂直的直线与x轴交于点N，当取最大值时，求直线AB的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】利用函数的导数，求解函数的极值，推出最大值，然后转化列出不等式组求解的范围即可【详解】，或，∴在单调递减，在单调递增，在单调递减，∴f(x)有极大值，要使f(x)在上有最大值，则极大值3即为该最大值，则，又或，∴，综上，.故选：A.2、C【解析】根据导数的概念可得，再利用导数的几何意义即可求解.【详解】因为，所以，则曲线在点处的切线斜率为，故所求切线的倾斜角为.故选：C3、B【解析】根据全称命题和特称命题互为否定，即可得到结果.【详解】因为命题，，所以为，.故选：B.4、B【解析】,，所以是必要不充分条件，故选B.考点：1.指、对数函数的性质；2.充分条件与必要条件.5、A【解析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合直线斜截式方程进行求解即可.【详解】因为直线的倾斜角为45°，所以该直线的斜率为，又因为该直线在y轴上的截距为2022，所以该直线的方程为：，故选：A6、C【解析】利用几何概型的面积型，确定两数之和小于的区域，进而根据面积比求概率.【详解】由题意知：若两个数分别为，则，如上图示，阴影部分即为，∴两数之和小于的概率.故选：C7、B【解析】由已知得集合M表示以点圆心，以2半径左半圆，与y轴的交点为，集合N表示以点为圆心，以r为半径的圆，当圆C与圆O相外切于点P，有且仅有一个元素时，圆C过点M时，有且有两个元素，当圆C过点N，有且仅有一个元素，由此可求得r的取值范围.【详解】解：由得，所以集合M表示以点圆心，以2半径的左半圆，与y轴的交点为，集合表示以点为圆心，以r为半径的圆，如下图所示，当圆C与圆O相外切于点P时，有且仅有一个元素时，此时，当圆C过点M时，有两个元素，此时，所以，当圆C过点N时，有且仅有一个元素，此时，所以，所以当有且仅有一个元素时，则r的取值范围为或，故选：B.8、D【解析】根据题意，求得数列的通项公式，代入数据，即可得答案.【详解】因为数列为等差数列，所以，令，解得.故选：D9、B【解析】利用正弦定理求解.【详解】在中，由正弦定理得，解得，故选：B.10、C【解析】由题意作出轴截面，最短直径为2a，根据已知条件点（2a，2a）在双曲线上，代入双曲线的标准方程，结合a，b，c的关系可求得离心率e的值【详解】由题意作出轴截面如图：M点是双曲线与截面正方形的交点之一，设双曲线的方程为：最短瓶口直径为A1A2＝2a，则由已知可得M是双曲线上的点，且M（2a，2a）故，整理得4a2＝3b2＝3（c2﹣a2），化简后得，解得故选：C11、C【解析】以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PB与平面PEF所成角的正弦值.【详解】∵正三棱锥的侧面都是直角三角形，E，F分别是AB，BC的中点，∴以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，设平面PEF的法向量，则，取，得，设PB与平面PEF所成角为，则，∴PB与平面PEF所成角的正弦值为.故选：C.12、A【解析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】2秒后质点所处的位置为.故选：A【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，考查了基本知识掌握的情况以及学生的综合素养，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（答案不唯一）【解析】由条件确定该等比数列的首项的可能值，由此确定该数列的通项公式.【详解】设数列的公比为，则，由已知可得，∴，所以，故可取，故满足条件的等比数列的通项公式可能为，故答案为：（答案不唯一）14、36【解析】利用等差数列前n项和的性质进行求解即可.【详解】因为为等差数列的前n项和，所以也成等差数列，即成等差数列，所以，故答案为：15、2n【解析】根据数列的通项与前n项和的关系求解即可.【详解】由题,当时,,当时.当时也满足.故.故答案为：【点睛】本题主要考查了根据数列的通项与前n项和的关系求通项公式的方法,属于基础题.16、38【解析】根据数阵的规律求得正确答案.【详解】数阵第行有个数，第行有个数，并且数字从开始，每次递增.前行共有个数，第行从左向右的最后一个数是，所以第行从左向右的第个数为.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元【解析】（1）将题中数据代入解析式可求；（2）利用基本不等式可求解.【小问1详解】由题意，，当时，，，解得.【小问2详解】设两项费用之和为（单位：万元），则.因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，解得.所以这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元.18、（1）证明见解析（2）【解析】建立空间直角坐标系，计算出相关点的坐标，进而计算出相关向量的坐标；（1）计算向量的数量积，，根据数量积结果为零，证明线线垂直，进而证明线面垂直2；（2）求出平面PCD的法向量和平面PAC的法向量，根据向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】证明：因为平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，所以，，又因为，则以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，则，，所以，，又，平面PAC，平面PAC，∴平面PAC；【小问2详解】解：由（1）可知平面PAC，可作为平面PAC的法向量，设平面PCD的法向量，因为，所以，即，不妨设，得，又由图示知二面角为锐角，所以二面角的正弦值为19、（1）；（2）2x﹣y﹣6＝0﹒【解析】(1)根据抛物线焦半径公式构造方程求得，从而得到结果(2)设直线，代入抛物线方程可得韦达定理的形式，根据可构造方程求得，从而得到直线方程【小问1详解】由抛物线定义可知：，解得：，抛物线的方程为：【小问2详解】由抛物线方程知：，设直线，，，，，联立方程，得：，，，以线段为直径的圆过点，，，解得：，直线的方程为：，即20、（1）（2）存在，【解析】（1）根据题意分别由已知条件计算出的面积和的面积，利用求解，（2）如图建立空间直角坐标系，设，然后求出平面与平面的法向量，利用向量平夹角公式列方程可求得结果小问1详解】在中，，因为，分别是，边上的中点，所以∥，，所以，所以，因为，所以平面，所以平面，因为平面，所以，所以，因为平面，平面，所以平面平面，因为，所以，因为，所以是等边三角形，取的中点，连接，则，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，中，，所以边上的高为，所以，在梯形中，，设点到平面的距离为，因，所以，所以，得，所以点到平面的距离为【小问2详解】由（1）可知平面，，所以以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则,设，则，设平面的法向量为，则，令，则，设平面的法向量为，则，令，则，则平面与平面夹角的余弦值为，两边平方得，，解得或（舍去），所以，所以21、（1）（2）（3）或【解析】（1）由已知求得，再由等轴双曲线的性质可求得则，由此可求得双曲线的方程；（2）由已知求得抛物线的焦点为，得出椭圆的，再根据椭圆的离心率求得，由此可得出椭圆的方程；（3）设抛物线的标准方程为：或，代入点求解即可.【小问1详解】解：对于直线，令，得，所以，则，所以，所以中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程为；【小问2详解】解：由得抛物线的焦点为，所以对于椭圆，，又椭圆的离心率为，所以，解得，所以椭圆的方程；【小问3详解】解：因为点在第三象限，所以满足条件的抛物线的标准方程可以是：或，代入点得或，解得或，所以经过点的抛物线的方程为或22、（1）（2）或【解析】(1)结合已知条件可得到点P在线段QF的垂直平分线上，然后利