江苏省南京市玄武区2025届高二数学第一学期期末监测试题含解析

江苏省南京市玄武区2025届高二数学第一学期期末监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数，则（）A. B.C.0 D.12．与直线关于轴对称的直线的方程为（）A. B.C. D.3．已知数列满足，，令，若对于任意不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A. B.C. D.4．已知直线l和两个不同的平面，，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．直线的倾斜角大小为（）A. B.C. D.6．已知直线，当变化时，所有直线都恒过点（）A.B.C.D.7．在正方体的12条棱中任选3条，其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为（）A. B.C. D.8．内角、、的对边分别为、、，若，，，则（）A. B.C. D.9．已知命题p：函数在（0，1）内恰有一个零点；命题q：函数在上是减函数，若p且为真命题，则实数的取值范围是A. B.2C.1<≤2 D.≤l或>210．双曲线的左、右焦点分别为、，点P在双曲线右支上，，，则C的离心率为（）A. B.2C. D.11．某学校高二级选择“史政地”“史政生”和“史地生”组合的同学人数分别为240，120和60．现采用分层抽样的方法选出14位同学进行一项调查研究，则“史政生”组合中选出的人数为（）A.8 B.6C.4 D.312．观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在报名的3名男教师和3名女教师中，选取3人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法数为__________.(结果用数值表示)14．圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面中心，为的中点，动点在圆锥底面内（包括圆周）．若，则点形成的轨迹的长度为______15．已知函数，则________16．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆.人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论：①曲线方程为；②曲线上存在点，使得到点的距离为；③曲线上存在点，使得到点的距离大于到直线的距离；④曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为.其中所有正确结论的序号是___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知集合，．若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围18．（12分）在中，，，请再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，然后解答下列问题.（1）求角的大小；（2）求的面积.条件①：；条件②：.19．（12分）已知集合，设（1）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；（2）若¬q是¬p的必要不充分条件，求实数a的取值范围20．（12分）已知数列是公比为正数的等比数列，且，.（1）求数列通项公式；（2）若，求数列的前项和.21．（12分）如图，四棱锥中，平面，∥,，，为上一点，平面（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）若，求点D到平面EMC的距离22．（10分）如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，且，，三角形为等腰直角三角形，且，.（1）若点为棱的中点，证明：平面平面；（2）若平面平面，点为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】构造函数，再用积的求导法则求导计算得解.【详解】令，则，求导得：，所以.故选：A2、D【解析】点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可求解.【详解】设(x，y)是与直线关于轴对称的直线上任意一点，则(x，－y)在上，故，∴与直线关于轴对称的直线的方程为.故选：D.3、D【解析】根据递推关系，利用裂项相消法，累加法求出，可得，原不等式转化为恒成立求解即可.【详解】，，，由累加法可得，又，，符合上式，，，对于任意不等式恒成立，则，解得.故选：D4、D【解析】根据直线、平面的位置关系，应用定义法判断两个条件之间的充分、必要性.【详解】当，时，直线l可与平行、相交，故不一定成立，即充分性不成立；当，时，直线l可在平面内，故不一定成立，即必要性不成立.故选：D.5、B【解析】将直线方程变为斜截式，根据斜率与倾斜角关系可直接求解.【详解】由直线可得，所以，设倾斜角为，则因为所以故选：B6、D【解析】将直线方程整理为，从而可得直线所过的定点.【详解】可化为，∴直线过定点，故选：D.7、B【解析】根据正方体的性质确定3条棱两两互为异面直线的情况数，结合组合数及古典概率的求法，求任选3条其中任意2条所在的直线是异面直线的概率.【详解】如下图，正方体中如：中任意2条所在的直线都是异面直线，∴这样的3条直线共有8种情况，∴任选3条，其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为.故选：B.8、C【解析】利用正弦定理可求得边的长.【详解】由正弦定理得.故选：C.9、C【解析】命题p为真时：；命题q为真时：，因为p且为真命题，所以命题p为真，命题q为假，即，选C考点：命题真假10、C【解析】由，所以为直角三角形，根据双曲线的定义结合勾股定理可得答案.【详解】由，所以为直角三角形.,根据双曲线的定义可得所以，即，即，所以故选：C11、C【解析】根据题意求得抽样比，再求“史政生”组合中抽取的人数即可.【详解】根据题意，分层抽样的抽样比为，故从“史政生”组合120中，抽取的人数时人.故选：.12、D【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为是偶函数，则是奇函数，所以，应选答案D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、18【解析】由题设，选取方式有两男教师一女教师或两女教师一男教师，应用组合数求出选取方法数.【详解】选取方式有：选两男教师一女教师或选两女教师一男教师，∴不同的选取方法有：种.故答案为：18.14、【解析】建立空间直角坐标系设，，，，于是，，因为，所以，从而，，此为点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为15、.【解析】将代入计算，利用和互为相反数，作差可得，计算可得结果.【详解】解：函数则.，，作差可得：，即，解得：代入此时成立.故答案为：.16、①④【解析】设,根据满足,利用两点间距离公式化简整理，即可判断①是否正确；由①可知，圆上的点到的距离的范围为,进而可判断②是否正确；设，根据题意可知，再根据在曲线上，可得，由此即可判断③是否正确；由椭圆的的定义，可知在椭圆上，再根据椭圆与曲线的位置关系，即可判断④是否正确.【详解】设,因为满足,所以,整理可得：,即,所以①正确；对于②中,由①可知，点在圆的外部,因为到圆心的距离,半径为,所以圆上的点到的距离的范围为,而,所以②不正确；对于③中,假设存在，使得到点的距离大于到直线的距离,又，到直线的距离，所以，化简可得，又，所以，即，故假设不成立，故③不正确；对于④中,假设存在这样的点，使得到点与点的距离之和为，则在以点与点为焦点，实轴长为的椭圆上，即在椭圆上，易知椭圆与曲线有交点，故曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为；所以④正确.故答案为：①④.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】由题设A是的真子集，结合已知集合的描述列不等式求a的范围.【详解】由“”是“”的充分不必要条件，即A是的真子集，又，，所以，可得，则实数a的取值范围为18、（1）条件选择见解析，（2）【解析】（1）选①，利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围，即可求得角的值；选②，利用余弦定理可求出的值，并利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围，即可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的面积.【小问1详解】解：选①，，由余弦定理可得，，所以，.选②，，整理可得，，解得，由余弦定理可得，，所以，.【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得.19、（1）（2）【解析】（1）先解出集合A、B，然后根据p是q的充分不必要条件列出不等式组求解.（2）¬q是¬p的必要不充分条件可知q是p的充分不必要条件，然后求解.【小问1详解】解：由题意得：，p是q的充分不必要条件，所以集合A是集合B的真子集∴，即，所以实数a的取值范围.【小问2详解】¬q是¬p的必要不充分条件p是q的必要不充分条件，即q是p的充分不必要条件集合B是集合A的真子集∴，故实数a的取值范围为20、（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，通过解方程求出公比，即可求解；（2）根据题意，求出，结合组合法求和，即可求解.【小问1详解】根据题意，设公比为，且，∵，，∴，解得或（舍），∴.【小问2详解】根据题意，得，故，因此.21、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）运用线面平行的判定定理证明；（Ⅱ）借助体积相等建立方程求解即可【详解】（Ⅰ）证明：取的中点，连接，因为，所以，又因为平面，所以，所以平面，因为平面，所以∥，面，平面,所以∥平面；（Ⅱ）因为平面，面，所以平面平面，平面平面,过点作直线,则平面，由已知平面，∥,，可得，又，所以为的中点，在中，，在中，，，在中，，由等面积法知，所以，即点D到平面EMC的距离为.考点：直线与平面的位置关系及运用【易错点晴】本题考查的是空间的直线与平面平行的推证问题和点到直线的距离问题．解答时,证明问题务必要依据判定定理,因此线面的平行问题一定要在所给的平面中找出一条直线与这个平面外的直线平行,叙述时一定要交代面外的线和面内的线,这是许多学生容易忽视的问题,也高考阅卷时最容易扣分的地方,因此在表达时一定要引起注意22、（1）证明见解析（2）【解析】（1）先证明，，进而证明平面，即可证明平面，从而证明平面平面.（2）以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系