湖北省随州市曾都区随州一中2025届数学高三上期末综合测试试题含解析

湖北省随州市曾都区随州一中2025届数学高三上期末综合测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知实数满足约束条件，则的最小值为（）A．-5 B．2 C．7 D．112．函数的图象大致为()A． B．C． D．3．的内角的对边分别为，若，则内角（）A． B． C． D．4．A． B． C． D．5．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（）A． B． C． D．6．若，则的虚部是（）A． B． C． D．7．数列满足：，，，为其前n项和，则（）A．0 B．1 C．3 D．48．若复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（）A． B． C． D．10．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（）A． B． C． D．11．已知实数集，集合，集合，则（）A． B． C． D．12．已知函数，其中，若恒成立，则函数的单调递增区间为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是_____.14．若非零向量，满足，，，则______.15．已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是________．16．函数的值域为_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，角、、所对的边分别为、、，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求及的值.18．（12分）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）设直线l与圆C交于A，B两点，，求的值.19．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求的极坐标方程和的直角坐标方程；（Ⅱ）设分别交于两点（与原点不重合），求的最小值.20．（12分）试求曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M，N．21．（12分）已知是抛物线：的焦点，点在上，到轴的距离比小1.（1）求的方程；（2）设直线与交于另一点，为的中点，点在轴上，.若，求直线的斜率.22．（10分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；（Ⅱ）从图中考核成绩满足的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；（Ⅲ）记表示学生的考核成绩在区间的概率，根据以往培训数据，规定当时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据约束条件画出可行域，再将目标函数化成斜截式，找到截距的最小值.【详解】由约束条件，画出可行域如图变为为斜率为-3的一簇平行线，为在轴的截距，最小的时候为过点的时候，解得所以，此时故选A项【点睛】本题考查线性规划求一次相加的目标函数，属于常规题型，是简单题.2、A【解析】

确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项．【详解】时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足．故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．3、C【解析】

由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得．【详解】∵，由正弦定理可得，∴，三角形中，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键．4、A【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．5、B【解析】

由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足可得：P是三角形ABC的重心，根据重心的性质，即可求解．【详解】解：∵M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM＝1∴∴故选B．【点睛】判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：或取得最小值③坐标法：P点坐标是三个顶点坐标的平均数．6、D【解析】

通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：的形式，即可得到复数的虚部.【详解】由题可知，所以的虚部是1.故选：D.【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题.7、D【解析】

用去换中的n，得，相加即可找到数列的周期，再利用计算.【详解】由已知，①，所以②，①+②，得，从而，数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1，2，1，-1，-2，-1，所以，.故选：D.【点睛】本题考查周期数列的应用，在求时，先算出一个周期的和即，再将表示成即可，本题是一道中档题.8、A【解析】

将整理成的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限.【详解】解：，所以所对应的点为在第一象限.故选:A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把当成进行计算.9、A【解析】

在中，设，，，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求，可得，再由已知条件求得，，，考虑建立以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】在中，设，，，，即，即，，，，，，，，即，又，，，则，所以，，解得，.以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、，为线段上的一点，则存在实数使得，，设，，则，，，，，消去得，，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：A.【点睛】本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解是一个单位向量，从而可用、表示，建立、与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由，发现为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值，考查计算能力，属于难题.10、A【解析】

执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案．【详解】由题意，执行上述的程序框图：第1次循环：满足判断条件，；第2次循环：满足判断条件，；第3次循环：满足判断条件，；不满足判断条件，输出计算结果，故选A．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．11、A【解析】

可得集合,求出补集,再求出即可.【详解】由,得,即,所以,所以.故选:A【点睛】本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.12、A【解析】

，从而可得，，再解不等式即可.【详解】由已知，，所以，，由，解得，.故选：A.【点睛】本题考查求正弦型函数的单调区间，涉及到恒成立问题，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

对函数零点问题等价转化，分离参数讨论交点个数，数形结合求解.【详解】由题：函数在区间内有且仅有两个零点，，等价于函数恰有两个公共点，作出大致图象：要有两个交点，即，所以.故答案为：【点睛】此题考查函数零点问题，根据函数零点个数求参数的取值范围，关键在于对函数零点问题恰当变形，等价转化，数形结合求解.14、1【解析】

根据向量的模长公式以及数量积公式，得出，解方程即可得出答案.【详解】，即解得或（舍）故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.15、【解析】

函数恰有4个零点，等价于函数与函数的图象有四个不同的交点，画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】函数恰有4个零点，等价于函数与函数的图象有四个不同的交点，画出函数图象如下图所示：由图象可知：实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想.16、【解析】

利用换元法，得到，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得到函数的值域，得到答案．【详解】由题意，可得，令，，即，则，当时，，当时，，即在为增函数，在为减函数，又，，，故函数的值域为：．【点睛】本题主要考查了三角函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性与最值，其中解答中合理利用换元法得到函数，再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与预算能力，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）；【解析】

（1）由代入中计算即可；（2）由余弦定理可得，所以，由，变形即可得到答案.【详解】（1）因为，可得：，∴，或（舍），∵，∴.（2）由余弦定理，得所以，故，又，所以，所以.【点睛】本题考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.18、（1）；（2）20【解析】

（1）利用即可得到答案；（2）利用直线参数方程的几何意义，.【详解】解：（1）由，得圆C的直角坐标方程为，即.（2）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即，设两交点A，B所对应的参数分别为，，从而，则.【点睛】本题考查了极坐标方程与普通方程的互化、直线参数方程的几何意义等知识，考查学生的计算能力，是一道容易题.19、（Ⅰ）直线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）2.【解析】

（Ⅰ）由定义可直接写出直线的极坐标方程，对曲线同乘可得：，转化成直角坐标为；（Ⅱ）分别联立两直线和曲线的方程，由得，由得，则，结合三角函数即可求解；【详解】（Ⅰ）直线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为由曲线的极坐标方程得，所以的直角坐标方程为.（Ⅱ）与的极坐标方程联立得所以.与的极坐标方程联立得所以.所以.所以当时，取最小值2.【点睛】本题考查参数方程与极坐标方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，极坐标中的几何意义，属于中档题20、y＝2sin2x．【解析】

计算MN，计算得到函数表达式.【详解】∵M，N，∴MN，∴在矩阵MN变换下，→∴曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的函数解析式为y＝2sin2x．【点睛】本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力.21、（1）（2）【解析】

（1）由抛物线定义可知，解得，故抛物线的方程为；（2）设直线：，联立，利用韦达定理算出的中点，又，所以直线的方程为，求出，利用求解即可.【详解】（1）设的准线为，过作于，则由抛物线定义，得，因为到的距离比到轴的距离大1，所以，解得，所以的方程为（2）由题意，设直线方程为，由消去，得，设，，则，所以，又因为为的中点，点的坐标为，直线的方程为，令，得，点的坐标为，所以，解得，所以直线的斜率为.【点睛】本题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生的运算求解能力.涉及抛物线的弦的中点，斜率问题时，可采用韦达定理或“点差法”求解.22、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析【解析】

（Ⅰ）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；（Ⅱ）结合图表得到6人中有2个人考核为优