2021届人教a版 平面向量 单元测试

平面向量

一、单选题

1.在同一平面内，线段AB为圆C的直径，动点P满足福.丽〉0，则点P与圆C

的位置关系是()

A.点P在圆C外部B.点P在圆。上C.点P在圆C内部D.不确定

【答案】A

【解析】

【分析】

根据直径所对圆周角是直角，而圆外的点P使而.丽＞0，由此判断出正确结论.

【详解】

在同一平面内，线段AB为圆C的直径，动点P满足Q.丽〉0,所以NAPB为锐角，

所以点P在圆C外部.故选A.

【点睛】

本小题主要考查圆的直径所对圆周角为直角，考查向量数量积的运算公式，考查锐角、

钝角、直角的余弦值的特点，属于基础题.

2.已知非零向量加3满足胴=5比cos(〃?,〃)=g.若〃，则实数f的值为

()

33。

A.-TB.TC.-3D.3

5o

【答案】c

【解析】

【分析】

根据垂直的向量数量积为0,结合平面向量的数量积公式求解即可.

【详解】

r/«■r>r/trr、arr2iiriir,J,r,2

由〃+得“•(〃"+")=〃〃•〃+〃=/|m|-|M|­—+|H|=0,

.-J|+lj|n|2=0,解得f=-3.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了数量积的基本运算以及垂直的数量积表示，属于基础题.

3.已知A(2,1),B(1,-2),C(|,-,动点P(a,b)满足0W罚•罚W2,^0<OPOB<

2,其中。为坐标原点，则动点P到点C的距离大于;的概率为()

4

A.1B.—C.1-—D.—

64641616

【答案】A

【解析】试题分析：依题意有｛:J/；，目标函数J(a-|)2+(fe+l)2>l,即

以C©,-：)为圆心，半径为：的圆外.画出可行域如下图所示，圆外面积为故概率

554516

4n

为率=1一变.

—64

考点：几何概型.

4.已知G为AABC的重心，且4不=尤而+），阮，则》、》的值分别为（）

11221221

A・—、—B・一、一C・一、—D・一、一

33333333

【答案】D

【解析】

【分析】

iw1uum1iw

利用三角形重心的向量性质得出AG=§AB+§AC,再将/=通+配代入即可得

出结果.

【详解】

由于G为AABC的重心，则

AG=-~^+-AC=-AB+-(AB+BC\=-AB+-BC,

3333、'33

21

因此，x=不，＞=：.

33

故选：D.

【点睛】

本题考查平面向量的线性运算，涉及三角形重心的向量性质的应用，考查计算能力，属

于基础题.

5.已知向量］=（L0）与向量3=（1：、回），则向整£与刃的夹角是（）

【答案】B

【解析】

6.如图，在△ABC中，46=8。=4,乙48。=30°,4。是边8。上的高，则而•林

的值等于（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出|叫=2,则而.恁=而•（而+反）=|码2=4；或建立平面直角坐标

系，通过向量的坐标运算得出而•恁.

【详解】

方法一：•.•A8=4,ZA5C=3O°,AO_L0C,而1=2

=AD（^D+5C）=|AD|2=4；

方法二：以。为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，

由题意得：A（0,2）,C（4-2V3,0）,AD=（0,-2）,AC=（4-273-2）

：.ADAC=4

故选：8

【点睛】

本题主要考查了向量的数量积的运算，平面向量的坐标运算，属于基础题.

TT

7.已知点G是△ABC内一点，满足/+G月+觉=0,若NB4C=§,AB,AC=1»

则国的最小值是（）.

A底R6c小门也

A・B.C・D.

3232

【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量关系，利用了豆，市表示AG，再根据向量的模以及基本不等式求最值.

【详解】

因为6云+画+阮=6，所以G是AABC重心，因此XC=.AB+A：

|VAB2AC22AB->^

++?|-|p|+

七3-6J

+2AB?普1+=甘，选A.（当且仅当M-M时取等

号）

【点睛】

本题考查向量数量积、向量的模以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基

础题.

8.如图所示，等边AABC的边长为2,AM||BC,且AM=6.若N为线段CM的

中点，则丽・8而=（）

A.18B.22C.23D.24

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意建立坐标系，写出相应的点的坐标，再由向量坐标的点击运算得到结果.

【详解】

如图，以A为原点，AB所在直线为％轴，过点A作垂直于AB的直线为V轴，建立如

图所示的平面直角坐标系，则A（0,0）,B（2,0）,C（l,句.因为AABC为等边三角

形，且所以NM4B=120°，所以加卜3,36）.因为N是C例的中点，

所以N（—1,26），所以丽=（—1,26），的=（—5,3月）.所以丽.两=23.

故答案为C.

【点睛】

⑴向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运

用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是

向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转

化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法；（3）向量的两个作用：①载体

作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；

②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

9.在AABC中，N为AC的四分之一等分点（靠近A点），点P在线段BN上，若

Q+通+|祝，则实数小的值为（）

11C

A.-B.-C-1D-3

【答案】A

【解析】

：.AN=-AC,

4

设87=2丽，则

AP>-=AB+BP=AB+2（AA?-A8）=（l-A）AB+/lA]V=（l-2）AB+-^AC

■：AP=\m+-\AB+-BC=mAAB+29AC,

I99

42

--8

49即A--

9-

故答案选：A.

10.已知同=2网，忖卜。且关于x的方程f+同％-无5=0有两相等实根，则向量”

与石的夹角是()

7171K2%

A.--B----C.-D.—

6333

【答案】D

【解析】

【分析】

根据关于*的方程x2+\a\x-a-b=0有两个相等的实根便可得到

△=同+4同Mcos1,5=0,而由11=21卜(),便可得到cos(a»=—；,从而便可

得出£与坂夹角的大小.

【详解】

方程x2+同x-无5=0有两个相等的实根，

.，.A=|a|2+4a-b=|«|2+4|矶司cos&,5=0,

：卜1=2"H0，二2网=-4码cosO,5,

cos(a,B)=一万，；.&与否的夹角为夸，故选D.

【点睛】

考查一元二次方程实根的情况和判别式A取值的关系，以及向量数量积的计算公式，向

量夹角的范围，己知三角函数值求角.

11.在Ri△NBC中，NdC8=90°，且5c=3,点M满足施则

CMCB=（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【解析】

如图所示，过点M作MD_LCB于万，则CD=1CB=：1，所以d而-无=

3

函-向|cos（屈，丽）=1画-画=3x1=3,故选B.

考点：平面向量数量积的定义.

12.已知向量而、〃满足同=2,卜卜3,|他一〃卜JF7,则（）

A.-V?B.-1

C.-2D.-4

【答案】C

【解析】

【分析】

利用复数的模£=£-，将所q=5/万平方，可得送2—2而i+7=17，其中

m=|w|=4,n=|??|=9,可解得五的值.

【详解】

何―q=j万平方可得而2一2而4+7=17，

又机=|/2z|=4,n=|n|=9,

/.m•n--2-

故选：C.

【点睛】

本题考查了复数的数量积运算，模的计算，属于基础题.

二、填空题

13.已知】=(2+41)石=(3,4),若＜々石＞为钝角，则」的取值范围

是

3

【答案】4＜一G且X。—3

2

【解析】略

14.已知向量a=(x,l),b=(2,y),若a+b=(l,—1),贝||x+y=.

【答案】-3

【解析】

试题分析：因为a+b=(x+2,l+y)=(l,—l),所以匕+丫__］，解得：\y__2

所以x+y=—l—2=—3,所以答案应填：—3.

考点：向量加法的坐标运算.

15.AABC中，AB=i,ABAC=2,贝！］tan/ACB的最大值为

【答案】显

4

【解析】

2e1tnACCSA

分析：先求出cosA=「；，再利用正弦定理求出S〃C=^--------再利用三角变

AC2-cos2A

换和基本不等式求其最大值.

2

详解：由题得lxACxcosA=2,「.cosA=——,

AC

由正弦定理得

ACACI

ACsinC=sin(A+C),

sinBsin(A+C)sinC

ACsinC=sinAcosC+cosAsinC,

ACsinC=sinAcosC+—sinC,

AC

2

(AC------)sinC=sinAcosC,

AC

2sinAsinA_sinAcosA

/.(AC------)tanC=sinA,/.tanC=

2

AC2——cosA2-cosA

AC-ACcosA

sinAcosA_tanA_1-1_V2

2sin2A+cos2A2tan2A+l2tan/A+一南F

tanA

所以tanZACB的最大值为之.故答案为：在

44

点睛：（2）本题主要考查平面向量的数量积，考查正弦定理和三角变换，考查基本不

等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力（2）本题的解题关键有两点,

q〔n4ccqAInn/X

其一是求出相〃c=-------r-）其二是化简得到相〃c=7;~~2“,‘再利用基本不

2-cos'A2tan2A+l

等式求最大值.

16.已知正A43C的边长为3,点尸是边上一点，且—区4,则。户。4

3

【答案】6

【解析】

试题分析：如图所示,

->—>->

因为CF=CB+BF，

所以CFCA

—>—>fT->t—>

^CB+BF^CA=CBCA+BFCA=^xcos60+3xlxcos60=6.

考点：向量的数量积.

三、解答题

17.已知o4=G，OB=B，点G是△048的重心，过点G的直线P0与。4、0B

分别交于产、。两点.

(1)用£、b表示旃；

_.———11

(2)若0P=mG,OQ=nh,试问一+一是否为定值，证明你的结

mn

o

论.

一1一

【答案】(1)OG=-(a+b)；(2)定值为3,证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)延长0G交A8于。，即有。为A8的中点，应用重心的性质和中点向量表示，可

得前；

(2)由已知条件求得2、B，结合(1)的结论，应用三点共线的向量表示，其系数和

为1,即可得到所求定值.

【详解】

(1)点G是△Q4B的重心，

延长OG交A5于。，即有。为A3的中点，

可得。6=3。方=§乂5(04+08)=§(5+B)；

11日—

(2)-H—为定值3.

mn

理由：由0户=加。，OQ=nb，

可得万二OP,b=—0Q,

mn

即有oG--^―OP+-^―OQ,

3m3力

由三点尸，G,Q共线，可得—I"丁=1,

3m3n

即为--1——3.

mn

则上+工为定值3.

mn

【点睛】

本题考查平面向量和应用，主要是向量共线定理和三点共线的向量表示，考查运算能力，

属于中档题.

18.在正方形中，设E为边45的中点，且丽=£,而=况试用基底桓，耳表

示徐M.

【答案】CE=-\a-b,DE=\a-b

22

【解析】

【分析】

由区=围+8无=/+3区4,诙=砺+荏可得.

【详解】

如图，CE=CB+BE=DA+-BA=-b--a,DE^DA+AE=-b+-a.

222

即Cm=---a-b,DE--a-h

22

【点睛】

本题考查平面向量基本定理.考查平面向量线性运算，属于基础题.

19.如图，已知向量a和向量5,用三角形法则作出a—b+a♦

【答案】见解析

【解析】

【分析】

分析题目，在平面内任取一点0,作向量函=a,作向量砺="根据向量的减法法则得

到丽=。-6;接下来作向量恁=a,至此便可得到所求作的向量a—h+a,从而解答此

题.

【详解】

作法：作向量砺=a,向量诙=江则向量函=。一从

如图所示；作向量衣=a,则而=〃-h+a.

【点睛】

本题是一道关于向量的题目，关键掌握向量的三角形法则与平行四边形法则.

20.若3加+2〃=a，m-3n=5,其中a，很是已知向量，求〃z,n.

32-

m=—aH——b

1111

【答案】

_13

n=—a-----br

1111

【解析】

【分析】

根据向量的线性运算解方程组，即可.

【详解】

把已知中的两个等式看作关于石，n的方程

32-

m--a-\——b

3m+2n-a

联立得方程组《r解得｛1111

m-3n=b1