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文档简介
平面向量
一、单选题
1.在同一平面内,线段AB为圆C的直径,动点P满足福.丽〉0,则点P与圆C
的位置关系是()
A.点P在圆C外部B.点P在圆。上C.点P在圆C内部D.不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直径所对圆周角是直角,而圆外的点P使而.丽>0,由此判断出正确结论.
【详解】
在同一平面内,线段AB为圆C的直径,动点P满足Q.丽〉0,所以NAPB为锐角,
所以点P在圆C外部.故选A.
【点睛】
本小题主要考查圆的直径所对圆周角为直角,考查向量数量积的运算公式,考查锐角、
钝角、直角的余弦值的特点,属于基础题.
2.已知非零向量加3满足胴=5比cos(〃?,〃)=g.若〃,则实数f的值为
()
33。
A.-TB.TC.-3D.3
5o
【答案】c
【解析】
【分析】
根据垂直的向量数量积为0,结合平面向量的数量积公式求解即可.
【详解】
r/«■r>r/trr、arr2iiriir,J,r,2
由〃+得“•(〃"+")=〃〃•〃+〃=/|m|-|M|—+|H|=0,
.-J|+lj|n|2=0,解得f=-3.
故选:C
【点睛】
本题主要考查了数量积的基本运算以及垂直的数量积表示,属于基础题.
3.已知A(2,1),B(1,-2),C(|,-,动点P(a,b)满足0W罚•罚W2,^0<OPOB<
2,其中。为坐标原点,则动点P到点C的距离大于;的概率为()
4
A.1B.—C.1-—D.—
64641616
【答案】A
【解析】试题分析:依题意有{:J/;,目标函数J(a-|)2+(fe+l)2>l,即
以C©,-:)为圆心,半径为:的圆外.画出可行域如下图所示,圆外面积为故概率
554516
4n
为率=1一变.
—64
考点:几何概型.
4.已知G为AABC的重心,且4不=尤而+),阮,则》、》的值分别为()
11221221
A・—、—B・一、一C・一、—D・一、一
33333333
【答案】D
【解析】
【分析】
iw1uum1iw
利用三角形重心的向量性质得出AG=§AB+§AC,再将/=通+配代入即可得
出结果.
【详解】
由于G为AABC的重心,则
AG=-~^+-AC=-AB+-(AB+BC\=-AB+-BC,
3333、'33
21
因此,x=不,>=:.
33
故选:D.
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算,涉及三角形重心的向量性质的应用,考查计算能力,属
于基础题.
5.已知向量]=(L0)与向量3=(1:、回),则向整£与刃的夹角是()
【答案】B
【解析】
6.如图,在△ABC中,46=8。=4,乙48。=30°,4。是边8。上的高,则而•林
的值等于()
A.2B.4C.6D.8
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出|叫=2,则而.恁=而•(而+反)=|码2=4;或建立平面直角坐标
系,通过向量的坐标运算得出而•恁.
【详解】
方法一:•.•A8=4,ZA5C=3O°,AO_L0C,而1=2
=AD(^D+5C)=|AD|2=4;
方法二:以。为坐标原点,建立如图所示平面直角坐标系,
由题意得:A(0,2),C(4-2V3,0),AD=(0,-2),AC=(4-273-2)
:.ADAC=4
故选:8
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算,平面向量的坐标运算,属于基础题.
TT
7.已知点G是△ABC内一点,满足/+G月+觉=0,若NB4C=§,AB,AC=1»
则国的最小值是().
A底R6c小门也
A・B.C・D.
3232
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量关系,利用了豆,市表示AG,再根据向量的模以及基本不等式求最值.
【详解】
因为6云+画+阮=6,所以G是AABC重心,因此XC=.AB+A:
|VAB2AC22AB->^
++?|-|p|+
七3-6J
+2AB?普1+=甘,选A.(当且仅当M-M时取等
号)
【点睛】
本题考查向量数量积、向量的模以及基本不等式求最值,考查基本分析求解能力,属基
础题.
8.如图所示,等边AABC的边长为2,AM||BC,且AM=6.若N为线段CM的
中点,则丽・8而=()
A.18B.22C.23D.24
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意建立坐标系,写出相应的点的坐标,再由向量坐标的点击运算得到结果.
【详解】
如图,以A为原点,AB所在直线为%轴,过点A作垂直于AB的直线为V轴,建立如
图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(l,句.因为AABC为等边三角
形,且所以NM4B=120°,所以加卜3,36).因为N是C例的中点,
所以N(—1,26),所以丽=(—1,26),的=(—5,3月).所以丽.两=23.
故答案为C.
【点睛】
⑴向量的运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数的结合提供了前提,运
用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围,是
向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算,将问题转
化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用:①载体
作用:关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题;
②工具作用:利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
9.在AABC中,N为AC的四分之一等分点(靠近A点),点P在线段BN上,若
Q+通+|祝,则实数小的值为()
11C
A.-B.-C-1D-3
【答案】A
【解析】
:.AN=-AC,
4
设87=2丽,则
AP>-=AB+BP=AB+2(AA?-A8)=(l-A)AB+/lA]V=(l-2)AB+-^AC
■:AP=\m+-\AB+-BC=mAAB+29AC,
I99
42
--8
49即A--
9-
故答案选:A.
10.已知同=2网,忖卜。且关于x的方程f+同%-无5=0有两相等实根,则向量”
与石的夹角是()
7171K2%
A.--B----C.-D.—
6333
【答案】D
【解析】
【分析】
根据关于*的方程x2+\a\x-a-b=0有两个相等的实根便可得到
△=同+4同Mcos1,5=0,而由11=21卜(),便可得到cos(a»=—;,从而便可
得出£与坂夹角的大小.
【详解】
方程x2+同x-无5=0有两个相等的实根,
.,.A=|a|2+4a-b=|«|2+4|矶司cos&,5=0,
:卜1=2"H0,二2网=-4码cosO,5,
cos(a,B)=一万,;.&与否的夹角为夸,故选D.
【点睛】
考查一元二次方程实根的情况和判别式A取值的关系,以及向量数量积的计算公式,向
量夹角的范围,己知三角函数值求角.
11.在Ri△NBC中,NdC8=90°,且5c=3,点M满足施则
CMCB=()
A.2B.3C.4D.6
【答案】B
【解析】
如图所示,过点M作MD_LCB于万,则CD=1CB=:1,所以d而-无=
3
函-向|cos(屈,丽)=1画-画=3x1=3,故选B.
考点:平面向量数量积的定义.
12.已知向量而、〃满足同=2,卜卜3,|他一〃卜JF7,则()
A.-V?B.-1
C.-2D.-4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的模£=£-,将所q=5/万平方,可得送2—2而i+7=17,其中
m=|w|=4,n=|??|=9,可解得五的值.
【详解】
何―q=j万平方可得而2一2而4+7=17,
又机=|/2z|=4,n=|n|=9,
/.m•n--2-
故选:C.
【点睛】
本题考查了复数的数量积运算,模的计算,属于基础题.
二、填空题
13.已知】=(2+41)石=(3,4),若<々石>为钝角,则」的取值范围
是
3
【答案】4<一G且X。—3
2
【解析】略
14.已知向量a=(x,l),b=(2,y),若a+b=(l,—1),贝||x+y=.
【答案】-3
【解析】
试题分析:因为a+b=(x+2,l+y)=(l,—l),所以匕+丫__],解得:\y__2
所以x+y=—l—2=—3,所以答案应填:—3.
考点:向量加法的坐标运算.
15.AABC中,AB=i,ABAC=2,贝!]tan/ACB的最大值为
【答案】显
4
【解析】
2e1tnACCSA
分析:先求出cosA=「;,再利用正弦定理求出S〃C=^--------再利用三角变
AC2-cos2A
换和基本不等式求其最大值.
2
详解:由题得lxACxcosA=2,「.cosA=——,
AC
由正弦定理得
ACACI
ACsinC=sin(A+C),
sinBsin(A+C)sinC
ACsinC=sinAcosC+cosAsinC,
ACsinC=sinAcosC+—sinC,
AC
2
(AC------)sinC=sinAcosC,
AC
2sinAsinA_sinAcosA
/.(AC------)tanC=sinA,/.tanC=
2
AC2——cosA2-cosA
AC-ACcosA
sinAcosA_tanA_1-1_V2
2sin2A+cos2A2tan2A+l2tan/A+一南F
tanA
所以tanZACB的最大值为之.故答案为:在
44
点睛:(2)本题主要考查平面向量的数量积,考查正弦定理和三角变换,考查基本不
等式,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力(2)本题的解题关键有两点,
q〔n4ccqAInn/X
其一是求出相〃c=-------r-)其二是化简得到相〃c=7;~~2“,‘再利用基本不
2-cos'A2tan2A+l
等式求最大值.
16.已知正A43C的边长为3,点尸是边上一点,且—区4,则。户。4
3
【答案】6
【解析】
试题分析:如图所示,
->—>->
因为CF=CB+BF,
所以CFCA
—>—>fT->t—>
^CB+BF^CA=CBCA+BFCA=^xcos60+3xlxcos60=6.
考点:向量的数量积.
三、解答题
17.已知o4=G,OB=B,点G是△048的重心,过点G的直线P0与。4、0B
分别交于产、。两点.
(1)用£、b表示旃;
_.———11
(2)若0P=mG,OQ=nh,试问一+一是否为定值,证明你的结
mn
o
论.
一1一
【答案】(1)OG=-(a+b);(2)定值为3,证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)延长0G交A8于。,即有。为A8的中点,应用重心的性质和中点向量表示,可
得前;
(2)由已知条件求得2、B,结合(1)的结论,应用三点共线的向量表示,其系数和
为1,即可得到所求定值.
【详解】
(1)点G是△Q4B的重心,
延长OG交A5于。,即有。为A3的中点,
可得。6=3。方=§乂5(04+08)=§(5+B);
11日—
(2)-H—为定值3.
mn
理由:由0户=加。,OQ=nb,
可得万二OP,b=—0Q,
mn
即有oG--^―OP+-^―OQ,
3m3力
由三点尸,G,Q共线,可得—I"丁=1,
3m3n
即为--1——3.
mn
则上+工为定值3.
mn
【点睛】
本题考查平面向量和应用,主要是向量共线定理和三点共线的向量表示,考查运算能力,
属于中档题.
18.在正方形中,设E为边45的中点,且丽=£,而=况试用基底桓,耳表
示徐M.
【答案】CE=-\a-b,DE=\a-b
22
【解析】
【分析】
由区=围+8无=/+3区4,诙=砺+荏可得.
【详解】
如图,CE=CB+BE=DA+-BA=-b--a,DE^DA+AE=-b+-a.
222
即Cm=---a-b,DE--a-h
22
【点睛】
本题考查平面向量基本定理.考查平面向量线性运算,属于基础题.
19.如图,已知向量a和向量5,用三角形法则作出a—b+a♦
【答案】见解析
【解析】
【分析】
分析题目,在平面内任取一点0,作向量函=a,作向量砺="根据向量的减法法则得
到丽=。-6;接下来作向量恁=a,至此便可得到所求作的向量a—h+a,从而解答此
题.
【详解】
作法:作向量砺=a,向量诙=江则向量函=。一从
如图所示;作向量衣=a,则而=〃-h+a.
【点睛】
本题是一道关于向量的题目,关键掌握向量的三角形法则与平行四边形法则.
20.若3加+2〃=a,m-3n=5,其中a,很是已知向量,求〃z,n.
32-
m=—aH——b
1111
【答案】
_13
n=—a-----br
1111
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算解方程组,即可.
【详解】
把已知中的两个等式看作关于石,n的方程
32-
m--a-\——b
3m+2n-a
联立得方程组《r解得{1111
m-3n=b1
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