2022年湖南省永州市大麻中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2022年湖南省永州市大麻中学高三数学文上学期期末

试卷含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

7T7T

1.已知a,b《R,函数f(x)=tanx在x=-4处与直线y=ax+b+2相切，设g(x)=-

bxlnx+a在定义域内()

11j.1

A.极大值eB.有极小值eC.有极大值2-eD.有极小值2-手

参考答案：

考点：正切函数的图象.

专题：三角函数的图像与性质.

]冗

分析：先求出f'(x)=cos2/x,再由条件根据导数的几何意义可得a=f'(-4)

K

=2.再把切点(-N,2)代入切线方程求得b,可得g(x)解析式.再根据g'(x)的

符号，求出g(x)的单调区间，从而求得g(x)的极值.

1

解答：解：由函数f(x)=tanx,可得f'(x)=cosx.

nnIT

再根据函数f(x)=tanx在x=-4处与直线y=ax+b+2相切，可得a=f7(-4)=2.

Kn

再把切点(-4,2)代入直线y=ax+b+2,可得b=-1,，g(x)=xlnx+l,g'(x)

=lnx+l.

_111

令g'(x)=lnx+l=0,求得x=e,在(0,e)上，g'(x)<0,在(e,+°°)上，g'

(x)>0,

_11

故g(x)在其定义域(0,+8)上存在最小值为g(e)=2-e,

故选：D.

点评：本题主要考查函数在某处的导数的几何意义，利用导数求函数的极值，属于基础

题.

♦2)(-4-nuO*

展开式中2项的系数是

2.X40,则实数〃?的值为()

A.v'2B.2C.D.+2

参考答案:

C

2I«1«

(x+2X--mx)(--mx).y,__

展开式中x2项是由T的展开式中常数项与、的二次卬，由

(二•mx)•

的展开式中二次项与L、一•二的常数项所组成的.

(--mx/点,(―(~1»»)'(七"'°

、：的展开式的通项公式为：尸一

10

令3r-10=0,解得r=T,不合题意，应舍去;

令3r-10=2,解得r=4,

2J

(x♦2X"Z•mx)A

'的展开式中x2项的系数为2?(-m)小=40,即n?=4,

解得m=±v'2.

故答案为：C

3.(】+"+妙)”展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243,不含y的项的系数绝

对值

的和为32,则％b潭的值可能为

A.a=2,b=—L%=5B.

c.a=-1,6=2,”6D.=2,”5

参考答案：

D

.1.1

t^=logj-.c=logi-

4.已知4=23,3)3,则

A.a>b>cB_a>c>bc.c>a>b

D.c>b>a

参考答案：

c

：因为0«=2-葭2°,故'="心？"俎1=。，故

,1,1,

c=log)->logi-=l

b<0,5352，故e>l.故c>a>b,故选c.

5.抛物线2P的焦点与双曲线3'的右焦点的连线交G于第一象

限的点”，若G在点M处的切线平行于G的一条渐近线，则,=

y/3y/34j3

A.TB16C.亍

26

D.亍

参考答案：

C

设抛物线的焦点尸与双曲线的右焦点月及点“的坐标分别为

P1173

2故由题设可得在切点M处的斜率为P，则P3,

75iPP1

即r3,故36,依据2r共线可得4』3,

=在

所以,一亍，故应选C.

6.执行如图的算法程序框图，输出的结果是（）

A.2"-2B.2"-1C.210-2D.210-1

参考答案：

A

【考点】EF：程序框图.

【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的

值，模拟程序的运行过程，可得答案.

【解答】解：当k=l时，满足进行循环的条件，S=22-2,k=2；

当k=2时,满足进行循环的条件，s=23-2,k=3；

当k=3时，满足进行循环的条件，s=2'-2,k=4；

当k=4时，满足进行循环的条件，S=25-2,k=5；

当k=5时，满足进行循环的条件，s=2'-2,k=6；

当k=6时，满足进行循环的条件，s=2-2,k=7；

当k=7时，满足进行循环的条件，s=2s-2,k=8；

当k=8时，满足进行循环的条件，S=29-2,k=9

当k=9时,满足进行循环的条件,s=210-2,k=10；

当k=10时，满足进行循环的条件，s=2"-2,k=ll；

当k=ll时，不满足行循环的条件，

故输出的s值为2"-2,

故选：A

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟

程序法进行解答.

7.下列函数中在区间（°，叫上单调递增的是

fiY

yzI

A.y=smxB.y=1°g3xc.P=--D.

参考答案：

B

8.定积分,oVx（2-x）dx的值为（）

7T.

A.4B.2C.”D.2n

参考答案：

A

【考点】定积分.

【专题】导数的概念及应用.

【分析】根据的定积分的几何意义，所围成的几何图形的面积是的四分之一，计算即可.

【解答】解：•••yHx（2-x）,

A（X-1）对2刁表示以（1,0）为圆心，以1为半径的圆，

...定积分JJx（2-X）dx所围成的面积就是该圆的面积的四分之一，

故选：A.

【点评】本题主要考查了定积分的几何意义，根据数形结合的思想，属于基础题.

9,函数/（无）是定义在（8,0）上的可导函数，其导函数为fGO且有

3/（x）W（x）＜0,

则不等式的解集为()

A(-2018,-2016)B(-«,-2018)((-2016,-2015)1)(-m,-2012)

参考答案：

A

10.(2016郑州一测)已知椭圆的左右焦点分别为网、招，过点

里的直线与椭圆交于两点，若诉你是以d为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆

的离心率为()

正

A.2B.2-瓜C.6-2

D.y/i—y/i

参考答案：

D

设|格=尢盟=『

若傅是以/为直角顶点的等腰直角三角形，

...网=禹|=*,|国=右

由椭圆的定义可知Mi•的周长为4i,

:.4a=2miyf2m,・=2(2-扬a.

.陷|=2aiwQ2"

...四\|愿旧鹤『，

...<2_折/+4(6_炉/=4c】，

.,.e5=9-6.1,e='6一@.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的

时间为X分钟.有1000名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理,

若输出的结果是680,则平均每天做作业的时间在0〜60分钟内的学生的频率

/1呼必

Iwi

是

参考答案:

0.32

略

（71）

y=tan--x

12.函数.141的单调递减区间是,

参考答案：

（tn,,3n\

kn一一kn十—

I44）（i€Z）

了一240

x+3AOx+jr-6

13.已知变量毛丁满足约束条件lx-'-I4°,则I的最大值

是.

参考答案：

13

¥

y<x

14.已知实数x,y满足条件1以+尸+££0,（k为常数），若Z=x+31y得最大值

为8,则1<=o

参考答案：

-6

15.已知函数/“）=27”）lnx-x,则/（x）的极大值为.

参考答案：

16.（5分）（2015?泰州一模）已知实数a,b,c满足小丑,cWO,则a-2c的取值范

围为.

参考答案:

【考点】：基本不等式.

【专题】：不等式的解法及应用.

（且）2+（也）2a

【分析】：实数a,b,c满足l+bJc=cWO,化为cc=1,令c=cos0,

b

7

bba_2sin8

c=sin0,0e[0,2it）.可得k=a-2c=c=cos8-2,表示点p（2,0）与圆

x2+y2=l上的点连线的在的斜率.利用直线与圆的位置关系即可得出.

解：•..实数a,b,c满足d+btz,cWO,

（月）2+世）2

cc=1

_ab

令c=cos6,c=sinO,0e[0,2n）.

b

.•.k=a-2c<=cos8-2,表示点p(2,0)与圆x'+y』上的点连线的直线的斜率.

设直线1：y=k(x-2),

二41

则71+小,

[-V3近1

故答案为：3'3」.

【点评】：本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、

点到直线的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

17.若将函数f(x)=sin2x+cos2x的图象向左平移4>个单位，所得图象关于y轴对称,

则。的最小正值是.

参考答案：

兀

T

【考点】函数y=Asin(sx+巾)的图象变换.

【分析】将函数f(x)化简后，根据平移变换的规律，得图象关于y轴对称，利用诱导公

式可得答案.

【解答】解：函数f(x)=sin2x+cos2x=V2sin(2x+4),向左平移4)个单位，可得

_2L

&sin(2x+2*+-r),

要使所得图象关于y轴对称，

冗冗n1

+kK1

/.2(D+T=T,即八丁皇冗(日)

兀

当k=0时，可得*的最小正值为两二

7T

故答案为：8.

【点评】函数尸Asin（3x+6）的图象变换规律，诱导公式的运用，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.已知函数f（x）=-x,ax-41nx-a+1（a^R）.

/1、f（4-）+f（2）=01Vl/击

（1）若2,求a的值；

e3+件

（2）若存在x。、、'2'，使函数f（x）的图象在点（x0,f（X。））和点

（~-->f）

X。，x0处的切线互相垂直，求a的取值范围；

（3）若函数f（x）在区间（1,+8）上有两个极值点，则是否存在实数m,使f（x）<m

对任意的xG[l,+8）恒成立？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由.

参考答案：

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值.

【分析】（1）若代入计算，建立方程，即可求a的值;

911n

a-6(xQ+—)a+8(x0+—)+5=0

(2)利用切线互相垂直，整理得x0x0，设f(t)=8t、

6at+a2+5,则f(t)在te(2,3)上有零点，考虑到f(2)=32-12a+a%5=(a-6)2+1

2〈资〈3

伴)3

皤）《。或O

>0,所以即可解得a的取值范围;

（3）若函数f（x）在区间（1,+8）上有两个极值点，g（x）在区间（1,+8）上有两

个不同零点，求出a的取值范围，即可得出结论.

【解答】解：（1）由£（彳）+,（2）=°得,

In-^—a+1)+(-4+2a-41n2-a+l)=(_9

解得&而…

4

f'(x0)=a-2x0

(2)函数f(x)的定义域为(0,+8),x0,

y7

f(x0)f(—)=-l(a-2x0^-)(a---4x0)=-l

由题意得x0,即x0x0

9119

a-6(x0+—)a+8(x0+—)+5=0

整理得x0x0,

t=x0-H^-x€(1,"V5)

设x0,由x。2),得te⑵3),

则有8t2-6at+a?+5=0,…

设f(t)=8t2-6at+a2+5,则f(t)在tG(2,3)上有零点，考虑到f(2)=32-

12a+a2+5=(a-6)2+l>0,

2<4T-<3S

8和3

3as

所以或［f⑶<0,解得入伍«8或8.V11,

所以a的取值范围是［2近3，11)…

尸(x)-x+』-2x+axY

(3)xx

令g(x)=-2x2+ax-4,由题意，g(x)在区间(1,+°°)上有两个不同零点，

△=a2-32>0

铲1

则有［g⑴=-6+a<0,解得4^<a<6…

设函数f(X)的两个极值点为Xi和X2,

则X1和X2是g(x)在区间(1,+8)上的两个不同零点，

不妨设xVxz,则-2x2+ax2-4=0①，

二a+Ja2_32

得-4且关于a在（外巧，6）上递增,

因此2）…

a=2xn-^~

又由①可得*2②，

当xG(1,xD时，g(x)<0,f'(x)<0,f(x)递减；xG(xl(x2)时，g(x)>

0,F(x)>0,f(x)递增；

当xG(x,,+8)时，g(x)<0,f'(x)<0,f(x)递减，

结合②可得

2224

［f(x)］极大值=f(82)=-乂2+&乂2-41”2-&+1=-乂2+2乂2+4-4102-2乂2^---+1

x2=

nA

-

X22X2---41nx2+5,x2€(V2»2)

x2•••

h(x)=x2-2x-^-4lnx+5,x€(加,2)

设x，

h'(x)=2x-2V±"l)，-2)〉。

则x，xx",

所以h(x)在(、历，2)上递增，

所以h(6)<f(x2)<h(2),从而h(&)=7-4询-21n2,h(2)=3-41n2>(.

所以f(X2)E(7-4&-21n2,3-41n2)

又f(1)=0,所以存在m23-41n2,使f(x)<m,

综上，存在满足条件的m,m的取值范围为［3-41n2,+~)…

19.(本小题满分12分)

如图，四棱锥尸-43CD中，底面用CD是直角梯形，NQAB=90・，ADHBC,

BC--AD

4D_L侧面246,△248是等边三角形，DA=AB=2,2,E是线段

48的中点.

(I)求证：PELCD.

(II)求尸C与平面如£所成角的正弦值.

p

参考答案：

(I)证明：因为4Z)_L侧面248,尸Eu平面E45,

所以4DJLFE.

又因为△948是等边三角形，E是线段45的中点，所以

因为心口为8=人,所以P&JL平面9CD.

而8u平面期CD,所以PELCD...................................................................5分

(H)解：以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E-磨.

'f则砍0,0,0),C(l,-l0),0(210),尸(0,0.W).

丽=(U0),而=(0,0血PC=(1,-1-^).

设"=(XJZ)为平面尸打£的法向量.

令x=l,可得”=（L-2,0）.....................................9分

设尸C与平面PDE所成的角为&

sin6=Icos<PC,n>1=।尸1[=—

1।5.

3

所以PC与平面凡出所成角的正弦值为5.......................................................12分

20.（12分）（2013?兰州一模）如图，在四棱锥P-ABCD中,PAJ_平面ABCD,底面

ABCD是菱形，AB=2,ZBAD=6O".

（I）求证：PAC；

（口）若PA=AB,求棱锥C-PBD的高.

参考答案：

解：（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以ACLBD.

又因为PA_L平面ABCD,所以PA_LBD.

又PAC1AC=A,所以BDJ_平面PAC....（6分）

（II）解：•••VCPBD=VP.CBD，设棱锥C-PBD的高为h,

.♦.飘入PBD寺AYACBD…4分）

VPA=AB,AB=2,ZBAD=60°,

；.PB=PD=2近，BD=2

,SAPBD4BDJPB2-（婀2=V?SACB忌BD.暴C=«

(10分)

SAPBD7.

即棱锥C-PBD的高为7....（12分）

略

21.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，/BCD=60'，E是CD的中

点，PA~L底面ABCD,PA=2.

(1)证明：平面PBE，平面PAB；

(2)求PC与平面PAB所成角的余弦值。

(1)利用面面垂直的判定定理来证明，

(2)过点C作CF±AB于F,曲PF.则距二，