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文档简介
2021届湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷(二)
一、单选题(本大题共8小题,共40.0分)
1.已知P={a\a=(1,0)+mER].Q={b\b=(1,1)+n(-l,l).nG町是两个向量集合,
则PCQ=()
A.[(1,1)}B.[(-1.1)}C.[(1,0))D.[(0,1)}
2.复数z=?i。是虚数单位),则|z+l|=()
A.2V2B.3C.4D.8
3.设a,b€R,则“a,b都等于0”的必要不充分条件为()
A.Va24-h2<0B.a2+62>0C.ab0D.a+b=0
4.已知非零向量五,了满足|卜且(五+3方)1至,则4与方的夹角为()
D57r九27r
AjB・C.§D,—
5.函数/(x)=黑荒在[―兀,布的图象大致是()
D.
6.已知数列{即}是等差数列,且。3+%1=20,则2即1-%5=()
A.10B.9C.8D.7
7.双曲线5-丫2=1(771>0的一条渐近线方程为》+2、=0,那么它的离心率为()
A.V3B.V5C.渔D.在
22
8.过长方体一个顶点的三条棱长分别为1,2,3,则长方体的一条对角线长为()
A.2V3B.V14C.5D.6
二、多选题(本大题共4小题,共20.0分)
9.已知如图为2020年1月10日至U2月21日我国新型冠状肺炎累计确认人数及现有疑似人数趋势图,
则下面结论正确的是()
8OOOO-----------------------------------------------------------s
/•••
6000()/
*■
4(NN)0---------------------------------------尸―-------
KXMM)
0***
1.101.161.221.282.32.92.152.21
A.截至2020年2月15日,我国新型冠状肺炎累计确诊人数已经超过61000人
B.从2月9日至U2月21日,现有疑似人数超过累计确诊人数
C.从2月9日到2月21日,现有疑似人数下降幅度一直在增加
D.1月28日与2月3日相比较,累计确诊人数增加超过50%
10,将函数/(%)=35讥(2%+弱的向左平移5个单位长度得到9(乃的图象,则下列判断正确的是()
A.函数g(x)在区间或为上单调递增
B.函数g(x)在区间[一1币上单调递减
C.函数g(x)图象关于直线x="对称
D.函数g(x)图象关于点©,0)对称
11.若函数/(x)在区间M上满足77着=木,则称/(x)为M上的“a变函数”,对于a变函数/(x),
/【兀十/1/\X)
若/(X)Wg(t)有解,则称满足条件的唯为“a变函数/Q)的衍生解”•已知f(x)为(-8,-2]上的
(l-og27-7,(-2<x<-1)
“4变函数”,且当久6[—2,0)时,/(无)=,1㈤,9«)=:-2,当[―4,—2)
[(|y-1,(-i<x<o)
时,则下列哪些是4变函数f(x)的衍生解()
A.(0,1)B.[-2,0)C.[l,+oo)D.(-00,-2]
12.已知三棱锥S-48c的顶点均在表面积为8兀的球。的球面上,SA,SB、SC两两垂直,SA=2,
SB=V2,则下列结论中正确的是()
A.球。的半径为让B.SC=V2
C.S到平面4BC的距离为在D.。到平面力8c的距离为更
55
三、单空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.已知函数y=f(x),对任意xeR,都有/(x+2)"(x)=k(k为常数),且当x6[0,2]时,/(x)=
x2+1,贝叶(2021)=.
14.已知(l-2x)n的展开式中,奇数项的二项式系数之和是64,则(1-2%产的展开式中,X4的系数
为.
15.sinx=pxe(0,2兀),则x=.
16.已知集合4={x\x2-1=0},则下列式子表示正确的有个;
©1eA;②{-1}";@0£A;(4){1,-1}CA.
四、解答题(本大题共6小题,共70.0分)
17.在△ABC中,角4,B,C所对的边分别为a,b,c,函数/'(x)=2cosxsin(x—4)+sin4(xeR)在
"居处取得最大值.
(1)求角4的大小.
(2)若a=7且sinB+s讥C=譬,求AABC■的面积.
18.已知数列{a",的=2,点(:即,册+1+1)在函数f(x)=2x+3的图象上.
(1)求数列{斯}的通项公式;
(2)若数列垢=2即,求数列{%}的前n项和
19.为迎接2011“兔”年的到来,某机构举办猜奖活动,参与者需先后回答两道选择题:问题4有
四个选项,问题B有五个选项,但都只有一个选项是正确的,正确回答问题4可获奖金m元,正
确回答问题B可获奖金n元.活动规定:参与者可任意选择回答问题的顺序:如果第一个问题回
答错误,则该参与者猜奖活动中止,一个参与者在回答问题前,对这两个问题都很陌生,因而
准备靠随机猜测回答问题,试确定回答问题的顺序使获奖金额的期望值较大.
20.如图,已知正三角形PAD,正方形ZBCD,平面PAD_L平面ABCD,
E为PD的中点.
(1)求证:CD14E;
(2)求证:4E_L平面PCD;
(3)求直线4c与平面PCD所成的角的大小的正弦值.
21.已知曲线厂上的点到点F(0,l)的距离比它到直线y=—3的距离小2.
(1)求曲线「的方程.
(2)曲线r在点P处的切线/与x轴交于点A,直线y=3分别与直线1及y轴交于点M,N.以MN为直
径作圆C,过点4作圆C的切线,切点为B.试探究:当点P在曲线「上运动(点P与原点不重合)时,
线段4B的长度是否发生变化?证明你的结论.
22.如图,△ABC的内切圆与三边4B、BC、C4的切点分别为。、E、F,已知B(—四,0),C(夜,0),
内切圆圆心设4点的轨迹为L
(1)求L的方程;
(2)过点C作直线m交曲线L于不同的两点M、N,问在X轴上是否存在一个异于点C的定点Q.使鬻=
\QM\
需对任意的直线zn都成立?若存在,求出Q的坐标,若不存在,说明理由.
参考答案及解析
1.答案:A
解析:本题主要考查交集及其运算,属于基础题.
先根据向量的线性运算化简集合P,Q,求集合的交集就是寻找这两个集合的公共元素,通过列方程
组解得.
解:由已知可求得P={(l,m)},Q={(l—n,l+n)},
再由交集的含义,有丁=『=),
=1+九=1
则PCQ={(1,1)).
故选A.
2.答案:A
解析:解:复数z=*i=智=l-2i,
II2
•••|z+1|=|2-2i|=y/22+(-2)2=2V2.
故选:A.
根据复数代数形式的运算法则,利用复数模长公式计算即可.
本题考查了复数代数形式的运算法则与复数模长的计算问题,是基础题.
3.答案:D
解析:解:对于4,a=b=O,故A是“a,b都等于0”充要条件,
对于B,a,b至多有一个为0,即不充分也不必要,
对于C:a,b都不为0,即不充分也不必要,
对于D,a=b=0,或a,b都不为0,必要不充分条件
故选:D.
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据定义进行判断即可,比较基础.
4.答案:B
解析:解:设苍与石的夹角为氏
因为(五+39)1万,
所以(五+3b),b=0,即石+3片=()•
所以|初-\b\cos9+3\b\2=0
根据题意,有2遍|石|•|B|cos8+3|B|2=0,
因为|b|力0,所以解得cos。=—=,
即。=口.
6
故选:B.
通过向量的垂直关系,利用下和方的数量积,求得两向量的夹角.
本题考查对平面向量数量积的性质及其运算,需要灵活掌握数量积与向量夹角的变形,属于基础题.
5.答案:C
解析:解:•."(())=?=—1,.•・排除选项8和。;
令g(x)=xsinx-1,则g(0)=-1<0,g(])=^-1>0,
•g(o)•里)<o,
存在久oe(0弓),使得g(&)=0,即/(g)=0,
二排除选项A.
故选:C.
由/(0)=-1,可排除选项8和D;比较选项A和C,只需考虑f(无)的零点问题,于是令g(x)=xsinx-1,
再结合零点存在性定理进行判断即可作出选择.
本题考查函数图象的识别,一般可从函数的单调性、奇偶性、零点个数问题或特殊点处的函数值等
方面着手思考,考查学生的逻辑推理能力和运算能力,属于基础题.
6.答案:A
解析:解:数列{斯}是等差数列,且。3+%1=20,
则a1+2d+a1+10d=20,
即a1+6d=10,
则2ali—a15=2al+20d—-14d=a1+6d=10,
故选:A.
根据通项公式求出由+6d=10,再根据通项公式可得2ali-a15=ar+6d=10.
本题考查等差数列的通项公式的合理运用,解题时要认真审题,仔细解答,属于基础题.
7.答案:D
解析:解:•••双曲线5-y2=i(7n>c)的一条渐近线方程为x+2y=0,
可得高=也二巾=4,
•・•双曲线的离心率e=£=叱.
a2
故选:D.
根据双曲线5-y2=l(m>c)的一条渐近线方程为x+2y=0,列出方程,求出m的值即可.
本题考查了双曲线离心率,属于中档题.
8.答案:B
解析:解:•••长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3,
二长方体的对角线长为:Vl2+22+32=V14
故选:B.
直接用长方体的对角线的公式,求出长方体的对角线长即可.
本题给出长方体的长、宽、高,求长方体体对角线长的问题,属于基础题.
9.答案:ABD
解析:解:由折线图可知,截至2020年2月15日,我国新型冠状肺炎累计确诊人数已经超过61000人,
故选项A正确;
由折线图可知,从2月9日到2月21IL现有疑似人数超过累计确诊人数,故选项B正确;
由折线图可知,2月15日到2月21日降幅度在减小,故选项C错误;
由折线图可知,1月28日累计确诊人数不超过10000人,2月3日累计确诊人数超过20000人,
所以计确诊人数增加超过50%,故选项。正确.
故选:ABD.
利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势,对四个选项逐一分析判断即可.
本题考查了折线图的应用,读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键,属于基础
题.
10.答案:ACD
解析:解:函数f。)=3sin(2x+$的向左平移5个单位长度得到g(x)=3sin(2x+兀+$=
-3sin(2x+》的图象,
对于4由于xe*苧,则+"尊象所以函数g(x)在区间吟穹上单调递增,故A正确;
对于B:由于xw[一三勺,则2"+小[0,扪,所以函数g(x)在区间[―%勺上先减后增,故B错误;
对于C:当%=工时,9(工)=3,故C正确;
对于D:当x=g时,9©)=0,故。正确;
故选:ACD.
直接利用三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用判断4、8、C、。的结论.
本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运
算能力和数学思维能力,属于基础题.
11.答案:BC
解析:
本题考查的是新定义问题,解决此类问题,关键是读懂题意,理解新定义的本质,把新情境下的概
念、法则、运算化归到常规的数学背景中,运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可.
利用f(x)为(一8,-2]上的“4变函数”,得到/(x)=:f(x+2),然后求出/(x)的解析式,分xe
[-4,-3),xe[-3,-2)两段来研究函数f(x)的单调性以及最值,把问题转化为/(x)机讥Wg(t)向小
从而得到关于t的不等式,求出t的范围,再根据选项中给出的范围进行判断即可.
解:因为人乃为(―%—2]上的“4变函数”,
41
所以而筋二两’
故/(x)=;/(x+2),
当%6[—4,-2)时,X+2E[—2,0),
(1/1。以西1-4"W,-O3
所以/(%)=:/(%+2)=,
J-(1)X+\-3<X<-2
①当xe[―4,-3)时,/(X)=9log2&=;log2
因为y=,og2t和£=■-全都是单调递增,
故函数“X)单调递增,
所以/OOmin=/(-4)=[log2=一;,
/(%)</(-3)=/。92米=0,
②当%e[-3,-2)时,f(x)=[•G)x+1是单调递减函数,
此时/(x)>f(-2)="(}-2+1=2
fWmax=,(-3)=;X(|)-3+1=1,
若/(X)<有解,则有/(X)min<9©min,
所以一三整理可得今二20,
此+f4t>0_f4t<0
故由U+t_2z0或e1尸+t_2V0,
解得t>1或一2<t<0,
故t的取值范围为[—2,0)U[l,+00).
故选:BC.
12.答案:ABD
解析:解:设球。的半径为R,由4兀/?2=8兀,得R=&,故A正确;
将三棱锥S-4BC放置在长体中,
由2R=2夜=y/SA2+SB2+SC2,
得2&=V4+2+SC2,解得SC=夜,故B正确;
•••SA=2,SB=SC=V2.AB=AC=V6,BC=2,
△48c的面积为;x2X访二7=V5,
设S到平面ABC的距离为d「由等体积法可得
ixixV2xV2x2=1xV5xd1,
得S到平面ABC的距离山=型,故C错误;
在AABC中,cos/B4C=短枭=|,sinNB4C=圣
设△ABC外接圆的半径为r,则「=―?—=运,
2sinLBAC5
又外接球的半径R=近,二球心。到平面力BC的距离为d2=2-2=吏,
AI55
故。正确.
故选:ABD.
由球的表面积公式求出球的半径判断4再由分割补形法求得长方体的对角线长求解SC判断B;由等
体积法求S到平面4BC的距离判断C;求出三角形4BC外接圆的半径,利用勾股定理求得。到平面4BC
的距离判断C.
本题考查空间中点、线、面间的距离计算,考查多面体外接球表面积的求法,考查空间想象能力与
思维能力,考查运算求解能力,是中档题.
13.答案:2
解析:解:因为对任意X6R,都有f(x+2)"(x)=々为常数,
所以f(x+4)•/Q+2)=k,从而/(x+4)=/(x),
即的周期为4,
所以“2021)=/(1)=2,
故答案为:2.
根据/•(x+2)"(x)=k,求出/(x)是周期为4的周期函数,从而求出函数值即可.
本题考查了函数的周期性,考查函数求值问题,是一道基础题.
14.答案:560
解析:解:由题意可得2时1=64=26,.-.n=7,由于1—2x>的展开式的通项公式为T』[=的•
(-2)r-xr,
令r=4,可得44的系数为C?•(―=560,
故答案为:560.
由条件利用二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求得展开式中X,的系数.
本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,属于基础题.
15.答案:*或:
解析:解:TsinxE,
又xe(0,2兀),
九一457r
・・・X=二或
o6
故答案为:时或号.
由题意sinx的值结合范围xG(0,271),即可求得x的值.
本题主要考查三角方程的解法,特殊角的三角函数值,属于基础题.
16.答案:3
解析:解:因为A=(x\x2—1=0),
•••A={-1,1},
对于①,leA显然正确;
对于②,{一是集合与集合之间的关系,显然用e不对;
对于③,0QA,根据集合与集合之间的关系易知正确;
对于④,{1,一1}u4.同上可知正确.
故答案是:3.
本题考查的是集合元素与集合的关系问题.在解答时,可以先将集合4的元素进行确定.然后根据元
素的具体情况进行逐一判断即可.
本题考查的是集合元素与集合的关系问题.在解答的过程当中充分体现了解方程的思想、逐一验证
的技巧以及元素的特征等知识.值得同学们体会反思.
17.答案:解:(1)在AABC中,/(%)=2cosx(sinxcosA-cosxsinA)+sinA
=2sinxcosxcosA—2cos2xsinA+sinA=sin2xcosA—cos2xsinA=sin(2x—A),
在",处取得最大值,O居-4=2而+5kez,即4=r2k7r,keZ.
VAE(o,7i),・••4=
(2)由正弦定理号=七=三得sinB+sinC=—sinA,
sinAsinBsinCa
即改=^x攻,:b+c=13.
1472
222
由余弦定理小=b+c-2bccosA得cP=(b+c)—2bc—2bccosAf即49=169-3bc,・•.be=40,
・•・S»ABC=|bcsinA=|x40x=10V3.
解析:(1)在△ABC中,利用三角函数的恒等变化化简/(%)的解析式为/(x)=sin(2x—A),youf(x)
在%=工处取得最大值,可得2X工一/=2"+枭fcGz,结合/£(0,兀),可得4的值.
(2)由正弦定理二三=-AT==一得sinB+sinC=—sinA化简可得b+c=13.由余弦定理小=
''sinAsinBsinCaf
h24-c2-2bccosA,可得be=40,由此求得S-B。=/bcsinA的值.
本题主要考查三角函数的恒等变换,正弦函数的对称性,正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题.
18.答案:解:(1)由点6M,册+1+1)在函数/(%)=2%+3的图象上,
则Qn+i+1=2x1an+3,
an+l一qn=2,
数列{%}是以2为首项,以2为公差的等差数列,an=2+2(n—l)=2n;
:•数列{an}的通项公式即=2n;
(2)数列为=2®=22n=4",
数列{砥}是以4为首项,4为公比的等比数列,
数列也}的前n项和〃,^=^=2=^p=^(4n-l),
数列{b}的前n项和7;
解析:⑴由点(”„,即+1+1)在函数/(x)=2x+3的图象上,代入可知:an+1-an=2,数列{册}是
以2为首项,以2为公差的等差数列,即可求得数列{aj的通项公式;
(2)数列垢=2/=22n=空,数列{%}是以4为首项,4为公比的等比数列,利用等比数列前n项和,
即可求得数列{%}的前n项和葛.
本题考查等比数列通项公式及前n项和公式,考查计算能力,属于中档题.
19.答案:解:随机猜对问题4的概率A=;,随机猜对问题B的概率「2=也
回答问题的顺序有两种,分别讨论如下:
(1)先回答问题4再回答问题B.
参与者获奖金额f可取0,m,zn+n,则
4141
P(f=0)=1-P】=Z,P(f=m)=P1(1-P2)=-x-=-,
P(f=m+n)=PiP2=;X1=点.
Ef=mx|+(m+n)xi=^+^
(2)先回答问题B,再回答问题A,
参与者获奖金额〃可取0,n,m+n,
则PS=0)=1—P2=柒pQl=n)=P2(l-Pi)=|x|=^,
l4,3,,、1m,n
En=0x-+nx——F(zm+n)x—=——F
1520V720205
球f=£+^Y+*誓
于是,当友>3时,Ef>E?7,先回答问题4,再回答问题B,获奖的期望值较大;
当?=1时,Ef=E小两种顺序获奖的期望值相等;
当时,Ef<E力先回答问题B,再回答问题4获奖的期望值较大.
解析:随机猜对问题4的概率B=;,随机猜对问题B的概率22=2.回答问题的顺序有两种,分别讨
论如下:先回答问题4再回答问题B.先回答问题B,再回答问题4做出两种情况下的获胜的期望,
进行比较,分类讨论.
期望是概率论和数理统计的重要概念之一,是反映随机变量取值分布的特征数,学习期望将为今后
学习概率统计知识做铺垫.同时,它在市场预测,经济统计,风险与决策等领域有着广泛的应用,
为今后学习数学及相关学科产生深远的影响.
20.答案:(1)证明:取4D的中点。,由正APAD可得PO14D,
•••平面24。1平面4BCD,平面PADn平面4BCD=AD,POu平面P4D,
PO1平面ABCD,
•••CDu平面4BCD,•••PO1CD.
又•.•C0J.4D,POC^AD=0,PO、4。u平面PAD,
•••CD1平面P/D,
•••AEu平面pan,
•••CD1AE.
(2)证明:由(1)可知:CD1AE.
•••E为正三角形PAD的边PC的中点,AE1PD.
vCDCPD=D,CD、PDu平面PCD,
■■■AEJL平面PCD.
(3)解:由(2)可知:4E1平面PCD.
•••2CE即为直线"与平面PCD所成的角.
不妨设4。=2.
则4E=百,AC=2V2.
.,4八厂4Ey/6
sinZ.i4Cis=—=—»
AC4
.••直线AC与平面PCD所成的角的大小的正弦值为"
4
解析:本题考查线面、面面垂直的判定定理和性质定理、正三角形的性质、线面角的定义,属于中
档题.
(1)利用线面、面面垂直的判定定理和性质定理即可证明;
(2)利用(1)的结论和正三角形的性质、线面垂直的判定定理即可证明;
(3)利用(2)的结论和线面角的定义即可知道乙4CE即为所求的线面角.
21.答案:解:(1)设S(x,y)曲线「上的任意一点,
由题意可得:点S到尸(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等,
曲线r是以尸为焦点直线y=-1为准线的抛物线,
•••曲线「的方程为:x2=4y;
(2)当点P在曲线r上运动(点P与原点不重合)时,线段4B的长度不变,
证明如下:由(1)可知抛物线的方程为y=
设P(xo,yo)(x()=0)则=[端,
,x
由y'=1%得切线,的斜率k=y\x=x0=|o>
二切线,的方程为:y-%=-殉),
即y=;&刀一评.
由{1表。“一牌得眠与⑼,
由?二不。尢-海得M(1°+33),
又N(0,3),
所以圆心定1出+2/,3),半径r=1^|MN|=|1次+23,
4XQL4XQ
|阴=川恒2-浮=碍。一(沁+])K+32_()。+,=瓜
・・•点P在曲线「上运动(点P与原点不重合)时,线段48的长度不变.
解析:本题考查轨迹方程的求法,直线与抛物线的位置关系的应用,圆的方程,函数的导数等的应
用,属于较难题.
(1)设S(x,y)为曲线「上的任意一点,利用抛物线的定义,判断S满足抛物线的定义,即可求曲线「的
方程;
(2)通过抛物线方程利用函数的导数求出切线方程,求出4、M的坐标,N的坐标,以MN为直径作圆
C,求出圆心坐标,半径,即可证明当点P在曲线r上运动(点P与原点不重合)时,线段ZB的长度不
变.
22.答案:解:(1)由题意=|4F|.|BD|=|BE|,|CE|=
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