2021届湖南省长沙市某中学高考数学模拟试卷(二)附答案解析

2021届湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷（二）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.已知P={a\a=(1,0)+mER].Q={b\b=(1,1)+n(-l,l).nG町是两个向量集合,

则PCQ=()

A.[(1,1)}B.[(-1.1)}C.[(1,0))D.[(0,1)}

2.复数z=?i。是虚数单位)，则|z+l|=()

A.2V2B.3C.4D.8

3.设a,b€R,则“a,b都等于0”的必要不充分条件为()

A.Va24-h2<0B.a2+62>0C.ab0D.a+b=0

4.已知非零向量五，了满足|卜且（五+3方）1至，则4与方的夹角为（）

D57r九27r

AjB・C.§D,—

5.函数/（x）=黑荒在［―兀,布的图象大致是（）

D.

6.已知数列｛即｝是等差数列，且。3+%1=20,则2即1-%5=()

A.10B.9C.8D.7

7.双曲线5-丫2=1(771>0的一条渐近线方程为》+2、=0,那么它的离心率为()

A.V3B.V5C.渔D.在

22

8.过长方体一个顶点的三条棱长分别为1,2,3,则长方体的一条对角线长为()

A.2V3B.V14C.5D.6

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.已知如图为2020年1月10日至U2月21日我国新型冠状肺炎累计确认人数及现有疑似人数趋势图，

则下面结论正确的是()

8OOOO-----------------------------------------------------------s

/•••

6000()/

*■

4(NN)0---------------------------------------尸―-------

KXMM)

0***

1.101.161.221.282.32.92.152.21

A.截至2020年2月15日，我国新型冠状肺炎累计确诊人数已经超过61000人

B.从2月9日至U2月21日，现有疑似人数超过累计确诊人数

C.从2月9日到2月21日，现有疑似人数下降幅度一直在增加

D.1月28日与2月3日相比较，累计确诊人数增加超过50%

10,将函数/(%)=35讥(2%+弱的向左平移5个单位长度得到9(乃的图象，则下列判断正确的是()

A.函数g(x)在区间或为上单调递增

B.函数g(x)在区间［一1币上单调递减

C.函数g(x)图象关于直线x="对称

D.函数g(x)图象关于点©,0)对称

11.若函数/(x)在区间M上满足77着=木，则称/(x)为M上的“a变函数”，对于a变函数/(x),

/【兀十/1/\X)

若/(X)Wg(t)有解，则称满足条件的唯为“a变函数/Q)的衍生解”•已知f(x)为(-8,-2]上的

(l-og27-7,(-2<x<-1)

“4变函数”，且当久6[—2,0)时,/(无)=，1㈤，9«)=：-2,当[―4,—2)

[(|y-1,(-i<x<o)

时，则下列哪些是4变函数f(x)的衍生解()

A.(0,1)B.[-2,0)C.[l,+oo)D.(-00,-2]

12.已知三棱锥S-48c的顶点均在表面积为8兀的球。的球面上，SA,SB、SC两两垂直，SA=2,

SB=V2,则下列结论中正确的是()

A.球。的半径为让B.SC=V2

C.S到平面4BC的距离为在D.。到平面力8c的距离为更

55

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知函数y=f(x),对任意xeR,都有/(x+2)"(x)=k(k为常数)，且当x6[0,2]时，/(x)=

x2+1,贝叶(2021)=.

14.已知(l-2x)n的展开式中，奇数项的二项式系数之和是64,则(1-2%产的展开式中，X4的系数

为.

15.sinx=pxe(0,2兀)，则x=.

16.已知集合4={x\x2-1=0},则下列式子表示正确的有个；

©1eA；②{-1}"；@0£A；(4){1,-1}CA.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.在△ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,函数/'(x)=2cosxsin(x—4)+sin4(xeR)在

"居处取得最大值.

(1)求角4的大小.

(2)若a=7且sinB+s讥C=譬，求AABC■的面积.

18.已知数列{a"，的=2,点(：即,册+1+1)在函数f(x)=2x+3的图象上.

(1)求数列{斯}的通项公式；

(2)若数列垢=2即，求数列{%}的前n项和

19.为迎接2011“兔”年的到来，某机构举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题：问题4有

四个选项，问题B有五个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题4可获奖金m元，正

确回答问题B可获奖金n元.活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序：如果第一个问题回

答错误，则该参与者猜奖活动中止，一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，因而

准备靠随机猜测回答问题，试确定回答问题的顺序使获奖金额的期望值较大.

20.如图，已知正三角形PAD,正方形ZBCD,平面PAD_L平面ABCD,

E为PD的中点.

(1)求证：CD14E；

(2)求证：4E_L平面PCD；

(3)求直线4c与平面PCD所成的角的大小的正弦值.

21.已知曲线厂上的点到点F(0,l)的距离比它到直线y=—3的距离小2.

(1)求曲线「的方程.

(2)曲线r在点P处的切线/与x轴交于点A,直线y=3分别与直线1及y轴交于点M,N.以MN为直

径作圆C,过点4作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线「上运动(点P与原点不重合)时,

线段4B的长度是否发生变化？证明你的结论.

22.如图，△ABC的内切圆与三边4B、BC、C4的切点分别为。、E、F,已知B(—四,0),C(夜,0)，

内切圆圆心设4点的轨迹为L

(1)求L的方程；

(2)过点C作直线m交曲线L于不同的两点M、N,问在X轴上是否存在一个异于点C的定点Q.使鬻=

\QM\

需对任意的直线zn都成立？若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

先根据向量的线性运算化简集合P，Q，求集合的交集就是寻找这两个集合的公共元素，通过列方程

组解得.

解：由已知可求得P={(l,m)},Q={(l—n,l+n)},

再由交集的含义，有丁=『=)，

=1+九=1

则PCQ={(1,1)).

故选A.

2.答案：A

解析：解：复数z=*i=智=l-2i,

II2

•••|z+1|=|2-2i|=y/22+(-2)2=2V2.

故选：A.

根据复数代数形式的运算法则，利用复数模长公式计算即可.

本题考查了复数代数形式的运算法则与复数模长的计算问题，是基础题.

3.答案：D

解析：解：对于4,a=b=O,故A是“a,b都等于0”充要条件，

对于B,a,b至多有一个为0,即不充分也不必要，

对于C：a,b都不为0,即不充分也不必要，

对于D,a=b=0,或a,b都不为0,必要不充分条件

故选：D.

根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据定义进行判断即可，比较基础.

4.答案:B

解析：解：设苍与石的夹角为氏

因为(五+39)1万，

所以(五+3b),b=0,即石+3片=()•

所以|初-\b\cos9+3\b\2=0

根据题意，有2遍|石|•|B|cos8+3|B|2=0,

因为|b|力0，所以解得cos。=—=,

即。=口.

6

故选：B.

通过向量的垂直关系，利用下和方的数量积，求得两向量的夹角.

本题考查对平面向量数量积的性质及其运算，需要灵活掌握数量积与向量夹角的变形，属于基础题.

5.答案：C

解析：解：•."(())=?=—1,.•・排除选项8和。；

令g(x)=xsinx-1,则g(0)=-1<0,g(])=^-1>0,

•g(o)•里)<o，

存在久oe(0弓)，使得g(&)=0,即/(g)=0,

二排除选项A.

故选：C.

由/(0)=-1,可排除选项8和D；比较选项A和C,只需考虑f(无)的零点问题,于是令g(x)=xsinx-1,

再结合零点存在性定理进行判断即可作出选择.

本题考查函数图象的识别，一般可从函数的单调性、奇偶性、零点个数问题或特殊点处的函数值等

方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

6.答案：A

解析：解：数列｛斯｝是等差数列，且。3+%1=20,

则a1+2d+a1+10d=20,

即a1+6d=10,

则2ali—a15=2al+20d—-14d=a1+6d=10,

故选：A.

根据通项公式求出由+6d=10,再根据通项公式可得2ali-a15=ar+6d=10.

本题考查等差数列的通项公式的合理运用，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题.

7.答案：D

解析：解：•••双曲线5-y2=i(7n>c)的一条渐近线方程为x+2y=0,

可得高=也二巾=4,

•・•双曲线的离心率e=£=叱.

a2

故选：D.

根据双曲线5-y2=l(m>c)的一条渐近线方程为x+2y=0,列出方程，求出m的值即可.

本题考查了双曲线离心率，属于中档题.

8.答案：B

解析：解：•••长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3,

二长方体的对角线长为：Vl2+22+32=V14

故选：B.

直接用长方体的对角线的公式，求出长方体的对角线长即可.

本题给出长方体的长、宽、高，求长方体体对角线长的问题，属于基础题.

9.答案：ABD

解析：解：由折线图可知，截至2020年2月15日，我国新型冠状肺炎累计确诊人数已经超过61000人，

故选项A正确；

由折线图可知，从2月9日到2月21IL现有疑似人数超过累计确诊人数，故选项B正确；

由折线图可知，2月15日到2月21日降幅度在减小，故选项C错误；

由折线图可知，1月28日累计确诊人数不超过10000人，2月3日累计确诊人数超过20000人，

所以计确诊人数增加超过50%,故选项。正确.

故选：ABD.

利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可.

本题考查了折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础

题.

10.答案:ACD

解析：解：函数f。)=3sin(2x+$的向左平移5个单位长度得到g(x)=3sin(2x+兀+$=

-3sin(2x+》的图象，

对于4由于xe*苧，则+"尊象所以函数g(x)在区间吟穹上单调递增，故A正确；

对于B：由于xw[一三勺，则2"+小[0,扪，所以函数g(x)在区间[―%勺上先减后增，故B错误；

对于C：当％=工时，9(工)=3,故C正确；

对于D：当x=g时，9©)=0,故。正确；

故选：ACD.

直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用判断4、8、C、。的结论.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运

算能力和数学思维能力，属于基础题.

11.答案：BC

解析：

本题考查的是新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概

念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可.

利用f(x)为(一8,-2]上的“4变函数”，得到/(x)=：f(x+2),然后求出/(x)的解析式，分xe

[-4,-3),xe[-3,-2)两段来研究函数f(x)的单调性以及最值，把问题转化为/(x)机讥Wg(t)向小

从而得到关于t的不等式，求出t的范围，再根据选项中给出的范围进行判断即可.

解：因为人乃为(―%—2]上的“4变函数”，

41

所以而筋二两’

故/(x)=；/(x+2),

当％6[—4,-2)时，X+2E[—2,0),

(1/1。以西1-4"W,-O3

所以/(%)=：/(%+2)=，

J-(1)X+\-3<X<-2

①当xe[―4,-3)时，/(X)=9log2&=；log2

因为y=，og2t和£=■-全都是单调递增,

故函数“X)单调递增，

所以/OOmin=/(-4)=[log2=一；,

/(%)</(-3)=/。92米=0,

②当％e[-3,-2)时，f(x)=[•G)x+1是单调递减函数,

此时/(x)>f(-2)="(}-2+1=2

fWmax=，(-3)=；X(|)-3+1=1,

若/(X)<有解，则有/(X)min<9©min，

所以一三整理可得今二20,

此+f4t>0_f4t<0

故由U+t_2z0或e1尸+t_2V0,

解得t>1或一2<t<0,

故t的取值范围为[—2,0)U[l,+00).

故选：BC.

12.答案：ABD

解析：解：设球。的半径为R,由4兀/?2=8兀，得R=&,故A正确;

将三棱锥S-4BC放置在长体中，

由2R=2夜=y/SA2+SB2+SC2,

得2&=V4+2+SC2,解得SC=夜，故B正确；

•••SA=2,SB=SC=V2.AB=AC=V6，BC=2,

△48c的面积为；x2X访二7=V5,

设S到平面ABC的距离为d「由等体积法可得

ixixV2xV2x2=1xV5xd1,

得S到平面ABC的距离山=型，故C错误；

在AABC中，cos/B4C=短枭=|,sinNB4C=圣

设△ABC外接圆的半径为r,则「=―?—=运,

2sinLBAC5

又外接球的半径R=近，二球心。到平面力BC的距离为d2=2-2=吏,

AI55

故。正确.

故选：ABD.

由球的表面积公式求出球的半径判断4再由分割补形法求得长方体的对角线长求解SC判断B；由等

体积法求S到平面4BC的距离判断C；求出三角形4BC外接圆的半径，利用勾股定理求得。到平面4BC

的距离判断C.

本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与

思维能力，考查运算求解能力，是中档题.

13.答案：2

解析：解：因为对任意X6R,都有f(x+2)"(x)=々为常数，

所以f(x+4)•/Q+2)=k,从而/(x+4)=/(x),

即的周期为4,

所以“2021)=/(1)=2,

故答案为：2.

根据/•(x+2)"(x)=k,求出/(x)是周期为4的周期函数，从而求出函数值即可.

本题考查了函数的周期性，考查函数求值问题，是一道基础题.

14.答案:560

解析：解：由题意可得2时1=64=26,.-.n=7,由于1—2x＞的展开式的通项公式为T』［=的•

(-2)r-xr,

令r=4,可得44的系数为C?•(―=560,

故答案为：560.

由条件利用二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求得展开式中X，的系数.

本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题.

15.答案：*或:

解析：解：TsinxE，

又xe(0,2兀),

九一457r

・・・X=二或

o6

故答案为：时或号.

由题意sinx的值结合范围xG(0,271),即可求得x的值.

本题主要考查三角方程的解法，特殊角的三角函数值，属于基础题.

16.答案：3

解析：解：因为A=(x\x2—1=0),

•••A={-1,1},

对于①，leA显然正确；

对于②，{一是集合与集合之间的关系，显然用e不对；

对于③，0QA,根据集合与集合之间的关系易知正确；

对于④，{1,一1}u4.同上可知正确.

故答案是：3.

本题考查的是集合元素与集合的关系问题.在解答时，可以先将集合4的元素进行确定.然后根据元

素的具体情况进行逐一判断即可.

本题考查的是集合元素与集合的关系问题.在解答的过程当中充分体现了解方程的思想、逐一验证

的技巧以及元素的特征等知识.值得同学们体会反思.

17.答案：解：(1)在AABC中，/(%)=2cosx(sinxcosA-cosxsinA)+sinA

=2sinxcosxcosA—2cos2xsinA+sinA=sin2xcosA—cos2xsinA=sin(2x—A),

在",处取得最大值，O居-4=2而+5kez,即4=r2k7r,keZ.

VAE(o,7i),・••4=

(2)由正弦定理号=七=三得sinB+sinC=—sinA,

sinAsinBsinCa

即改=^x攻，:b+c=13.

1472

222

由余弦定理小=b+c-2bccosA得cP=(b+c)—2bc—2bccosAf即49=169-3bc,・•.be=40,

・•・S»ABC=|bcsinA=|x40x=10V3.

解析：(1)在△ABC中，利用三角函数的恒等变化化简/(%)的解析式为/(x)=sin(2x—A),youf(x)

在％=工处取得最大值，可得2X工一/=2"+枭fcGz,结合/£(0,兀)，可得4的值.

(2)由正弦定理二三=-AT==一得sinB+sinC=—sinA化简可得b+c=13.由余弦定理小=

''sinAsinBsinCaf

h24-c2-2bccosA,可得be=40,由此求得S-B。=/bcsinA的值.

本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的对称性，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.

18.答案：解：(1)由点6M,册+1+1)在函数/(%)=2%+3的图象上，

则Qn+i+1=2x1an+3,

an+l一qn=2，

数列｛%｝是以2为首项，以2为公差的等差数列，an=2+2(n—l)=2n；

:•数列｛an｝的通项公式即=2n；

(2)数列为=2®=22n=4",

数列｛砥｝是以4为首项，4为公比的等比数列，

数列也｝的前n项和〃，^=^=2=^p=^(4n-l),

数列｛b｝的前n项和7；

解析：⑴由点(”„,即+1+1)在函数/(x)=2x+3的图象上，代入可知：an+1-an=2,数列｛册｝是

以2为首项，以2为公差的等差数列，即可求得数列｛aj的通项公式；

(2)数列垢=2/=22n=空，数列｛%｝是以4为首项，4为公比的等比数列，利用等比数列前n项和，

即可求得数列｛%｝的前n项和葛.

本题考查等比数列通项公式及前n项和公式，考查计算能力，属于中档题.

19.答案：解：随机猜对问题4的概率A=；,随机猜对问题B的概率「2=也

回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：

(1)先回答问题4再回答问题B.

参与者获奖金额f可取0,m,zn+n,则

4141

P(f=0)=1-P】=Z，P(f=m)=P1(1-P2)=-x-=-,

P(f=m+n)=PiP2=;X1=点.

Ef=mx|+(m+n)xi=^+^

(2)先回答问题B,再回答问题A,

参与者获奖金额〃可取0,n,m+n,

则PS=0)=1—P2=柒pQl=n)=P2(l-Pi)=|x|=^,

l4,3,,、1m,n

En=0x-+nx——F(zm+n)x—=——F

1520V720205

球f=£+^Y+*誓

于是，当友>3时,Ef>E?7,先回答问题4,再回答问题B,获奖的期望值较大;

当?=1时,Ef=E小两种顺序获奖的期望值相等；

当时,Ef<E力先回答问题B,再回答问题4获奖的期望值较大.

解析：随机猜对问题4的概率B=；,随机猜对问题B的概率22=2.回答问题的顺序有两种，分别讨

论如下：先回答问题4再回答问题B.先回答问题B,再回答问题4做出两种情况下的获胜的期望，

进行比较，分类讨论.

期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后

学习概率统计知识做铺垫.同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，

为今后学习数学及相关学科产生深远的影响.

20.答案：（1）证明：取4D的中点。，由正APAD可得PO14D,

•••平面24。1平面4BCD,平面PADn平面4BCD=AD,POu平面P4D,

PO1平面ABCD,

•••CDu平面4BCD,•••PO1CD.

又•.•C0J.4D,POC^AD=0,PO、4。u平面PAD,

•••CD1平面P/D,

•••AEu平面pan,

•••CD1AE.

（2）证明:由（1）可知：CD1AE.

•••E为正三角形PAD的边PC的中点，AE1PD.

vCDCPD=D,CD、PDu平面PCD,

■■■AEJL平面PCD.

(3)解：由(2)可知：4E1平面PCD.

•••2CE即为直线"与平面PCD所成的角.

不妨设4。=2.

则4E=百，AC=2V2.

.,4八厂4Ey/6

sinZ.i4Cis=—=—»

AC4

.••直线AC与平面PCD所成的角的大小的正弦值为"

4

解析：本题考查线面、面面垂直的判定定理和性质定理、正三角形的性质、线面角的定义，属于中

档题.

(1)利用线面、面面垂直的判定定理和性质定理即可证明;

(2)利用(1)的结论和正三角形的性质、线面垂直的判定定理即可证明;

(3)利用(2)的结论和线面角的定义即可知道乙4CE即为所求的线面角.

21.答案：解：(1)设S(x,y)曲线「上的任意一点，

由题意可得：点S到尸(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等，

曲线r是以尸为焦点直线y=-1为准线的抛物线，

•••曲线「的方程为：x2=4y；

(2)当点P在曲线r上运动(点P与原点不重合)时，线段4B的长度不变,

证明如下：由(1)可知抛物线的方程为y=

设P(xo，yo)(x()=0)则=[端，

,x

由y'=1%得切线，的斜率k=y\x=x0=|o>

二切线，的方程为：y-%=-殉)，

即y=；&刀一评.

由｛1表。“一牌得眠与⑼，

由?二不。尢-海得M(1°+33),

又N(0,3),

所以圆心定1出+2/,3),半径r=1^|MN|=|1次+23，

4XQL4XQ

|阴=川恒2-浮=碍。一(沁+])K+32_()。+，=瓜

・・•点P在曲线「上运动(点P与原点不重合)时，线段48的长度不变.

解析：本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，圆的方程，函数的导数等的应

用，属于较难题.

(1)设S(x,y)为曲线「上的任意一点，利用抛物线的定义，判断S满足抛物线的定义，即可求曲线「的

方程；

(2)通过抛物线方程利用函数的导数求出切线方程，求出4、M的坐标，N的坐标，以MN为直径作圆

C,求出圆心坐标，半径，即可证明当点P在曲线r上运动(点P与原点不重合)时，线段ZB的长度不

变.

22.答案:解：（1）由题意=|4F|.|BD|=|BE|,|CE|=