2021年浙江省宁波市慈溪实验某中学中考数学四模试卷（附详解）

2021年浙江省宁波市慈溪实验高级中学中考数学四模试

卷

1.8的立方根是（）

A.—4B.—2C.2D.16

2.2021年5月11日，第七次全国人口普查结果为141178万人，141178万人用科学记

数法表示为（）

A.14.1178x104AB.14.1178xlO8A

C.1.41178x105人D.1.41178x人

4.某校举行诗词大赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙三名同学，则甲、乙两位同学获得

前两名的概率是（）

A.B.1C.|D.

三2336

5.已知数据3,4,x,5,7的平均数为4.4,则中位数为（）

D.8

7.如图，在ABC中，ZC=90°,AC=1,BC=曲,若把△ABCB

绕边AB所在的直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（

A.（V3+3）TT

V3+3

D.---71

2

C.2y/371

D.（2V3+3）TT

8.如图，二次函数、=a/+bx+c（a>0）的图象与x轴交

于4,B两点，与y轴正半轴交于点C,它的对称轴为直线

工=一1.则下列选项中正确的是（）

A.abc<0

B.4ac—b2>0

C.c-a<0

D.b<2c

9.如图，已知，在平行四边形4BCD中，/-DAB=60°,AB=4,AD=2,把平行四

边形沿直线/C折叠，点B落在点E处，连接。E,则DE的长度为（）

10.如图是由7个等边三角形拼成的图形，若要求出阴影部分的面积，则只需要知道（）

C.③和②的面积差D.⑤和②的面积差

11.因式分解：1-4/=

fx-2>3

12.不等式组的解集为

第2页，共26页

13.如图，AB//CD,E尸分别与AB,CD交于点B,F.若NE=

30°,乙EFC=130°,贝吐4=.

14.如图，已知AB与OO相切于点4,C是。。上一点，

连接BC,若4C=6,AB=8,。0的半径为5,则

△ABC的面积=.

15.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=依和反比例函数交于点4过点4作04的

垂线交反比例函数于点B,若票=|，则|=.

16.如图，在以4B为直径的半圆。中，。是半圆的三等分点，点P是弧BC上一动点，连

接CP,4P,作0M垂直CP交力「于可，连接BN,若4B=12,则NB的最小值是.

17.⑴计算：2sin30°+|V3-2|-(2021-兀)°-(1)-2；

(2)先化简，再求值六+公，其中x=-4.

18.在正方形网格中，仅用无刻度直尺按下列要求作图.

(1)如图①中，在48上找点C,使得4C：BC=2：3；

(2)在图②中作乙D4B使得tan/£MB3

5

।।।।■

J*''»'1'«,

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I*■Il****4^^I•

L・—<.—

［,••«B•：［।二,B,

'____IIIl__J［一」_।__j_____1二j____

①②

19.如图，为测量学校旗杆的高度，小齐在教学一楼站立望旗杆顶端4的仰角是45。，在

三楼站立望旗杆顶端4的仰角是30。，已知每层楼高度为4米，小齐站立时，眼睛离

地1.5米.

(1)求NCAD的度数.

(2)求旗杆高度.(结果保留根号)

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20.如图，一次函数%=—x+：的图象与反比例函数丫2=：的图象交于4B两点，己

知A40C的面积为|.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)求4、8的坐标并根据图象，直接写出当月＞、2时，x的取值范围.

21.某学校开展了防疫知识的宣传教育活动.为了解这次活动的效果，学校从全校1200

名学生中随机抽取部分学生进行知识测试(测试满分100分，得分均为不小于60的

整数)，并将测试成绩分为四个等第：基本合格(60<x<70),合格(70<x<80),

良好(804x<90),优秀(90MxW100),制作了如图统计图(部分信息未给出).

由图中给出的信息解答下列问题：

(1)求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数分布直方图.

(2)求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数.

(3)如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得良好以上(

包括良好)的学生有多少人？

22.如图，C,。为。。上两点，且在直径4B两侧，连结CD交

4B于点E,G是筋上一点，/-ADC=ZG.

(1)求证：z.1=Z.2.

(2)点C关于CG的对称点为F,连结CF.当点F落在直径AB

上时，CF=10,tanzl=求。。的半径.

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23.如图，边长为4的正方形。ABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点4,

点P是抛物线上点4,C间的一个动点(含端点)，过点P作尸MJ.04于点M,点Q的坐

标为(0,3),连接PQ.

(1)求出抛物线的解析式；

(2)当点P与点4或点C重合时，PQ+PM=,小聪猜想：对于4,C间的任

意一点P,PQ与PM之和是一个固定值，你认为正确吗，判断并说明理由；

(3)延长MP交8C于点N,当“PQ为锐角，cosZNPQ=g时，求点P的坐标.

24.如图(1),在平面直角坐标系中，。为原点，点4是y轴的正半轴上的动点，点B是x轴

的正半轴上的动点，连结48,以A为直角顶点作等腰直角三角形ABC(点B、4、C按

顺时针方向排列)，以y轴为对称轴作等腰三角形力BE,直线CE交y轴于点F.

0x

备用图

⑴若40AB=20°,求乙4CE的度数.

(2)连结BF,请你用等式写出关于EF,C尸和2B的数量关系，并结合图(1)加以证明.

(3)当点4,点B在运动过程中，若AB=爬,EF-CF=3,求EC的长，并直接写出

此时点C的坐标.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：•.・23=8,

•1-V8=2>

故选：C.

根据立方根的定义解答即可.

本题考查了立方根的定义，注意立方根与立方之间的联系.

2.【答案】D

【解析】解：141178万=1411780000=1.41178X109.

故选：D.

科学记数法的表示形式为ax10皿的形式，其中1式同<10,n为整数.确定n的值时，

要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原

数绝对值210时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1W

|a|<10,n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值.

3.【答案】B

【解析】解：4不是轴对称图形，本选项不符合题意；

区是轴对称图形，本选项符合题意；

C.不是轴对称图形，本选项不符合题意；

D不是轴对称图形，本选项不符合题意.

故选：B.

结合轴对称图形的概念求解即可.如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个

图形关于这条直线（成轴）对称.

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可

重合.

4.【答案】B

【解析】解：画树状图如下,

开始

由树状图可知：所有等可能的结果有6种，其中甲、乙两位同学获得前两名的有2种,

••・甲、乙两位同学获得前两名的概率为;=；,

OO

故选：B.

先画出树状图，再求出概率即可.

本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能

的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有

可能的结果，通常采用树形图.

5.【答案】B

【解析】解：•.•数据3,4,X,5,7的平均数是4.4,

:.x=4.4x5—3—4—5—7=3,

这组数据为3,3,4,5,7,

则中位数为4.

故选：B.

根据平均数的计算公式先求出x的值，然后将数据按照从小到大依次排列即可求出中位

数.

本题考查了中位数、平均数，将数据从小到大依次排列是解题的关键，是一道基础题,

比较简单.

6.【答案】D

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【解析】解：过。作于C,连接04则40a4=90。,

A=3,

OC=-2M0

在RtaOCA中，由勾股定理得：AC=>JOA2-OC2=V52-32=4，

•••OC1AB,OC过0,

•••BC=AC,

即AB=2AC=2x4=8,

故选：D.

过。作0C14B于C,连接04,根据含30。角的直角三角形的性质得出OC=：M。=3,

根据勾股定理求出4C,再根据垂径定理得出4B=2AC,最后求出答案即可.

本题考查了含30。角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，能熟记垂直

于弦的直径平分弦是解此题的关键.

7.【答案】B

【解析】解：•••RtAABC中，44cB=90。，AC=1,BC=遮，

AB=心+(a2=2，

设48边上的高为h,则［x2八=1x1xg,

解得：h=旦,

2

•••所得两个圆锥底面半径为3.

2

二几何体的表面积=-X27TX—xl+ix27rx—xV3=迪三兀.

22222

故选：B.

所得几何体的表面积为两个圆锥侧面积的和.

此题主要考查了圆锥的有关计算，正确确定旋转后的图形得出以AB边上的高为半径的

圆的弧长是解题的关键.

8.【答案】C

【解析】解：由图象开口向上，可知a>0,

与y轴的交点在%轴的上方，可知c>0,

又对称轴方程为x=—l,所以一餐<0,所以b>0,

2a

abc>0,故A错误；

•・•二次函数y=ax2+bx+C(Q>0)的图象与％轴交于4,8两点,

••・b2-4ac>0,

・•・4ac-b2<0,故8错误；

b—2a,

,・•当％=—1时，y=Q—b+cVO,

Aa—2a+c<0,

c-a<0,故C正确；

:当％=-1时，y<0,

・•・a—b+c<0,

b1

v---2--a=-1,

1,

a=­b,

2

：♦一1b+c<0,

2

・•・b>2c,故拉错误，

故选：C.

由图象开口向上，可知Q>0,与y轴的交点在x轴的上方，可知c>0,根据对称轴方程

得到b>0,于是得到Q儿>0,故A错误；根据二次函数y=。/+板+。9>0)的图

象与工轴的交点，得到匕2一4砒>0,求得4ac-b2<o,故3错误；根据对称轴方程得

到力=2Q,当％=-1时，y=a-b+c<0,于是得到c-aVO,故C正确；当％=-1

时，y=a—b+c<0,a=于是得到一gb+c<0,即b>2c,,故。错误.

本题主要考查二次函数的图象和性质.熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程

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的关系是解题的关键.

9.【答案】B

【解析】解：如图，过点。和点C作。MJ.4B于点M,CN1AB延长线于点N,

由翻折对称性可知：^ABC=^AEC^^ADC,

AD=BC=CE,/.DAC=乙BCA=/.ECA,

四边形ADEC是等腰梯形，

连接BE,

■■■AB=AE,CB=CE,

••.AC是BE的垂直平分线，

•••/.DAB=60°,AD=2,

AM=1,DM=V3.

:.CN=DM=V3,BN=AM=1,

•••AN=4B+BN=4+1=5,

AC=>JAN2+CN2=V25+3=2用,

"S平行四边形ABCD=AB-CM=AC-BF,

4XV3=2夕BF,

DL2V21

BF=----，

7

•••CF=yjBC2-BF2=J22_（穿尸=竽，

在等腰梯形4DEC中，

DE=AC-2CF=2y/7-2x—=—.

77

故选：B.

过点D和点C作DM1AB于点M,CN14B延长线于点N,由翻折对称性可得△ABCmA

AEgADC,可以证明四边形4DEC是等腰梯形,连接BE,可得4c是BE的垂直平分线，

利用勾股定理可得AC的长，再根据平行四边形的面积和三角形的面积列式可得BF的长,

根据勾股定理可得CF的长，进而可得DE的长.

本题考查了平行四边形的性质，图形的翻折变换，掌握等腰三角形的性质以及翻折变换

前后对应相等情况是解题关键.

10.【答案】B

【解析】设每个等边三角形边长为X”，・•.每个三角形面积为夜堤.

4

,阴影部分面积S=¥为3(%3—%2)・

•*---*v*_I

,人i一43人"2,4]।43—人*4，

④与②面积差等于f(媛一蟾)=f(%+%2)(%4_乂2)-

・.•%1=%3—%2,%+%=%4，

，化简得-％2)・

••.观察上式可得阴影面积与④与②面积差相差四倍，则只需知道④和②的面积差.

故选：B.

(1)因全为等边三角形，所以面积差可算出边长的平方差.

(2)若两个等边三角形有一条公共边，则两三个角形全等.

(3)阴影部分面积可由③的面积减去②的边长乘③的高得到.

此题主要是运用了三角形面积和多项式的变形来进行计算.

11.【答案】(1+2x)(1-2%)

【解析】解:l-4x2=(1+2x)(1-2x).

故答案为：(1+2x)(1-2%).

直接利用平方差公式分解因式得出答案.

此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键.

12.【答案】5<%<9

仁一2>3①

【解析】解：-1,,整，

丁W4②

由①得，x>5,

第14页，共26页

由②得，x<9,

故不等式组的解集为：5<x<9.

分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可.

本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大

大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

13.【答案】20°

【解析】解：-.-AB//CD,

4ABF+乙EFC=180°,

v乙EFC=130°,

•••Z.ABF=50°,

v〃+NE=180°-Z.ABE=4ABF=50°,乙E=30°,

乙4=20°.

故答案为：20。.

14.【答案】y

【解析】解：连接oc,OA,过点。作。。14C于点0,过点C作CEJ.4B于点E,

与。。相切于点4,

•••乙OAB=90°,

Z.OAC+NBAC=^AOD+/.OAD=90°,

・♦・Z-BAC=Z.AOD,

・•・sinZ.BAC=sinz.AODf

_AD

.CE,

ACOA

VOA=OCfOD1ACfAC=6,

・•・AD=CD=3,

,CE_3

•，T・g，

ACE=y,

.■■S^ABC=1AB-CE=^X8X^=^.

故答案为母.

连接OC,OA,过点。作。。LAC于点D,过点C作CE14B于点E,由切线的性质得出

N04B=90。，由锐角三角函数的定义得出*求出CE的长，根据三角形面积公式

ACOA

可求出答案.

本题考查了切线的性质，锐角三角函数的定义，三角形的面积，等腰三角形的性质，熟

练掌握切线的性质是解题的关键.

15.【答案】2

【解析】解：作/MJLx轴于M,BN14M于N,

•・•OA1AB,

•••△04M+484N=90。，

•・•Z.0AM4-Z.AOM=90°,

・•・乙BAN=乙A0M,

・・•^AMO=乙BNA=90°,

•••△AOMyBAN,

OMAMOA2

——1—,

ANBNAB3

设/(m,km)(TH>0),

.m_km_2

ANBN3

3a

・•・AN=-m,BN=-km,

22

33

・•・B(mkm--m),

•・•反比例函数图象经过点4

33

:.m-km=(Tn+-km)(km--m),

整理得，2k2一3卜一2=0,

第16页，共26页

解得七=2,fc2=-p

・・•在第一象限，

:・k=2,

故答案为2.

设4(?n,A7n)(?n>0),作4M_L%轴于M,BNA.AM于N,通过证得三角形相似，表示出

8的坐标，即可得到m-km=(m4-|km)(fcm—|m),解方程即可求得k=2.

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题.相似三角形的判定和性质，表示出

点的坐标是解题的关键.

16.【答案】2VH-2V3

・•・Z,AOC=60°,

vOA—OC,

・•.△40c是等边三角形，

作△力。。的外接圆OT，连接「4=TC,TN,TB.

vOMIPC,

ACM=PM,

:.NC=NP,

乙

•••ZJVPC=NCP=2-Z.AOC=30°,

:.乙CNM=60°,

・•・ACNO=120°,

vCNO+Z.OAC=180°,

・•・点N在OT上，运动轨迹是能，

过点7作7771AB于H.

在RtzMTH中，AH=0H=3,^.TAH=30°,

•••THAH-tan300=8，

AT=TN=2HN=2g,

在Rt△BHT中，BT=y/TH2+BH2=J(V3)2+92=2VII，

•••BN>BT-TN,

：.BN>2VH-2V3.

•••BN的最小值为2同-2V3.

故答案为：2•一2H.

如图，连接AC,0c.证明点N在。T上，运动轨迹是公，过点7作TH于H.求出B7,

TN,可得结论.

本题考查点与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，轨迹等知识,

解题的关键是正确寻找点N的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题.

17.［答案］解：(1)原式=2x|+2—V3—1—4

=1+2-V3-1-4

=-2—V3;

⑵原式=潟田三

1

—x+3f

当％=-4时，原式=一工=-1.

—4+3

【解析】(1)根据特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数累、负整数指数基的运

算法则计算；

(2)根据分式的除法法则把原式化简，把x的值代入计算即可.

本题考查的是分式的化简求值、实数的混合运算，掌握分式的除法法则是解题的关键.

18.【答案】解：(1)如图，点C即为所求作.

(2)如图，N/Z4B即为所求作.

第18页，共26页

②

【解析】（1）取格点M,N,来看MN交AB于点C,点C即为所求作.

（2）取格点E,连接BE,取格点M,N,连接MN交BE于点D,连接4D,乙4DB即为所求

作.

本题考查作图-应用与设计作图，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解

题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型.

19.【答案】解：（1）作过点4的水平线交直线DE于点儿

由题意得44cH=^CAH=45°,AHAD=30°,

•••/.CAD="AH-ADAH=45°-30°=15°；

（2）由题意得DC=8米，CE=1.5米，

设=x米，则C〃=x米，0"=tan30。=苧x（米），

DC=CH-DH=x--x=8<

3

解得x=（12+4\月）（米），

则旗杆高度=HE=CH+CE=x+1.5=（13.5+4b）（米）.

【解析】⑴作过点A的水平线交直线DE于点H,由题意得ZACH=/.CAH=45°,

/.HAD=30°,则可求出答案；

（2）设4/7=x米，则CH=x米，。"=%"即30。=?%（米），由DC=8可求出x=12+

4国（米），则可求出答案.

此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，作出辅助线，构造直角三角形是解题

的关键.

20.【答案】解：（l）；A40C的面积为|.

-\k\=3,

・・•在第二象限，

：•k=—3,

二反比例函数为y=-|；

<2）W二产喉泡;二3

观察图象，当月>、2时，X的取值范围X<-|或0<X<2.

【解析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得；

（2）解析式联立，解方程组即可求得4、B的坐标，然后根据函数的图象即可得到结论.

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题.反比例函数系数k的几何意义，数形结

合是解题的关键.

所抽取的学生知识测试成绩的频数直方图

21.【答案】解：（1）本次抽取的学生有：

30+15%=200（人），

测试成绩为合格的学生有：200-30-

80-40=50（人），

补全的频数分布直方图如右图所示；

（2）360°x—=144°,

17200

即扇形统计图中“良好”所对应的扇形

圆心角的度数是144。；

(3)1200x^=720(A),

第20页，共26页

答：估计该校获得良好以上(包括良好)的学生有720人.

【解析】(1)根据基本合格的频数和所占的百分比，可以求得本次抽取的人数，然后再

根据频数分布直方图中的数据，即可计算出B组的频数，然后即可将频数分布直方图补

充完整；

(2)根据频数分布直方图中的数据，可以计算出扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆

心角的度数；

(3)根据频数分布直方图中的数据，可以计算出该校获得良好以上(包括良好)的学生有

多少人.

本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是计算出抽

取的人数，利用数形结合的思想解答.

22.【答案】解：(1)vZ-ADC=ZG,

・••AC=AD^

•••48为。。的直径，

:.BC=BD，

z.1=Z.2；

(2)如图，连接。尸,

vAC=AD^48是。。的直径,

AB1CD,CE=DE，

・・・FD=FC=10,

点C,尸关于OG对称,

DC=DF=10,

.・・DE=5,

vtanzl=

・•・EB—DE•tanz.1=2,

VZ.1=z2,

・•・tanz.2r=2

・・・AB=AE-^EB=—,

2

.•.o。的半径为日.

4

【解析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、轴对称的性质、解直角三角形，解决本题

的关键是掌握轴对称的性质.

(1)根据圆周角定理和4B为。。的直径，即可证明N1=42；

(2)连接DF,根据垂径定理可得FD=FC=10,再根据对称性可得。C=DF,进而可得

DE的长，再根据锐角三角函数即可求出。。的半径.

23.【答案】5

【解析】解：(1)••・边长为4的正方形04BC的两边在坐标轴上，

.,.点C坐标为(0,4),点4坐标为(-4,0),

根据抛物线的点C为顶点，设该抛物线的解析式为：y=a/+4,

将点4(-4,0)代入可得16a+4=0,

解得a=-：,

4

此抛物线关系式为：y=-；产+4；

(2)当点P与点A重合时，PQ+PM=4Q=合32+42=5,

当点P与点C重合时，PQ+PM=CQ+CO=1+4=5,

故答案为：5；

对于4,C间的任意一点

P,PQ与PM之和是一

个固定值5,

理由如下：过点P作

PCly轴于点。，

设点P的坐标为

(m,-m2+4),

第22页，共26页

•••点P是抛物线上点4,C间的一个动点,

PD=—m,QD=|—^m2+4-1|,

2222

•••PQ=J(—m)2+(一+4-1)2=J_Lm44-jjn+1=J(^m+l)=^m+1>

.•・PQ+PM=*+i+(-加2+4)=5.

(3)由(2)得PQ+PM=5,

设点P的坐标为(x,y),

・•・PM=y,PQ=5—y,

・・•乙NPQ为锐角，则y<3,

・•・QD=3—y,

vcosZ.NPQ=i,ZJVPQ=乙DQP,

,QD_i_3-y

“PQ35-yf

解得y=2,

把y=2代入抛物线解析式得，

y=--x2+4=2,

解得x=±2V2>

•••点P在AC段上，

:.x=-2A/2,

二点P坐标为(-2&,2).

(1)由题意得点C坐标为(0,4),点4坐标为(一4,0),根据抛物线的点C为顶点，设该抛物

线的解析式为：y=ax2+4,将点4(—4,0)代入可得16a+4=0,即可求解；

(2)当点P与点4重合时，PQ+PM=AQ=V32+42=5，当点P与点C重合时，PQ+

PM=CQ+CO=1+4=5,对于A,C间的任意一点P,PQ与PM之和是一个固定值5,

理由如下：先设点P的坐标为(科―；山2+4),用m的代数式表示PQ=

4

J(—m)24-(―^m2+4-1)2=J-m44-|m2+1=J(^m24-l)2=^m2+1,得PQ+

PM=-m2+1+