2021届人教a版 平面向量 单元测试 (二)

平面向量

一、单选题

1.在平行四边形4%X中，E为48中点，BD交CE于F,则衣=()

2—.1­,3—■1—■1—.1—.?—■1—.

A.-AB+-ADB.-AB+-ADC.-AB+-ADD.-AB+-AD

33442432

【答案】A

【解析】

【分析】

利用向量加法法则把南转化为正，方再利用数量关系把丽化为丽，从而可表

示结果.

【详解】

如图，•.•平行四边形ABC。中，E为A8中点,

.DFDC〜

•.--------=2,

FBBE

2i

：.DF=-DB,

3

AF=AD+DF

=AD+-DB

3

=AD+|（A8-AZ））

2——1——

-AB+-AD,

33

故选A.

【点睛】

此题考查了向量加减法则，平面向量基本定理，难度不大.

2.已知点C在线段AB的延长线上，且桐=画配=,曲，则Z等于（）

A.3B.1C.-3D.-1

33

【答案】D

【解析】因为点C在线段AB的延长线上，且2照=|荏1,所以丽=2万心,则

蕊=3月G所以分弓=故选D

33

3.在等腰梯形A8CD中，己知AB//OC,A6=2，BC=\1.NABC=60°，动点E

———1-

和尸分别在线段8c和OC上，且瓦=%阮,DF=—7冗，则衣.衣的最小

42

值为（）

2971715

A.—B.-C.—D.—

188188

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

__11__

AB-AD=iX'x-=~>A8・0C=2X1=2,

____11—.—.1

AD-BC=lXlx-=->fiC-DC=lxix（--）=f

2

则

荏.赤=（而+码.（而+而L+/i而）•（而1

4--二+L八身

4482228

I01C

当且仅当一=一，即入=1时取等号，即最小值一.

2228

故选：D.

4.已知向量d=(2,1),d-b=10,|a+b\=5yf2M\b\=()

A.V5B.710C.5D.25

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】

将+b|=5企平方得5+2x10+fa123=50•1•b2=25,|b|=5>选C.

5.已知|砺|=1,|砺|=6,砺•而=0,点C在乙408内，且NAOC=30°,设

0。=加。4+〃。3(如“€/?),则一等于()

n

1/7

A.-B.---C.3D.5/3

33

【答案】C

【解析】

试题分析：

•.•网=1,画=百，砺.而=0,砺人砺，砺.巫=^x6cos60=平反

=^xl|0C|,3.苏=|反卜1XCOS300=F|反卜lx?|反J,.•.阮在x轴方

向上的分量为京。。|,06在y轴方向上的分量为方-|。。|,

VOC=mOA+nOB=y/3nl+mJ,:.||0C|=73/?,^\OC\=m,两式相比可得：

%=3,故选C.

n

考点：1、平面向量的数量积公式；2、平面向量基本定理及垂直向量.

6.若向量况=(3,2),，豆=(—5,2),则点B的坐标为()

A.(1,7)B.(-2,4)C.(1,3)D.(5,3)

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量的坐标运算得到OB=04+Afi=(-2,4),得到答案.

【详解】

Ofi=04+=(3,2)+(-5,2)=(-2,4),故B(-2,4).

故选：B.

【点睛】

本题考查了向量的坐标运算，意在考查学生的计算能力.

7.已知向量而=(l,cosa),元=(sina,》，且记〃亢，贝!Jsinacosa等于()

【答案】A

【解析】

试题分析：若沅〃元，则1・T-sina-cosa=0,求得sinacosa=故选A.

考点：向量的平行运算.

8.已知£=(1,2),b=(m,m+3),c=(w-2,-l),若々/历，则方1=()

A.-7B.-3C.3D.7

【答案】B

【解析】

【分析】

利用两个向量平行的坐标表示列方程求得加，进而求得61的值.

【详解】

由a//B,得2/〃—(m+3)=。,则/篦=3,b=(3,6)>c=(1,-1)>所以5e=—3.

故选B.

【点睛】

本小题主要考查两个向量平行的坐标表示，考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础

题.

9.如图，在正方形ABC。中，点E是。C的中点，点厂是3C的一个三等分点，那

么EF=()

1-111

A.-AB——ADB.-AB+-AD

2342

1一1—1一2—

C.-AB+-ADD.-AB——AD

3223

【答案】D

【解析】

—►1—*■

ff—EC=-DC

试题分析：在4CEF中，EF=EC+CF因为点E为DC的中点，所以2.因为

2f

CF=-CB

点F为BC的一个三等分点，所以3.所以

—1—2—1—2—♦1—2—

EF=-DC+-CB=-.AB+-DA=-^--AD

232323,故选D.

考点：平面向量基本定理.

10.若平面向量向量I满足同=2,问=4,a-b=4,\c-a+b\=y/3,则卜一.的

最大值为()

A.V73-V3B.V73+V3C.2屈一0D.2屈+G

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

设向量瓦5的夹角为e,

则小5=|"||5|cos6=8cos6=4,

八1C冗

cos，=一,0=—.

23

于是可设。=(2,0)4=(2,26),令c=(x,y),

则一/+5=(x,y+2\/3),

由题意得k-&+a2=W+(y+2g)2=3,表示点(x,y)在以(0,-2百)为圆心，半径为

、万的圆上.

又忑_5=(x_2,y_2扬，

|c-i>|="(x-2,+(y_26)2，表示圆上的点(x,y)与点(2,273)间的距离，

'.\c-b\的最大值为J(0—2产+(—26—26)2+6=2>/13+.

故选D.

【点睛】

由于向量具有数形两方面的性质，所以在解答向量的有关问题时可借助坐标，将向量的

问题转化为数的运算的问题，如本题中最值的计算问题，通过建立适当的平面直角坐标

系，将向量模的问题转化为距离问题求解，考查数形结合和转化的运用，同时也考查计

算能力.

11.设而，3为非零向量，贝！1“存在正数2,使得肩=彳3”是“正工>0”的()

A.既不充分也不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.充分不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】

充分性中，由向量数乘的几何意义得(而，刀=0，再由数量积运算即可说明成立；必要

性中，由数量积运算可得(疝刀e[0,90),不一定有正数X,使得/=/l[,所以不

成立，即可得答案.

【详解】

充分性:若存在正数4,使得苏=加则(加,〃)=0'，m-n=|/n||n|cos0°=同〃卜0,

得证;

必要性：若加G〉o,piij(m,n)e[o;9oj,不一定有正数X,使得正=23故不成

立；

所以是充分不必要条件

故选：D

【点睛】

本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，

属于简单题.

二、填空题

12.在平行四边形ABCD中，AB=2,BC=6，ZB=3()°,点E,尸分别在边

BECF

BC,CO上(不与端点重合)，且丫==，贝！I题.通的取值范围为.

ECDF

【答案】-

【解析】

【分析】

建立平面直角坐标系，由=可设BE=tBC==tCD=2t,从而写出

ECDF

E,F的坐标，利用向量数量积的坐标运算即可得到答案.

【详解】

以B为坐标原点，BC为x轴，BC垂线为y轴建立平面直角坐标系,

由一=——可设BE=iBC=6t,CF=tCD=2t,又NB=30°

ECDF

则A(6I)，川岛0),川后+石切，

.•.恁=(©-6,-1),而=(41-1),

(2\2]

.•.荏•乔=4(而-码-(1)=3/一期+1=3t--\

又0</<1,

21

.・・当，=一时，最小值为一一；当/=0时，最大值为1.

33

故荏•衣的取值范围为一;，11

故答案为一;,1).

【点睛】

本题考查了平面向量的数量积运算，二次函数的性质；把几何图形放在适当的坐标系中

(建立坐标系)，就赋予了有关点和向量的具体坐标，这样就能进行相应的向量运算和

代数运算，使问题得到解决.

13.如图，在梯形A8CO中，AB//CD且DC=2AB=2BC,E为8C的中点，AC

与DE交于点O.若12CB-CD=5OA-OD'则/BCD的余弦值为.

3

【答案】—

17

【解析】

【分析】

取8中点G,连接AG,3G,且8GnAC=R,连接E,F,根据平行四边形性质

-3ff4f——

和平行线分线段成比例的关系可求得04=gC4,。。=w，设C8=1,CD=2,

51--18

利用平面向量的线性运算和数量积的运算律化简已知等式可求得手C88=不，由

平面向量数量积的定义可求得结果.

【详解】

取CO中点G,连接AG,BG,且8GAAC=尸，连接瓦尸，

-,-CD=2AB,G为CD中点，..AB=CG,又AB//CG，

T1

・•・四边形ABCG为平行四边形，・•・尸为AC中点，即E4=—C4,

2

又E为BC中点，：.EF//CG且EF=LcG,:.EF

-CD,

24

f17

-=—=OF=-OC=-CF=—CA,即。尸=—C4,

OCCD4451010

f->->T.->

：.OA=OF+FA=-CA,

5

OPFF14f4T

又上一=—=-,：.OD=4OE=-DE,即。。=一切,

ODCD455

OA-OD=-CA-ED=—\CB+BA-CD-CE=一CB+-CD-CD——CB

5525L)kJ25l2JI2

19(1T3Tt6f9ff6f

=--CD2+-CBCD--CB2\^-CD2+—CBCD--CB2,

25(242J252525

不妨设CB=1,CD=2,

ff249f1651f—18

由12%&»=5以访得：12。8。=彳+18。。-于即彳8。=不

J。JJJ

fT1863

CBCD^2cosNBCD=—=—,.'.cos/BCD=—.

511717

3

故答案为：一.

【点睛】

本题考查平面向量中的向量夹角的求解问题，关键是能够通过平面向量的线性运算化简

己知等式，得到平面向量数量积的结果；本题中的难点是确定与AC长度的比例关

系，需借助于平行线分线段成比例进行推导.

14.如图，设公、是平面内相交成60°角的两条数轴，［、1分别是与3轴、y轴

正方向同向的单位向量，若丽=石+3公，贝卜.

【答案】V19

【解析】

因为向卜=J(24+3£)2=也+9+12家£=J13+12cos60。=M，所

以应填M.

15.若向量a,5,c两两所成的角相等，且同=1,|同=1,忙卜3,贝!|应+5+5

1=•

【答案】5或2

【解析】

【分析】

24一2一2

三个向量两两夹角相等，则这个角可能为0也可能为胃，利用。=a转化为向量的

数量积.

【详解】

向量口瓦｝两两所成的角相等，则夹角可能为。也可能为

(1)若夹角为0,则卜+3+<?|=伺+忖+H=1+1+3=5；

(2)若夹角为普，则a/=HMcos音=lxlx(-；)=-g,同理a-c=-'|,

--3

bc=——，

2

^+b+c[=(a+b+c)2=a+b+c+2a-b+2a-c+2b-c

133

=,+12+32+2x(——)+2X(--)+2X(--)=4,

222

.，.|a+6+c|=2.

故答案为5或2.

【点睛】

本题考查求向量的模，解题关键是把向量模的运算转化为向量积，根据是数量积的性质：

-2-2

a=a.同时本题中注意平面上三个向量两两夹角相等，则这个角可能为0也可能为

2万

T

三、解答题

16.一架飞机从A地向北偏西60的方向飞行l(XX)Am到达8地，然后向C地飞行.设

C地恰好在A地的南偏西60，并且AC两地相距2000切?，求飞机从8地到C地的

位移.

【答案】飞机从8地到C地的位移大小是10()()6切2，方向是南偏西30.

【解析】

【分析】

画图，设A在东西基线和南北基线的交点处.由题意可知NBAC=60,，过点8作东西

基线的垂线，交AC于。，可知AABD为等边三角形，BD=CD=m)bn,

NCBD=NBCD=30。,再求解8C，即可.

【详解】

如图，

南

设A在东西基线和南北基线的交点处.

依题意，丽的方向是北偏西60，|而1=100()斯〃，

〃的方向是南偏西60°,\AC\=2000km,

所以N84C=60、

过点B作东西基线的垂线，交AC于力，

则ZVIBC)为正三角形，

所以8D=CQ=l()0(Rm,

ZCBD=ZBCD=-ZBDA=30.

2

所以NA8C=90°.

BC=ACsin60°=2000x—=1000y/3km，|BC|=1000百人根.

2

答：飞机从8地到C地的位移大小是1()00月初7，方向是南偏西301

【点睛】

本题考查向量的模长，作辅助线是解决本题的关键.属于中档题.

17.若2万是同一平面内的两个不共线向量，且1=24-5,2=31—35,试判断乙I能

否作为该平面的一组基底.

【答案】己2能作为该平面的一组基底.

【解析】

【分析】

存在实数2使得2=丸2,则2£-5=/1(3£-3&,方程无解得到证明.

【详解】

设存在实数X使得2=丸7，则%—B=/l(3«-3b),

即(2—3/l)£+(3/l-l)B=().

由于不共线，从而2—32=32—1=0,但这样的X是不存在的,

从而c,d不共线，故c,d能作为该平面的一组基底.

【点睛】

本题考查了向量的基底问题，判断是否共线是解题的关键.

18.已知向量a=(cos空,sin&)，b=(cos—,-sin—),且xe[-工,工].

222234

TT—•—•—•—•

(1)^x=—,求。•方及|。+切的值；

12

(2)若/(尤)=£・》一|£+向，求/(x)的最大值和最小值.

【答案】(1)52+6；(2)-1.

【解析】

试题分析：(1)由x=2,得£”=且，得出2+B的坐标，进而可求解|々+加的值;

122

13jrqrI

⑵化简/(x)=2(cosx—a)2—1，根据xe[—.•./KcosxWl,即可求解

fix)的最大值和最小值.

/、I,乃-r3xx.3x.x八7tyj3

试题解析：(1)当工=一时，a,b=cos-cos——sin一sin—=cos2x=cos—=——

12222262

——3尤x3xx

丁a-\-b-(cos+cos9s^n-s^n，

1.1a+B|=J(cosT+cos/2十(sin^-sin^)I2=j2+2cos2x=飞2+6

71Ji\

(2),**x[----,—]f**•—<cosx<1,

342

Ia+B|=」(cos—+cos—)2+(sin——sin—)2=j2+2cos2x=,4cos2x=2cosx

V2222

°173

所以/(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-l=2(cos~~

,**XG[,—1,一<COSX<1,

342

13

・••当COSX=Q时，/(x)取得最小值-当COSX=1时，/(X)取得最大值T.

考点：向量的运算；三角函数的图象与性质.

19.如图所示，设",N,P是“IBC三边上的点，且丽=!而，CN^^-CA,

33

丽=；43,若丽="，AC=b>试用。*将丽，而表示出来.

___2_1_uim।r2r

【答案】MN二一一a+-b,NP=-a一一b

3333

【解析】

【分析】

根据题意，结合图象，利用向量的加法法则和减法法则，表达而与标，即可求解.

【详解】

...1.2——1-2(——\2-1-

MN=CN-CM=——AC——CB=——b——(a-b\^——a+-b,

3333、,33

NP^AP-AN=-AB--AC=-a--b

3333

【点睛】

本题考查向量的加法和减法法则，属于基础题.

20.已知向量联上的坐标分别是(—6,8),(3,4),求:

（1））工的夹角的余弦值;

（2）\a-2b\及Q-25）?a+b.

7

【答案】（1）—:（2）108

25

【解析】

试题分析：（1）由向量夹角的坐标运算公式可得结果；（2）由

-2b\=J（^a-2b^=yla2-4cnb+b'可得模长，根据

西一25）（2万+