自动控制原理-第二章-自动控制系统的数学模型

北京航空航天大学第二章

自动控制系统的数学模型2-1控制系统微分方程的建立2-2非线性微分方程的线性化2-3

传递函数(transferfunction)2-4动态结构图2-5系统的脉冲响应函数2-6典型反馈系统传递函数返回主目录基本要求北京航空航天大学基本要求1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式。3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。4.掌握传递函数的概念及性质。5.掌握典型环节的传递函数形式。返回子目录北京航空航天大学6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用梅森公式求传递函数的方法。8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。北京航空航天大学分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。建立数学模型的方法分为解析法和实验法北京航空航天大学解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。北京航空航天大学总结：解析方法适用于简单、典型、常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。北京航空航天大学2-1控制系统微分方程的建立基本步骤：分析各元件的工作原理，明确输入、输出量建立输入、输出量的动态联系消去中间变量标准化微分方程返回子目录北京航空航天大学列写微分方程的一般方法例1.列写如图所示RC网络的微分方程。RCuruci北京航空航天大学解：由基尔霍夫定律得:式中:i为流经电阻R和电容C的电流,消去中间变量i,可得:令（时间常数），则微分方程为：例2.

设有一弹簧

质量

阻尼动力系统如图所示，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动，试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的动态方程。其中弹簧的弹性系数为k，阻尼器的阻尼系数为f，质量块的质量为m。北京航空航天大学解：分析质量块m受力，有外力F,弹簧恢复力

Ky（t）阻尼力惯性力由于m受力平衡，所以式中：Fi是作用于质量块上的主动力，约束力以及惯性力。将各力代入上等式，则得北京航空航天大学式中：y——m的位移（m）；

f——阻尼系数（N·s/m);

K——弹簧刚度（N/m)。将式(2-4)的微分方程标准化北京航空航天大学T称为时间常数，为阻尼比。显然，上式描述了m－K－f系统的动态关系，它是一个二阶线性定常微分方程。令，即，则式可写成北京航空航天大学2－2非线性微分方程的线性化在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的非线性，如下图所示。返回子目录北京航空航天大学于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。对弱非线性的线性化如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性。对（b）和（c），当死区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响，也近似为放大特性，如图中虚线所示。平衡位置附近的小偏差线性化输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。北京航空航天大学在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在A附近变化，则可对A处的输出—输入关系函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线性化。北京航空航天大学可得，简记为y=kx。若非线性函数由两个自变量，如z＝f（x,y），则在平衡点处可展成（忽略高次项）经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示为强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于线性系统，可采用叠加原理来分析系统。北京航空航天大学叠加原理叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或叫齐次性）。例：设线性微分方程式为若时，方程有解，而时，方程有解，分别代入上式且将两式相加，则显然有，当＋时，必存在解为，即为可叠加性。北京航空航天大学

上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增强若干倍，这就是叠加原理。若时，为实数，则方程解为，这就是齐次性。北京航空航天大学2－3传递函数

(transferfunction)传递函数的概念与定义

线性定常系统在输入、输出初始条件均为零的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。返回子目录北京航空航天大学这里，“初始条件为零”有两方面含义：一指输入作用是t＝0后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数，在t=时的值为零。二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，即t=时，系统的输出量及各阶导数为零。许多情况下传递函数是能完全反映系统的动态性能的。北京航空航天大学一、传递函数的概念与定义G(s)Ur(s)Uc(s))s(U)s(U)s(Grc=北京航空航天大学传递函数是关于复变量s的有理真分式，它的分子，分母的阶次是：。二、关于传递函数的几点说明传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用拉氏变换导出；传递函数完全取决于系统内部的结构、参数，而与输入、输出无关；传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数；（可定义传递函数矩阵，见第九章）北京航空航天大学传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数，因为当时，，所以，一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应。这将在第四章根轨迹中详述。传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现实意义，而且容易实现。北京航空航天大学三、传递函数举例说明例1.

如图所示的RLC无源网络，图中电感为L（亨利），电阻为R（欧姆），电容为C（法），试求输入电压ui(t)与输出电压uo(t)之间的传递函数。北京航空航天大学解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络作为校正元件。无源网络通常由电阻、电容、电感组成，利用电路理论可方便地求出其动态方程，对其进行拉氏变换即可求出传递函数。这里用直接求的方法。因为电阻、电容、电感的复阻抗分别为R、1∕Cs、Ls，它们的串并联运算关系类同电阻。则传递函数为北京航空航天大学四、典型环节一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。常见的几种形式有：比例环节，传递函数为：北京航空航天大学积分环节，传递函数为微分环节，传递函数为惯性环节，传递函数为一阶微分环节，传递函数为式中：，T

为时间常数。北京航空航天大学二阶振荡环节，传递函数为式中：T为时间常数，为阻尼系数。二阶微分环节，传递函数为式中：为时间常数，为阻尼系数此外，还经常遇到一种延迟环节，设延迟时间为，该环节的传递函数为：北京航空航天大学2－4动态结构图动态结构图是一种数学模型，采用它将更便于求传递函数，同时能形象直观地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。返回子目录北京航空航天大学一、动态结构图的概念系统的动态结构图由若干基本符号构成。构成动态结构图的基本符号有四种，即信号线、传递方框、综合点和引出点。信号线

表示信号输入、输出的通道。箭头代表信号传递的方向。北京航空航天大学2.传递方框G(s)方框的两侧为输入信号线和输出信号线，方框内写入该输入、输出之间的传递函数G(s)。北京航空航天大学3.综合点综合点亦称加减点，表示几个信号相加、减，叉圈符号的输出量即为诸信号的代数和，负信号需在信号线的箭头附近标以负号。＋省略时也表示＋北京航空航天大学4.引出点表示同一信号传输到几个地方。北京航空航天大学二、动态结构图的基本连接形式1.串联连接G1(s)G2(s)X(s)Y(s)方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称为串联连接。北京航空航天大学2.并联连接G1(s)G2(s)X(s)－＋Y(s)两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形式的连接称为并联连接。北京航空航天大学3.反馈连接一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。G(s)R(s)－C(s)H(s)北京航空航天大学三、系统动态结构图的构成构成原则：

按照动态结构图的基本连接形式，构成系统的各个环节，连接成系统的动态结构图。北京航空航天大学以机电随动系统为例，如下图所示举例说明系统动态结构图的构成北京航空航天大学其象方程组如下：北京航空航天大学系统各元部件的动态结构图(1)北京航空航天大学系统各元部件的动态结构图(2)北京航空航天大学系统各元部件的动态结构图(3)北京航空航天大学系统各元部件的动态结构图(4)北京航空航天大学系统各元部件的动态结构图(5)北京航空航天大学系统各元部件的动态结构图(6))(smqsfJs+21mC)(sMm)(sMm)(smqsfJs+21sfJs+1北京航空航天大学系统各元部件的动态结构图(7))(smqsfJs+21mC)(sMm北京航空航天大学系统各元部件的动态结构图(8))(smqsfJs+21mC)(sMm北京航空航天大学四结构图的等效变换思路：

在保证总体动态关系不变的条件下，设法将原结构逐步地进行归并和简化，最终变换为输入量对输出量的一个方框。北京航空航天大学1.串联结构的等效变换（１）串联结构图G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)北京航空航天大学等效变换证明推导G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1.串联结构的等效变换（２）北京航空航天大学等效变换证明推导G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1.串联结构的等效变换（３）北京航空航天大学串联结构的等效变换图G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)G1(s)•G2(s)R(s)C(s)两个串联的方框可以合并为一个方框，合并后方框的传递函数等于两个方框传递函数的乘积。1.串联结构的等效变换（４）北京航空航天大学2.并联结构的等效变换并联结构图C1(s)G1(s)G2(s)R(s)

C(s)C2(s)北京航空航天大学等效变换证明推导(1)G1(s)G2(s)R(s)

C(s)C1(s)C2(s)北京航空航天大学2.并联结构的等效变换等效变换证明推导C1(s)G1(s)G2(s)R(s)

C(s)C2(s)北京航空航天大学并联结构的等效变换图G1(s)G2(s)R(s)

C(s)C1(s)C2(s)G1(s)

G2(s)R(s)C(s)两个并联的方框可以合并为一个方框，合并后方框的传递函数等于两个方框传递函数的代数和。北京航空航天大学3.反馈结构的等效变换反馈结构图G(s)R(s)

C(s)H(s)B(s)E(s)C(s)=?北京航空航天大学3.反馈结构的等效变换等效变换证明推导G(s)R(s)

C(s)H(s)B(s)E(s)北京航空航天大学3.反馈结构的等效变换反馈结构的等效变换图G(s)R(s)

C(s)H(s)B(s)E(s)R(s)C(s)北京航空航天大学4.综合点的移动（后移）综合点后移G(s)

R(s)C(s)Q(s)Q(s)？

G(s)R(s)C(s)北京航空航天大学G(s)

R(s)C(s)Q(s)综合点后移证明推导（移动前）北京航空航天大学G(s)

R(s)C(s)Q(s)？综合点后移证明推导（移动后）北京航空航天大学移动前G(s)

R(s)C(s)Q(s)Q(s)G(s)

R(s)C(s)？移动后综合点后移证明推导（移动前后）北京航空航天大学G(s)

R(s)C(s)Q(s)？综合点后移证明推导（移动后）北京航空航天大学G(s)

R(s)C(s)Q(s)G(s)

R(s)C(s)Q(s)G(s)综合点后移等效关系图北京航空航天大学G(s)R(s)C(s)

Q(s)Q(s)？G(s)

R(s)C(s)综合点前移北京航空航天大学G(s)

R(s)C(s)Q(s)综合点前移证明推导（移动前）北京航空航天大学G(s)

R(s)C(s)Q(s)？综合点前移证明推导（移动后）北京航空航天大学移动前G(s)R(s)C(s)

Q(s)G(s)

R(s)C(s)Q(s)？移动后综合点前移证明推导（移动前后）北京航空航天大学4.综合点的移动（前移）综合点前移证明推导（移动后）G(s)

R(s)C(s)Q(s)？北京航空航天大学4.综合点的移动（前移）综合点前移等效关系图G(s)R(s)C(s)

Q(s)G(s)

R(s)C(s)Q(s)1/G(s)北京航空航天大学综合点之间的移动R(s)C(s)

Y(s)X(s)

R(s)C(s)

Y(s)X(s)

北京航空航天大学4.综合点之间的移动结论：结论：多个相邻的综合点可以随意交换位置。R(s)C(s)

Y(s)X(s)

R(s)C(s)

Y(s)X(s)

北京航空航天大学5.引出点的移动引出点后移G(s)R(s)C(s)R(s)？G(s)R(s)C(s)R(s)问题：要保持原来的信号传递关系不变，

？等于什么。北京航空航天大学引出点后移等效变换图G(s)R(s)C(s)R(s)G(s)R(s)C(s)1/G(s)R(s)北京航空航天大学引出点前移问题：要保持原来的信号传递关系不变，？等于什么。G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)？C(s)北京航空航天大学引出点前移等效变换图G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)G(s)C(s)北京航空航天大学引出点之间的移动ABR(s)BAR(s)北京航空航天大学引出点之间的移动相邻引出点交换位置，不改变信号的性质。ABR(s)BAR(s)北京航空航天大学五举例说明（例1）例1：利用结构图变换法，求位置随动系统的传递函数Qc(s)/Qr(s)

。北京航空航天大学例题分析由动态结构图可以看出该系统有两个输入

r，ML（干扰）。我们知道：传递函数只表示一个特定的输出、输入关系，因此，在求

c对r的关系时，根据线性叠加原理，可取力矩

ML＝0，即认为ML不存在。要点：结构变换的规律是：由内向外逐步进行。北京航空航天大学例题化简步骤（1)合并串联环节：北京航空航天大学例题化简步骤（2)内反馈环节等效变换：北京航空航天大学例题化简步骤（3)合并串联环节：北京航空航天大学例题化简步骤（4)反馈环节等效变换：北京航空航天大学例题化简步骤（5)求传递函数Qc(s)/Qr(s)

：北京航空航天大学五举例说明（例2）例2：系统动态结构图如下图所示，试求系统传递函数C(s)/R(s)。北京航空航天大学例2（例题分析）本题特点：具有引出点、综合交叉点的多回路结构。北京航空航天大学例2（解题思路）解题思路：消除交叉连接，由内向外逐步化简。北京航空航天大学例2（解题方法一之步骤1）将综合点2后移，然后与综合点3交换。北京航空航天大学例2（解题方法一之步骤2）北京航空航天大学例2（解题方法一之步骤3）北京航空航天大学例2（解题方法一之步骤4）内反馈环节等效变换北京航空航天大学例2（解题方法一之步骤5）内反馈环节等效变换结果北京航空航天大学例2（解题方法一之步骤6）串联环节等效变换北京航空航天大学例2（解题方法一之步骤7）串联环节等效变换结果北京航空航天大学例2（解题方法一之步骤8）内反馈环节等效变换北京航空航天大学例2（解题方法一之步骤9）内反馈环节等效变换结果北京航空航天大学例2（解题方法一之步骤10）反馈环节等效变换北京航空航天大学例2（解题方法一之步骤11）等效变换化简结果北京航空航天大学例2（解题方法二）将综合点③前移，然后与综合点②交换。北京航空航天大学例2（解题方法三）引出点A后移北京航空航天大学例2（解题方法四）引出点B前移北京航空航天大学结构图化简步骤小结确定输入量与输出量。如果作用在系统上的输入量有多个，则必须分别对每个输入量逐个进行结构图化简，求得各自的传递函数。若结构图中有交叉联系，应运用移动规则，首先将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。北京航空航天大学结构图化简注意事项：有效输入信号所对应的综合点尽量不要移动；尽量避免综合点和引出点之间的移动。北京航空航天大学五、用梅森（S.J.Mason）

公式求传递函数梅森公式的一般式为：北京航空航天大学梅森公式参数解释：北京航空航天大学注意事项：“回路传递函数”是指反馈回路的前向通路和反馈回路的传递函数的乘积，并且包含代表反馈极性的正、负号。北京航空航天大学举例说明（梅森公式）例1：试求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s)北京航空航天大学求解步骤之一（例1）找出前向通路数n北京航空航天大学求解步骤之一（例1）前向通路数：n＝1北京航空航天大学求解步骤之二（例1）确定系统中的反馈回路数北京航空航天大学1.寻找反馈回路之一北京航空航天大学1.寻找反馈回路之二北京航空航天大学1.寻找反馈回路之三北京航空航天大学1.寻找反馈回路之四北京航空航天大学利用梅森公式求传递函数(1)北京航空航天大学利用梅森公式求传递函数(1)北京航空航天大学利用梅森公式求传递函数(2)北京航空航天大学求余子式

1将第一条前向通道从图上除掉后的图，再用特征式的求法，计算北京航空航天大学求余式

1将第一条前向通道从图上除掉后的图图中不再有回路，故

1=1北京航空航天大学利用梅森公式求传递函数(3)北京航空航天大学例2：用梅森公式求传递函数试求如图所示的系统的传递函数。北京航空航天大学求解步骤之一：确定反馈回路北京航空航天大学求解步骤之一：确定反馈回路北京航空航天大学求解步骤之一：确定反馈回路北京航空航天大学求解步骤之一：确定反馈回路北京航空航天大学求解步骤之一：确定反馈回路北京航空航天大学求解步骤之二：确定前向通路北京航空航天大学求解步骤之二：确定前向通路北京航空航天大学求解步骤之三：求总传递函数北京航空航天大学例3：对例2做简单的修改北京航空航天大学①求反馈回路1北京航空航天大学②求反馈回路2北京航空航天大学③求反馈回路3北京航空航天大学④求反馈回路4北京航空航天大学2.①两两互不相关的回路1北京航空航天大学②两两互不相关的回路2北京航空航天大学３.①求前向通路1北京航空航天大学3.②求前向通路2北京航空航天大学4.求系统总传递函数北京航空航天大学脉冲响应函数即脉冲过渡函数，就是系统对单位脉冲函数输入的响应，用k(t)表示。2－5系统的脉冲响应函数由此可知系统（或元件）的传函的拉氏反变换就等于它的脉冲响应。设系统传函为，而所以有概念和定义返回子目录北京航空航天大学对于任意输入信号r(t)，系统输出为c(t)，则用拉氏变换的卷积定理可得：由此可知，对于线性系统，只要知道它的脉冲过渡函数k(t)，就可以计算出系统对任意输入信号r(t)的时间响应过程c(t)。注：传递函数简称传函（下同）北京航空航天大学下面用线性系统的叠加原理说明式(2-5-1)的物理含义北京航空航天大学设任意输入信号r(t)，如上图所示，分成一系列宽度为的相邻矩形脉冲。则一矩形脉冲可表为式中是发生在时刻的理想脉冲。则式表示的矩形脉冲引起的系统输出为，由物理系统的因果关系，可知当时，有。由叠加原理得：北京航空航天大学当时，记