（江苏专用）2020-2021学年高二数学下学期期末试卷二

卷02-期末全真模拟卷二

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

[.\2020

1.已知i是虚数单位，则化简产的结果为（）

A.iB.-iC.-1D.

【答案】D

【解析】•丹=（£；（?+z）‘又力5%

•2020故选：D.

2.为了解学生对街舞的喜欢是否与性别有关，在全校学生中进行抽样调查，根据数据，求得K2的观测值

勺*4.804,则至少有（）的把握认为对街舞的喜欢与性别有关.参考数据:

P（K*k。）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.90%B.95%C.97.5%D.99%

【答案】B

【解析】因为4.804>3.841,所以有95%的把握认为对街舞的喜欢与性别有关.故选：B.

3.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x（万元）4235

销售额y（万元）49263954

根据上表可得回归方程$=%+近中的3为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）

A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元

【答案】B

4+2+3+5c「一49+26+39+54

【解析】•.•元==3.5,y==42

44

•.•数据的样本中心点在线性回归直线上,

回归方程/=Ax+&中的日为9.4,

,42=9.4X3.5+a,

：.a^.1,

...线性回归方程是y=9.4x+9.1,

二广告费用为6万元时销售额为9.4X6+9.1=65.5故选:B

4.掷骰子2次，每个结果以（x，yj记之，其中%,%，分别表示第一颗，第二颗骰子的点数，设

A={（%,x2）|xl+々=6},8={&,工2）|玉＞々},则P（B|A）=（）

1121

A.-B.-C.-D.一

8352

【答案】c

【解析】根据题意A={（5,/）|x,+々=6}

则集合A所有可能为（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）

8={（%,*2）|外＞.},则8集合为（4,2）,（5,1）

根据条件概率求法可得。（同A）=g,故选:C

5.在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩J服从N（80Q2）（。＞0）,若J在（70,90）内的

概率为0.7,则落在［90,100］内的概率为（）

A.0.2B.0.15C.0.1D.0.05

【答案】B

【解析】由参赛学生成绩J服从N（80,cr2）（b〉0）,

可知平均数4=80,

则正态分布的概率密度曲线关于〃=80对称，

因为〈在（70,90）内的概率为0.7,

所以〈在（80,90）内的概率为0.35,

所以［在［90,100］内的概率为05-0.35=0.15.故选:B.

6.为支援湖北抗击新冠疫情，无锡市某医院欲从6名医生和4名护士中抽选3人（医生和护士均至少有一

人）分配到4B,C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去/地区，则分配方案共

有()

A.264种B.224种C.250种D.236种

【答案】A

【解析】当选取的是1名医生2名护士，共有C：C：=36种选法，分配到4,B,。三个地区参加医疗救援

(每个地区一人)，方案要求医生不能去/地区，共有2$=4种，即一共36x4=144种方案；

当选取的是2名医生1名护士，共有C：C：=60种选法，分配到4B,。三个地区参加医疗救援(每个地

区一人)，方案要求医生不能去/地区，共有田=2种，即一共60x2=120种方案.

综上所述：分配方案共有264种.故选：A

7.在复平面内，复数2=。+6(。€尺。€??)对应向量32(。为坐标原点)，设pz|=r,以射线Ox为

始边，OZ为终边逆时针旋转的角为6,则z=r(cose+isin。)，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：

Z1=/](cos+zsin,z2=/;(cos^2+zsin),则4Z2=佗[cos(G+82)+isin(4+4)],由棣莫

弗定理导出了复数乘方公式：z"=[r(cose+isin。)]“=r"(cos〃e+isin〃e),则(-l+Gi)=()

A.1024-1024V3zB.-1()24+1024A/3ZC.512-512A/3ZD.—512+512石i

【答案】D

【解析】

(-1+73/)'0=^2(cos^+sin^z)^j=2l0(cos^+sin^z)=2l0(-i+^z)=-512+51273/,

故选：D.

f(一1)

8.已知函数/(x)在R上都存在导函数/'(x),对于任意的实数都有%：当x<0时，

+若eO/Qa+D^/Xa+l),则实数4的取值范围是()

2~\「2一

A.0,-B.--,0C.[0,+oo)D.(-oo,0]

【答案】B

【解析】令g(x)=e"(x),则当x<0时,g'(x)=""(x)+/'(x)]>0,

又g(-x)=e-xf(-x)=exf(x)=g(x),所以g(x)为偶函数,

从而el,f(2a+1)>/(«+1)等价于e2a+'f(2a+1)>ea+'f(a+1),g(2a+1)2g(a+1),

2

因止匕g(—12a+11)>g(—[a+11),—12a+1|a+11,2>ci~9+2a«0.\—故选:B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9.下列说法中第送的是()

A.对于回归方程>=2020-4X，变量X增加一个单位，y平均减少4个单位

B.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件

c.对分类变量x与y,随机变量K?的观测值&越小，则判断“x与y有关系”的把握程度越大

D.两个随机变量的线性相关系数越接近0,则这两个随机变量相关性越强

【答案】BCD

【解析】对于A中，根据回归系数的含义，可得回归方程y=2020—4x，变量％增加一个单位，y平均减

少4个单位，所以A是正确的；

对于B中，根据互斥事件与对立事件的关系，可得互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，

所以B项不正确；

对于C中，对分类变量X与y,随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与y有关系”的把握程度越大，

所以C项不正确；

对于D中，两个随机变量的线性相关系数越接近0,则这两个随机变量相关性越弱，所以D项不正确.

故选：BCD.

10.一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,

10,现从中任取4个球，则下列结论中正确的是()

A.取出的最大号码才服从超几何分布

B.取出的黑球个数产服从超几何分布

C.取出2个白球的概率为‘

14

D.若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为，

14

【答案】BD

【解析】一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球，编号为7,

8,9,10,现从中任取4个球，

对于A，超几何分布取出某个时象的结果数不定,

也就是说超儿何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生〃次的试验次数,

由此可知取出的最大号码X不服从超几何分布，故A错误；

对于3,超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生〃次的试验次数,

由此可知取出的黑球个数丫服从超儿何分布，故8正确；

C：c：3

对于C，取出2个白球的概率为。=故C错误;

C：。

对于。，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分,

则取出四个黑球的总得分最大，

二总得分最大的概率为尸=弃=［，故。正确.故选:BD.

jo14

11.现安排高二年级4B,。三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工

厂），且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（）

A.所有可能的方法有34种

B.若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种

C.若同学/必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种

D.若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种

【答案】BCD

【解析】由题意可知，对于选项A,每名同学都有4种选择，则只能选择一个工厂共有43种，所以选项A

错误；对于选项B,则①若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为另外两名同学的安排方法

有3x3=9利1则此情况共有C；x9=27利1②若有2名同学去工厂甲，则同学选派情况有C；,另外1名

同学的排法仃3种，此种情况共有C；x3=9种；③若有3名同学去工厂甲，即3名同学都去工厂甲，此种

情况唯一，为1种；则工厂甲必须有同学去的情况共有27+9+1=37种安排方法，所以选项B正确；对于

选项C,若同学月必须去工厂甲，则另外2名同学各有4个工厂选择，即另外2名同学有4X4=16种安排

方法，所以选项C正确；对于选项D,若三名同学所选工厂各不相同，则有=种，所以选项D正确；

综上，故选：BCD.

12.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=%为的44(例如10100)其中A的各位数

中4(左=2,3,4,5)出现0的概率为屋出现1的概率为“记X=%+4+4+/，则当程序运行一次

时()

Q

A.X服从二项分布B.尸(X=l)=而

OO

C.X的期望E(x)=1D.X的方差V(x)=]

【答案】ABC

【解析】由于二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，

且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类：

①后4个数出现0,X=O,记其概率为P(X=O)=(<)4=j

3oI

91Q

②及4个数位只出现1个1,X=l，记其概率为P(X=l)=C：(w)g)3=2；

33ol

③后4位数位出现2个1,X=2，记其概率为P(X=2)=C：4)2(〈)2=W，

3381

71QO

④后4个数为上出现3个1,记其概率为P(X=3)=C：(-)3(-)=—,

33o1

232

⑤后4个数为都出现1,X=4,记其概率为尸(X=4)=($4=U，

3o1

2

故X~8(4,§),故A正确；

21Q

又尸(X=1)=C：(W)(Q3=故5正确；

33o1

22R

X~B(4,-)，：.E(X)=4x-=_,故c正确；

333

22IR

;X~8(4,；),「.X的方差丫(*)=4乂4*；=；,故。错误.故选：ABC.

3339

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.i是虚数单位,复数与竺为纯虚数,则实数。为

2-1

【答案】2

_\+ai(l+az)(2+z)2-a+(2a+l)i2-a(2a+1).

(解析】•/-----=------------=-------------—=----+-------z

2-z(2-z)(2+i)555

复数守为纯虚数

2-1

2—a—0

.1J,八，解得。=2，故答案为:2

2。+1*0

14.某省新高考方案规定的选科要求为:学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地

理四门学科中任选两科.现有甲、乙两名学生按上面规定选科，则甲、乙恰有一门学科相同的选科方法有

种

【答案】60

【解析】分为两类，第一类物理、历史两科中是相同学科，则有种选法；第二类物理、历史两

科中没相同学科，则有馅C：8=48种选法，

所以甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有12+48=60种，

故答案为：60.

k

15.已知随机变量X的分布列为P(X=〃)=F—(〃=1,2,3,4),贝隈_,P(2<X<3)=

n+nK~---------------

【答案t5

16

kkkk5

【解析】由条件可知：:+£+=+士=1,解得：

2612204

P(24X<3)=A+K=K=l_x3=a,故答案为：-5

'761244416416

16.设函数/(x)在定义域(0,+8)上是单调函数，Vxe(O,”),/[/(x)—e'+x]=e,若不等式

“X)+/'(X)之火对xe(0,+8)恒成立，则实数a的取值范围是

【答案】(-2e-l]

【解析】由题意可设〃尤)一产+%=，，则/(x)=/—x+f,

'：f[f(x)-ex+x]=e,

/(r)=ezT+f=e'=e,

.・・f=1,

；♦/(x)=e*-x+1,

由/(x)+F'(x)之or得e*-x+l+e*-INox,

：.a<---1对xw(0,+2o)恒成立，

X

令g(x)=,—l，XG(O,4W),则g，(x)=2七T),

由g'(x)=0得x=l,

g（x）在（0,1）上单调递减,在（1,+8）单调递增,

•••g(x)»g(l)=2e—L

，aW2e—1,故答案为：（―oo,2e-1].

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知3+£)展开式中前三项的二项式系数和为22.

（1）求〃的值；

（2）求展开式中的常数项.

【答案】（1）6；（2）常数项为60.

【解析】（1）因为（2%+十）展开式中前三项的二项式系数和为22.

所以+C+C；=l+n+〃(7)=22,

解得：〃=6或〃=一7（舍去）.

所以〃的值为6.

（2）由通项公式G=C：（2X）6"[+）=《26-*/卷,

3k

令6-----=0,可得：攵=4,

2

所以展开式中的常数项为加=以26-。。=60.

18.已知复数4=l-2i,Z2=3+4i,i为虚数单位.

（1）若复数4+az2在复平面上对应的点在第四象限，求实数”的取值范围;

Z.

（2）若z=」，求z的共聊复数z.

Z2

1112

【答案】(1)(—,一)；(2)z=---1—i.

3255

【解析】⑴由题意，复数4=1-2%=3+4i,

则Z)+6zz2=1-2z+〃(3+4z)=(1+3。)+(4〃-2)i

因为复数4+az2在复平面上对应的点在第四象限,

1+3。>011|

所以J4Q_2<0，解得一;vav］，即实数〃取值范围（—§,5）.

⑺由(J2,)(3一旬一5-10i所以彳=_」+2j.

z23+4z(3+4z)(3-4«)255555

19.某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价%（单位：元/件）

及相应月销量y（单位：万件），对近5个月的月销售单价可和月销售量=2,3,4,5）的数据进行了统

计，得到如下表数据：

月销售单价％（元/件）99.51010.511

月销售量、（万件）1110865

（I）建立y关于％的回归直线方程;

（II）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线

方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方

程是理想的，试问：（I）中得到的回归直线方程是否理想？

（III）根据（I）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价8为何值时（销售单价不超过11元/件）,

公司月利润的预计值最大？

参考公式：回归直线方程$=R+a,其中坂=与---------，a^y-bx.

）2-nx—2

/=1

55

参考数据：\>戊=392,=502.5.

i=]Z=1

【答案】（I）y=-3.2x+4O（H）可以认为所得到的回归直线方程是理想的.（W）该产品单价定为8.75

元时，公司才能获得最大利润

【解析】(I)因为亍=((11+10.5+10+9.5+9)=10,5=((5+6+8+10+11)=8.

所以6=392二540驾=_3.2,所以4=8—(一3.2)x10=40,

502.5-5xl02’7

所以y关于x的回归直线方程为：y=-3.2x+4O.

(II)当x=7时，$=-3.2x7+40=17.6,则|17.6—18|=0.4<0.5,

所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的.

（Ill）设销售利润为〃，则M=（x—5）（-3.2x+40）（5<xWll）

M=-3.2%2+56A:-200,所以x=8.75时，M取最大值，

所以该产品单价定为&75元时，公司才能获得最大利润.

20.有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数.

（1）某女生一定担任语文科代表；

（2）某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；

（3）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表.

【答案】（1）840种（2）3360种（3）360种

【解析】（1）除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排，共有不同选法4：=840（种）.

（2）先选后排，但先安排不担任语文科代表的该男生，所以共有不同选法=3360（种）.

（3）先从除去必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生和一定要担任语文科代表的该女生的6人中

选3人有C：种，再安排必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生有C；种，其余3人全排列有国种，

所以共有不同选法C；•Cb=360（种）.

21.一个袋中有2个红球，4个白球.

（1）从中取出3个球，求取到红球个数X的概率分布及数学期望；

（2）每次取1个球，取出后记录颜色并放回袋中.

①若取到第二次红球就停止试验，求第5次取球后试验停止的概率；

②取球4次，求取到红球个数Y的概率分布及数学期望.

324

【答案】（1）分布列见解析，1；（2）①上一；②分布列见解析，一.

2433

【解析】（1）取到红球个数X的可能取值为0』,2

所以P（X=°）=等喘j唳叫=等=誓小2=2）=登吗V

即分布列为:

才012

3

P

555

13i

故数学期望为：£（X）=0x-+lx|+2x-=l；

I9

（2）设“取一次取出红球”为事件4“取一次取出白球”为事件8,且P（4）=§,P（8）=§,

①事件“前4次中恰有一次取出红球”记为C,且与“第5次取出红球”相互独立

则若取到第二次红球就停止试验，第5次取球后试验停止的概率

P=P（C）P（A）=C：

②取球4次，求取到红球个数丫可能取值为0,1,2,3,4

所以叩=。）/图噂

叩=3c.©・©吟哈,p=3）v©©=A,

尸（一）

即分布列为:

Y01234

1632881

P

818?278181

故数学期望为：f(r)=0x—+1X—+2x—+3x—+4x—=-

v781812781813

22.在微博知名美食视频博主李子柒的引领下，大家越来越向往田园生活，一大型餐饮企业拟对一个生态

农家乐进行升级改造，加入量的农耕活动以及自己制作农产品活动，根据市场调研与模拟，得到升级改造

投入x（万元）与升级改造直接收益V（万元）的数据统计如下：

X2346810132122232425

y1322314250565868.56867.56666

当0<x«17时，建立了V与x的两个回归模型：模型①：3=4.1x+11.8；模型②：亍=21.36-14.4；

当x>17时，确定丁与x满足的线性回归方程为：y=-0.7x+a.

（I）根据下列表格中的数据，比较当0<xW17时模型①、②的相关指数/?2,并选择拟合精度更高、更

可靠的模型，预测对生态园升级改造的投入为17万元时的直接收益.

回归模型模型①