2021-2022学年下学期杭州初中数学八年级期中典型试卷3

2021-2022学年下学期杭州初中数学八年级期中典型试卷3

一.选择题（共10小题）

1.（2017•襄阳）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

2.（2021春•海伦市期末）若二次根式心工在实数范围内有意义，则〃的取值范围是（）

A.a>2B.aW2C.D.

3.（2017春•孙吴县期末）下列计算正确的是（）

A.«+圾=旄B.&・《=遍C.显_&=娓D.亚=4

4.（2021春♦余杭区期中）一组数据按从小到大排列为3,4,7,x,15,17,若这组数据的

中位数为9,则工是（）

A.9B.10C.11D.12

5.（2021春•拱墅区期中）某班有50人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计，

由于小亮没有参加本次集体测试因此计算其他49人的平均分为90分，方差S2=53.后

来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班50人的测试成绩，下列说法正确的是（）

A.平均分不变，方差变小B.平均分不变，方差变大

C.平均分和方差都不变D.平均分和方差都改变

6.（2021春•沧州期末）如图，在RtZVlBC中，/ACB=90°,点£）,E分别是边AB,AC

的中点，延长BC至尸，使CF=」8C,若AB=12,则EF的长是（）

2

B

A.7B.6C.5D.4

7.（2021•武陟县模拟）已知关于x的一元二次方程f+法+c=o,其中儿c在数轴上的对应

点如图所示，则这个方程的根的情况是（）

——1----1-------J>

c0bx

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.只有一个实数根

8.（2021春•饶平县校级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、8。相交于点O,下

列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）

A.AB//DC,AD//BCB.AB//DC,ZDAB=ZDCB

C.AO=CO,AB=DCD.AB//DC,DO=BO

9.（2021春•萧山区期中）已知关于龙的一元二次方程（x-xi）（x-X2）=0与一元一次方

程2x-4=0有一个公共解x=x\,若一元二次方程（工-川）（x-x2）+（2x-4）=0有

两个相等的实根，则屹=（）

A.-2B.-4C.2D.4

10.（2015•拱墅区二模）己知DABCO中，AD=2ABf/是的中点，作A£J_C£>,垂足七

在线段CD上，不与点C重合，连接EF、AF,下列结论：①2NBAF=NBAD；②EF=

AF；©SMBF^SMEF；®ZBFE=3ZCEF.中一定成立的是（）

D

E

8V

A.①②④B.①③C.②③④D.①②③④

二.填空题（共6小题）

II.（2021春•拱墅区校级期中）化简：

⑴A/12^:

⑵后——•

12.（2021•高要区一模）一个多边形的内角和是720°,这个多边形的边数是.

13.（2021秋•建安区期中）已知，〃是关于x的方程7-3x-4=0的一个根，贝！］3〃/-9，"-

2=.

14.（2015•南昌）两组数据：3,a,2b,5与a,6,匕的平均数都是6,若将这两组数据合

并为一组数据，则这组新数据的中位数为.

15.（2021春•拱里区期中）一个等腰三角形的底边长为10,腰长是一元二次方程llx+30

=0的一个根，则这个三角形的周长是.

16.（2021春♦拱墅区期中）如图，正方形ABCD中，在4。的延长线上取点E,凡使。E

=AD,DF=BD,连接8尸分别交CD,CE于H,G.下列结论：①图中有8个等腰三角

形：②EC=2DG；③AGHdDGE；④Ui些=2+圾.其中正确的有（填序

^ADEG

17.（2021春•拱墅区校级期中）计算:

(2)(1)'2-(n-4)°+—1.

22-K/3

18.(2021春•拱墅区校级期中)解方程:

(1)7A:(5X+2)=6(5x+2)；

(2)1.

2

19.（2021春•香洲区期末）学校抽查了某班级某月份其中5天的用电量，数据如表（单位:

度):

度数91112

天数311

(1)求这5天用电量的平均数，众数，中位数.

(2)学校共有48个班级，若该月在校时间按22天计，试估计该校该月的总用电量.

20.(2019春•西湖区期末)己知机，〃是实数，定义运算“*”为：m^n=mn+n.

(1)分别求4*(-2)与4*、而的值；

(2)若关于x的方程x*Q*x)=有两个相等的实数根，求实数〃的值.

4

21.(2019•香坊区模拟)如图，ZiABC中，点。，E分别是边AB,AC的中点，过点C作

CF//AB交DE的延长线于点F,连接BE.

(1)求证：四边形BCFO是平行四边形.

(2)当AB=BC时、若BD=2,BE=3,求AC的长.

22.(2019春•下城区期末)某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60

元.为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4

台.设每台电风扇降价5x元.

(1)分别用含x的代数式表示降价后平均每天的销售量和每台的利润.

(2)若要使每天销售利润达到1540元，求x的值.

(3)请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由.

23.(2021春•余杭区期中)如图，在长方形ABCZ)中，A2=3,BC=6,动点P从点A出

发，沿射线A。方向以每秒3个单位长度的速度运动；同时。从点B出发，沿射线BC

方向以每秒1个单位长度的速度运动.设点P,。的运动时间为r(秒).

(1)当/=2时，求线段PQ的长；

(2)当线段PQ与线段CC相交于点M,且。M=CM时，求f的值；

(3)连接AQ,是否存在某一时刻，△APQ为等腰三角形？若存在，求出此时△4PQ的

面积；若不存在，请说明理由.

备用国

2021-2022学年下学期杭州初中数学八年级期中典型试卷3

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2017•襄阳）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

【考点】中心对称图形；轴对称图形.

【分析】根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

8、是中心对称图，不是轴对称图形，故本选项错误；

C、既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确；

。、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误.

故选：C.

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称

轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分

重合.

2.（2021春•海伦市期末）若二次根式心工在实数范围内有意义，则。的取值范围是（）

A.a>2B.aW2C.“#2D.a22

【考点】二次根式有意义的条件.

【分析】二次根式的被开方数是非负数.

【解答】解：依题意，得

a-220,

解得，a22.

故选：D.

【点评】考查了二次根式的意义和性质.概念：式子F（心0）叫二次根式.性质：二

次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.

3.（2017春•孙吴县期末）下列计算正确的是（）

A.如+如=疾B.V2-V3=V6C.册-近=娓D.«+丑=4

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】计算题.

【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断.

【解答】解：A、原式不能合并，错误；

B、原式=,2X3=近,正确；

C、原式=2&-&=血，错误；

。、原式2="\/"^=2,错误，

故选：B.

【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

4.（2021春•余杭区期中）一组数据按从小到大排列为3,4,7,x,15,17,若这组数据的

中位数为9,则》是（）

A.9B.10C.11D.12

【考点】中位数.

【专题】数据的收集与整理；数据分析观念.

【分析】根据中位数为9和数据的个数，可求出x的值.

【解答】解：由题意得，（7+x）+2=9,

解得：x=ll,

故选：C.

【点评】本题考查了中位数的知识，属于基础题，掌握中位数的定义是关键.

5.（2021春•拱墅区期中）某班有50人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计，

由于小亮没有参加本次集体测试因此计算其他49人的平均分为90分，方差$2=53.后

来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班50人的测试成绩，下列说法正确的是（〉

A.平均分不变，方差变小B.平均分不变，方差变大

C.平均分和方差都不变D.平均分和方差都改变

【考点】方差；算术平均数.

【专题】统计的应用；数据分析观念.

【分析】根据平均数，方差的定义计算即可.

【解答】解：：小亮的成绩和其他49人的平均数相同，都是90分，

该班50人的测试成绩的平均分为90分，方差变小，

故选：A.

【点评】本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知

识解决问题，属于中考常考题型.

6.（2021春•沧州期末）如图，在RtZ\ABC中，/AC8=90°,点O,E分别是边AB,AC

的中点，延长BC至凡使CF=4BC,若AB=12,则E尸的长是（）

A.7B.6C.5D.4

【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析［根据三角形中位线定理得到。E〃BC,DE=1BC,证明四边形。EFC为平行四

2

边形，根据平行四边形的性质得到EF=CD,根据直角三角形的性质解答即可.

【解答】解：：点。，E分别是边A8,AC的中点，

J.DE//BC,DE=1BC,

2

•：CF=^BC,

2

:.DE=CF,

四边形OEFC为平行四边形，

:.EF=CD,

在Rt^ACB中，ZACB=90°，点。是边AB的中点，

：.CD=1AB^6,

2

:.EF=CD=6,

故选：B.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平

行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.

7.（2021•武陟县模拟）已知关于x的一元二次方程，+法+°=0,其中b,c在数轴上的对应

点如图所示，则这个方程的根的情况是（）

-------11-----------J->

c0bx

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.只有一个实数根

【考点】根的判别式；实数与数轴.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【分析】计算判别式的值即可判断.

【解答】解：,••b>。，c<0,

A=启-4c>0,

•••有两个不相等的实数根.

故选：A.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程a^+bx+c^O（aWO）的根与A^b2-4ac

有如下关系：当△>◊时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=（）时，方程有两个相

等的两个实数根；当△<（）时，方程无实数根.

8.（2021春•饶平县校级期末）如图，在四边形A8C。中，对角线AC、8。相交于点。，下

列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）

A.AB//DC,AD//BCB.AB//DC,/DAB=/DCB

C.AO=CO,AB=DCD.AB//DC,DO=BO

【考点】平行四边形的判定.

【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力.

【分析】分别利用平行四边形的判定方法和全等三角形的判定与性质进行判断，即可得

出结论.

【解答】解：A,'：AB//CD,AD//BC,

四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意;

B、'JAB//DC,

：.ZDAB+ZADC^\SO°,

,:NDAB=NDCB,

：.ZDCB+ZADC=\SO°,

J.AD//BC,

四边形A8C。是平行四边形，故此选项不符合题意；

C、；AO=C。，AB=DC,ZAOB=ZCOD,不能判定△408也△C。。,

不能得到N0AB=Z0CD,

...不能得至ljA8〃CQ,

...不能判定四边形ABC。是平行四边形，故此选项符合题意；

D、'：AB//DC,

：.ZOAB=ZOCD,

在AAOB和△C0Q中，

fZOAB=ZOCD

<ZAOB=ZCOD>

BO=DO

A/\AOB^/S.COD(A4S),

：.AB=DC,

又,：ABHDC,

四边形ABC。是平行四边形，故此选项不符合题意；

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的判

定与性质等知识，正确把握平行四边形的判定方法是解题关键.

9.(2021春•萧山区期中)已知关于x的一元二次方程(x-xi)(x-%2)=0与一元一次方

程2%-4=0有一个公共解x=xi,若一元二次方程(x-xi)(x-X2)+(2x-4)=0有

两个相等的实根，则X2=()

A.-2B.-4C.2D.4

【考点】根的判别式；一元一次方程的解.

【专题】一元二次方程及应用.

【分析】先解方程2x-4=0得xi=2,则一元二次方程(x-xi)(x-r)+(2x-4)=0

变形为(x-2)(X-JV2)+2%-4=0,整理得/-%2X+2X2-4=0,利用判别式的意义得到

△=(-X2)2-4(2x2-4)=0,然后解关于X2的方程即可.

【解答】解：：解方程2%-4=0得x=2,

.*.xi=2,

.・•一元二次方程(x-Xi)(x-X2)+(2x-4)=0变形为(x-2)(x-x2)+2x-4=0,

整理得X2-X2X+2X2-4=0,

:=(-%2)2-4(2x2-4)=0,解得％2=4.

故选：D.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax^+bx+c=0(aW0)的根与A=h2-4ac

有如下关系：当△>()时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的

实数根；当△<()时，方程无实数根.

10.(2015•拱墅区二模)已知OA6CD中，A£>=2AB,F是BC的中点，作AE_LC£>,垂足E

在线段8上，不与点C重合，连接EF、AF,下列结论：①2NBAF=NBA£>；②EF=

AF-.③SAABFWSAAEF；④NBFE=3NCEF.中一定成立的是()

spC

A.①②④B.①③C.②③④D.①②③④

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质.

【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判

定得出AMBF也利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案.

【解答】解：①：尸是BC的中点，

：.BF=FC,

•..在nABCZ)中，AD=2AB,

：.BC^2AB=2CD,：.BF=FC=AB,

：.NAFB=/BAF,

\'AD//BC,

：.ZAFB^ZDAF,

:.NBAF=NFAB,

：.2ZBAF=ZBAD,故①正确；

②延长EF,交AB延长线于M,

•.•四边形ABC。是平行四边形，

：.AB//CD,

:.NMBF=NC,

为BC中点，

：.BF=CF,

在和△£■(；/中，

，ZMBF=ZC

<BF=CF，

ZBFM=ZCFE

...AMBF^△ECFCASA),

：.FE=MF,NCEF=NM,

'JCE1.AE,

；.N4EC=90°,

ZAEC=ZBAE=90°,

；FM=EF,

：,EF=AF,故②正确；

③〈EF=FM,

.".S^AEF=SMFM,

与C不重合，

.'.5AABF<SAA£F,故③错误；

④设NFEA=x,则/项E=x,

：.ZBAF=ZAFB=90Q-x,

；./£■以=180°-2x,

：.NEFB=900-x+180°-2x=270°-3x,

'：ZCEF=90°-x,

:.NBFE=3NCEF,故④正确,

故选：A.

D

w*

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决

本题的关键是得出△AEF也丛DME.

二.填空题（共6小题）

11.（2021春•拱墅区校级期中）化简：

⑵信孝,

【考点】算术平方根.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】（1）根据算术平方根的化简方法计算即可求解；

（2）根据算术平方根的化简方法计算即可求解；

【解答】解：（1）Vl2=V4X3=V4><V3=2A/3-

故答案为：

（2）、口=]1乂/=、E=卑=返.

V2V2X2V4y2

故答案为：返.

2

【点评】此题考查了算术平方根的化简，熟记算术平方根的化简方法是解题的基础.

12.（2021•高要区一模）一个多边形的内角和是720°,这个多边形的边数是6.

【考点】多边形内角与外角.

【分析】根据内角和定理180。・（〃-2）即可求得.

【解答】解：•.•多边形的内角和公式为（n-2）-180°,

，Cn-2）X180°=720°,

解得〃=6,

・・・这个多边形的边数是6.

故答案为：6.

【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即180°・（〃-2）,难度适中.

13.（2021秋•建安区期中）已知，"是关于x的方程f-3x-4=0的一个根，则3〃，-3"-

2=10.

【考点】一元二次方程的解.

【专题】一元二次方程及应用；推理能力.

【分析】利用一元二次方程根的定义得到毋-3/77=4,再把3〃P-9〃?变形为3（〃3-2m）

-2,然后利用整体代入的方法计算.

【解答】解：是关于x的方程f-3x-4=0的一个根，

.'.m2-3m-4=0,

.'.m2-3m=4,

.'.3m1-9m-2=3（川-3M-2=3X4-2=10.

故答案是：10.

【点评】本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义.一元二次方程的根就是

一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知

数所得式子仍然成立.

14.（2015•南昌）两组数据：3,a,2b,5与a,6,%的平均数都是6,若将这两组数据合

并为一组数据，则这组新数据的中位数为6.

【考点】中位数；算术平均数.

【分析】首先根据平均数的定义列出关于〃、人的二元一次方程组，再解方程组求得〃、6

的值，然后求中位数即可.

【解答】解：•••两组数据：3,a,2b,5与a,6,6的平均数都是6,

.[a+2b=24-3-5

Ia+b=18-6

解得卜=8,

lb=4

若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为3,4,5,6,8,8,8,

一共7个数，第四个数是6,所以这组数据的中位数是6.

故答案为6.

【点评】本题考查平均数和中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据

的个数.一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位

数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确

定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的•个数即为这组数据的中位数；当数据个数

为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数.

15.（2021春•拱墅区期中）一个等腰三角形的底边长为10,腰长是一元二次方程llx+30

=0的一个根，则这个三角形的周长是22.

【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，再求出

即可.

【解答】解：解方程1£+30=0得：x=5或6,

当腰为5时，三角形的三边为5,5,10,5+5=10,此时不符合三角形三边关系定理，

不合题意；

当腰为6时，三角形的三边为6,6,10,此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长

为6+6+10=22,

故答案为：22.

【点评】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理等知

识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键.

16.（2021春•拱墅区期中）如图，正方形48CC中，在A力的延长线上取点E,F,使OE

=AD,DF=BD,连接BF分别交CO,CE于H,G.下列结论：①图中有8个等腰三角

S_

形；@EC=2DG；③△GHgADGE；@ABDG=2+72-其中正确的有③④（填

2ADEG

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】三角形；矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】①根据正方形的性质及等腰三角形的判定，可得出图中共有9个等腰三角形；

②根据正方形的性质和已知推出四边形。ECB是平行四边形，得到8Q=CE,BD//CE,

无法证出G为CE的中点；③由SAS可证明△GHC丝△OGE；④由上述推理可得，/\DBG

s4GDE,再根据三角形的面积等于相似比的平方可得结论.

【解答】解：如图，在正方形A8CQ中，

AB^BC^CD=AD,NAOB=NOBC=45°,

.-.△ABZ）和△88是等腰三角形；

;DE=DC,DF=BD,

AD£C和△BQF是等腰三角形；

:.NDCE=NDEC=45°,ZF=ZDBC=22.5°,

:.NCBG=NEGF=NF=22.5°,

；.NBGC=NEGF=22.5°,

4BCG和△EFG是等腰三角形；

：.BC=CG=CD,ZCDG=ZCGD=67.5°,

...△COG是等腰三角形，KZGDF=22.5°,NDHG=NBHC=615°

：.ZGDF=ZF,DG=HG,

和△OGF是等腰三角形，

综上，图中共有9个等腰三角形；故①不正确；

/.△CDG是等腰三角形，

•正方形ABC。，DE=AD,

J.AD//BC,DE=BC,NEDC=90°,

...四边形。ECB是平行四边形，

:.BD=CE,BD//CE,

：.DE=BC=AD,

:.NDCE=NDEC=45°,

要使CE=2DG,只要G为CE的中点即可，

DE^DC,DF=BD,

；.EF#BC,

即和ABCG不全等，

.•.点G不是CE中点，②错误

由①分析可知，

在△GVC和△OGE中，

'CG=ED

<ZGDE=ZHGC=22.5°，

GH=DG

：./\GHC^/\DGE(SAS)；故③正确；

由上分析可知，ZDBG=ZGDE=22.5°,NDGB=NDEG=45°,

:ADBGS^GDE,

.$2kBDG=/BGx2-.BG2

FDEGDE市，

如图，过点G作GM,8c交BC的延长线于点M,

设BC=a,则CG=a,

:.CM=GM=^a,

_2_

BG1—C^a)2+(a+VZa)2—(2+5/2)«2>

22

"：DE=BC=a,

...也理=呢=0冬4=2+我，故④正确；

SADEGDE2a2

综上，③④正确.

故答案为：③④.

【点评】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，正方形的性

质，平行四边形的性质与判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解

此题的关键.

三.解答题(共7小题)

17.(2021春•拱墅区校级期中)计算:

(2)(1)匕一(K-4)0+—

22s

【考点】二次根式的混合运算；零指数幕；负整数指数幕；分母有理化.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

(2)根据负整数指数幕、零指数幕和分母有理化进行计算.

【解答】解：(1)原式=3，"^-

—2^2：

(2)原式=4-1+2-V3

=5-M.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并

同类二次根式即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式

的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

18.(2021春•拱蟹区校级期中)解方程：

(1)7尤(5x+2)=6(5x+2)；

(2)0=/-1.

2

【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【分析】利用因式分解法求解即可.

【解答】解：(1)，：7x(5x+2)=6(5x+2),

(5x+2)(7x-6)=0,

贝!15x+2=0或7x-6=0,

解得xi=-2,X2=—;

57

(2)VA(%-1)=(x+1)(x-1),

2

(x-1)(A-x-1)=0,

2

则x-1=0或』-X-1=0,

2

解得Xl=l,X2—-—.

2

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方

法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的

方法是解题的关键.

19.(2021春•香洲区期末)学校抽查了某班级某月份其中5天的用电量，数据如表(单位:

度):

度数91112

天数311

(1)求这5天用电量的平均数，众数，中位数.

(2)学校共有48个班级，若该月在校时间按22天计，试估计该校该月的总用电量.

【考点】众数；用样本估计总体；加权平均数；中位数.

【专题】统计的应用；运算能力.

【分析】(1)根据加权平均数的计算公式、众数、中位数的定义进行求解即可；

(2)用班级数乘以日平均用电量乘以天数即可求得总用电量.

【解答】解：(1)这5天用电量的平均数是：(9X3+11X1+12X1)4-5=10(度)；

9度出现了3次，最多，故众数为9度；

第3天的用电量是9度，故中位数为9度：

(2)10X22X48=10560(度)，

答：估计该校该月用电10560度.

【点评】此题考查了平均数、中位数、众数和用样本估计总体.中位数是将一组数据从

小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这

组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误

地将这组数据最中间的那个数当作中位数.

20.(2019春•西湖区期末)已知相，”是实数，定义运算“”为：加*〃=w〃+”.

(1)分别求4*(-2)与4*'而的值；

(2)若关于x的方程x*Q*x)=-上有两个相等的实数根，求实数〃的值.

4

【考点】根的判别式；实数的运算.

【专题】一元二次方程及应用.

【分析】(1)利用新定义得到4*(-2)=4X(-2)+(-2)；4*J^=4X遥+证，然

后进行实数运算即可；

(2)利用新定义得到x(办+x)+ax+x=-1,整理得(。+1)/+Q+l)x+工=0,根据

44

一元二次方程的定义和判别式的意义得到“+1#0且4=Q+1)2-4(a+1)X(-1)

4

=0,然后解关于“的方程即可.

【解答】解：(1)4*(-2)=4X(-2)+(-2)=-8-2=-10：

4*75=4XA/5+V5=5遥；

(2)a*x=ax+xf

由x*(ax+x)=-工得%Cax+x)+ax+x="-»

44

整理得(a+1)/+(a+1)x+工=0,

4

因为关于x的方程(a+1)/+(a+1)x+』=0有两个相等的实数根，

4

所以4+1#0且4=(a+1)2-4(iz+l)XA=0,

4

所以“=0.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程a^+bx+c^O(a#0)的根与A=b2-4ac

有如下关系：当4>0时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的

实数根；当△<()时，方程无实数根.也考查了实数的运算.

21.(2019•香坊区模拟)如图，△ABC中，点。，E分别是边AB,AC的中点，过点C作

CF//AB交DE的延长线于点F,连接BE.

(1)求证：四边形8CKD是平行四边形.

(2)当4B=BC时，若BD=2,BE=3,求4c的长.

【考点】平行四边形的判定与性质.

【专题】多边形与平行四边形.

【分析】(1)根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论;

(2)根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论.

【解答】(1)证明：•••点£>,E分别是边A3,AC的中点，

J.DE//BC.

'：CF//AB,

...四边形8CFQ是平行四边形;

（2）解：'：AB=BC,E为AC的中点，

：.BE1AC.

\'AB=^2DB=4,BE=3,

AE=yj^2_22—5/7>

，AC=2AE=2V7

【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，解答本

题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.

22.（2019春•下城区期末）某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60

元.为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4

台.设每台电风扇降价5x元.

（1）分别用含x的代数式表示降价后平均每天的销售量和每台的利润.

（2）若要使每天销售利润达到1540元，求x的值.

（3）请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由.

【考点】一元二次方程的应用.

【专题】一元二次方程及应用：应用意识.

【分析】（1）降价后平均每天的销售量=24+降价的钱数+5X4,每台的利润=原利润-

降价；

（2）根据每台的盈利X销售的件数=1540元，即可列方程求解；

（3）根据每台的盈利义销售的件数=2000元，即可列方程，再根据根的判别式求解.

【解答】解：（1）降价后平均每天的销售量：24+5x+5X4=24+4x,

降价后销售的每台利润：60-5x；

（2）依题意，可列方程：

（60-5%）（24+4%）=1540,

解方程得：xi=l,X2=5.

答:x的值为1或5.

（3）依题意，可列方程:

(60-5x)(24+4x)=2000,

化简得--6x+28=0,

A=(-6)2-4X1X28=-76<0.

故方程无实数根.

故该电风扇每天销售利润不能达到2000元.

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一台冰电风扇箱的利

润，销售量增加的部分.找到关键描述语，找到等量关系：每台的盈利X销售的件数=

1540元是解决问题的关键.

23.(2021春•余杭区期中)如图，在长方形ABCQ中，A8=3,BC=6,动点P从点A出

发，沿射线AO方向以每秒3个单位长度的速度运动；同时。从点B出发，沿射线BC

方向以每秒1个单位长度的速度运动.设点P,。的运动时间为r(秒).

(1)当/=2时，求线段PQ的长；

(2)当线段PQ与线段0c相交于点M,且。例=CM时，求f的值；

(3)连接AQ,是否存在某一时刻，△APQ为等腰三角形？若存在，求出此时△APQ的

面积；若不存在，请说明理由.

备用图

【考点】四边形综合题.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】(1)过点Q作于E,可证四边形ABQE是矩形，可得QE=CC=A8=

3,AE=BQ=2,由勾股定理可求解；

(2)由“44S”可证可得CQ=OP,即可求解；

(3)分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解.

【解答】解：(1)如图1,过点Q作QELAQ于E,

AEPD

BQC

图1

当r=2时,AP=6,BQ=2,

・・•四边形ABC。是矩形，

AZA=ZB=ZBCD=ZADC=90°,

又;QEA.AD,

・・・四边形A3QE是矩形，

AQE=CD=AB=3fAE=BQ=2,

：.EP=AP-AE=6-2=4,

:，PQ={Ep2+Ep2=19+]'=5；

(2)如图2,

图2

■:AD//BC,

：.ZCQM=ZDPM,

•・•点M是CD中点，

：.CM=DM,

又・・・NQMP=NCMQ,

:,XDMP经丛CMQ(AAS),

:・CQ=DP,

.*.6-t=3t-6,

：.t=3；

(3)由题意可得：AP=3t,AQ=、9+12,PQ=、9+(3t1t)2=6+虹

若AP=AQ时，则立=再不，

.1=2返(负值舍去)，

4_

则△APQ的面积=JLX3X3X2返=旦返；

248

若AP=P。时，3/=6+妣2,

.•，=色区（负值舍去），

5_

则△APQ的面积=1X3X3Xe/5=ZZY1；

2510

若AQ-PQ时，｛9+妣2=J9+t2'

：.t=O（不合题意舍去），

综上所述：当f=C返或延时，△AP。为等腰三角形.面积分别为型匣或空度.

45810

【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定

理，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.

考点卡片

1.算术平方根

（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于m即/=〃，那么这个正数

x叫做。的算术平方根.记为

（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数〃是非负数；②算术平方根a本

身是非负数.

（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平

方根时，可以借助乘方运算来寻找.

2.实数与数轴

（1）实数与数轴上的点是一一对应关系.

任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.数轴

上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数.

（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a

的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离.

（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左

边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小.

3.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、塞的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

4.零指数幕

零指数累：«0=1（。#0）

由/—""=1,严一"'=。°可推出『=1（。#0）

注意：O°W1.

5.负整数指数嘉

负整数指数累：aP^lap（aWO,p为正整数）

注意：①。#0；

②计算负整数指数幕时，一定要根据负整数指数基的意义计算，避免出现（-3）一2=（-3）

X（-2）的错误.

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数.

④在混合运算中，始终要注意运算的顺序.

6.二次根式有意义的条件

判断二次根式有意义的条件：

（1）二次根式的概念.形如遥（a>0）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式中被开方数的取值范围.二次根式中的被开方数是非负数.

（3）二次根式具有非负性.筋（a2O）是一个非负数.

学习要求：

能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利

用二次根式的非负性解决相关问题.

【规律方法】二次根式有无意义的条件

1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开

方数都必须是非负数.

2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零.

7.分母有理化

（1）分母有理化是指把分母中的根号化去.

分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式.

例如•①1==遍.②1=遍7b=氏一五

VaVa*VaaVa+x/b（Va+x/b）（Va-Vb）a-b

（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为

有理化因式.

一个二次根式的有理化因式不止一个.

例如：加-的有理化因式可以是加+如，也可以是。(扬“)，这里的4可以是任意

有理数.

8.二次根式的混合运算

(1)二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用.学习二次

根式的混合运算应注意以下几点：

①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的.

②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多

项式

(2)二次根式的运算结果要化为最简二次根式.

(3)在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当

的解题途径，往往能事半功倍.

9.一元一次方程的解

定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解.

把方程的解代入原方程，等式左右两边相等.

10.一元二次方程的解

(1)一元二次方程的解(根)的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知

数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解.这xi,也是一元二次方程0?+公+。

=0(“W0)的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.

ax\2+bx\+c—0(a#0),ax22+bx2+c—0(a#0).

11.解一元二次方程-公式法

(1)把*=.b±Jb-4衿(庐-4℃)0)叫做一元二次方程/+版+C=0(a#0)的求根

2a

公式.

(2)用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.

(3)用公式法解一元二次方程的一般步骤为：

①把方程化成一般形式，进而确定mb,。的值(注意符号)；

②求出/-4ac的值(若序-4acV0,方程无实数根);

③在廿-4ac》0的前提下，把〃、仄c的值代入公式进行计算求出方程的根.

注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①。六0;②廿-4改》0.

12.解一元二