2021-2022学年第一学期人教版八年级数学期末模拟卷三（详解版）

2021-2022学年第一学期人教版八年级数学期末模拟卷三

（详解版）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题（共30分）

1.在一次数学课上，老师让学生进行画图，你觉得学生可能会发现的结论是（）

①0=8,b=5,c=l

A.三条线段首尾顺次相接能构成三角形

B.三角形的内角和是180。

C.三角形的任意一个外角大于和它不相邻的内角

D.三角形任意两边之和大于第三边

【答案】D

【分析】

根据三角形两边之和大于第三边判断即可.

【详解】

解：①；a=8,b—5,c—1,

.'.a>b+c,

三条线段不能组成三角形;

②•.•“=8,b=6,c=2,

"•a—b+Cy

，三条线段不能组成三角形;

③：a=8,b—6,c=3,

.'.a<b+c,

三条线段能组成三角形；

学生可能会发现的结论是三角形任意两边之和大于第三边,

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了三角形三边关系的应用，准确判断是解题的关键.

2.如图，直线A3〃CQ,直线AB,EG交于点尸，直线CD,PM交于点N,NFGH=

90SNCN尸=30。，NEFA=a,2GHM=6,/HMN=y,则下列结论正确的是（）

A.P=a+yB.a+/J+y=120°C.a+/i-7=60°D-fl+y~a=60°

【答案】C

【分析】

延长HG交直线AB于点K,延长PM交直线AB于点S.利用平行线的性质求出/KSM,

利用邻补角求出NSMH,利用三角形的外角与内角的关系，求出NSKG,再利用四边形

的内角和求出NGFW.

【详解】

解：延长HG交直线A8于点K,延长交直线A8于点S.

■:AB//CD,

：.NKSM=NCNP=30。.

'：ZEFA=ZKFG=a,ZKGF=180°-ZFGH=90°,

ZSMH=180°-180°-y,

ZSKH=ZKFG+ZKGF

=a+90°,

NSKH+NGHM+NSMH+NKSM=360°,

：.ZG/7M=360°-a-90°-180°+y-30°,

a+/f-y=60°,

故选：C.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、三角形的外角与内角的关系及多边形的内角和定理等知识

点.利用平行线、延长线把分散的角集中在四边形中是解决本题的关键.

3.如图，AA8c中，尸、Q分别是BC、AC上的点，作PS±AC,垂足分

别是R、S,若AQ=PQ,PR=PS,下面四个结论：®AS=AR；②QPHAR；③ABRP

注AQSP；④AP垂直平分RS,其中正确结论的序号是（）.

A.①②B.①②③C.①②④D.①②®®

【答案】C

【分析】

由“HL”可证APR丝APS,可得AS=A/?,ZPAR^Zf^S,由等腰三角形的性质

可得必，可证。P〃4R,由线段垂直平分线的性质可证4P垂直平

分RS.

【详解】

解：如图，连接AP,RS,

'CPRLAB,PSVAC,

.../ARP=N4SP=90。，

"：AP=AP,PR=PS,

:.RsAPR%RtXAPS(HL),

.'.AS=AR,ZPAR=ZPAS,故①正确,

\"AQ=-PQ,

：.ZQAP^ZQPA,

：.ZRAP=ZQPA,

J.QP//AR,故②正确，

"：AR=AS,PR=PS,

•♦.AP垂直平分KS,故④正确,

由题目条件不能证明△BRPQ4QSP,

故选：C.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，证明RmAPR安Rt4APS

是本题的关键.

4.如图所示，四边形0ABe是正方形，边长为3,点A、C分别在A轴、）•轴的正半轴

上，点。在OA上，且力点的坐标为（1,0）,P是。8上一动点，则以+PQ的最小值为

A.2碗B.A/10C.2D.3

【答案】B

【分析】

作出点。关于OB的对称点D',则。的坐标是（0,1）.则PD+PA的最小值就是AD'

的长，利用勾股定理即可求解.

【详解】

解：作出点。关于的对称点理，

则加的坐标是

则产。+必的最小值就是的长.

则00=1,

因而5=10£>2+以2=J]2+3?=而,

则PD+E4和的最小值是x/10.

故选B.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，以及最短路线问题，正确作出P的位置是关键.

5.如图所示，4、C、〃三点在同一条直线上，△04。和小EBC都是等边三角形，AE.

80交于点P,且分别与。、CE交于点见M,N,有如下结论：①△ACE名△OCB;

②CM=CN；③AM=DN；④NAPD=60。，其中正确结论的个数是()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】A

【分析】

先根据等边三角形的性质得到C4=CO,ZACD=60°,CB=CD,NBCE=60。，则可

根据"SAS'证明△ACE咨/XOCB(&4S),从而对①进行判断；再证明△C4M丝△CDV,

则可对②③进行判断；利用三角形内角和得到则可对④进行判断.

【详解】

解：:△DAC和AEBC都是等边三角形，

：.CA=CD,ZACD=60°,CB=CD,NBCE=60°,

NACE=NDCB,

'CA=CD

在4ACE和4DCB中，，NACE=ZDCB,

CE=CB

:.△ACaXDCB(SAS),所以①正确；

.'.ZCAE=ZCDB,

；NDCN=1800-ZACD-N5CE=60°,

ZACM=ZDCN,

ZACM=NDCN

在4CAM^llACDN中，｛CA^CD

ZCAM=NCDN

.♦.△CAM丝△(;£)%(ASA),

：.CM=CN,AM=DN,所以②③正确；

,/ZMDP+ZDMP+ZDPM=ZMAC+ZAMC+ZACM,

：.ZDPM^ZACM=6Q°,所以④正确.

故选:A.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，

熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键.

6.如图，在“8C中，AB=AC,BC=\O,SAAKC=60,。是BC中点，所垂直平分

AB,交AB于点E,交AC于点F,在EF上确定一点P,使P8+P。最小，则这个最

小值为（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】C

【分析】

根据三角形的面积公式得到40=12,由所垂直平分AB,得到点A,8关于直线即对

称，于是得到AO的长为尸8+PD的最小值，即可得到结论.

【详解】

,

：AB=AC,BC=10,SAABC=60,。是BC中点，

于点D,

SAABC-BC-AD=60,

：.AD=\2,

设A£＞与EF的交点为P,

A

垂直平分A8,

...点A,8关于直线EF对称，

：.PA=PB,

止匕时AD的长为PB+PD的最小值，

即PB+PD的最小值为12,

故选：C.

【点睛】

本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质的运

用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，

多数情况要作点关于某直线的对称点.

7.下列计算正确的是（）

A.a2-ay=abB.（3a2）3=9a6

C.5a2-4a2=20a2D.2/+3a4=5a4

【答案】D

【分析】

运用同底数篝的乘法，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项的运算法则分别对各项

进行运算，即可得出结果

【详解】

解：A、a2-a3=a5,故A不符合题意；

B、（3/丫=27不，故B不符合题意；

C、5"4"=20/,故C不符合题意;

D、2fl4+3a4=5c4,故D符合题意.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查同底数事的乘法，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项，解答的关键

是对这些知识点的运算法则的掌握与应用.

8.已知长方形的周长为16cm,它两邻边长分别为xcm,ycm,且满足

（x-y）2-2x+2y+l=0,则该长方形的面积为（）cn?

6331

A.—B.—C.15D.16

42

【答案】A

【分析】

先根据题意求出x+y=8,然后由（x-»-2x+2y+l=0可得x-y-l=O,由此求解即

可.

【详解】

解：•••长方形的周长为16cm,它两邻边长分别为xcm,.wm,

:.2（x+y）=16,

x+y=8①，

,**（x—y）~—2x+2y+1=0,

A（x-y）2-2（x-y）+l=0,

（x-y-l）2=O,

x—y—1=。②,

9

x=—

2

联立①②解得；，

二长方形的面积=孙=9^=号，

故选A.

【点睛】

本题主要考查了完全平方公式和解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握相关

知识进行求解.

9.下列说法正确的是（）

A.若分式二的值为0,则，=2

x-2

3r2v

B.一。是分式

f

11

C.〃（一）,）与“（广尢）的最简公分母是晚（x-y）（J-x）

D.上

3-x3x-x~

【答案】B

【分析】

根据分式的值为零的条件，分式的定义，最简公分母的确定方法以及分式的性质进行判

断.

【详解】

解：A、若分式上」的值为0,则9-4=0且x-2和，所以尸-2,该选项不符合题意；

x-2

B、二21x~口y的分母中含有字母，是分式，该选项符合题意；

-xy

11

C、“（X-y）与％（一I）的最简公分母是帅（x-y），该选项不符合题意；

D、当40时，该等式不成立，该选项不符合题意.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了最简公分母，分式的定义，分式的值为零的条件.注意：分式的分母不

等于零.

10.整数a满足下列两个条件，使不等式-24引产＜；。+1恰好只有3个整数解，使

得分式方程竺一-"=1的解为整数，则所有满足条件的”的和为（）

x-22-x

A.2B.3C.5D.6

【答案】A

【分析】

根据不等式组求出。的范围，然后再根据分式方程求出。的范围，从而确定的。的可能

值.

【详解】

a—3

解：由不等式组可知：-3&＜亍，

・.”有且只有3个整数解，则3个整数解为・3,・2,-1,

/.0<«<3,

44

由分式方程可知：%=-且一-^2,

a+2a+2

/.存0,

•.•关于X的分式方程有整数解，

二4能被“+2整除，即”+2=±4或±2或±1,

•.%是整数，

a=-1>-3、-4、-6^2；

V0<d<3,

，a=2,

,所有满足条件的整数a之和为2,

故选：A.

【点睛】

本题考查学生的计算能力以及推理能力，解题的关键是根据不等式组以及分式方程求出

”的范围，本题属于中等题型.

二、填空题(共24分)

11.方程------二=0的解是______.

X+XX~-X

3

【答案】X=-

【分析】

4x—6

将原式通分，整理为—n=0-即4X一6=0,求解即可.

【详解】

解：——=0,

X+XX-x

5(x-l)-(x+l)

-------------=U,

x(x+l)(x-l)

-出=0,

x(x+lm)(x-l)

/.4x—6=0,

3

解得：x=-,

3

经检验：x=］是原分式方程的解，

故答案为：x=1.

【点睛】

本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法以及分式为零的情况是解本题的

关键.

X

12.已知2/-母-3y2=0,且xw-y,x2=

y-----

3

【答案】-y

【分析】

先将2/一个—3y2=()利用因式分解化为(x+y)(2x—3y)=。，根据]，一>求得y=,

x

再代入、，炉求解即可.

y-----

x-y

【详解】

解：因为2x?-xy-3/2=0,

所以(x+y)(2x-3y)=0,

所以x+y=0或2x-3y=0,

又因为xw—y,所以x+y*0,

2

所以2x_3y=0,所以y=(x,

3

故答案为：

【点睛】

本题考查了因式分解的应用和分式的化简求值，熟悉相关性质是解题的关健.

13.已知a+b=5,ab=2,则代数式，2+/的值是.

【答案】1975

【分析】

根据已知条件先算出“2+〃，继而得到"+03,再根据因式分解/+65即可代入求解;

【详解】

*.*a+h=5,ah=2,

：.a2+b2=(a+b)2-2ah=2],

.•./+匕3=(。+3⑷一成+从)=5*(21-2)=95,

又(a+Z>)5=a，+5a"b+1Oa3t>2+1OaT+5ab&+b5,

=a5+b5+5ab(a3+^)+1Oa2h2(a+b).

a5+b5=(«+4>y+^3)-1O«2ZJ2(«+b)=1975；

故答案是：1975.

【点睛】

本题主要考查了因式分解的应用，准确计算是解题的关键.

14.下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了S+。)"(”为非负整数)

的展开式的项数及各项系数的有关规律，请你观察，并根据此规律写出：g+b)s=

1—a(a+b)Q=l

I[—>>(a+b)1=a+b

121—*■(a+by^^r+lab+b2

1331-a(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

14641—(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab:>+b4

【答案】“5+50%+।+10“力3+5"4+^5

【分析】

先认真观察适中的特点，得出a的指数是从5到0,。的指数是从0到5,系数依次为1,

5,10,10,5,I,得出答案即可.

【详解】

解：(。+6)5=“5+5。％+1043〃+1042加+5"4+此

故答案为：a5+5o4Z?+10。3加+\0a2b3+5ab4+b5.

【点睛】

本题考查了完全平方公式的应用，解此题的关键是能读懂杨辉三角中数字变化规律.

15.如图，在△ABC中，NAC5=90。，NAVN5,点。为AB边上一点且不与A、B

重合，将AACO沿。翻折得到AECD,直线CE与直线AB相交于点F.若NA=a,

当4OEF为等腰三角形时,NAB=.(用a的代数式表示NACD)

【分析】

若ADM为等腰三角形，则S)F=ZE=a,根据三角形外角的性质以及三角形内角和

定理即可求得结果.

【详解】

解：由翻折的性质可知NE=ZA=a,ZCDE=ZADC,

当EF=DF时，则NEDF=NE=a,

•;ZEDF=NCDE-NCDB,ZCDB=ZA+ZACD,

=ZADC-(ZA+ZACD)

=180°-2(ZA+ZACD)

=180°-2(a+ZACD),

3

/.ZAC£>=90°——a,

2

.■.当44a>=90。-|0时，ADEF为等腰三角形，

3

故答案为90。一5。.

当£D=EF时，NEDF=NEFD==90。-ga；

2ZADC=180°+ZEDF=270°--a,

2

.'.ZA£>C=135°,

4

13

/.ZAC£)=180°-ZA-ZADC=180°-6r-135°4--a,=45°一一a；

44

・・・ZD依=ZA+ZACF,

:.ZDFEHZDEF,

如图2,

如图2

当£>E=EF时，ZEDF=ZEFD=-a；

2

13

ZACF=180°-ZA-Z£，ro=180°-a一一a,=180°一一a,

22

13

ZACZ)=-ZACF=90°——a；

24

733

.•.当ZACD=90。-口或45。-丑或90。-7时，ADE尸为等腰三角形，

244

故答案为：90。-』1或45。-1。或90。-？。.

244

【点睛】

本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知

识，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质以及三角形内角和定理.

16.小明把一副含45。，30。的直角三角板如图摆放，其中/C=NF=90。，NA=45。，

NO=30。，则4+4等于_____.

【答案】285°

【分析】

根据直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质计算即可.

【详解】

解：VZC=ZF=90°,ZA=45°,Z£>=30°,

/.Z2+Z3=180°-Z£)=150o,

VZa=Zl+ZA,N£=/4+NC,

VZ1=Z2,Z3=Z4,

.,.Na+〃=NA+/l+N4+/C=/A+NC+/2+N3=45°+90°+150°=285°,

故答案为:285。.

本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和

它不相邻的两个内角的和是解题的关键.

17.如图，已知AM〃印V,NA=64。，点尸是射线AM上一动点（与点A不重合），

BC.30分别平分NABP和NP3N,分别交射线AM于点C、D,下列结论：

①NACB=NCBN；②NC5O=64。；③当N4C8=N4BO时，NABC=29。；④当点产

运动时，NAP&NAZ）B=2：1的数量关系不变.其中正确结论的有（填序

号）.

【答案】①③④

【分析】

根据AM〃⑻V,可以得到/ACB=NCBN(可以判断①)，NPDB=NDBN,根据角平分

线的性质得到NC8P=NCH4=』NABP,NDBP=NDBN=>NNBP,从而得到

22

ZPBD=ZPDB,

NCBD=NCBP+NDBP=g(/ABP+NPBN)=g/ABN=58。,可以判断②，根据

ZAPB=ZADB+ZPBD,得到可以判断④，根据/ACB=NA8。，

/AC8+N4BC+/A=180。，可以得到NA8O+/48C+/A=180。，即可得到

ZABC+ZABC+ZBCD=\\6°,从而可以判断③.

【详解】

：'：AM//BN,ZA=64°

:.NACB=NCBN,故①正确，NA+NAB2180。，

82116。，

,:BC、BD分别平分/A8P和NPBN,

ZCBP=ZCBA=-ZABP,ZDBP=ZDBN=-ZNBP,

22

NCBD=NCBP+NDBP=；(NABP+/PBN)=；NABN=58。,故②错误

VZACB^ZABD,ZACB+ZABC+ZA=180°,

：.NA8D+NA8C+NA=180°,

：.ZABD+ZABC=\}6°,

：.ZABC+ZABC+ZBCD=\\6°,

：.ZABC^29°,故③正确，

•:AM"BN,

：.ZPDB=ZDBN,

又,:NDBP=NDBN

：.NPB斥/PDB,

'：NAPB=NADB+NPBD,

：.ZAPB=2ZADB,

：.ZAPB：N4OB=2:1,故④正确

故答案为：①③④.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性

质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

18.若/=2,户=3,则。的大小关系是。b（填“V”或

【答案】>

【分析】

根据基的乘方进行解答即可

【详解】

解：Va15=（〃）5=25=32,b'5=（加）3=33=27,32>27,

.*.a15>Z>15,

.,.a>b,

故答案为：>；

【点睛】

本题考查了事的乘方，根据题目所给的运算方法进行比较是解题的关键.

三、解答题（共46分）

19.（本题6分）计算:

(3)解分式方程：=+=1=2

x+2x-2

【答案】(1)-；(2)—!—；(3)x=14.

4a+2

【分析】

(1)根据零指数基，负整数指数基和有理数的乘方的计算法则求解即可;

(2)利用分式的性质对分式进行化简即可；

(3)先两边同时乘以(x+2)(x-2)去分母，然后解方程即可.

【详解】

解：(1)(石_&『+2_2_(-1)2

=1+----1

4

-*11.

4,

2aa+2

(a+2)(fl-2)(Q-2)(〃+2)

2a-a—2

a2-4

a-2

S+2)("2)

1

a+2；

/.2x(x-2)+3(x+2)=2(x+2)(x-2),

**•2x?-4x+3x+6=2r-8»

/.x=14.

【点睛】

本题主要考查了零指数基，负整数指数募和有理数的乘方，分式的化简，解分式方程，

解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

2().(本题10分)虹桥中学为了创建良好的校园读书环境，去年购买了一批图书.其中

故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学

书数量相等.

(1)求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？

(2)若今年文学书的单价比去年提高了25%,故事书的单价与去年相同，这所中学今

年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120

元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？

【答案】(1)去年购买的文学书每本8元，故事书每本12元；(2)今年至少要购买140

本文学书.

【分

(1)设去年购买的文学书每本x元，则故事书每本(x+4)元，根据题意列分式方程

粤=则，解此分式方程，并检验即可解题；

x+4x

(2)设今年这所中学要购买。本文学书，根据总费用不超过2120元列一元一次不等式

8x(l+25%)a+12(200-tz)<2120,解此不等式即可.

【详解】

解：(1)设去年购买的文学书每本x元，则故事书每本(x+4)元，

1200800

x+4x'

1200x=800(x+4)

400x=3200

x=8,

经检验x=8是原分式方程的解，

8+4=12,

答：去年购买的文学书每本8元，故事书每本12元.

(2)设今年这所中学要购买，本文学书，

8x(l+25%)a+12(20()-a)<2120

a>140.

答：今年至少要购买140本文学书.

【点睛】

本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用等知识，是重要考点，掌握

相关知识是解题关键.

21.(本题10分)如图1所示，已知点E在直线AB上，点F,G在直线上，且

ZEFG=NFEG,所平分ZAEG.

图1图2

(1)判断直线A8与直线CD是否平行，并说明理由.

(2)如图2所示，H是A8上点E右侧一动点，NEG”的平分线GQ交所的延长线于

点Q,设NQ=a,NEHG=/3.

①若N”EG=40。，NQG〃=20。，求NQ的度数.

②判断：点”在运动过程中，a和夕的数量关系是否发生变化？若不变，求出a和4的

数量关系；若变化，请说明理由.

【答案】(1)A8〃CD,理由见详解；(2)①50。；②不变化，a=:/3.

【分析】

(1)依据EF平分/4EG,可得NAEF=/GEF,再根据/EFG=NFEG,可得

ZAEF=ZGFE,进而得出AB〃CQ；

(2)①依据NHEG=40。，即可得至lj/尸EG=70。，依据QG平分NEG”，即可得到

NQGH=NQGE=20。,根据N(2=/FEGNEGQ进行计算即可；②根据NFEG是/EG0

的外角，NAEG是/EG”的外角，即可得到/FEG-NEGQ,NEHG=ZAEG-ZEGH,

再根据尸E平分/AEG,G。平分NEG”,即可得出/尸EG=gZAEG,ZEGQ=^NEGH,

最后依据NQ=NFEG-/EGQ进行计算，即可得到a/

【详解】

(1)直线AB与直线CD平行，理由：EF平分NAEG,

：.NAEF=NGEF,

又,：NEFG=NFEG,

/AEF=NGFE,

AB//CD;

(2)①；N，EG=40。，

:.NFEG=；(180°-40°)=70%

又：QG平分NEGH,

NQG〃=NQGE=20。，

NQ=/FEG-/EGQ=70°-20°=50°；

②点H在运动过程中，a和4的数量关系不发生变化，

ZFEG是AEGQ的外角,ZAEG是AEGH的外角,

:.NQ=NFEG-NEGQ,

NEHG=NAEG-NEGH,

又平分NAEG,GQ平分NEG”，

:.NFEG=3/AEG,NEG。*NEGH,

；.NgNFEG-NEGQ

（NAEG-NEGH）

=1NEHG

即a=].

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角性质的运用，解决问题的关键是利用

三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

22.（本题10分）在AABC中，AB=AC=10cm.

（1）如图1,AM是△A8C的中线，MO1.A8于。点，MEJ_AC于E点，MQ=3cm,

则ME=cm.

（2）如图2,在（1）的条件下，连接。E交AM于点尸，试猜想：

①FOFE（填“>”、“=”或“V”）；

②AMDE（填位置关系）.

（3）如图3,BC=8cm,点。为他的中点.点尸在线段8c上由8向C运动，同时

点。在线段C4上以每秒2cm的速度由C向A运动，设点尸的运动时间为，秒.问：

运动时间f为多少时，△BDP与4PQC全等？

35

【答案】（1）3；（2）①二；②，；（3）§或不

【分析】

(1)由等腰三角形的性质可得NBAM=NC4M,由角平分线的性质可得结论；

(2)由可证RtAAEM,可得AD=AEf由等腰三角形的性质可得结论；

(3)分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解.

【详解】

解：(1)'：AB=AC,AM是△ABC的中线，

：.ZBAM=ZCAM,

又・・・OM_LA3,ME±AC,

：.MD=ME=3cm,

故答案为：3；

(2)在RtzXADW和RtZkAEM中，

JAD=AE

[AM=AM，

ARIAAEM(HL),

：.AD=AE,

又・・・N8AM=NCAM,

:,DF=EF,A