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文档简介
2021-2022学年第一学期人教版八年级数学期末模拟卷三
(详解版)
学校:姓名:班级:考号:
一、单选题(共30分)
1.在一次数学课上,老师让学生进行画图,你觉得学生可能会发现的结论是()
①0=8,b=5,c=l
A.三条线段首尾顺次相接能构成三角形
B.三角形的内角和是180。
C.三角形的任意一个外角大于和它不相邻的内角
D.三角形任意两边之和大于第三边
【答案】D
【分析】
根据三角形两边之和大于第三边判断即可.
【详解】
解:①;a=8,b—5,c—1,
.'.a>b+c,
三条线段不能组成三角形;
②•.•“=8,b=6,c=2,
"•a—b+Cy
,三条线段不能组成三角形;
③:a=8,b—6,c=3,
.'.a<b+c,
三条线段能组成三角形;
学生可能会发现的结论是三角形任意两边之和大于第三边,
故选:D.
【点睛】
本题主要考查了三角形三边关系的应用,准确判断是解题的关键.
2.如图,直线A3〃CQ,直线AB,EG交于点尸,直线CD,PM交于点N,NFGH=
90SNCN尸=30。,NEFA=a,2GHM=6,/HMN=y,则下列结论正确的是()
A.P=a+yB.a+/J+y=120°C.a+/i-7=60°D-fl+y~a=60°
【答案】C
【分析】
延长HG交直线AB于点K,延长PM交直线AB于点S.利用平行线的性质求出/KSM,
利用邻补角求出NSMH,利用三角形的外角与内角的关系,求出NSKG,再利用四边形
的内角和求出NGFW.
【详解】
解:延长HG交直线A8于点K,延长交直线A8于点S.
■:AB//CD,
:.NKSM=NCNP=30。.
':ZEFA=ZKFG=a,ZKGF=180°-ZFGH=90°,
ZSMH=180°-180°-y,
ZSKH=ZKFG+ZKGF
=a+90°,
NSKH+NGHM+NSMH+NKSM=360°,
:.ZG/7M=360°-a-90°-180°+y-30°,
a+/f-y=60°,
故选:C.
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形的外角与内角的关系及多边形的内角和定理等知识
点.利用平行线、延长线把分散的角集中在四边形中是解决本题的关键.
3.如图,AA8c中,尸、Q分别是BC、AC上的点,作PS±AC,垂足分
别是R、S,若AQ=PQ,PR=PS,下面四个结论:®AS=AR;②QPHAR;③ABRP
注AQSP;④AP垂直平分RS,其中正确结论的序号是().
A.①②B.①②③C.①②④D.①②®®
【答案】C
【分析】
由“HL”可证APR丝APS,可得AS=A/?,ZPAR^Zf^S,由等腰三角形的性质
可得必,可证。P〃4R,由线段垂直平分线的性质可证4P垂直平
分RS.
【详解】
解:如图,连接AP,RS,
'CPRLAB,PSVAC,
.../ARP=N4SP=90。,
":AP=AP,PR=PS,
:.RsAPR%RtXAPS(HL),
.'.AS=AR,ZPAR=ZPAS,故①正确,
\"AQ=-PQ,
:.ZQAP^ZQPA,
:.ZRAP=ZQPA,
J.QP//AR,故②正确,
":AR=AS,PR=PS,
•♦.AP垂直平分KS,故④正确,
由题目条件不能证明△BRPQ4QSP,
故选:C.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质,线段垂直平分线的判定,证明RmAPR安Rt4APS
是本题的关键.
4.如图所示,四边形0ABe是正方形,边长为3,点A、C分别在A轴、)•轴的正半轴
上,点。在OA上,且力点的坐标为(1,0),P是。8上一动点,则以+PQ的最小值为
A.2碗B.A/10C.2D.3
【答案】B
【分析】
作出点。关于OB的对称点D',则。的坐标是(0,1).则PD+PA的最小值就是AD'
的长,利用勾股定理即可求解.
【详解】
解:作出点。关于的对称点理,
则加的坐标是
则产。+必的最小值就是的长.
则00=1,
因而5=10£>2+以2=J]2+3?=而,
则PD+E4和的最小值是x/10.
故选B.
【点睛】
本题考查了正方形的性质,以及最短路线问题,正确作出P的位置是关键.
5.如图所示,4、C、〃三点在同一条直线上,△04。和小EBC都是等边三角形,AE.
80交于点P,且分别与。、CE交于点见M,N,有如下结论:①△ACE名△OCB;
②CM=CN;③AM=DN;④NAPD=60。,其中正确结论的个数是()
A.4个B.3个C.2个D.1个
【答案】A
【分析】
先根据等边三角形的性质得到C4=CO,ZACD=60°,CB=CD,NBCE=60。,则可
根据"SAS'证明△ACE咨/XOCB(&4S),从而对①进行判断;再证明△C4M丝△CDV,
则可对②③进行判断;利用三角形内角和得到则可对④进行判断.
【详解】
解::△DAC和AEBC都是等边三角形,
:.CA=CD,ZACD=60°,CB=CD,NBCE=60°,
NACE=NDCB,
'CA=CD
在4ACE和4DCB中,,NACE=ZDCB,
CE=CB
:.△ACaXDCB(SAS),所以①正确;
.'.ZCAE=ZCDB,
;NDCN=1800-ZACD-N5CE=60°,
ZACM=ZDCN,
ZACM=NDCN
在4CAM^llACDN中,{CA^CD
ZCAM=NCDN
.♦.△CAM丝△(;£)%(ASA),
:.CM=CN,AM=DN,所以②③正确;
,/ZMDP+ZDMP+ZDPM=ZMAC+ZAMC+ZACM,
:.ZDPM^ZACM=6Q°,所以④正确.
故选:A.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,三角形内角和定理等知识点,
熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键.
6.如图,在“8C中,AB=AC,BC=\O,SAAKC=60,。是BC中点,所垂直平分
AB,交AB于点E,交AC于点F,在EF上确定一点P,使P8+P。最小,则这个最
小值为()
A.10B.11C.12D.13
【答案】C
【分析】
根据三角形的面积公式得到40=12,由所垂直平分AB,得到点A,8关于直线即对
称,于是得到AO的长为尸8+PD的最小值,即可得到结论.
【详解】
,
:AB=AC,BC=10,SAABC=60,。是BC中点,
于点D,
SAABC-BC-AD=60,
:.AD=\2,
设A£>与EF的交点为P,
A
垂直平分A8,
...点A,8关于直线EF对称,
:.PA=PB,
止匕时AD的长为PB+PD的最小值,
即PB+PD的最小值为12,
故选:C.
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题,线段的垂直平分线的性质,等腰三角形的性质的运
用,凡是涉及最短距离的问题,一般要考虑线段的性质定理,结合轴对称变换来解决,
多数情况要作点关于某直线的对称点.
7.下列计算正确的是()
A.a2-ay=abB.(3a2)3=9a6
C.5a2-4a2=20a2D.2/+3a4=5a4
【答案】D
【分析】
运用同底数篝的乘法,积的乘方,单项式乘单项式,合并同类项的运算法则分别对各项
进行运算,即可得出结果
【详解】
解:A、a2-a3=a5,故A不符合题意;
B、(3/丫=27不,故B不符合题意;
C、5"4"=20/,故C不符合题意;
D、2fl4+3a4=5c4,故D符合题意.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查同底数事的乘法,积的乘方,单项式乘单项式,合并同类项,解答的关键
是对这些知识点的运算法则的掌握与应用.
8.已知长方形的周长为16cm,它两邻边长分别为xcm,ycm,且满足
(x-y)2-2x+2y+l=0,则该长方形的面积为()cn?
6331
A.—B.—C.15D.16
42
【答案】A
【分析】
先根据题意求出x+y=8,然后由(x-»-2x+2y+l=0可得x-y-l=O,由此求解即
可.
【详解】
解:•••长方形的周长为16cm,它两邻边长分别为xcm,.wm,
:.2(x+y)=16,
x+y=8①,
,**(x—y)~—2x+2y+1=0,
A(x-y)2-2(x-y)+l=0,
(x-y-l)2=O,
x—y—1=。②,
9
x=—
2
联立①②解得;,
二长方形的面积=孙=9^=号,
故选A.
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式和解二元一次方程组,解题的关键在于能够熟练掌握相关
知识进行求解.
9.下列说法正确的是()
A.若分式二的值为0,则,=2
x-2
3r2v
B.一。是分式
f
11
C.〃(一),)与“(广尢)的最简公分母是晚(x-y)(J-x)
D.上
3-x3x-x~
【答案】B
【分析】
根据分式的值为零的条件,分式的定义,最简公分母的确定方法以及分式的性质进行判
断.
【详解】
解:A、若分式上」的值为0,则9-4=0且x-2和,所以尸-2,该选项不符合题意;
x-2
B、二21x~口y的分母中含有字母,是分式,该选项符合题意;
-xy
11
C、“(X-y)与%(一I)的最简公分母是帅(x-y),该选项不符合题意;
D、当40时,该等式不成立,该选项不符合题意.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了最简公分母,分式的定义,分式的值为零的条件.注意:分式的分母不
等于零.
10.整数a满足下列两个条件,使不等式-24引产<;。+1恰好只有3个整数解,使
得分式方程竺一-"=1的解为整数,则所有满足条件的”的和为()
x-22-x
A.2B.3C.5D.6
【答案】A
【分析】
根据不等式组求出。的范围,然后再根据分式方程求出。的范围,从而确定的。的可能
值.
【详解】
a—3
解:由不等式组可知:-3&<亍,
・.”有且只有3个整数解,则3个整数解为・3,・2,-1,
/.0<«<3,
44
由分式方程可知:%=-且一-^2,
a+2a+2
/.存0,
•.•关于X的分式方程有整数解,
二4能被“+2整除,即”+2=±4或±2或±1,
•.%是整数,
a=-1>-3、-4、-6^2;
V0<d<3,
,a=2,
,所有满足条件的整数a之和为2,
故选:A.
【点睛】
本题考查学生的计算能力以及推理能力,解题的关键是根据不等式组以及分式方程求出
”的范围,本题属于中等题型.
二、填空题(共24分)
11.方程------二=0的解是______.
X+XX~-X
3
【答案】X=-
【分析】
4x—6
将原式通分,整理为—n=0-即4X一6=0,求解即可.
【详解】
解:——=0,
X+XX-x
5(x-l)-(x+l)
-------------=U,
x(x+l)(x-l)
-出=0,
x(x+lm)(x-l)
/.4x—6=0,
3
解得:x=-,
3
经检验:x=]是原分式方程的解,
故答案为:x=1.
【点睛】
本题考查了分式方程的解法,熟练掌握分式方程的解法以及分式为零的情况是解本题的
关键.
X
12.已知2/-母-3y2=0,且xw-y,x2=
y-----
3
【答案】-y
【分析】
先将2/一个—3y2=()利用因式分解化为(x+y)(2x—3y)=。,根据],一>求得y=,
x
再代入、,炉求解即可.
y-----
x-y
【详解】
解:因为2x?-xy-3/2=0,
所以(x+y)(2x-3y)=0,
所以x+y=0或2x-3y=0,
又因为xw—y,所以x+y*0,
2
所以2x_3y=0,所以y=(x,
3
故答案为:
【点睛】
本题考查了因式分解的应用和分式的化简求值,熟悉相关性质是解题的关健.
13.已知a+b=5,ab=2,则代数式,2+/的值是.
【答案】1975
【分析】
根据已知条件先算出“2+〃,继而得到"+03,再根据因式分解/+65即可代入求解;
【详解】
*.*a+h=5,ah=2,
:.a2+b2=(a+b)2-2ah=2],
.•./+匕3=(。+3⑷一成+从)=5*(21-2)=95,
又(a+Z>)5=a,+5a"b+1Oa3t>2+1OaT+5ab&+b5,
=a5+b5+5ab(a3+^)+1Oa2h2(a+b).
a5+b5=(«+4>y+^3)-1O«2ZJ2(«+b)=1975;
故答案是:1975.
【点睛】
本题主要考查了因式分解的应用,准确计算是解题的关键.
14.下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”,此图揭示了S+。)"(”为非负整数)
的展开式的项数及各项系数的有关规律,请你观察,并根据此规律写出:g+b)s=
1—a(a+b)Q=l
I[—>>(a+b)1=a+b
121—*■(a+by^^r+lab+b2
1331-a(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
14641—(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab:>+b4
【答案】“5+50%+।+10“力3+5"4+^5
【分析】
先认真观察适中的特点,得出a的指数是从5到0,。的指数是从0到5,系数依次为1,
5,10,10,5,I,得出答案即可.
【详解】
解:(。+6)5=“5+5。%+1043〃+1042加+5"4+此
故答案为:a5+5o4Z?+10。3加+\0a2b3+5ab4+b5.
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用,解此题的关键是能读懂杨辉三角中数字变化规律.
15.如图,在△ABC中,NAC5=90。,NAVN5,点。为AB边上一点且不与A、B
重合,将AACO沿。翻折得到AECD,直线CE与直线AB相交于点F.若NA=a,
当4OEF为等腰三角形时,NAB=.(用a的代数式表示NACD)
【分析】
若ADM为等腰三角形,则S)F=ZE=a,根据三角形外角的性质以及三角形内角和
定理即可求得结果.
【详解】
解:由翻折的性质可知NE=ZA=a,ZCDE=ZADC,
当EF=DF时,则NEDF=NE=a,
•;ZEDF=NCDE-NCDB,ZCDB=ZA+ZACD,
=ZADC-(ZA+ZACD)
=180°-2(ZA+ZACD)
=180°-2(a+ZACD),
3
/.ZAC£>=90°——a,
2
.■.当44a>=90。-|0时,ADEF为等腰三角形,
3
故答案为90。一5。.
当£D=EF时,NEDF=NEFD==90。-ga;
2ZADC=180°+ZEDF=270°--a,
2
.'.ZA£>C=135°,
4
13
/.ZAC£)=180°-ZA-ZADC=180°-6r-135°4--a,=45°一一a;
44
・・・ZD依=ZA+ZACF,
:.ZDFEHZDEF,
如图2,
如图2
当£>E=EF时,ZEDF=ZEFD=-a;
2
13
ZACF=180°-ZA-Z£,ro=180°-a一一a,=180°一一a,
22
13
ZACZ)=-ZACF=90°——a;
24
733
.•.当ZACD=90。-口或45。-丑或90。-7时,ADE尸为等腰三角形,
244
故答案为:90。-』1或45。-1。或90。-?。.
244
【点睛】
本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知
识,解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质以及三角形内角和定理.
16.小明把一副含45。,30。的直角三角板如图摆放,其中/C=NF=90。,NA=45。,
NO=30。,则4+4等于_____.
【答案】285°
【分析】
根据直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质计算即可.
【详解】
解:VZC=ZF=90°,ZA=45°,Z£>=30°,
/.Z2+Z3=180°-Z£)=150o,
VZa=Zl+ZA,N£=/4+NC,
VZ1=Z2,Z3=Z4,
.,.Na+〃=NA+/l+N4+/C=/A+NC+/2+N3=45°+90°+150°=285°,
故答案为:285。.
本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理,掌握三角形的一个外角等于和
它不相邻的两个内角的和是解题的关键.
17.如图,已知AM〃印V,NA=64。,点尸是射线AM上一动点(与点A不重合),
BC.30分别平分NABP和NP3N,分别交射线AM于点C、D,下列结论:
①NACB=NCBN;②NC5O=64。;③当N4C8=N4BO时,NABC=29。;④当点产
运动时,NAP&NAZ)B=2:1的数量关系不变.其中正确结论的有(填序
号).
【答案】①③④
【分析】
根据AM〃⑻V,可以得到/ACB=NCBN(可以判断①),NPDB=NDBN,根据角平分
线的性质得到NC8P=NCH4=』NABP,NDBP=NDBN=>NNBP,从而得到
22
ZPBD=ZPDB,
NCBD=NCBP+NDBP=g(/ABP+NPBN)=g/ABN=58。,可以判断②,根据
ZAPB=ZADB+ZPBD,得到可以判断④,根据/ACB=NA8。,
/AC8+N4BC+/A=180。,可以得到NA8O+/48C+/A=180。,即可得到
ZABC+ZABC+ZBCD=\\6°,从而可以判断③.
【详解】
:':AM//BN,ZA=64°
:.NACB=NCBN,故①正确,NA+NAB2180。,
82116。,
,:BC、BD分别平分/A8P和NPBN,
ZCBP=ZCBA=-ZABP,ZDBP=ZDBN=-ZNBP,
22
NCBD=NCBP+NDBP=;(NABP+/PBN)=;NABN=58。,故②错误
VZACB^ZABD,ZACB+ZABC+ZA=180°,
:.NA8D+NA8C+NA=180°,
:.ZABD+ZABC=\}6°,
:.ZABC+ZABC+ZBCD=\\6°,
:.ZABC^29°,故③正确,
•:AM"BN,
:.ZPDB=ZDBN,
又,:NDBP=NDBN
:.NPB斥/PDB,
':NAPB=NADB+NPBD,
:.ZAPB=2ZADB,
:.ZAPB:N4OB=2:1,故④正确
故答案为:①③④.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质,角平分线的性质,三角形内角和定理,三角形外角的性
质,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
18.若/=2,户=3,则。的大小关系是。b(填“V”或
【答案】>
【分析】
根据基的乘方进行解答即可
【详解】
解:Va15=(〃)5=25=32,b'5=(加)3=33=27,32>27,
.*.a15>Z>15,
.,.a>b,
故答案为:>;
【点睛】
本题考查了事的乘方,根据题目所给的运算方法进行比较是解题的关键.
三、解答题(共46分)
19.(本题6分)计算:
(3)解分式方程:=+=1=2
x+2x-2
【答案】(1)-;(2)—!—;(3)x=14.
4a+2
【分析】
(1)根据零指数基,负整数指数基和有理数的乘方的计算法则求解即可;
(2)利用分式的性质对分式进行化简即可;
(3)先两边同时乘以(x+2)(x-2)去分母,然后解方程即可.
【详解】
解:(1)(石_&『+2_2_(-1)2
=1+----1
4
-*11.
4,
2aa+2
(a+2)(fl-2)(Q-2)(〃+2)
2a-a—2
a2-4
a-2
S+2)("2)
1
a+2;
/.2x(x-2)+3(x+2)=2(x+2)(x-2),
**•2x?-4x+3x+6=2r-8»
/.x=14.
【点睛】
本题主要考查了零指数基,负整数指数募和有理数的乘方,分式的化简,解分式方程,
解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
2().(本题10分)虹桥中学为了创建良好的校园读书环境,去年购买了一批图书.其中
故事书的单价比文学书的单价多4元,用1200元购买的故事书与用800元购买的文学
书数量相等.
(1)求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元?
(2)若今年文学书的单价比去年提高了25%,故事书的单价与去年相同,这所中学今
年计划再购买文学书和故事书共200本,且购买文学书和故事书的总费用不超过2120
元,这所中学今年至少要购买多少本文学书?
【答案】(1)去年购买的文学书每本8元,故事书每本12元;(2)今年至少要购买140
本文学书.
【分
(1)设去年购买的文学书每本x元,则故事书每本(x+4)元,根据题意列分式方程
粤=则,解此分式方程,并检验即可解题;
x+4x
(2)设今年这所中学要购买。本文学书,根据总费用不超过2120元列一元一次不等式
8x(l+25%)a+12(200-tz)<2120,解此不等式即可.
【详解】
解:(1)设去年购买的文学书每本x元,则故事书每本(x+4)元,
1200800
x+4x'
1200x=800(x+4)
400x=3200
x=8,
经检验x=8是原分式方程的解,
8+4=12,
答:去年购买的文学书每本8元,故事书每本12元.
(2)设今年这所中学要购买,本文学书,
8x(l+25%)a+12(20()-a)<2120
a>140.
答:今年至少要购买140本文学书.
【点睛】
本题考查分式方程的实际应用,一元一次不等式的实际应用等知识,是重要考点,掌握
相关知识是解题关键.
21.(本题10分)如图1所示,已知点E在直线AB上,点F,G在直线上,且
ZEFG=NFEG,所平分ZAEG.
图1图2
(1)判断直线A8与直线CD是否平行,并说明理由.
(2)如图2所示,H是A8上点E右侧一动点,NEG”的平分线GQ交所的延长线于
点Q,设NQ=a,NEHG=/3.
①若N”EG=40。,NQG〃=20。,求NQ的度数.
②判断:点”在运动过程中,a和夕的数量关系是否发生变化?若不变,求出a和4的
数量关系;若变化,请说明理由.
【答案】(1)A8〃CD,理由见详解;(2)①50。;②不变化,a=:/3.
【分析】
(1)依据EF平分/4EG,可得NAEF=/GEF,再根据/EFG=NFEG,可得
ZAEF=ZGFE,进而得出AB〃CQ;
(2)①依据NHEG=40。,即可得至lj/尸EG=70。,依据QG平分NEG”,即可得到
NQGH=NQGE=20。,根据N(2=/FEGNEGQ进行计算即可;②根据NFEG是/EG0
的外角,NAEG是/EG”的外角,即可得到/FEG-NEGQ,NEHG=ZAEG-ZEGH,
再根据尸E平分/AEG,G。平分NEG”,即可得出/尸EG=gZAEG,ZEGQ=^NEGH,
最后依据NQ=NFEG-/EGQ进行计算,即可得到a/
【详解】
(1)直线AB与直线CD平行,理由:EF平分NAEG,
:.NAEF=NGEF,
又,:NEFG=NFEG,
/AEF=NGFE,
AB//CD;
(2)①;N,EG=40。,
:.NFEG=;(180°-40°)=70%
又:QG平分NEGH,
NQG〃=NQGE=20。,
NQ=/FEG-/EGQ=70°-20°=50°;
②点H在运动过程中,a和4的数量关系不发生变化,
ZFEG是AEGQ的外角,ZAEG是AEGH的外角,
:.NQ=NFEG-NEGQ,
NEHG=NAEG-NEGH,
又平分NAEG,GQ平分NEG”,
:.NFEG=3/AEG,NEG。*NEGH,
;.NgNFEG-NEGQ
(NAEG-NEGH)
=1NEHG
即a=].
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质,三角形外角性质的运用,解决问题的关键是利用
三角形的外角性质:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
22.(本题10分)在AABC中,AB=AC=10cm.
(1)如图1,AM是△A8C的中线,MO1.A8于。点,MEJ_AC于E点,MQ=3cm,
则ME=cm.
(2)如图2,在(1)的条件下,连接。E交AM于点尸,试猜想:
①FOFE(填“>”、“=”或“V”);
②AMDE(填位置关系).
(3)如图3,BC=8cm,点。为他的中点.点尸在线段8c上由8向C运动,同时
点。在线段C4上以每秒2cm的速度由C向A运动,设点尸的运动时间为,秒.问:
运动时间f为多少时,△BDP与4PQC全等?
35
【答案】(1)3;(2)①二;②,;(3)§或不
【分析】
(1)由等腰三角形的性质可得NBAM=NC4M,由角平分线的性质可得结论;
(2)由可证RtAAEM,可得AD=AEf由等腰三角形的性质可得结论;
(3)分两种情况讨论,由全等三角形的性质可求解.
【详解】
解:(1)':AB=AC,AM是△ABC的中线,
:.ZBAM=ZCAM,
又・・・OM_LA3,ME±AC,
:.MD=ME=3cm,
故答案为:3;
(2)在RtzXADW和RtZkAEM中,
JAD=AE
[AM=AM,
ARIAAEM(HL),
:.AD=AE,
又・・・N8AM=NCAM,
:,DF=EF,A
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