高中数学第一章解三角形1.2应用举例三限时练新人教A版必修5

1.2应用举例(三)一、选择题1．台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危急区，城市B在A的正东40km处，则B城市处于危急区内的时间为()A．0.5hB．1hC．1.5hD．2h2．甲骑电动车以24km/h的速度沿着正北方向的马路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A．6km B．3eq\r(3)kmC．3eq\r(2)km D．3km3．在△ABC中，已知面积S＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，则角C的度数为()A．135°B．45°C．60°D．120°4．已知三角形的三边分别为a，b，c，面积S＝a2－(b－c)2，则cosA等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(4,5)C.eq\f(12,13)D.eq\f(15,17)5．在△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3\r(3),4)C.eq\f(15\r(3),2)D.eq\f(15\r(3),4)6．在△ABC中，若cosB＝eq\f(1,4)，eq\f(sinC,sinA)＝2，S△ABC＝eq\f(\r(15),4)，则b等于()A．4B．3C．2D．1二、填空题7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinB＝________.8．某海岛四周38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后，测得此岛在东北方向，若不变更航向，则此船________触礁的危急．(填“有”或“没有”)9．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为____________km.三、解答题10．已知△ABC的面积为1，tanB＝eq\f(1,2)，tanC＝－2，求△ABC的各边长以及△ABC外接圆的面积．11.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心马上把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．12．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，马上测出该渔船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇马上以10eq\r(3)海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．

答案精析1．B2.C3.B4．D[S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝－2bccosA＋2bc，∵S＝eq\f(1,2)bcsinA，∴eq\f(1,2)bcsinA＝2bc－2bccosA.即4－4cosA＝sinA.平方得17cos2A－32cosA＋15＝0.即(17cosA－15)(cosA－1)＝0.得cosA＝1(舍)或cosA＝eq\f(15,17).]5．D6.C7.eq\f(3\r(3),14)8.没有9.eq\r(6)－110．解∵tanB＝eq\f(1,2)>0，∴B为锐角，∴sinB＝eq\f(\r(5),5)，cosB＝eq\f(2\r(5),5).∵tanC＝－2<0，∴C为钝角，∴sinC＝eq\f(2\r(5),5)，cosC＝－eq\f(\r(5),5)，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f(\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))＋eq\f(2\r(5),5)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(3,5).∵S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝2R2sinAsinBsinC＝2R2×eq\f(3,5)×eq\f(\r(5),5)×eq\f(2\r(5),5)＝1.∴R2＝eq\f(25,12)，R＝eq\f(5\r(3),6).∴πR2＝eq\f(25,12)π，即外接圆的面积为eq\f(25,12)π.∴a＝2RsinA＝eq\r(3)，b＝2RsinB＝eq\f(\r(15),3)，c＝2RsinC＝eq\f(2\r(15),3).综上，a＝eq\r(3)，b＝eq\f(\r(15),3)，c＝eq\f(2\r(15),3)，△ABC外接圆的面积为eq\f(25,12)π.11．解在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos120°＝2800，所以BC＝20eq\r(7).由正弦定理eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，得sin∠ACB＝eq\f(ABsin∠BAC,BC)＝eq\f(\r(21),7).由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝eq\f(2\r(7),7).故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝eq\f(2\r(7),7)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(21),7)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(21),14).12.解如图所示，设所需时间为t小时，则AB＝10eq\r(3)t，CB＝10t，∠ACB＝120°.在△ABC中，依据余弦定理，则有AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠ACB，可得(10eq\r(3)t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq\f(1,2)(舍去)．即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB＝10eq\r(3)，BC＝10，在△ABC中，由正弦