2025版高中数学一轮复习高考大题强化练四立体几何综合问题理含解析新人教A版

PAGE高考大题强化练(四)立体几何综合问题1.如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;(2)求平面ADC1与平面A1BA所成的锐二面角(是指不超过90°的角)的余弦值.【解析】(1)如图建立空间直角坐标系,则由题意知A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,4),D(1,1,0),C1(0,2,4),所以=(2,0,-4),=(1,-1,-4),所以cos<,>==QUOTE=QUOTE,所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为QUOTE.(2)=(0,2,0)是平面ABA1的一个法向量,设平面ADC1的一个法向量为m=(x,y,z),因为=(1,1,0),=(0,2,4),所以取z=1,得y=-2,x=2,所以平面ADC1的法向量为m=(2,-2,1),设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ,所以cosθ=|cos<,m>|=QUOTE=QUOTE,所以平面ADC1与平面ABA1所成的锐二面角的余弦值为QUOTE.2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=QUOTE,BC=1,PA=2,E为PD的中点.(1)求cos<,>的值;(2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥平面PAC,并求出N到AB和AP的距离.【解析】(1)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=QUOTE,BC=1,PA=2,E为PD的中点.以A为坐标原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(QUOTE,1,0),P(0,0,2),B(QUOTE,0,0),=(QUOTE,1,0),=(QUOTE,0,-2),所以cos<,>==QUOTE=QUOTE.(2)设在侧面PAB内找一点N(a,0,c),使NE⊥平面PAC,D(0,1,0),EQUOTE,=QUOTE,=(0,0,2),=(QUOTE,1,0),所以解得a=QUOTE,c=1,所以NQUOTE,所以N到AB的距离为1,N到AP的距离为QUOTE.3.设点E,F分别是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AA1的中点.如图,以C为坐标原点,射线CD,CB,CC1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立空间直角坐标系(1)求向量与的数量积;(2)若点M,N分别是线段D1E与线段C1F上的点,问是否存在直线MN,MN⊥平面ABCD?若存在,求点M,N的坐标;若不存在,请说明理由【解析】(1)在给定的空间直角坐标系中,相关点及向量坐标分别为C1(0,0,2),F(2,2,1),=(2,2,-1),D1(2,0,2),E(1,2,0),=(-1,2,-2),所以·=-1×2+2×2+(-2)×(-1)=4.(2)存在唯始终线MN,MN⊥平面ABCD.若MN⊥平面ABCD,则与平面ABCD的法向量(0,0,1)平行,所以设M(a,a,m),N(a,a,n),=(0,0,n-m),n≠0,又因为点M,N分别是线段D1E与线段C1F所以∥,∥,即=λ,=t,(a-2,a,m-2)=(-λ,2λ,-2λ),(a,a,n-2)=(2t,2t,-t),所以QUOTE且QUOTE解得QUOTE所以点M,N的坐标分别是MQUOTE,NQUOTE.【加练备选·拔高】在棱长是2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点.(1)求EF的长;(2)证明:EF∥平面AA1D1D;(3)证明:EF⊥平面A1CD.【解析】(1)如图建立空间直角坐标系,则A1(2,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),D(0,0,0),因为E,F分别为AB,A1C所以E(2,1,0),F(1,1,1),=(-1,0,1),所以||=QUOTE=QUOTE.(2)因为=(-2,0,2)=2,所以EF∥AD1,又AD1⊂平面AA1D1D,EF⊄平面AA1D1D,所以EF∥平面AA1D1D.(3)=(0,-2,0),=(-2,0,-2),因为·=0,·=0,所以EF⊥CD,EF⊥A1D,又CD∩A1D=D,所以EF⊥平面A1CD.4.如图1所示,在边长为12的正方形AA′A′1A1中,点B,C在线段AA′上,且AB=3,BC=4,作BB1∥AA1,分别交A1A1′,AA1′于点B1,P,作CC1∥AA1,分别交A1A1′,AA1′于点C1,Q,将该正方形沿BB1,CC1折叠,使得A′A1′与AA1重合,构成如图2所示的三棱柱ABC-A1B(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,求证:AB⊥平面BCC1B1(2)求平面APQ将三棱柱ABC-A1B1C1分成上、下两部分几何体的体积之比(3)试推断直线AQ是否与平面A1C1P平行,并说明理由【解析】(1)因为AB=3,BC=4,所以A′C=12-3-4=5,在三棱柱ABC-A1B1C1从而有AC2=AB2+BC2,所以AB⊥BC,又因为AB⊥BB1,BC∩BB1=B,所以AB⊥平面BCC1B1.(2)因为BP=AB=3,CQ=AC=7,所以S四边形BCQP=QUOTE=QUOTE=20,所以VA-BCQP=QUOTES四边形BCQP·AB=QUOTE×20×3=20.又因为QUOTE=SABC·AA1=QUOTE×3×4×12=72,所以平面APQ将三棱柱ABC-A1B1C1分成上、下两部分几何体的体积之比为QUOTE=QUOTE=QUOTE.(3)直线AQ与平面A1C1理由如下:以B为坐标原点,BA为x轴,BC为y轴,BB1为z轴,建立空间直角坐标系,A(3,0