2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.4.2对数函数的图象和性质课时跟踪训练含解析新人教A版必修第一册

PAGE对数函数的图象和性质一、复习巩固1．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为()A．(2，＋∞) B．(－∞，2)C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)解析：∵y＝log2x在[1，＋∞)是增函数，∴当x≥1时，log2x≥log21＝0，∴y＝2＋log2x≥2.答案：C2．与函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x的图象关于直线y＝x对称的函数是()A．y＝4x B．y＝4－xC．y＝logeq\f(1,4)x D．y＝log4x解析：y＝ax与y＝logax互为反函数，图象关于y＝x对称．答案：C3．设a＝log54，b＝log53，c＝logeq\f(1,3)5，则()A．a<c<b B．c<a<bC．b<a<c D．c<b<a答案：D4．函数f(x)＝|logeq\f(1,2)x|的单调递增区间是()A．(0，eq\f(1,2)] B．(0,1]C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)解析：f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．答案：D5．设a＝log54，b＝log53，c＝log45，则()A．a<c<b B．b<c<aC．a<b<c D．b<a<c解析：∵y＝log5x是增函数，∴log53<log54<log55＝1，y＝log4x是增函数，∴log45>log44＝1，∴log53<log54<log45.答案：D6．若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是A．(0,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D．(1，＋∞)解析：∵a≠1，∴a2＋1－2a＝(a－1)2>0，∴logax是减函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1,2a>1))得eq\f(1,2)<a<1.答案：B7．定义在R上的函数f(x)＝ln(eq\r(1＋x2)＋x)是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．不是奇函数又不是偶函数解析：f(x)＋f(－x)＝ln(eq\r(1＋x2)＋x)＋ln(eq\r(1＋x2)－x)＝ln[(eq\r(1＋x2)＋x)(eq\r(1＋x2)－x)]＝ln(1＋x2－x2)＝ln1＝0，∴f(x)是定义在R上的奇函数．答案：A8．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1，,1－log2x，x>1，))则满意f(x)≤2的x的取值范围是()A．[－1,2] B．[0,2]C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)解析：当x≤1时，解21－x≤2，得0≤x≤1.当x>1时，解1－log2x≤2，得x≥eq\f(1,2)，与x>1取交集得x>1.因此，满意f(x)≤2的x的取值范围是x≥0，故选D.答案：D9．函数y＝logaeq\f(2x－3,x－1)＋1过定点________．解析：令eq\f(2x－3,x－1)＝1，得x＝2.答案：(2,1)10．已知log0.45(x＋2)＞log0.45(1－x)，则实数x的取值范围是________．解析：原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＞0，,x＋2＜1－x，))解得－2＜x＜－eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))二、综合应用11．已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e－eq\f(1,2)，则()A．x<y<z B．z<x<yC．z<y<x D．y<z<x解析：∵x＝lnπ>lne，∴x>1.∵y＝log52<log5eq\r(5)，∴0<y<eq\f(1,2).∴z＝e－eq\f(1,2)＝eq\f(1,\r(e))>eq\f(1,\r(4))＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)<z<1.综上可得，y<z<x.答案：D12．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a＝f(－eq\r(3))，b＝f(log3eq\f(1,2))，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))，则a，b，c的大小关系是()A．a＜c＜b B．b＜a＜cC．b＜c＜a D．c＜b＜a解析：a＝f(－eq\r(3))＝f(eq\r(3))，b＝f(log3eq\f(1,2))＝f(log32)，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))).∵0＜log32＜1,1＜eq\f(4,3)＜eq\r(3)，∴eq\r(3)＞eq\f(4,3)＞log32.∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴a＞c＞b.答案：C13．函数f(x)＝lg(2x－b)，若x≥1时，f(x)≥0恒成立，则b应满意的条件是________．解析：由题意得：当x≥1时，2x－b≥1恒成立，又当x≥1时，2x≥2，∴b≤1.答案：b≤114．若实数a满意loga2>1，则实数a的取值范围是________．解析：当a>1时，loga2>1＝logaa.∴2>a.∴1<a<2；当0<a<1时，loga2<0.不满意题意．答案：1<a<215．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝logeq\f(1,2)(－x＋1)．(1)求f(0)，f(1)；(2)求函数f(x)的解析式；(3)若f(a－1)<－1，求实数a的取值范围．解析：(1)因为当x≤0时，f(x)＝logeq\f(1,2)(－x＋1)，所以f(0)＝0.又函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝logeq\f(1,2)[－(－1)＋1]＝logeq\f(1,2)2＝－1，即f(1)＝－1.(2)令x>0，则－x<0，从而f(－x)＝logeq\f(1,2)(x＋1)＝f(x)，∴x>0时，f(x)＝logeq\f(1,2)(x＋1)．∴函数f(x)的解析式为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log\f(1,2)x＋1，x>0，,log\f(1,2)－x＋1，x≤0.))(3)设x1，x2是随意两个值，且x1<x2≤0，则－x1>－x2≥0，∴1－x1>1－x2>0.∵f(x2)－f(x1)＝logeq\f(1,2)(－x2＋1)－logeq\f(1,2)(－x1＋1)＝logeq\f(1,2)eq\f(1－x2,1－x1)>logeq\f(1,2)1＝0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)＝logeq\f(1,2)(－x＋1)在(－∞，0]上为增函数．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．∵f(a－1)<－1＝f(1)，∴|a－1|>1，解得a>2或a<0.故实数a的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．16．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，其中a＞1.(1)比较eq\f(1,2)[f(0)＋f(1)]与f(eq\f(1,2))的大小；(2)探究eq\f(1,2)[f(x1－1)＋f(x2－1)]≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)－1))对随意x1＞0，x2＞0恒成立．解析：(1)∵eq\f(1,2)[f(0)＋f(1)]＝eq\f(1,2)(loga1＋loga2)＝logaeq\r(2)，又∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝logaeq\f(3,2)，且eq\f(3,2)＞eq\r(2)，由a＞1知函数y＝logax为增函数，所以logaeq\r(2)＜logaeq\f(3,2).即eq\f(1,2)[f(0)＋f(1)]＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).(2)由(1)知，当x1＝1，x2＝2时，不等式成立．接下来探究不等号左右两边的关系：eq\f(1,2)[f(x1－1)＋f(x2－1)]＝logaeq\r(x1x2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)－1))＝logaeq\f(x1＋x2,2)，因为x1＞0，x2＞0，所以eq\f(x1＋x2,2)－eq\r(x1x2)＝eq\f(