2024-2025学年高中数学第3章概率3.1.3概率的基本性质学案含解析新人教A版必修3_第1页
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文档简介

PAGE3.学习目标核心素养1.了解事务间的包含关系和相等关系.2.理解互斥事务和对应事务的概念及关系.(难点、易混点)3.会用互斥事务与对立事务的概率公式求概率.(重点)4.了解并事务与交事务的概念,会进行事务的运算.1.通过互斥事务与对立事务的学习,体会逻辑推理素养.2.借助概率的求法,提升数学运算素养.1.事务的关系与运算(1)事务的关系:定义表示法图示包含关系一般地,对于事务A与事务B,假如事务A发生,则事务B肯定发生,这时称事务B包含事务A(或称事务A包含于事务B)B⊇A(或A⊆B)相等关系A⊆B且B⊆AA=B事务互斥若A∩B为不行能事务,则称事务A与事务B互斥A∩B=∅事务对立若A∩B为不行能事务,A∪B为必定事务,那么称事务A与事务B互为对立事务A∩B=∅且A∪B=U(2)事务的运算:定义表示法图示并事务若某事务发生当且仅当事务A发生或事务B发生,则称此事务为事务A与事务B的并事务(或和事务)A∪B(或A+B)交事务若某事务发生当且仅当事务A发生且事务B发生,则称此事务为事务A与事务B的交事务(或积事务)A∩B(或AB)2.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:[0,1].(2)必定事务的概率为1,不行能事务的概率为0.(3)概率加法公式为:假如事务A与B为互斥事务,则P(A∪B)=P(A)+P(B).(4)若A与B为对立事务,则P(A)=1-P(B).P(A∪B)=1,P(A∩B)=0.思索:在掷骰子的试验中,事务A={出现的点数为1},事务B={出现的点数为奇数},A与B应有怎样的关系?[提示]A⊆B1.同时掷两枚硬币,向上面都是正面为事务A,向上面至少有一枚是正面为事务B,则有()A.A⊆B B.A⊇BC.A=B D.A<BA[由事务的包含关系知A⊆B.]2.掷一枚骰子,视察结果,A={向上的点数为1},B={向上的点数为2},则()A.A⊆B B.A=BC.A与B互斥 D.A与B对立C[由于事务A与B不行能同时发生,故A、B互斥.]3.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.从这批产品中随意抽取5件,现给出以下四个事务:事务A:“恰有一件次品”;事务B:“至少有两件次品”;事务C:“至少有一件次品”;事务D:“至多有一件次品”.并给出以下结论:①A∪B=C;②D∪B是必定事务;③A∪B=B;④A∪D=C.其中正确的序号是()A.①② B.③④C.①③ D.②③A[A∪B表示的事务:至少有一件次品,即事务C,所以①正确,③不正确;D∪B表示的事务:至少有两件次品或至多有一件次品,包括了全部状况,所以②正确;A∪D表示的事务:至多有一件次品,即事务D,所以④不正确.]4.一商店有奖促销活动中只有一等奖与二等奖两个奖项,其中中一等奖的概率为0.1,中二等奖的概率为0.25,则不中奖的概率为________.0.65[中奖的概率为0.1+0.25=0.35,中奖与不中奖互为对立事务,所以不中奖的概率为1-0.35=0.65.]互斥事务与对立事务的判定【例1】(1)下列各组事务中,不是互斥事务的是()A.一个射手进行一次射击,“命中环数大于8”与“命中环数小于B.统计一个班级数学期中考试成果,“平均分数不低于90分”与“平均分数不高于90分”C.播种菜籽100粒,“发芽90粒”与“发芽80粒”D.检查某种产品,“合格率高于70%”与“合格率为70%”(2)从1,2,3,…,9中任取两数,给出下列各组事务:①“恰有一个是偶数”和“恰有一个是奇数”;②“至少有一个是奇数”和“两个都是奇数”;③“至少有一个是奇数”和“两个都是偶数”;④“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”.其中是对立事务的是()A.① B.②④C.③ D.①③(1)B(2)C[(1)A中,一个射手进行一次射击,“命中环数大于8”与“命中环数小于6”不行能同时发生,故A中两事务为互斥事务;B中,当平均分等于90分时,两个事务同时发生,故B中两事务不为互斥事务;C中,播种菜籽100粒,“发芽90粒”与“发芽80粒”不行能同时发生,故C中两事务为互斥事务;D中,检查某种产品,“合格率高于70%”与“合格率为70%(2)本题考查对立事务的概念.从1,2,3,…,9中任取两数,有以下三种状况:a.两个奇数;b.两个偶数;c.一个奇数和一个偶数.所以仅有③中的两个事务不能同时发生且必有一个发生.]互斥事务、对立事务的判定方法1利用基本概念①互斥事务不行能同时发生;②对立事务首先是互斥事务,且必需有一个要发生.2利用集合的观点来推断,设事务A与B所含的结果组成的集合分别是A,B.①事务A与B互斥,即集合A∩B=∅;②事务A与B对立,即集合A∩B=∅,且A∪B=I,即A=∁IB或B=∁IA.eq\o([跟进训练])1.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人,每人一张,则事务“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”是()A.对立事务 B.相等事务C.互斥但不对立事务 D.以上说法均不正确C[按黑牌的安排状况分解事务.黑牌eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(分给甲——甲分得黑牌,分给乙——乙分得黑牌,分给丙——丙分得黑牌))由此可得“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”是互斥但不对立事务,故选C.]事务的关系及运算【例2】在掷骰子的试验中,可以定义很多事务.例如,事务C1={出现1点},事务C2={出现2点},事务C3={出现3点},事务C4={出现4点},事务C5={出现5点},事务C6={出现6点},事务D1={出现的点数不大于1},事务D2={出现的点数大于3},事务D3={出现的点数小于5},事务E={出现的点数小于7},事务F={出现的点数为偶数},事务G={出现的点数为奇数},请依据上述定义的事务,回答下列问题:(1)请列举出符合包含关系、相等关系的事务;(2)利用和事务的定义,推断上述哪些事务是和事务.[解](1)因为事务C1,C2,C3,C4发生,则事务D3必发生,所以C1⊆D3,C2⊆D3,C3⊆D3,C4⊆D3.同理可得,事务E包含事务C1,C2,C3,C4,C5,C6;事务D2包含事务C4,C5,C6;事务F包含事务C2,C4,C6;事务G包含事务C1,C3,C5.且易知事务C1与事务D1相等,即C1=D1.(2)因为事务D2={出现的点数大于3}={出现4点或出现5点或出现6点},所以D2=C4∪C5∪C6(或D2=C4+C5+C6).同理可得,D3=C1+C2+C3+C4,E=C1+C2+C3+C4+C5+C6,F=C2+C4+C6,G=C1+C3+C5.事务运算应留意的2个问题1进行事务的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.2在一些比较简洁的题目中,须要推断事务之间的关系时,可以依据常识来推断.但假如遇到比较困难的题目,就得严格依据事务之间关系的定义来推理.eq\o([跟进训练])2.盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事务A={3个球中有1个红球、2个白球},事务B={3个球中有2个红球、1个白球},事务C={3个球中至少有1个红球},事务D={3个球中既有红球又有白球}.(1)事务D与A,B是什么样的运算关系?(2)事务C与A的交事务是什么事务?[解](1)对于事务D,可能的结果为1个红球、2个白球,或2个红球、1个白球,故D=A∪B.(2)对于事务C,可能的结果为1个红球、2个白球,或2个红球、1个白球,或3个红球,故C∩A=A.互斥事务与对立事务的概率公式及应用[探究问题]1.在同一试验中,对随意两个事务A、B,P(A∪B)=P(A)+P(B)肯定成立吗?[提示]不肯定,只有A与B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B)才成立.2.若P(A)+P(B)=1,则事务A与事务B是否肯定对立?试举例说明.[提示]A与B不肯定对立.例如:掷一枚匀称的骰子,记事务A为出现偶数点,事务B为出现1点或2点或3点,则P(A)+P(B)=1,但A、B不对立.【例3】在数学考试中,小明的成果在90分(含90分)以上的概率是0.18,在80分~89分(包括89分,下同)的概率是0.51,在70分~79分的概率是0.15,在60分~69分的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07,计算:(1)小明在数学考试中取得80分以上的成果的概率;(2)小明数学考试及格的概率.思路点拨:小明的成果在80分以上可以看作是互斥事务“80分~89分”“90分以上”的并事务,小明数学考试及格可看作是“60分~69分”“70分~79分”“80分~89分”“90分以上”这几个彼此互斥事务的并事务,又可看作是“不及格”这一事务的对立事务.[解]分别记小明的成果“在90分以上”“在80分~89分”“在70分~79分”在“60分~69分”为事务B,C,D,E,这四个事务彼此互斥.(1)小明的成果在80分以上的概率是P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.(2)法一:小明数学考试及格的概率是P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.法二:小明数学考试不及格的概率是0.07,所以小明数学考试及格的概率是1-0.07=0.93.1.(变结论)本例条件不变,求小明在数学考试中取得80分以下的成果的概率.[解]分别记小明的成果“在90分以上”,“在80~89分”,“在70~79分”,“在60~69分”,“在60分以下”为事务A、B、C、D、E,则这五个事务彼此互斥.∴小明成果在80分以下的概率是:P(C∪D∪E)=0.15+0.09+0.07=0.31.2.(变条件)一盒中装有各种色球12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1球,求:(1)取出1球是红球或黑球的概率;(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率.[解]法一:(利用互斥事务求概率)记事务A1={任取1球为红球},A2={任取1球为黑球},A3={任取1球为白球},A4={任取1球为绿球},则P(A1)=eq\f(5,12),P(A2)=eq\f(4,12),P(A3)=eq\f(2,12),P(A4)=eq\f(1,12).依据题意知,事务A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事务概率公式,得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=eq\f(5,12)+eq\f(4,12)=eq\f(3,4).(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=eq\f(5,12)+eq\f(4,12)+eq\f(2,12)=eq\f(11,12).法二:(利用对立事务求概率)(1)由法一知,取出1球为红球或黑球的对立事务为取出1球为白球或绿球,即A1∪A2的对立事务为A3∪A4,所以取得1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4)=1-eq\f(2,12)-eq\f(1,12)=eq\f(9,12)=eq\f(3,4).(2)A1∪A2∪A3的对立事务为A4.所以P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1-eq\f(1,12)=eq\f(11,12).互斥事务、对立事务概率的求解方法(1)互斥事务的概率的加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B).(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,经常考虑其反面,通过求其反面,然后转化为所求问题.1.互斥事务和对立事务都是针对两个事务而言的,它们两者之间既有区分又有联系.在一次试验中,两个互斥事务有可能都不发生,也可能有一个发生,但不行能两个都发生;而两个对立事务必有一个发生,但是不行能两个事务同时发生,也不行能两个事务都不发生.所以两个事务互斥,它们未必对立;反之两个事务对立,它们肯定互斥.2.互斥事务概率的加法公式是一个很基本的计算公式,解题时要在详细的情景中推断各事务间是否互斥,只有互斥事务才能用概率的加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B).3.求困难事务的概率通常有两种方法(1)将所求事务转化成彼此互斥事务的并事务;(2)先求其对立事务的概率,再求所求事务的概率.1.推断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)互斥事务肯定是对立事务. ()(2)事务A与B的并事务的概率肯定大于事务A的概率. ()(3)若P(A)+P(B)=1,则事务A与B肯定是对立事务. ()[答案](1)×(2)×(3)×2.给出以下结论:①互斥事务肯定对立;②对立事务肯定互斥;③互斥事务不肯定对立;④事务A与B的和事务的概率肯定大于事务A的概率;⑤事务A与B互斥,则有P(A)=1-P(B).其中正确命题的个数为()A.0个 B.1个C.2个 D.3个C[对立必互斥

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