2020-2021学年西藏林芝某中学高二（上）期末数学试卷（理科）（附答案详解）

2020-2021学年西藏林芝第二高级中学高二（上）期末数

学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.不等式工（久+2）20的解集为（）

A.{x\x>0或x<-2}B.{x|-2<%<0]

C.{x|0<x<2]D.{x|x<0或x>2]

2.观察下列数的特点，1,1,2,3,5,8,X,21,34,55,…中，其中¥是（）

A.12B.13C.14D.15

3.命题p：3x0eR,以一Xo+1W0的否定是（）

A.VxG/?,x2—%4-1>0B.VxG/?,x2—x4-1<0

C.3x0€/?.XQ-xo+l>0D.3x06R,XQ-x0+1<0

4.若％,y为正数，贝1」3?+12?+13的最小值是（）

y”

A.24B.28C.25D.26

5.在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

6.在等差数列｛%J中，S10=120,那么%+%（）的值是（）

A.12B.24C.36D.48

7.在44BC中，内角4B、C的对边分别为a、b、c,若A=135°,B=30°,a=夜，

则6等于（）

A.1B.V2C.V3D.2

8.&+1与我一1的等差中项是（）

A.1B.—1C.y/2D.+1

9.以椭圆9+?=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为（）

A."―/=iB./一"=1c.H-片=1D.^-^=1

334334

10.已知等比数列｛a｝中,%=l,q=：,a=g则项数九=（）

nZn64

A.4B.5C.6D.7

11.△48（；的内角4、8、（7的对边分别为£1、匕、，.已知0=而"=2,<:054=王则匕=（）

A.V2B.V3C.2D.3

12.椭圆C：卷+3=1的左右焦点分别为Fi，F2,过F2的直线交椭圆C于4B两点,

则AFiAB的周长为()

A.12B.16C.20D.24

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知｛斯｝为等差数列，a4+a7=2,则出+%()=.

14.已知五=(2,3,1),b=(―4,2,x)且五1石，则|了|=.

15.双曲线过一g=1的焦距为____.

32

fx-y>0

16.已知实数x,y满足|x+y-2W0,则z=3x-4y最小值为____.

(y>0

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.等差数列｛恤｝中,a7=18,a20=2aie.

(1)求｛即｝的通项公式；

(2)求数列｛%J的前n项和L；

(3)求出数列｛a.｝前n项和Sn的最大值.

18.写出满足下列条件的圆锥曲线的方程；

(1)焦点在％轴，且焦距等于2,离心率等于手的椭圆;

(2)焦点坐标为(2,0)的抛物线.

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19.解下列不等式：

(l)x2+x-12<0；

(2)-4x2+4x-1<0；

(3)5x2-7x+3<0.

20.设E，F2分别是椭圆E：捺+，=l(a>b>0)的左、右焦点，E的离心率为亨，点

(0,1)是E上一点.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点Fi的直线交椭圆E于4,B两点，且而=2月了，求直线BF2的方程.

21.三角形力BC的内角力，B,C的对应边分别为a,b,c且a=2,bcosA=acosB.

(1)求b的大小：

(2)若“=150。,解三角形.

22.已知数列｛an｝满足%=2,Qn=an_i+1.

(1)证明数列｛Qn｝是等差数列，并求出它的通项公式;

(2)数列｛%｝满足以=葭±，求｛勾｝的前几项和〃・

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式的解法，属基础题.

解方程x(x+2)=0,得X]=0,x2=-2,由此能求出不等式的解集.

【解答】

解：解方程x(x+2)=0,得%=0,%2=—2,

所以不等式x(x+2)>0的解集为｛x|x>0或x<-2]；

故选：A.

2.【答案】B

【解析】解：观察下列数的特点，1,1,2,3,5,8,X,21,34,55,…，

可知I：1+1=2,1+2=3,2+3=5,.•-5+8=x.

得到x=13.

故选：B.

观察下列数的特点，1,1,2,3,5,8,X,21,34,55,可知：1+1=2,1+2=3,

2+3=5,即可得到5+8=X.

本题考查了数列的通项公式的性质，属于基础题.

3.【答案】4

【解析】

【分析】

本题主要考查全称量词命题与存在量词命题的相互转化问题.这里注意全称量词命题的

否定为存在量词命题，反过来存在量词命题的否定是全称量词命题.

根据命题就-Xo+IWO”是特称量词命题，其否定为全称量词命题，将

'勺”改为“V"，"<"改为">”即可得答案

【解答】

解：,••命题€R，蜉—与+1<0”是存在量词命题

•••命题的否定为VxGR,x2-x+l>0.

故选：A.

4.【答案】C

【解析】解：X,y为正数,

则3工+12、+1322隹•邑+13=25.

yxyx

当且仅当x=2y时取等号,

所以3?+12>13的最小值是：25.

y“

故选：C.

直接利用基本不等式，求解表达式的最小值即可.

本题考查基本不等式在最值中的应用，是基本知识的考查.

5.【答案】A

【解析】解：由正弦定理知号==2R,

stnAsinB

vsinA>sinB,

a>b,

・•・A>B.

反之，A>B,・,.a>b,

va=2RsinA,b=2RsinB,・•・sinA>sinB

故选：A.

由正弦定理知J：=由sirh4>si九8,知a>b,所以A>8,反之亦然，故可得结

sinAsinB

论.

本题以三角形为载体，考查四种条件，解题的关键是正确运用正弦定理及变形.

6.【答案】B

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【解析】解：510=|x10(ai+«10)=120,

所以对+ciio=24

故选：B.

根据等差数列的求和公式，即可求出%+%。的值.

本题考查了等差数列的求和公式，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】

【分析】

由力与B的度数求出sinA与sinB的值，再由a的值，利用正弦定理求出b的值即可.

此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键.

【解答】

解：VA=135°,B=30°,a=V2.

•••由正弦定理啖=心得：。=需=萼=1.

2

故选：A.

8.【答案】C

【解析】解：设x为夜+1与夜-1的等差中项，

则近一l-x=x一a+1，即X=/+19T=V2

2

故选：C

由等差中项的定义易得答案.

本题考查等差中项，属基础题.

9.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了椭圆与双曲线的方程与儿何性质，属于基础题.

由已知求出a,b得方程.

【解答】

解：设要求的双曲线为马一1=1,

a2b2

由椭圆9+?=1,得焦点为(±1,0),顶点为(±2,0).

•••双曲线的顶点为(±1,0),焦点为(±2,0).

••CL—1»C=2,

・•・b2=c2-a2=3.

•••双曲线为/一爪=1.

3

故选B.

10.【答案】D

【解析】解：•••等比数列｛斯｝中，4=1«=：,%=强,

••・斯=Y1X布1=日1

解得71=7.

故选：D.

利用等比数列的通项公式直接求解.

本题考查等比数列的项数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质

的合理运用.

11.【答案】0

【解析】

【分

本题主要考查了余弦定理，属于基础题.

由余弦定理可得cos4=feZ+cZ--,利用已知整理可得3b2-8b-3=0,从而解得b的值.

2bc

【解答】

2

解：•・・a=遍，c=2,cosA-

・・・由余弦定理可得：

.b2+c2-a22

cosA=-------=-d■+——4-5=2

2bc2xbx23

整理可得：3炉一8b-3=0,

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解得：b=3或一式舍去).

故选

12.【答案】C

【解析】解：由椭圆的方程为：a2=25,可得a=5,

△&4B的周长为：\AB\+|4&|+|BF2|=\AF2\+\BF2\++|B&|=(\AF2\+

M0|)+(|FF2|+|8Fi|)=2a+2a=4a=20,

故选：C.

由椭圆的定义可直接得三角形的周长为4a,进而由椭圆的方程可得其值.

本题考查椭圆的性质，属于基础题.

13.【答案】2

【解析】解：:｛即｝为等差数列，a4+a7=2,

■■■%+a10=%+%+9d=(ax+3d)+(%+6d)=a4+a7=2.

故答案为：2.

由已知条件利用等差数列的通项公式求解.

本题考查等差数列中两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性

质的合理运用.

14.【答案】2V6

【解析】

【分析】

本题考查向量的模的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基

础题.

由垂直的性质求出x=2,从而加=(一4,2,2)，由此能求出|不

【解答】

解:va=(2,3,1),石=(一4,2,为且益1方，

a'b=-8+6+x=0，

解得%=2,

**•b—(—4,2,2),

■■■\b\=J(_4)2+22+22=<24=2V6.

故答案为：2通.

15.【答案】2V5

【解析】解：由双曲线方程可得，a2=3,b2=2,c2^a2+b2=5,

则其焦距2c=2-\/5.

故答案为：2遍.

由题意确定a,b,c的值，然后确定其焦距即可.

本题主要考查双曲线焦距的计算，属于基础题.

16.【答案】-1

X-y>0

【解析】解：作出实数x,y满足x+y—2so对应的可行

,y>0

域（阴影部分），

由z=3x-4y,得y=,x_?，平移直线y=,x-（，

由平移可知当直线y=

经过点时，直线y=的截距最大，此时Z取得最小值，

将8的坐标代入2=3x—4y=3—4=—1,

即目标函数z=3x-4y的最小值为一1.

故答案为：-1.

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=3x-4y的

最小值.

本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是

解决此类问题的基本方法.

17.【答案】解：由题可知：（1）设等差数列｛。"的首项为由，公差为d，

a7=18(ar+6d=18

则卜2()=2als"Uj+19d=2(%+17d)'

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ph4-6d=18q=30

Li+15d=0=td=-2'

：•Q九=%+(ri—l)d=-2n+32.

2

(2)由(1)可得：Sn=na^d---丁'd=-n+31n,

2

(3)由(2)可得：Sn=—n+31n,

b31

.,F=-177^=15.5

所以当n=15或16时，取得最大值(Sn)max=-152+31-15=-162+31-16=240.

【解析】(1)求出数列的首项与公差，然后求｛a"的通项公式；

(2)利用等差数列求和公式求数列｛斯｝的前几项和又；

(3)利用二次函数的性质求出数列｛&J前般项和又的最大值.

本题考查等差数列的通项公式以及求和的方法，函数与数列相结合，考查转化思想以及

计算能力.

18.【答案】解、⑴由题设椭圆方程为各《=1；

「后解得忆力

则

又因为a2=/>2+c2,所以从=2,

所以椭圆方程为正+^=1.

32

(2)由题设抛物线方程为y2=2px；

焦点坐标(2,0),所以］=2,则p=4,

所以抛物线方程为必=8L

【解析】(1)设出椭圆方程，结合已知条件求解a,b,得到椭圆方程.

(2)利用抛物线的焦点坐标，求解p,推出抛物线方程即可.

本题考查椭圆方程的求法，抛物线方程的求法，是基础题.

19.【答案】解：(1)解方程/+x-12=0,

其中a=1,6=1,c=-12,

△=b2-4ac=1—4x1x(-12)=49,

-1+V49r-1-V49

：•x-----=3，X=------—4；

12X1242X1

.••不等式/+x-12<0的解集为［一4,3］；

(2)不等式两边同乘-1得：4x2-4x+1>0,

解方程4M-4%+1=0,

其中a—4,b——4,c=1.

△=b2—4ac=16—4x4xl=0,

-41

・•・=X=-------=-；

12/2x42

不等式-4/+4x-1<0的解集为｛x|xW|)；

(3)解方程5--7x+3=0,

其中a=5,b=-7,c=3,

且&=b2—4ac=-11<0,

不等式5/-7%+3<0的解集为。.

【解析】(1)先解方程M+x-12=0,由此写出不等式/+x—12S0的解集;

(2)不等式化为4/-4x+1>0,求出对应方程的解，再写出不等式的解集；

(3)利用判别式△<0,判断不等式的解集为。.

本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题.

20.【答案】解：⑴由椭圆的斜率e=(=小一提=争则a=@，

由点(0,1)是E上一点得b=1,a=V2,

椭圆E的方程J+y2=i；

(2)设直线AB的直线方程y=k(x+l),A(xvyi),B(x2,y2),

(y=k(x+1)

贝|J=2=i，整理得：(1+2/£2)%2+奴2乂+2k2一2=0,

Q+y-

由韦达定理可知：X]+尤2=-《祟，①，％62=焉|，②

BF]=2F]A，则(一11%2,一丫2)=2Qi+1,%),则2%1+%2=-3，③

3-2灰2

由①③可知：％1=言会，X2

l+2kz，

代入②整理得：2/=7,

则B(—土亨)，

则直线BF?的斜率k=土包，

6

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•••直线BF2的方程：丫;9尢一年或y:一华乂+牛.

【解析】(1)由题意的离心率公式，求得a=&b,由椭圆过点(0