2020-2021学年人教A版（2019）高一数学下学期期末考试仿真模拟试卷二（人教A版（2019））解析版

2020-2021学年高一数学下学期期末考试仿真模拟试卷二

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.若复数z="的共辗复数在复平面内对应的点在第二象限内，则实数〃的值可以是（）

1-Z

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】D

++a—l+（a+l）i

【解析】依题意z=〉〉.<=--—―

（1一I）（1+。2

_a-l-（a+l）z

2

<2—1<0

由于N在复平面内对应的点在第二象限，所以《（八八，解得。<-1,

-（a+l）>0

故a的值可以是-2.故选：D

2.已知一组数据玉，x2,x3,%4，它的方差是g，那么另一组数据2玉一1,2X2-1,2*3-1,2七一1,

2占一1的方差是（）

A.1B.2C.—D.4

2

【答案】B

【解析】

因为数据2%—1,2X2—1,2X3-1,2A4-1,2/一1的方差是数据引,x2,x3,x4,毛的方差的4倍,

所以数据2天—1,2X2-1,2七一1,2X4-1,2%-1的方差是;X4=2,故选：B

3.一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当<c时称为“凹数”（如213,

312等），若a,0,ce{l,2,3,4},且a/,c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为（）

1517

一

6-B.3-D.一

2424

【答案】C

【解析】由于"ce{l,2,3,4},旦a,b,c互不相同，故可得4x3x2=24个三位数.若6=1,贝厂凹数”

有：.213,214,312,314,412,413共6个;若b=2,则“凹数”有：.324,423共2个.所以这个三位数为“凹

Q1

数”的概率为有〃=—=一.故选：C

243

4.在AA3c中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若8=2ccosA,则这个三角形一定是（）

A.等边三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【解析】在AA5C中，,.,Z?=2ccosA,

由正弦定理可得：sinB=2sinCeosA,

可得sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=2sinCeosA,

.,.sinTlcosC=sinCcosA,

可得tanA=tanC,

:.A^C.-.a=c.

则这个三角形一定是等腰三角形.故选：C.

5.已知三棱柱—的体积为120,点P,Q分别在侧棱A&,CG上，且PA=QG，则三棱锥

8「8产。的体积为（）

A.20B.30C.40D.60

【答案】C

【解析】设三棱柱ABC—44G的体积为V,则V=120,如图所示，

5

由四边形APQC的面积为ACC.A面积的i，则V_=|

BACQPVB_ACCIAI

12

又%1G=§丫，又%-柳G+/_ACCM=V，得匕一ACGA=§V

得匕rc2P=1v,同理，VVAC|OP=1V,故三棱锥与一8PQ的体积为:丫

即三棱锥片—3PQ的体积为40.故选：C.

6.已知向量£,B满足”且2，B的夹角为则6与£-石的夹角为（）

7171371_2%

A.—B.—D.—

32T3

【答案】D

【解析】设问第=33。）

•S=|^|X|^|xcos，

222

(a-=a+b—2a-b=2k—k=k9pz—=k

a-h\b=a-b-b2=———k2=--,

722

设向量a-E与B的夹角为e，

k2

（力厚2=1

cos。

k22

27r

因为。40,司，所以6=5，

所以与坂的夹角为27看r.故选：D

7.如图，在三棱锥S-/8C中，$B=SC=AB=AC=BC=A,SA=2至，,则异面直线也与然所成角的余弦值

是（）

D.

4

【答案】A

【解析】分别取8C、A3、AS的中点E、F、G,连接£/、EG、FG、£4、ES,如图:

由SB=SC=AB=AC=BC=4可得EA=ES=条…,

所以EG_L&1,EG=^SE2-^SAj=J12-3=3,

由中位线的性质可得FG//SB且FG=、SB=2,FEI/AC且尸E=』AC=2,

22

所以NGFE或其补角即为异面直线SB与〃、所成角，

GF2+EF2-GE24+4-9_1

在AGFE中,cosZGFE-

2GFEF2x2x28

所以异面直线掰与/。所成角的余弦值为故选：A.

8

8.己知锐角三角形47C的内角4B,C的对边分别为a,>,c,且a=2Z?sinA,则cosA+sinC的取值范围

是（）

A.（当我C.,73)

【答案】B

【解析】依题意a=»sinA，由正弦定理得sinA=2sinBsinA,所以sin8=',

2

由于三角形ABC是锐角三角形，所以8=^.

6

A+B>-

2万人乃

5万A)=COSA+-COSA+—

所以cosA+sinC=cosA+sinsinA=-cosA+—sinA

~6)2222

=岛抽|+升

由于竺<A+二<2,所以sin（A+g]g:，李，

336I3）[22）

（xr/o3、

所以6sin|A+k|e.故选：B

II2

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.己知了为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）

A.z+z2+z3+j4=0

B.复数z=3—i的虚部为T

C.若z=（l+2i）2,则复平面内三对应的点位于第二象限

D.已知复数z满足|z-l|=|z+l|,则z在复平面内对应的点的轨迹为直线

【答案】AD

【解析1A选项，，+/+尸+六=/一+i故A选项正确.

B选项，z的虚部为一1，故B选项错误.

2

C选项，Z=1+4Z+4Z=-3+4/,Z=-3-4Z，对应坐标为（-3,-4）在第三象限，故C选项错误.

D选项，2一1|=卜+1|=卜一（一1）|表示2到4。,0）和网一1,0）两点的距离相等，故z的轨迹是线段A6的

垂直平分线，故D选项正确.

10.下列说法正确的是（）

A.在A/4BC中，a:b:c=sinA:sinB:sinC

B.AABC中，若sin2A=sin28,则A=5

C.在AABC中，若sinA>sin3,则A>B；若A>8,则sinA>sin8

cib+c

D.在AABC中，&.0「

sinAsinB+sinC

【答案】ACD

cihc

【解析】对于A,由正弦定理——=--="-=2R，可得：

smAsinBsinC

a:h:c=27?sinA:27?sinB:21?sinC=sinA:sinB:sinC，故A正确；

jr

对于B,由sin2A=sin26,可得A=5，或2A+2B=万，即A=3，或A+B=—,

2

:.a=b,或〃2+〃2=-故B错误：

对于C,在AA3c4i,由正弦定理可得sinA>sin8<=>Q>/?<=>A>3,因此A>8是sinA>sin5的充

要条件，故C正确;

对于D,由正弦定理一--=---=---=2R,

sinAsinBsinC

­、」b+c27?sinB+27?sinC分八一十&一、&

可得右边=--------------------------------=2H=左f边，故D正确.故选：ACD.

sinB+sinCsin8+sinC

11.如图，正方体ABCD-ABCIA棱长为1，线段与。上有两个动点瓦F,且EP=等，则下列结论正

B.AE,BE始终在同一个平面内

C.七/〃平面ABCDD.三棱锥A-BE尸的体积为定值

【答案】ACD

【解析】由题可知，正方体ABC。-44GA棱长为1，

则DQJ_平面ABC。，而ACu平面ABC。，

D}D_LAC,

连接BD交AC于点。，则ACL8D,

而DQcBO=O,r>|D,8£>u平面B3QQ,

.•.4。，平面84。。，

由于是£产线段用。卜.的两个动点，则AC_LEE,

又=E，所以AC_L平面BEF，故选项A正确;

•.•B，E，产同在平面上，而A不在平面上,

AE，BE不在同一个平面内，故选项B错误；

-,-EF//BD,BDu面ABCO，所仁面ABC。,

EFH平面ABCD，故选项C正确；

由于EF=变，8避=1,且

2

C_1irr.।夜,_V2

・'△BEF=-^FB!B=-X—xl=—,

由于ACJ_平面巫尸，则AO平面8石尸，AO=—

2

1„八八16五I

■■VA-HKF'AO=2X~4~X~2~=]2'

由于底面积和高都不变，则体积为定值，故选项I)正确.故选：ACD.

12.在AABC中，角A,B,C所对边分别为4氏c.已知(b+c):(c+a):(a+8)=4:5:6,下列结论正确的是

()

UUUUUU

A.a:b:c=7:5:3B.AC-AB<0

C.-=-=-D.若。+c=8,则AABC面积是坦叵

7534

【答案】ABD

753

【解析】设〃+c=4Z,c+a=5Z,a+Z?=6Z(攵>0),则。=一火/=一女,。=一攵,故

222

Q:/?:C=7:5:3,即A选项正确；

序…2怎2+2人竺公

又cosA=------------------------?―—=---故AC-A8=》ccosA<0,8选项正确:

2历2x九x九2

22

由正弦定理,sinA:sinB:sinC=a::c=7:5:3,C选项错误;

若匕+c=8,则Z=2,故b=5,c=3,A=120",所以SA,“=‘*sin4=坦叵，。选项正确

ZV4OV2।

故选：ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中，乙没有被选中的概率是.

【答案】-

3

【解析】从四人中任选两名志愿者的基本事件总数为：盘=6种

甲被选中，乙没有被选中的基本事件有：C；=2种

21I

，甲被选中，乙没有被选中的概率p=w=w，故答案为：-

14.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它

的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已

4RV,

知球的半径为R,圆柱的高为丁.设酒杯上部分（圆柱）的体积为匕，下部分（半球）的体积为匕，则才

的值是_______________

图1图2

【答案】2

IV”八24R4兀R*-14%R32兀R'

【解析】山题意耳=%;?———=-----,V,=-x------=------,

1332233

所以3=ST=2,故答案为：2

^2ZTTA

3

15.如图，在等腰直角AABC中，D,E分别为斜边8C的三等分点（0靠近点5）,过E作的垂线,

垂足为F，则而=

A

【答案】—AB+—AC

1515

【解析】设8C=6,则A5=AC=30,BD=DE=EC=2,

I277c-/—10+10—44

AD=AE=JBD2+BA2-2BZ)-B/lcos-=V10，cosZDAE=--------=-,

V42x105

AFAF4—•4—•

所以——=—=一，所以AF=-AO.

ADAE55

因为方方=无百+,占G=A月+'(前一A月)^-AB+-AC,

33、'33

—•4/2—■1--A8—■4―-

所以AF=-x-AB+-AC\=—AB+—AC.故答案为：AB+AC

5(33J1515

16.己知在球O的内接长方体ABC。—A4GA中，A8=A4=2,AD=3,则球。的表面积为

若P为线段AD的中点，则过点P的平面截球。所得截面面积的最小值为.

_9

【答案】177r—兀

4

【解析】如图，

因为球0的内接长方体ABC。—44GA中，AB=AA,=2fAD=3,

所以2H=DBI=V22+22+32=V17，

所以球的表面积S=4"R)=17〃>

当OP,球的截面，即P为截面圆圆心时，球心到截面圆的距离d=O尸时最大,

此时截面圆半径r=JFR最小，此时截面圆的面积最小，

而OP=JOO；+OF=JT+E=&

Qjr97r

所以截面圆面积5=万产=丁.故答案为：17兀；—

44

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.复数z=(l—i)2—3a+2+i(aeR).

(1)若z为纯虚数求实数。的值，及z在复平面内对应的点的坐标；

(2)若z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数。的取值范围.

22

【答案】(1)a=~,(0,-1)；(2)(-,+oo).

【解析】因为z=(l-i)2-3a+2+i,所以z=(l-i)2—3a+2+i=(2—3a)-i

(1)若z为纯虚数，则2-3。=0,解得：a=~,

此时z=T,z在复平面内对应的点的坐标为：(0,-1),

2

所以z为纯虚数时实数a=§,z在复平面内对应的点的坐标为：(0,-1)

(2)若z在复平面内对应的点位于三象限，

2—3。＜02

则＜＞解得＜2＞—

-1＜03

2

所以z在复平面内对应的点位于第三象限，则实数。的取值范围：(§，+°0)-

18.已知向量2=(3,4),］与£同向,若2.石=125.

(1)求向量办的坐标表式;

(2)求与向量)垂直的单位向量"的坐标.

【答案】(1)加=(15,20)

【解析】⑴由2=(3,4),则同=5,坂与£同向，则B与I为零度.

设5=&£=(3左,4人),左＞0,贝1q=5左

所以£石=同也际0。=254=125,解得左=5

所以。=(15,20)

(2)设单位向量"=(x,y),则f+y2=i

又向量a与c垂直,则a=3x+4y=()

19.某医院为促进行风建设，拟对医院的服务质量进行量化考核，每个患者就医后可以对医院进行打分，最

高分为100分.上个月该医院对100名患者进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组

［0,20),第二组［20,40),第三组［40,60),第四组［60,80),第五组［80,100］,得到频率分布直方图，如

图所示.

频率

0.0175

0.0150

0.0125

0.0100

0.0075

0.0050

0.0025

0

分效

(1)求所打分数不低于60分的患者人数;

(2)该医院在第二、三组患者中按分层抽样的方法抽取6名患者进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取

2人聘为医院行风监督员，求行风监督员来自不同组的概率.

Q

【答案】(1)65人；(2)—.

【解析】(1)由直方图知，所打分值［60/00)的频率为

0.0175x204-0.0150x20=0.65

・.・人数为100x0.65=65(人)

答：所打分数不低于60分的患者的人数为65人.

(2)由直方图知，第二、三组的频率分别为0.1和0.2,

则第二、三组人数分别为10人和20人，

所以根据分层抽样的方法，抽出的6人中，

第二组和第三组的人数之比为1：2,

则第二组有2人，记为A3；第三组有4人，记为凡瓦c,d.

从中随机抽取2人的所有情况如卜：AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Be,Bd,ab,ac,ad,be,bd,cd共15种

其中，两人来自不同组的情况有：Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Be,8”共8种

Q

两人来自不同组的概率为不

Q

答：行风监督员来自不同组的概率为西.

20.如图，在直三棱柱ABC-A4G中，AB=AC,点。，E分别是6C,4G的中点，朋=2,

BC=2五.

(1)求证：4E〃平面AOG；

(2)求二面角G—AO-C的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)B.

【解析】连接OE，如图所示,

在直三棱柱ABC-44G中，侧面BCC4是平行四边形，

因为£>，E分别是6C,4G中点，所以DE〃BB］且DE=BB-

又且A4,=8与，所以/LAJ/OE且，

所以四边形44,E。是平行四边形，所以&E//AD.

又ADu平面AOG，4£(2平面4。6，

所以AE〃平面A£)G.

(2)因为AB=AC，D为BC中点,所以AT>_LDC.

因为三棱柱ABC—44G为直三棱柱，所以CG_L面ABC,

又ADu面ABC,所以CG_LA。，

因为AOL8C,CC,±AD,5CPICC,=C,所以仞_1_面8。。4，

又因为£>Gu面BCC,所以AO，DC-

所以二面角G-A。一。的平面角为NG。。，

因为朋=2,BC=2夜，所以℃=/，CC,=A4(=2,

因为CG，面ABC,COu面ABC，CC,1CD,

所以G。=A/22+2=V6>

所以cosNgOC=孚=］，，即二面角C,-AD-C的余弦值为B.

21.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解

2c+b

答.①百cosA(ccosB+bcosC)+asinA=0；②cosB=-----③

2a

tanA+tanB+tanC+V3tanBtanC=0.

已知△A6c的内角A民。的对应边分别为ahc..

（1）求A；

（2）设A。是△ABC的内角平分线，边Ac的长度是方程8%+6=0的两根，求线段AO的长度.

2）3

【答案】条件选择见解析；（1）A=——；（2）二.

34

【解析】（1）选择条件①，

因为6cosA（ccosB+Z?cosC）+asinA=0,由」E弦定理得：

A/3COSA（sinCcos6+sin8cosC）+sinAsinA=0,

BPV3cosAsin（B+C）+sin2A=0,

在△ABC中，sin（8+C）=sinAwO,

所以仃cosA+sinA=0,

sinAr-

即tanA------=一,

cosA

24

因为A为△ABC内角，所以A=——.

3

选择条件②，以《8=空2,由余弦定理得:

2a

a2+c2-b1_2c+〃

lac2a

整理得：b2+c2-a2=-hc，

h2+c2-a2

所以cosA=

2bc2

2万

因为A为△ABC内角，所以A

T

选择条件③，tanA+tanB+tanC+V3tanBtanC=0.»

tanB+tanCtanB+tanC

因为tan（B+C）=,即-tanA=

1-tanBtanC1-tanBtanC

所以tanA+tan3+tanC-tanAtan3tanC=0.

所以GtanBtanC=-tanAtanBtanC，

因为A、B、。为为△ABC内角，所以tan5wO,tanCwO

所以tanA=一百，所以A=—.

(2)因为边"