《计算机图形学》完整课件

计算机图形学

任鸿翔

大连海事大学航海学院航海动态仿真与控制室

教学目的

■掌握计算机图形学的基本知识

■掌握三维图形的显示流程和基本变换

教材及参考书

■《计算机图形学》（第3版）蔡士杰译电子工业出版社

■《ComputerGraphicswithOpenGL》3rdEdition,DonaldHearn,PrenticeHall

《计算机图形学》孙家广编清华大学出版社

第一章计算机图形学综述

一、定义

Apictureisworthathousandwords.

计算机图形学是研究通过计算机将数据转换为图形，并在专门的显

示设备上显示的原理、方法和技术的学科。

二、研究内容

■图形输入、输出设备与技术

■图形的生成和表示技术

■图形操作与处理方法

■图形信息的描述和表示

■几何模型的构造技术

■动画技术

■图形实时性和真实感

三、相关学科

模计算机图形学

数

图

型

字

像

或

图

处

数

像

理

据

模式识别

四、发展史

■硬件（大-＞小）

五十年代MIT—WhirlwindComputer（准备期）

六十年代IvanSutherland--Sketchpad绘图系统（发展期）

七十年代中型机、小型机（实用化）

八十年代图形工作站（推广应用期）

九十年代PC+图形加速卡（普及和广泛应用期）

■软件（从非标准一＞标准化；从与设备相关一＞与设备无关）

七十年代ACMSIGGRAPH--3DCoreGraphicsSystem

八十年代ISO—GKS

ANSI—PHIGS

SGI-GL

九十年代OpenGL

DirectX

五、应用

■图和表■数据可视化■娱乐

■计算机辅助设计■教学和培训■图像处理

■虚拟现实环境■计算机艺术■图形用户界面

大连海事大学大型船舶操纵模拟器

六、应用程序演示

■MarineSimuIator(CCTV-1)演示

■MarineSimuIator(Under-sea)演示

■MarineSimuIator(Wuhan-harbour)演示

■CIothSimuIation演示

■FractaITerrain演示

第二章图形学基础

2.1图形学的数学基础

1向量

2矩阵

3齐次坐标

2.2图形系统的相关设备

1图形系统的组成

2图形系统的分类

3图形系统的显示设备

4图形系统的其他设备

<2.1图形学的数学基础

2.1.1向量

向量具有两个基本特性：大小和方向。设有两个三维向量V](xi，yr

-向量的长度(大小)

匕|=Jxj+yj+z；

V

昌称为匕的单位化向量

■数乘向量

aVx=(叼,孙,名)。为实数

■向量和

=(x1,yl,z1)+(x2,y2,z2)

=(x1+x2,yl+y2,zl+z2)图匕+匕

■向量的点积

匕•匕=|用闷cose=xi%2+JV2+Z1Z23为两向量之间的夹角

匕.匕=0o匕JL%

点积满足分配律、交换律和结合律

■向量的叉积

iJk

匕x%二/月

4=（y^2一乃4,4X2-Z2^1^172一巧必）

々当z2

匕x%=00匕平行V2

叉积满足分配律，不满足交换律和结合律

匕x%+%）=匕x%+%x匕

匕

（匕x%）x匕¥%x（%x匕）

垂直/平行多边形的方向多边形的凸凹性

1.2矩阵

mxn阶矩阵A定义为：

%%…％》

^m2…amn

其中为被称为A的第i行第j列元素，（阳92，%3,…，阳）称为第i个行向

量，（%,«2C均「-4砂）,称为第）个列向量，如果加=〃称A为n阶矩阵或

n阶方阵。

■矩阵的加法：

■1+41%2+可2…%+可广

〃21+^21〃22+》22…a2n+^2n

JD—•■•••••・・•・・

"ml+“加2+"m2…"mx

・数乘矩阵：

她1彻2…彻M

加21奶22九5

kA二

・・・••••■■■■•

如加…ka.集

■矩阵的乘法：

Cmx〃=MnxpBpy;(%)心〃

P

矩阵中的元素。广£《也

k=[

矩阵的乘法满足分配律、结合律，不满足交换律

A{B+C)=AB+AC

ABC=(AB)C=A(BC)

AB^BA

-矩阵的转置:

ana12,,,ana21…

〃21a22…々2nT〃12422am2

Anxn一A=

・・・•■■■■•««■・・・■■•

am2,,,a2n•••3am刀

T二炉T

(T)T=A二A

・矩阵的逆：对于一个n阶方阵A,如果存在一个n阶方阵B,使得

AB二BA=In（单位矩阵），则称B是A的逆，记为B=A'1

2.1.3齐次坐标

所谓齐次坐标就是用n+1维向量来表示n维向量，如向量（七,、2,…,乙

用齐次坐标表示为（〃再，五大…，历%〃），其中h为非0实数。显然一个向量

的齐次坐标表示是不唯一的。

2.2图形系统的相关设备

2.2.1图形系统的组成

软件和

显示设备图形计算机L.

数据库

2.2.2图形系统的分类

1）采用大、中型计算机的图形系统

2）采用图形工作站的图形系统

3）采用PC机的图形系统

PC+图形加速卡

2.2.3图形系统的显示设备

PCI/AGP/

CPU・4・•显卡•显示器

PCI-E总线

图图形显示流程示意图

一、显卡（图形加速卡）

/显示芯片（图形处理器,GPU）

/显存：

RAMDAC：

■总线接口：

输出接口：

显卡工住原理值第两，

二、显示器

CRT显本器

液晶显示器

等离子显示器

图具有一位帧缓存的黑白光栅显示器工作原理

图具有24位面的真彩色光栅显示器工作原理

三、其他显示设备

头盔显示器(HMD:Head-MountedDisplay)

CAVE

(CaveAutomaticVirtualEnvironment)

立体显示器

2.2.4图形系统的其他设备

数字化仪

第三章输出图元

图具有一位帧缓存的黑白光栅显示器工作原理

在光栅显示器上显示的任何一种图形，实际上都

是一些具有一种或多种颜色的象素的集合。显示一个

图形的过程就是确定一个象素集合及其颜色过程，这

个过程称为图形的扫描转换（或光栅化）。

对图形的扫描转换一般分两个步骤：

1.先确定有关象素；

2.再对象素进行写操作（如颜色等）。

3.1线的扫描转换

3.1.1数值微分法(DDA)理想直线：扫描转换直线:

没有宽度一个象素宽度

y=m-x+b无数个点有限个象素点

/7]

b-yx-m-xx

在屏幕上输入两端点，假定斜率0〈加4,

让x从左端点到右端点变化，每步递增1个

象素，计算对应的y的坐标。

(乙，为)(4+1，H+1)

/+1=%+1

yk+i=m(xk+1)+6=mxk+b+m=yk+m

XIX2左

E,)—(x+1,Round{yk+m))

图3T

口

〉

OJ

r0<m<l：X每步递增1个象素，y递增m(直线斜率)

从

左

(X左，入)—(4+I,Roundlyk+m))

向<

右m>l：可将x和y的规则交换，y每步递增1个象素，计算对应的x的坐标

(x,y)^(Round(x+—),^+1)

kkkm

从0<m<1：x每步递减1个象素，y减少m(直线斜率)

右

向(乙，力)一(4一1，Round(yk-m))

左

m>\：同样可将x和y的规则交换，y每步递减1个象素，x减少1/m

(4，以)—(Round(x~~\y-1)

kmk

3.1.2Bresenham画线算法

图3-3局部显示屏幕

图3-4向右绘制的直线（0＜加41）图3-5向左绘制的直线（加＞1）

图3-6对（工，”）（%，/）两图3-7在取样位置乙+1处，候选

点间的线段进行扫描转换象素到线段y坐标之间的竖直距离

尸加6+1)+6

"2=(%+1)->

d、—d2—2y—2y左一1=2加+1)+2b—2y左一1

XkV1

加=ZA=电

演-4Ax

Ax(4—出)=Ax[2——(X/,+1)+2b—2力—1]

Ax"'

=2Ay•xk—2Ax•yk+2Ay+AY(2Z?—1)

=2Ay•xk-2Ax-yk+c其中c=24y+Ax(2Z?-1)

给定线段从左向右绘制,Ax>0,所以Ax（4-4）的符号与4—刈的符号相同。

令Pk=Ax（4-刈），称以为Bresenham画线算法中第k步的决策参数。

X.X.+1

pk-Ax(d[-d2)=2Ay-xk-2Ax'yk+c

Pk<0,则4—出<。，4<"2,选择绘制（4+1，%）；

Pk>0,则dx-d2>0,4>d2,选择绘制（4+Vyk+1）；

Pk=3选择绘制®+L0+1）或a+L”）都可以,约定绘制®+1，%）。

（4，外）—（招+1，然+1）

以Pk&。

%左+1=4+1J4+1=

为+1A>°

Pk=2与•/_2Ax$+c

•♦

Bresenham画线算法中第k+1步的决策参数Pk

Pk+i=2Ay・乙+]-2Ax•%+cX：

夕/1一74=2绿・4+]-2©»+]+。一(2力・4-2©»+。)

=2绿(Z+if.)-2Ax(%+i-%)

Pk+产Pk+2AW/+1-4)-2Ax(%|一力)

='"R可得

由项:+1=项+1，外+1:

U+lPk>。

2Pk4O

jpk+Ay

Pk+\-]“A

IA+W-2AxPk>0

Pk+2AyPk＜。

pk+\=

pk+2Ay-2AxPk＞。

由此可见，如果计算出第一个决策参数Po,其它的决策参数PA

可以由递推算出（递推算法中只有整数的加减法，易于硬件实现），

根据决策参数的符号可以决定选择哪个象素点绘制，直到整个线段绘

制完毕。

p0=2Ay•-2Ax-ys+2Ay+Ax(2Z?—1)

—2Ay,Xs-2Ax,(——,xs+6)+2Ay+Ax(2Z?-1)

=-2Ax•b+2Ay+Ax(2b—1)

=2Ay-Ax

0<m<1时的Bresenham画线算法：

1.输入线的两个端点，并将左端点存储在（%s/s）中；

2.将（4,/）装入帧缓冲存储器中，画出第一个点；

3.计算决策参数的第一个值：p0=2Ay-Ax；

4.从k二0开始，在沿线的每个4处，进行下列检测：

假如<0,下一个待画点是（4+1,以），且外+1=外+2八y；

否则下一个待画点是（项.+1,以+1）,且Pk+i=Pk+2Ay-2Ax；

5.重复步骤4,共AxT次。

作业一

1.图形与图像的联系与区别。

2.显存与帧缓存是一回事吗？一显示器可显示256种颜色，其分辨率为

1024*1024,则需要的帧缓存容量至少为多少？

3.显卡的主要组成有哪些？简述显卡的工作原理。

4.编程题：用VC或其他语言编写程序，实现完整的Bresenham画线算法。

3.2圆的扫描转换一一中点画圆法

{x-xcy+{y-ycf=r-

图3—8图3—9

坐标系中任意一点(X,y)与圆的位置关系：在圆内、在圆上和在圆外。

「＜0(x,y)位于圆边界内

farciedy)=x~+y2＜=0(x,y)位于圆边界上

、＞0(x,y)位于圆边界外

图3To

£力区（、，/）=、2+/一炉为中点画圆算法的决策参数

第k步的决策参数以：Xr

2

Pk=farcied+l,yk-0.5）=（xk+1）+（yk-0.5）2—户

Pk<0,中点在圆内，选择绘制（々+1，”）；

Pk>0,中点在圆外,选择绘制（4+1,以-1）；

Pk=o,选择绘制®+1,%-1）或®+1,"）都可以,约定绘制6+

（XQ%）—（4+』+1）

ykpk<°

4+1=为:+1"+1=

力—1PkN°

中点画圆算法第k步的决策参数：

Pk=fcircle^k+Lh一0.5)=乂+I)2+(然一OS)?—/

中点画圆算法第k+1步的决策参数：

222

Pk+1=fcircle(Xk+l+1，然+1一0・5)=(4+1+1)+(%+1一0.5)-r

Pk+\~Pk=(4+i+1)2+(%+i-。.5)2___+1)2+(然_0.5)2-r2]

222

二[(%+1)2—(/+1)]+[(加-0.5)-(然-0.5)]

Pm=A+K%+IP一@+1)?]+[(%]一OS：—(%_Oy

"A<°

X

k+\=Z+1，J4+1

》女一1P20

74+24+3=夕后+24+]+1A<°

Pk+\~

Pk+2*+3-2(yk-1)=pk+24+1+1-2yA+iPk?。

Pk+2®+1)+1=A+2/+1+1Pk<。

Pk+i~

Pk+20+1)+1—2(yk-1)=pk+2%a+1+1-2yk+ipk>0

在起始位置（0,r）处，初始决策参数为：

PO=/circled-0・5）=1+（一一0.5）2—/=[一尸

由此可见，如果计算出第一个决策参数Po,其它的决策参数”

可以由递推算出（递推算法中只有整数的加减法，易于硬件实现），

根据决策参数的符号可以决定选择哪个象素点绘制，直到八分圆绘制

完毕。其它七个八分圆可由圆的对称性进行绘制。

中点画圆算法：

1.输入圆的半径r和圆心（血,%）,得到圆心在原点的圆周上的第一点为：

（*0，歹0）—（0,r）；

2.计算决策参数的初始值：Po=j--；

3.从k=0开始，进行下列检测：

假如夕％<°,下一个待画点是（4+1,以），Pk+i=Pk+2x,+1+1.

否则下一个待画点是（4+1，%-1），且4+1=Pk+2/+1-2/+]+1.

4.确定在其它七个八分圆的对称点；

5.将每个计算出的象素位置（x,y）移动到中心在（儿,％）的圆路径上，

并画坐标值。x=x+xc,y=y+yc

6.重复步骤3—5,直至x>yo

3.3椭圆的扫描转换一一中点画椭圆法

椭圆中心在坐标原图3—11中心（％,〉,），长半

点的标准位置椭圆轴q和短半轴外的椭圆

“平移变换

椭圆中心在其它地

方的标准位置椭圆

H旋转变换

非标准位置的椭圆

图3—12椭圆的对称性

椭圆某点处的斜率为：

dy_2小

dx

在区域1和区域2的交界处斜率为一1

虫=7

dx

图3-13椭圆的处理区域

r\2c2

2Gx=2rxy

所以从区域1移至区域2的条件是＞2rry

中心在坐标原点（0,0）的标准位置椭圆，定义椭圆函数为:

<0（x,y）位于椭圆边界内

z*z\22.2222

/ellipse。，y)=GX+G歹~rxry\=0（x,y）位于椭圆边界上

>0（x,y）位于椭圆边界外

为中点画椭圆算法的决策参数,区域1的决策参数记为A：

PL=狐pseKOk)=ryXk+-rxry

凡=，飒e6+1，为一。-5）二弓2@+厅+々2（”一o《J一九2

第k步绘制（与，然）假设第k+1步绘制（X-i，力+1）

,1左＜0第k+1步绘制（乙+L以）％+1=%

plk20第k+i步绘制E+1,%—1）以+i=yk-i

在区域1,中点画椭圆算法第k+l步的决策参数：xkx古1xt2

凡+1二狐/々+1+1，九+1一。5)图3T4区域1(孙川

PL+l=d(/+l+1)2+1(九+1—0.5)2_r2r2

风L日人+1)+If+/出厂0.5)2-

2

P1k+i="+1)2+2r；(Xk+1)+rv+&2(%+]—0.5)2_立+小力一。5了一日/一。5了

风+广风+2G2(4+1)+d+/[(加―0.5)2_u_0.5力

pl"i=plk+2%2(/+1)+勺2+&2K_o5)2_(%—。§2]

pik<°=yk

风+1=plk+2r；g+1)+Y=plk+2r^xk+1+r：

plk>0>人+i二>左—1

2

“k+i="L，+2r：(4+1)+々2+2r^-yk+1)=plk+2r^xk+x+ry-2r^yk+]

由此可见，在区域1中如果我们能计算出第一个决策参数川o,其

它的决策参数pl可以由递归算出，把两个候选象素的中点代到决策

参数中，根据决策参数的符号可以决定选择哪个象素点绘制，直到区

域1绘制完毕。在区域1中，决策参数的初始值可通过椭圆函数在起始

点(0,々)处求值得到：

2

P】o=feinPse^+1，4一0,5)=rv-r^ry+%

区域2的决策参数记为p2k：

P2k=/ellipse(Xk，/)=ryXk+J—

x22

P?k=feinPse{k+0$,%—1)=r}(xk+0.5)+/(%—Ip一YY

第k步绘制(/，/)假设第k+1步绘制(x《+i,力+i)

P2k—。弟k+1步绘制(x/c+\,yk—1)4+i=x%+1

P2k>0第k+1步绘制(与,以—1)xk+i=xk

在区域2,中点画椭圆算法第k+1步的决策参数：

P2k+1=fellipse(Xk+\+°5，》左+1-D

(《加_)

p2k+l=YZ+1+05)2+2(]2_r2r2图3-15区域2(%"Q

p2k+i=/(/+1+0.5)2+1[他一1)—1)[2一G2G2

2222

p2k+i=d(/+i+0・5『+rx(yk-1)-2r\yk-1)+-4叶++0.5)-r^xk+0.5)

阳+1圈-2/-1)+寻日(％+0.5)2+0.5)2]

P2m=P2k—2/（%-1）+1+不[（/讨+O.5）2一（4+o.5）2]

P2k<0Z+i=4+1

2

P2g=P2k-2/（力_1）+1+2G2（/+1）=p2「2/%+]+/+2ryxk+i

P2k>。*+i=*卜

P2k+i=P2「2G之（%-1）+&2=p2k_2G2弘+]+丫；

由此可见，在区域2中如果我们能计算出第一个决策参数p20,

其它的决策参数夕2可以由递归算出，把两个候选象素的中点代到决

策参数中，根据决策参数的符号可以决定选择哪个象素点绘制，直

到区域2绘制完毕。在区域2中，决策参数的初始值可由区域1中最后

点（x/）求值得到：

p2o=/ellipse^+gy—1）=42a+0.5）2+/（y—if--j；

中心在坐标原点的标准位置椭圆扫描转换算法：将

1.输入椭圆长短轴。弓，得到椭圆第一点为：（/，比）二（0,勺）勺

7717

2.计算区域1中决策参数的初始值：21。=弓-4弓+］丁；

3.在区域1中，从k=0开始，进行下列检测，直至2弓

假如pl%<0,下一个待画点是（4+1,力），plk+l=风+2弓2/+］+弓2；

否则下一个待画点是（4+1,然一1）,21左+1=夕1A+262々+1+々2一2心2%+1；

确定其它三个象限中的对称点

4.使用区域1中最后点（xj）来计算区域2决策参数的初始值：

22

p2o=+OS）?+rv（j/-l）-rvY

5.在区域2中，从k二0开始，进行下列检测，直至尸0：

22

假如-2%>0,下一个待画点是心，丁-1）,夕2什］二22A「2不”X+G；

否则下一个待画点是（4+1,%—1），夕2八］=p2k—2々2%+］+1+2与2队小

确定其它三个象限中的对称点

第四章二维几何变换

4.1基本变换

4.2矩阵表示和齐次坐标

4.3复合变换

4.4其他变换

4.5二维笛卡尔坐标系间的变换

4.1基本变换

4.1.1平移

平移是将图形从一个位置移到另一个位置的变换。

x'=%+tx

y'=y+ty

用列向量表示坐标点p,p'：•P'(X',y)

ty

X，-|「X

p=p=•p(x,y)

令T=4

tx

山

得到平移变换的矩阵表示为:图4—12点平移到夕'点

P'=P+T

4.1.2旋转

旋转是将图形绕某一旋转点旋转一定角度的变换。

x'=/cos0+6)=rcos^cos^-rsin^sin^

y'=〃sin(0+e)=_cos0sine+rsin°cos。

x二rcos(f),y=rsin^

x'=xcos0-ysinO•P'（X；y）

y'=xsmO+ycosO

r

。一。•P（x,y）

Acossin、3

令R=r

sin。cos。\

'M

得到绕坐标原点旋转变换的矩阵表示为：

cos0-sin。*图4—2p点绕原点旋转到p'点

y'sin。cos0y_

P'=R-P

4.1.3缩放

缩放是将图形相对于某一固定点放大或缩小的变换。

X'=X•sx

了二＞0

•P（x,y）

y5）

得到相对于坐标原点缩放变换的

矩阵表示为：

图4—3p点相对于原点x方向缩

放力,y方向缩放力得到夕'点

P'=SP

4.2矩阵表示和齐次坐标

平移、旋转和缩放三种基本变换的矩阵表示分别为：

P=P+TP=RPP=SP

1.对图形做相对于坐标原点先旋转(R)、再缩放(S)的变换：

先旋转变换：P'=R.P

再缩放变换：P'=SP=S(RP)=(SR)・P=MP

2.对图形先做平移变换(T),再相对于坐标原点做缩放变换(S)：

先平移变换：P=P+T

再缩放变换：P'=S•尸=S-(O+T)=S-P+S-T

表4-1两个例子中的矩阵运算次数

一个占

1八、、三千个点三千个点(合并后)

例12次x6000次x3001次x

例21次x,l次+3000次x,3000次+3001次x,3000次+

在实际图形系统中，经常对图形做多个变换，这就需要进行大量的矩阵计算。

为了减少计算量，比较好的方法是将多个变换矩阵合并成一个复合变换矩阵。

所谓齐次坐标就是用n+1维向量来表示n维向量，向量(2,％2,…，招)的齐

次坐标表示是其中h为非0实数。二维点(x,y)的齐次坐

标表示为(hx,hy,h),通常向1=1,(x,y)的齐次坐标表示为(x,y,1)。

平移变换：

・P'(M,y5)

x'=x+4ty

•p(x,y)

y'=y+ty

用齐次坐标表示坐标点P,P\

tx

10X

令平移矩阵

79,6)=01y

001

得到平移变换的矩阵表示为:

对于绕坐标原点的旋转变换：

•P'（X：y）

x'=xcosO-ysinO

y'=xsin夕+ycos夕r

eep（x,y）

用齐次坐标表示坐标点，”

cos。一sin。0

令旋转矩阵尺（。）=sin<9cos<90

001

得到绕坐标原点旋转变换的矩阵表示为:

一sin。0x

cos。0y

011

p=R（e）•p

对于相对于坐标原点的缩放变换：

%'二X•sx

歹'二》巴

>p(x,y)

用齐次坐标表示坐标点p,p'

•p'(x',y)

邑oo

令缩放矩阵S（Sx，s,）=0Sy0

001

得到相对于坐标原点缩放变换的矩阵表示为:

0

Sy

0

）•

采用齐次坐标后，所有基本变换表示成矩阵的乘法，图形在做多个变

换时，可将各变换矩阵按先后次序相乘，形成一个复合变换矩阵M；图形上

的坐标点只须与M相乘，便可完成一连串变换，得到新的坐标点。

4.3复合变换

4.3.1复合平移

复合平移是将图形做二次以上的平移变换。

在二维坐标系中，将点)(x,y)平移两次，第一次在x方向、y方向分别平

移&，&，第二次在x方向、y方向分别平移的心，得到点

P=T（M>&（%，%）•口

=[7&2，3）"（&，％）]，

1o%]ri0%+4.2

T9242）,T（&,外1）=。1%•01。=01,+ty2

001J[ooijL°01

=T（1+&2册+。2）

P=TQxl+&2，4+&）,0

4.3.2复合旋转

复合旋转是将图形绕坐标原点进行多次旋转变换。

将点Mx/)旋转两次，先绕坐标原点逆时针旋转q角，再绕坐标原点逆

时针旋转。2角，得到点夕：

P'=R(2)•［火⑹,口=网2)•P

cos^2-sin6)20cos6]—sin40

•sin4cos。10

R®.RG)=sin2cos^20

001001

cosdcos02-sin0{sin02-sinqcosa-cos61sin020

cos61sin2+sin仇cos%cos，cosa—sin仇sin%。

001

cos(^+02)-sin(4+2)0

sin(a+2)cos{01+^2)0=K(a+a)

001

4.3.3复合缩放

复合缩放是将图形相对于坐标原点进行多次缩放变换。

将点）（兀V）缩放两次，先相对于坐标原点缩放外,再相对于坐标原

点缩放%,%,得到点夕：

尸'=862%2）3（%小）・尸］

=[8(&2%2>5(%巴1)],尸

K°o[「S"00

S(Sx2，S”>S(%i，Syi)=05^20.0s.0

001JLo01

Sjcl,Sx200

二0Syi'sy20

001

=S(Sxi・Sx2，s,i-Sy2)

户'=5(%1・12,5..5丁2).尸

4.3.4绕（匕,％）点的旋转变换

当旋转点不为坐标原点，而是任一点（芍,以），图形绕（5,乂）旋转夕

角的旋转变换：

1.平移图形使旋转点（芍,外）与坐标原点重合，平移变换矩阵为7（-%,-%）；

2.图形绕坐标原点旋转。，旋转变换矩阵为&（夕）；

3.平移图形使旋转点回到其原始位置，平移变换矩阵为。

绕（当,乂）旋转。角旋转变换的复合变换阵/=T（Xr，yAR3）・T（f,—y）

图4—4绕（再旋转。角的旋转变换

〃=7KJ)H(e)・T(f券)

■

10%cos^-sin^010-xr

01sin5COS000

yr1_K

00i001001

cos5-sin0xr(1-cos5)+sin5

二sin。cos5yr(1-cos5)-xrsin5

001

P=MP

4.3.5相对于（号,力）点的缩放变换

当固定点不为坐标原点，而是任一点（Xf//），图形相对于缩放

系数为％,S»的缩放变换：

1.平移图形使固定点（号,〃）与坐标原点重合，平移变换矩阵为T（-X/,-刀.）；

2.图形相对于坐标原点缩放工,S），缩放变换矩阵为8（%,%）；

3.平移图形使固定点回到其原始位置，平移变换矩阵为

相对于（号,〃）点缩放变换的复合变换阵M=•S（Sx，%>T{-xf-yf）

图4—5相对于（x/J/Jl勺缩放变换

(

二

X

—

)

J

7,

c

)，

•s

s(

K二

J)

sn

4.3.6变换的次序

图形先后做多个变换MM，…,M〃,复合变换矩阵M由各变换矩阵依次

相乘得到，要注意各变换矩阵相乘的次序。

例：如图所示，对同一三角形分别进行两次复合变换，请画出每次复合变

换后三角形的位置。复合变换矩阵分别为：

R(90°厂7一1,0)7(—1,0)/(90〉

图4-6变换矩阵相乘的次序不同得到的变换结果不同

4.4其他变换

4.4.1反射（对称）

图4—7反射变换

abde反射变换

100-1关于x轴

-1001关于y轴

ab0-100-1关于原点

0110关于y=x

常用的反射变换矩阵通式：M"de0

0010-1-10关于y=-x

■4.4.2错切

图4—8错切变换

-

x'X1bO-Xx+byX’v'错切变换

y'=Msh-y—d10y—dx+yb彳O,d=0x+byy关于x轴

ii001i1b=0,dw0Xdx+y关于y轴

1bO-

相对于x、y轴的错切变换矩阵通式：Mshd10

001

图形相对于与X或y轴平行的直线做错切变换可由以下儿步完成:

1.平移图形使直线与x或y轴重合；

2.图形相对于x或y轴做错切变换；

3.平移图形使直线回到其原始位置。

例：对图形相对于直线y二T做错切变换，错切参数为1/2。

%%

M=7(0-(；)1(0,1)=010

001

4.5二维笛卡尔坐标系间的变换

yi

vi

cP(U,V)

2•

iL__________

u

o237

(1)

yi

vip

P、%。

2・5

pbP'S-

1一

u

。23r

(3)

yiPN=P'uv

=R(-30。).以

2=H(—30)7(—2,—1)•七

1=M%

(2)

yi

M=7?(-30)-7(-2,-l)

cos(-30)-sin(-30)OT1

sin(-30)cos(-30)00

01

yi

%=MP”

"(V3+%一

1

ou'

如图两个笛卡尔坐标系：xy系和uv系。

图形从xy系坐标变换到uv系坐标，必须建立uv系到xy

系的变换：

oXX

1.平移UV系，使UV系的坐标原点与xy系的原点重合;a

10_XQ

丁（一/，一y0）=°1_7o

001

2.旋转uv系8角，使u轴与X轴重合。

cos。sin。0

R（—8）=—sin。cos。0

001

将这两个矩阵合并成复合矩阵：

M=R（—”（一/,一为）

图4—9笛卡尔坐标系间变换

yi

在许多情况下，两坐标系中U轴和X轴的夹角8并

不知道，此时可利用UV轴的轴向量来完成旋转变换：

/U

U轴的单位向量为u(ux,uy)

22

Ux+uy=1

Ux

-------1Jcin—=U

COS0=-yOUx

\u^+u2xA2+u2

yy

图利用轴向量

cos。sin。0~uo-4—10

x进行旋转变换

R(叫=-sin。cos。0—-uy%0

001001

V轴的单位向量为V（匕，V，，它是由单位向量〃旋转90度得到的

V=-u.V=uXvVXcos90°-sin90°0ux

-

-4UUysin90°cos90°0u

yo州y

1[1

—V

R(-e)=~Uyux0匕yD00

001001

因此，由UV坐标轴的单位向量可得到两坐标系的旋转变换阵。

第五章二维观察

5.1例子与基本概念

5.2观察流程

5.3建模变换

5.4观察变换

5.5规范化变换

5.6视口变换

5.1例子与基本概念

裁

剪

窗

口

X

(-0.5,-0.5)

(-2.0,-2.0)

建模(局部)坐标系世界(全局)坐标系设备坐标系设备坐标系

ModelingCoordinateWorldCoordinateDeviceCoordinateDeviceCoordinate

图5-1用OpenGL显示一个简单的两维图形

裁男/观察窗口(cIipping/viewingwindow)：场景中要显示的区域。

屏幕(screen)：图形显示器输出的最大区域。

窗口(window)：小于或等于屏幕区域。

视口(viewport)：小于或等于窗口区域。

二维观察变换(ViewingTransformation)：图形由世界坐标系裁剪窗口映射

到设备坐标系视口的过程。

5.2观察流程

™HelloME区I

裁剪窗口yn*

~7iXn

(-0.5,-0.5)

(-2.0,-2.0)