2024七年级数学上册第六章几何图形初步6.3角6.3.2角的比较与运算课件新版新人教版

6．3角6．3.2角的比较与运算第六章几何图形初步逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2角的大小比较角的和、差角平分线知识点角的大小比较知1－讲1方法具体操作示例度量法用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小如量得∠AOB=36°，∠ECF=60°，则∠AOB

＜∠ECF知1－讲方法具体操作示例叠合法把要比较的两个角的顶点重合，把它们的一条边叠合在一起，另一边放在叠合边的同侧，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小知1－讲特别解读1.度量法是从“数”的角度比较大小，叠合法是从“形”的角度比较大小.2.比较角的大小也可用估测法：直接通过观察，比较角的大小，此方法较为直观，但不精准，仅适用于角度差别较大的角的大小比较.知1－讲特别提醒使用叠合法比较角的大小时要注意两点：(1)重合，即顶点重合，一条边重合；(2)同侧，即另一条边放在重合边的同一侧.知1－练例1根据图6.3－11，完成下列操作：解题秘方：利用角的两种比较大小的方法比较角的大小.知1－练(1)比较∠FOD与∠BOD的大小；解：∠

FOD

与∠

BOD

有重合边和重合顶点，且射线OF

在∠

BOD

的内部，根据叠合法可知∠

FOD<∠

BOD.知1－练(2)比较∠AOD与∠BOD的大小；解：由图可知，∠

AOD

是钝角，∠

BOD

是锐角，所以∠

AOD>∠

BOD.知1－练(3)借助量角器比较∠

AOE

与∠DOF的大小.解：用量角器量得∠

AOE=30°，∠

DOF=30°，所以∠

AOE=∠

DOF.知1－练方法点拨：比较角的大小的方法：用叠合法比较角的大小时，一定要将两个角的另一边落在重合边的同侧．两边都不重合，或有一边重合但另—边在重合边的异侧的两角，可通过度量法比较大小.知1－练1-1.如图，用同样大小的三角板比较∠

A

和∠

B

的大小，下列判断正确的是(

)A．∠

A

＞∠

BB．∠

A

＜∠

BC．∠

A

＝∠

BD．没有量角器，无法确定B知2－讲知识点角的和、差2文字描述数学语言图示角的和∠

AOC

是∠

AOB与∠

BOC

的和∠

AOC=∠

AOB＋∠

BOC

角的差∠

AOB

是∠

AOC与∠

COB

的差∠AOB=∠

AOC－∠

COB知2－讲特别解读1.两个角的和或差，仍然是一个角，角的和或差的度数，就是它们度数的和或差.2.在计算两个角的和或差时要将度与度、分与分、秒与秒分别相加或相减，分、秒相加时逢60要进位，相减时要借1当60.知2－练计算：(1)27°26′＋53°48′；(2)90°－79°18′6″.解题秘方：利用有理数的运算法则，结合角的单位的换算方法和进制进行计算.例2解：(1)27°26′＋53°48′=80°74′=81°14′.(2)90°－79°18′6″=89°59′60″－79°18′6″=10°41′54″.知2－练2－1.计算：(1)33°16′28″＋24°46′37″．(2)180°－(35°54′＋21°33′)．解：33°16′28″＋24°46′37″＝57°62′65″＝58°3′5″；180°－(35°54′＋21°33′)＝179°60′－57°27′＝122°33′.知2－练如图6.3－12，回答下列问题.解题秘方：根据图中角的位置关系得到角的和差关系.例3知2－练(1)∠

AOC

是哪两个角的和？解：∠

AOC=∠

AOB＋

∠

BOC.(2)∠

AOB

是哪两个角的差？∠

AOB=∠

AOD－

∠

BOD=∠

AOC－

∠

BOC.知2－练(3)如果∠

AOB=∠

COD，那么∠

AOC

与∠DOB相等吗？为什么？解：相等.因为∠

AOB=∠

COD，所以∠

AOB＋

∠

BOC=∠

COD＋

∠

BOC，即∠

AOC=∠

DOB.知2－练3-1.在所给的：①15°，②65°，③75°，④135°，⑤

145°角中，可以用一副三角尺画出来的是()A.②④⑤

B.①②④C.①③⑤

D.①③④D知2－练如图6.3－13，将两块直角三角尺的直角顶点C

叠放在一起.解题秘方：此题考查角的计算问题，关键是记忆三角尺各角的度数，把所求的角转化为已知角的和与差.例4知2－练(1)若∠

DCE=35°，求∠

ACB

的度数；解：由题意得，∠

ACD=90°，∠

ECB=90°.因为∠

DCE=35°，∠

ACE=∠

ACD－∠

DCE.所以∠

ACE=55°.又因为∠

ACB=∠

ACE＋

∠

ECB，所以∠

ACB=55°＋90°=145°.知2－练(2)若∠

ACB=140°，求∠

DCE

的度数.解：因为∠

ACB=∠

DCB＋

∠

ACD=140°，所以∠DCB=140°－90°=50°.又因为∠DCE=∠ECB－

∠

DCB，所以∠DCE=90°－50°=40°.知2－练4-1.如图，已知∠

AOC=∠

BOD=90°，∠

AOD=150°，则∠

BOC

的度数为(

)A．30°

B．45°C．50°

D．60°A知3－讲知识点角平分线31.角平分线文字语言一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线图形语言几何语言判定方法知3－讲2.角的n

等分线类似角的平分线，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n

个角，叫作角的n

等分线，例如角的三等分线、四等分线等.知3－讲特别解读1.角平分线的“三要素”：(1)是从角的顶点引出的射线；(2)在角的内部；(3)将已知角平分.2.角的平分线只有一条，而角的n等分线有(n－1)条.知3－练如图6.3－14，OC

是∠

AOD

的平分线，OE

是∠

BOD的平分线.例5解题秘方：利用角平分线的定义及角的和差关系，将要求的角向已知的角进行转化，找出它们之间的数量关系进行解答.知3－练(1)如果∠

AOB=130°，那么∠

COE

是多少度？

知3－练(2)在(1)的条件下，如果∠DOC=20°，那么∠

BOE

是多少度？解：由(1)可知∠

COE=65°.因为∠DOC=20°，所以∠DOE=∠

COE－

∠DOC=45°.因为OE

平分∠

BOD，所以∠

BOE=∠

DOE=45°.知3－练5-1.[期末·北京东城区]如图，OC

是∠

AOB

的平分线，∠

COD=20°.知3－练(1)若∠

AOD=30°，求∠

AOB

的度数；解：因为∠COD＝20°，∠AOD＝30°，所以∠AOC＝∠COD＋∠AOD＝20°＋30°＝50°.因为OC是∠AOB的平分线，所以∠AOB＝2∠AOC＝100°.知3－练(2)若∠BOD=2∠

AOD，求∠AOB的度数.知3－练如图6.3－15，O

为直线AB

上一点，∠

AOC=50°，OD平分∠

AOC，∠EOD=90°例6知3－练(1)求∠BOD的度数；解题秘方：利用∠

BOD=∠

BOC＋

∠

DOC

求解即可；

知3－练(2)小明发现OE

平分∠

BOC，请你通过计算说明理由.解题秘方：分别求出∠

COE

和∠

BOE

的度数即可.解：因为∠

DOE=90°，∠

DOC=25°，所以∠COE=∠DOE－∠

DOC=90°－25°=65°.又因为∠BOE=∠BOD－∠DOE=155°－90°=65°，所以∠

COE=∠

BOE，即OE

平分∠

BOC.知3－练6-1.如图，∠1=∠2，∠

3=∠4，则下列结论正确的有()①

AD

平分∠

BAE；②

AF

平分∠

EAC；③

AE

平分∠

DAF；④

AF

平分∠

BAC；⑤

AE

平分∠

BAC.A.4个

B.3个C.2个

D.1个C知3－练计算：(1)62°24′17″×4；

(2)107°45′÷5．例7解：62°24′17″×4=248°96′68″=249°37′8″.107°45′÷5=(107°÷5)＋(45′÷5)=21.4°＋9′=21°＋0.4×60′＋9′=21°33′．知3－练7-1.计算：(1)24°31′×4－62°10′；(2)64°15′÷5＋12°25′×3.解：原式＝96°124′－62°10′＝34°114′＝35°54′；原式＝12°51′＋37°15′＝50°6′.角的比较与运算角的比较与运算角的比较角的运算度量法叠合法角的和差角的平分线如图6.3－16，已知∠

BOC=2∠

AOC，OD

平分∠

AOB

且∠

AOC=40°，求∠COD的度数.方法直接利用和差倍分关系计算角的度数1例8思路引导：

方法点拨角之间的和差倍分的度数，就是它们度数的和差倍分.[期中·

烟台莱州市]下列各小题中，都有OE

平分∠

AOC，OF

平分∠

BOC．方法利用整体思想求角的度数2思路引导：例9(1)如图6.3－17①，

若点A，O，B

在一条直线上，∠

EOF=______.

90°(4)如图6.3－17③，若OA

在∠

BOC

的内部，∠

AOB

和∠

EOF

还存在上述的数量关系吗？请简单说明理由.

存在解题策略在求角度的过程中，若发现该角分成的几个角的度数无法直接求出(或直接求出非常复杂)，可考虑用整体思想，分析要求的角度整体上与已知的角度存在的数量关系.模型解读双角平分线模型：双角平分线和型双角平分线差型OC

是∠

AOB

内一条射线OC

是∠

AOB

外一条射线OD，OE

分别为∠

AOC，

∠

BOC

的平分线[期末·

烟台栖霞市]如图6.3－18，已知∠

AOC

∶∠BOC=1∶3，∠AOD：∠BOD=5∶7，若∠COD=15°，求∠

AOB

的度数．方法利用方程思想求角的度数3解题秘方：根据∠

AOD－

∠

AOC=∠

COD=15°

设出合适未知数，列方程求解.例10

解题策略当很难直接找到已知角和所求角的联系时，可以考虑逆向思维，设出其中关键角的度数，以某个已知角的度数作为“桥梁”，写出相等关系，建立方程模型来解决问题.[期末·

新乡长垣市]已知O

是直线AB

上的一点，∠COD是直角，OE

平分∠

BOC．方法利用代数思想探究角的规律4思路引导：例11初步尝试：(1)如图6.3－19①，若∠

AOC

＝30°，求∠DOE的度数.

类比探究：(2)在图6.3－19①中，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数(用含α

的代数式表示).

解决问题：(3)如图6.3－19②，O

是直线AB

上的一点，∠

COD

是直角，OE

平分∠

BOC，探究∠

AOC

和∠

DOE

的度数之间的数量关系.解：因为OE

平分∠

BOC，所以∠

COB=2∠

COE，所以∠

AOC=180°

－

∠

COB=180°

－2∠

COE=2(90°－

∠COE).因为∠

COD

是直角，所以∠

DOE=90°－

∠COE，所以∠

AOC=2∠

DOE．方法点拨所谓“代数思想”，如本题在探究几何问题时，运用角平分线的定义及角的和差关系直接探究较复杂，而将角的和差关系转化为代数中的整式运算去解决则变得很简单，我们把这种解题思想称为“代数思想”.易错点忽视角的位置关系而出错在平面内，已知∠

AOB=70°，∠

BOC=40°，求∠

AOC

的度数.例12错解：∠AOC=∠AOB＋∠BOC=70°＋40°=110°.正解：分两种情况进行讨论：(1)当∠

BOC

在∠

AOB

的外部时，

如图6.3－20①，∠

AOC=∠

AOB＋

∠

BOC=70°＋40°=110°；(2)当∠

BOC

在∠

AOB

的内部时，

如图6.3－20②，∠

AOC=∠

AOB－

∠

BOC=70°－40°=30°.综上，∠

AOC

的度数为110°或30°.诊误区：1.通常具有公共边的两个不相等的角的位置关系有两种：(1)较小的角在较大的角的内部；(2)较小的角在较大的角的外部.2.在无图的题中，画图时切记要考虑图形可能出现的各种情形.考法利用角平分线求角的度数1[中考·乐山]如图6.3－21，点O在直线AB

上，OD

是∠

BOC

的平分线，若∠

AOC=140°，则∠

BOD

的度数为_______.20°例13试题评析：本题考查角的运算，掌握平角及角平分线定义是解题关键.

考法利用方程思想求角的度数2

例14试题评析：本题考查利用方程思想求角的度数，解题的关键是利用图形中角的关系列出方程.

1.[期末·泰安岱岳区]在∠

AOB

内取一点C，作射线OC，则下列结论一定成立的是(

)A.∠

AOC=∠

BOCB.∠

AOC

＞∠

BOCC.∠

BOC

＞∠

AOCD.∠

AOB

＞∠

AOCD2.[期末·

襄阳襄城区]如图，点O

在直线AB

上，

射线OC

平分∠

DOB.若∠

COB=35°，则∠

AOD

等于(

)A.110°B.145°C.35°D.70°A3.如图，将一副三角尺的直角顶点重合放置于A

点处(两块三角尺看成在同一平面内)，下列结论一定成立的是(

)A.∠

BAE－

∠

CAD=90°B.∠

EAC

≠∠

BADC.∠

BAD=∠

CAED.∠

BAE＋

∠

CAD=90°C4.[期末·南京秦淮区]如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则α

，β

，γ

三个角的数量关系为(

)A.α

＋β

＋γ=90°B.α

＋β

－γ=90°C.α

－β

＋γ=90°D.α

＋2β

－γ=90°C5.如图，已知M是直线AB

上一点，∠

AMC=54°48′，∠BMD=64°19′，则∠CMD=_______.60°53′

457.计算：(1)53°39′38″＋26°28′17″；(2)53°25′3″×5.解：53°3