《高等数学基础》作业

成绩:

高等数学基础

形成性考核册

专业：建筑_______________

学号：_______________________

姓名：_________生萌______________

河北广播电视大学开放教育学院

（请按照顺序打印，并左侧装订）

高等数学基础形考作业1：

第1章函数

第2章极限与连续

(-)单项选择题

1•下列各函数对中，(C)中的两个函数相等.

A./(x)=(√x)2,g(χ)=χB./(x)=7P^,g(χ)=χ

/-1

C./(x)=InY,g(x)=3InXD∕3=X+1'g(x)=7≡Γ

2∙设函数/(χ)的定义域为(-8,+8),则函数/(x)+/(-x)的图形关于(C)对称.

A.坐标原点B.X轴

C.y轴D.y=x

3•下列函数中为奇函数是(B).

A.y=ln(l+χ2)B.y=xcosx

CQ+4…、

C.y=-----------D.y=ln(l+x)

4.下列函数中为基本初等函数是(C).

A.y=x+lB.y=—X

—1,XVO

C.y=∕2D.y=<

1,x≥0

5∙下列极限存计算不正确的是(D)•

A.Iim-—=1B.Iimln(l+%)=0

18尤z+2.v→0

一「sinxC

C.Iim-------=0D.Iimxsin—=0

XfOoXχ->∞X

6.当XfO时，变量(C)是无穷小量.

sinx

A..........B.

冗

C.xsin—D.ln(x+2)

7.若函数/(x)在点X。满足(A),则/(x)在点Xo连续。

A.Iim/(x)=∕(x0)B./(X)在点几的某个邻域内有定义

c.Iim/(x)=/(X0)D.IimZ^(x)=Iim/(%)

XTXoX—>x[XTxo

(二)填空题

1•函数/(X)=--------+ln(l+%)的定义域是X>3.

x-3

2•己知函数/(x+1)=炉+X,则/(χ)=.

1

1

3.1im(l+-)v=e・

is2x

4.若函数/(x)=<(1+X尸，x<°,在X=O处连续，则Z=e

x+Z,x≥0

x+]x>0

5.函数y=4'的间断点是X=0.

SinX,%≤0-------

6.若Iim/(x)=A,则当X-与时・，/(x)-A称为无穷小量。

(三)计算题

L设函数

求：/(—2),/(0),/⑴.

解：/(-2)=-2

/(0)=0

/(I)=e'=e

2.求函数y=lg'—的定义域.

Jr-I

解：欲使函数有意义，必使IgH—>0,

1

即：-....>1亦即：2x-1>X

解得函数的定义域是：x>l

3.在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上,

试将梯形的面积表示成其高的函数.

解：设梯形的高CMF,则DVf=J&—

梯形的上底Z)C=2JFW,下底"4S=2R

则梯形的面积_______

(2JR'-■2+2R)x

S=--------------------------

2

=(JR?-X2+R)X(OeXcK)

sin3x

4j•求Iim---------

XTOsin2Λ

sin3x

Iim--------

3XTC3x三1一)

解：原式=-X=X—=

2sin2x212

Iim--------

XTO2x

X2-I

5•求Iim」_—

XTTSin(X+1)

lim(x-l)

X-I7

解：原式=Iim…_______=_=-2

XT-Isιn(x+1)sin(x+1)1

Iim------------

x+11→~1X+1

…tan3x

6.求Iim---------.

sin3x

cos3Ksin3X1sin3x1

解：Iim3AA=3Iim--------X---------=3Iim---------XIim---------3×lx-=3

XToXx→03xcos3xx→03xx→0cos3x1

+-1

7.求Iim........；........

XfosinX

丁丁Fγ

解：原式=Iim('1+-D("l+=lim∙^XHm

.=Oxl=O

2Sinx

3(√l+χ÷l)sinx3Jl+.d+13

X

8.求Iim(

Λ→□0x+3

+3

x-1G-IYX+3-4)'<3-4Λ

解：原式=""2X+

<x+3∖X+3,X+3>(x+3√

r_4\—4、(-4\

-HmIH--------•Um1+IiinIH--------

XTHIX+3/X+3/,=KTBIX+3,

r-4

=Um1+------

afR、X+3,

,.x~—6x+8

9.求Iim—......

χf4χ--5x+4

解：原式=Iim上加二D=Hm三二三=2

χ→4(X-4)(x-1)χ->4X_]3

10.设函数

(X-2)2,X>1

/(x)=<x,-1≤犬≤1

X+1,x<—1

讨论/(x)的连续性。

解：先看函数在分段点X=-I处的情况，

•Iim/(χ)=Iim(χ+1)=-i+1=。

XT-I-X->-1-

IimF(X)=IimX=-I

x—>-Fx—>-l*

Iim"χ)≠Iimf(©，故Iim“Q不存在C

∙∙∙「-I为函数7(.X)的间断点7

再看函数在分段点X=1处的情况，

IimF(X)=IimX=1

X—>1*XTI-

Iim/W=IiniQ-2)】=ι

XTl-x->l*

∙'∙IimF(X)=IimF(X)，故IimF(X)=1。

XTI-XTrXTl

又因为了⑴=x∣ι=l

所以IimF(X)=/■⑴

故X=I是函数F(X)的连续点。

函数/(x)在连续区间是：(-X5-1)U(-L+X)O

高等数学基础作业2：

第3章导数与微分

（一）单项选择题

1.设/（0）=O且极限Iim△^存在，则痴®1=（B）.

χf°Xχf°X

A./(O)B.∕,(0)

c.f,(χ)D.O

2.设/（x）在/可导，则Iim"/一2/?）_/（左）=（D）.

,

A.-2∕(x0)B-/'(X。)

C.2∕'(x°)D—)

3.设/(χ)=e「，则Iim/°+AX)-/⑴=

(A).

A*—。Ar

C八11

A.eB.2eC.—cD.—e

24

4.设/(x)=MX-I)(X-2)…(X-99),则/'(O)=(D).

A.99B.—99C.99!D.-99!

5.下列结论中正确的是（C）.

A.若/(x)在点与有极限，则在点与可导.B.若/(x)在点人连续，则在点/可导.

C.若/(x)在点与可导，则在点与有极限.D.若/(x)在点XO有极限，则在点与连续.

(二)填空题

L设函数/(x)=」s*n7则U(O)=0•

0,X=O

2InX+5

2.设/(e*)=e2x+5e',则叟迎旦=X

dx

3.曲线/(X)=6+1在(1,2)处的切线斜率是12。

4.曲线/(X)=sinX在(],1)处的切线方程是左1。

2*,X(2InX+2)

5•设y=,则rπιlV=____2_________1

1

6•设y=xln],则J二X

(三)计算题

1•求下列函数的导数V：

⑴y=(xVx+3)e'

⑵y=cotx+χ2jnχ

总R,cosx2.、，sinXsinX-cosxcosx

解：y,=z(------+xFnx)=(----------；---------+2χl1nχ+—)

sinXsin"xX

1、，

=-°+2xlnx+x

sin’x

x2

(3)y=----

•Inx

2xlnx-xx(2Inx-I)

解：V

In2xIntX

COSX+2*

⑷y=-

,(-sinx+2x1Π2)X3-(cosx+2*)∙3x'

解:

x6

-XSinX+ln2∙2xx-3cos.r-3∙2x

4

X

Inx-x?

(5)y=--------

sinX

(I-2x)sinx-cosx(lnx-.τ^)

解:

sin2X

(1-2x')sinx-xcos(lnx-x2)

(6)y=x4-SinXInX

衣R，∙3/sinx、

解：v=4炉-(CoSXX1Inx+)

X

31SinX

=4x-Cosxxlnx--------

X

SinX+J

⑺y=^-

(Cosx+2x)3X-3*ln3(sinx+E)

解：y,=

3八

cosx+2X-In3(sinx+x:)

3、

(8)y=evtanx÷lnx

1

解：i，'=(e'tanx+---—)+-

Cos'XX

ex(sin.τcosx÷1)1

2•求下列函数的导数y：

⑵y=Incosx

,-SinX

解：V=---------=-tanX

∞sX

(3)y=JXJX五

1117

解：因为y=X2.χ4X8=XS

7-1

所以y,=-X8

•8

⑷y=sin2%

解：因为y=2sin.t∙cosx=sin2x

⑸y=sin厂

解：j，'=COSX2∙2x=2xcosx

2

⑹y=cosev

解：y'=-sinexex

=-exSineX

(7)y=sin〃XCOS〃x

解：V=(SiIrx)'CoSnx+sin"x∙(cos7?X)'

="si∏L'χ∙cosx∙cos"x+sin"x∙(-sin〃工)•〃

=7?Sinklx(CoSXCOS〃x—sinxsinnx)

⑻y—5sinx

解：设y=5"ZZ=sinX

,fu5mx

y=yu∙W^=51∏5∙cosx=1∏5∙5∙cosx

⑼y—=eCOSX

解：设y=e""=cosx

,u

y=y'u∙w^=e∙(-sinχ)=-e""sinX

3.在下列方程中，LMb是由方程确定的函数，求于：

(l)ycosx=e2y

解：将方程两边对X求导：

y,cox-ysirκ=2e2y-y,

移项>,,(cosx-2e”)=ysinX

所以："与上

cosX-2cQ

(2)V=Cosylnx

解：将方程两边对X求导：

yf=(CoSJ)'Inx÷coy(ln)'

,,1coy

y=-sιny∙ylnx+—^

X

移项y'(l+sinJxInX)=

X

所以：/=COSJ

.r(l+InXSinv)

2

(3)2xsiny=—

y

衣R.C2xv-xiv2XX

M：2sιmy+2xcosy∙v=—-~；~—

y-----------VV

2x.

-----Isimy、

V2xv-2y^Simv

~=^T

C2xvxcosy+Xx

2xcosv+-

y

⑷>=x+Iny

解：因为：yz=1÷--

y

解得「=-

)'一1

(5)lnx+ev=y2

解：将方程两边时X求导：

,,

L+ey.v=2v∙v

整理得：)，'=

χ(2D

(6)y2+1=e*siny

解：将方程两边对X求导：

2v∙y'=e*sinv+e*cosv∙v,

整理得：-=)S1"

2v—ccosv

⑺e∙v=e*-y?

解：将方程两边对X求导,

ey•v,=e1-3V2∙v,

整理得：/=-史r

y2

e+3y

⑻y=5*+2>'

解：将方程两边对X求导:

/=51ln5+25ln2∙y

整理得：

,51ln5

J=l-2yln2

4.求下列函数的微分dy：(注：dy=y'dx)

(Dy=cotx+esex

111cos

解：因为y,=--(事)'=一

sin+x7sin2Xsin

1+cosX

Sin-X

,1+cosX,

所以小=-...；—出

sin*X

n

小、IX

(2)y=-----

SinX

1∙

sinx-COSX1Inx

解：因为=X

sin:X

sinx-XcosX∙lnX

Xsin'X

上N.sinx-X∞sX-Inx,

所以dv=---------------ς-----------OX

XsinxX

⑶y=sin2x

解：设y=炉，N=Sinx

则「=)'：•〃；

=2〃∙8sX=2sinX∙cosX

=sin2x

所以dy=sin2xdx

⑹y=tane*

解：设：N=tan〃，〃=/

则y,=yX

=——∙ex

8S~〃

_ex

cos2ex

Px

所以dv=、dx

cos*e

5.求下列函数的二阶导数：

⑴y=五

⑵y=3*

解：j,=31ln3

>',,=(3xln3y=31ln3×ln3

⑶y=In%

解：y,=-

⑷y=XSinX

解：v,=sinx+xcosx

y"=(sin+xcos)'=CO$+CoS-XSiIX

=2cOS-KSilx

(四)证明题

设是可导的奇函数，试证是偶函数.

/(X)If(X)

设〃X)是可导的奇函数，试证/'(X)是偶函数.

证明：因为了(X)是奇函数，所以

又因为F(X)可导，函数f(-x)为复合函数。

对/(-x)=-/(X)两端对X求导，得：

尸(Y)∙(-xy=-尸(X)

即-广(Y)=-尸(X)

所以：f'(-∙x)=f'(x)

根据偶函数的定义，Ir(X)是偶函数。

高等数学基础形考作业3：

第4章导数的应用

(一)单项选择题

L若函数/(x)满足条件(D),则存在ξe(a,b),使得/'e)="力-/〉

b-a

A.在(a,b)内连续B.在(a,与内可导

C.在(a,0)内连续且可导D.在［a,6］内连续,在(α,b)内可导

2.函数/(x)=/+4尤-1的单调增加区间是(D).

A.(—8,2)B.(-L1)

C.(2,+oo)D.(—2,+8)

3.函数/=/+4Χ-5在区间(-6,6)内满足(A).

A.先单调下降再单调上升B.单调下降

C.先单调上升再单调下降D.单调上升

4.函数/(x)满足/'(x)=0的点,一定是/(x)的(C).

A.间断点B.极值点

C.驻点D.拐点

5.设/")在(α,份内有连续的二阶导数，x。e(a,b)，若/O)满足(C),则/(x)在XO取到

极小值•

A./'(x°)>O,/"(XO)=OB.尸(XO)<0,尸(XO)=O

C./'(x°)=0,/"(/)>0D./'(Xo)=O∕(∕)<O

6.设/8)在3,加内有连续的二阶导数，且/'(%)<0,/"(Χ)<0,则/(*)在此区间内是(A).

A.单调减少且是凸的B.单调减少且是凹的

C.单调增加且是凸的D.单调增加且是凹的

(二)填空题

1•设/(x)在3,勾内可导,XOG(α,6),且当%<%时.尸(X)<0,当X>/时/'(x)>0,则/是

/(X)的极小值.点•

2.若函数F(X)在点/可导,且X。是/(x)的极值点，则尸(XO)0

3.函数y=ln(l+x2)的单调减少区间是(一"').

4.函数/(X)=e/的单调增加区间是(°L")

5∙若函数/(χ)在［α,b］内恒有/'(X)<0,则/(x)在［α,M上的最大值是f(a).

6.函数/(X)=2+5X-3X3的拐点是(0.2)

(三)计算题

1.求函数y=(x+l)(尤一5)2的单调区间和极值.

解：y=-(x+1)3(x-5)-+2(X+1)3(X-5)=I(X+1)3(X-5)(3x-15+4x+4)

11

=-(x+1):(x+5χ7x-11)=0

2.求函数y=f-2x+3在区间［0,3］内的极值点，并求最大值和最小值.

#：y=∣(χ2_2x)^3(2x-2)=0得驻点χ=l

又当x=0x=2时y无意义，但原函数连续

.∙.¢0)=0f(l>1f(2)=0f(3>V9

X0(OJ)1(⑵7(2,3)3

Y无意义+0—无意义++

极大值极小值

V0//

f(l)=1f(2)=0

二最小值f(0)=f(2)=0最大值是R3)=4G极大值f(l)=l极小值f(2)=0

3.求曲线V=2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短.

解：∙.,=αx3+Ix2+cx+d的图形过点(-2,44)和点(1,-10),且x=-2是驻点,

X=I是拐点.

—8x+4b-2c+d=44a=l

a+b+c+d=-10=>b=-3

12α-4b+c=0c=-24

{6α+2b=0、d=16

4.圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L,问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大?

解：设圆柱体的底面半径为工,高为"，则力=/-Y

V=TTC2h=7iκ2J/2-X」

X=火∕,力=立∕时，圆柱体的体积最大。

33

5.一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？

解：设圆柱体的底面半径为XJ高为力，V=亦%则"=-1

2

S=17[xh+27tx^=2/一r+2亦'=-+2^

KX

2V,4^X3-2VC

-S=......T+4亦=------；.......=0

当h=时，圆柱体的表面积最小。

6.欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

解：设长方体底面正方形的边长为X米，长方体的高为h米，

则容积62.5=X2/?力=牢

士，、62.5、250

表面积：5=xx+4x∕?=.τx+4x—L=χ'+-----

X

3

C2502X-250λ业

s=2x-——=------；-----=0x=5(木)

∙∙∙X=5/?=2.5时用料最省。

(四)证明题

1•当x>0时，证明不等式x>ln(l+x).

证明利用函数的单调性证明

设/(x)=x-ln(l+x)/(x)=1-----=——>0.(x>0)

1+X1+X

∙∙∙f(x)在［0+□C)内单调增加，当x>0时，有F(X)>〃0)

即/(χ)=X-1∏(1+x)>O

.∙.I>ln(l+x)成立

2.当X>0时，证明不等式e'>x+l.

证明利用函数的单调性证明

设/(x)=ex-X-1/(x)=ex-1>0,(χ>0)

∙∙∙∕(.j在［θ+□c)内单调增加，当x>0时，有/(x)>f(θ)

即/(χ)=ex-X-I>0

∙-∙e*>x+l成立

高等数学基础形考作业4：

第5章不定积分

第6章定积分及其应用

(-)单项选择题

1•若/(x)的一个原函数是!，则/'(X)=(D).

A.1Π∣Λ∣B.-----—

-12

C.—D.-—

2.下列等式成立的是(D)•

A∫∕,(x)dx=∕(x)B.∫d∕(x)=/(x)C.

可/(x)dx=/(x)D.^∫∕(x)dx=∕(x)

3•若/(χ)=COSX,则Jr(X)dx=(B).

A.sinx+cB.CoSX+C

C.-SinX+cD.-CoSX+C

4,［χ2∕(χ3)dx=(

B).

dxJ

A.F(X3)B.X2f(xi)

C.∣∕(x)D-/(Y)

则J}√(Λ⅛X=(B).

A.F(V^)+cB.2/(五)+C-9cos0x)

7

C.∕(26)+cF(G)+c

6.下列无穷限积分收敛的是(D).

广+CO1p+∞

A.—dxB.J。exdx

C.『/D.「―

(二)填空题

1•函数/(X)的不定积分是I|(*)"r=Ia)-C

2.若函数F(X)与G(X)是同一函数的原函数，则F(X)与G(X)之间有关系式G(X)=尸(X)+C。

3∙dj√a=e亦。

4.∫(tanx),dx=tanx~c°

5.若∫/(x)dx=cos3x+c,则/'(X)=-9COS*。

6・(sinx+-)dx=3

J-32

7.若无穷积分JjedΛ收敛，则＞ι。

(三)计算题

11,1.1

cos-fcosd=-sin+c

ι.f^⅛=J