【暑假分层作业】第05练 勾股定理压轴题型-2022年八年级数学（人教版）（答案及解析）

第05练勾股定理压轴题型

薯［拓展练

一、单选题

1.如图，在RAACB和放△OCE中，AC=BC=2,CD=CE,ZCBD=\50,连接AE,BD

交于点F,则B尸的长为()

A.2忘B.y/2C.2GD.6

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知证得AACEMBCD,进而确定AW三个内角的大小，求得3F=；AB,进而可得到

答案.

【详解】

解：・.・ZACB=90。,ZDCE=90°

・・・ZACB+Z.BCE=ZDCE+/BCE

：.ZACE=NBCD

乂;AC=BCyCD=CE

：・AACE-BCD

：.ZCAE=ZCBD=\5°

・・•在等腰直角三角形中NAJ5C=4AC=45。

/.ZABF=ZABC+NCBD=60°,ZE4F=ZBAC-ACAE=30°

ZAFB=180o-z^ABF-Z^AF=90°

BF=-AB

2

AB=y/AC2+BC2=2>/2

•*-BF=&

故选：B.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理；熟练掌握相关知识是解题的关键.

2.如图，正方形488的边长为6,点E,F分别是边BC和CQ的中点，连接AE,在AE

上取点G,连接GF,若ZEG"=45。，则GF的长为（）

A.3不B.3近C.蛔D.哑

55

【答案】C

【解析】

【分析】

根据已知条件，连接4尸、EF,过点F作垂足为M,构造关于GF的直角三角形,

解直角三角形即可求出G尸的长.

【详解】

解：如图，连接AF、EF,过点F作垂足为

•.•正方形A8CO边长为6,点E、尸分别是8C、CO的中点，

：.AB=-BC=CD=AD=6,BE=CE=CF=DF=3,

AEMJAB2+BE，=正+乎=3后，EF={CE2+CF2="+32=3夜，

S4AEF~^uABCD~~~^AADF-^ACEF

=62—?x3x6—1x3x6—gx3x3

222

_27

又•••S-=gAE・FM

=^X3#>XFM,

即gX36X尸M=2,解得FM=地.

225

ZEGF=45°,

，△尸GM是等腰直角三角形，GM=FM=也，

5

GF=-JGM2+FM-

【点睛】

本题考查直角三角形的相关计算，构造关于G尸的直角三角形、利用勾股定理，是解题的关

键.

3.如图，在四边形ABCO中，ADLAB,ACLBC,S.AD=CD=AB=2,则8<7为()

A.1B.|石C.1。,自

【答案】B

【解析】

【分析】

过点。作。ELAC于点£,证明丝△ABC(AAS),由全等三角形的性质得出AE=BC,

设8C=x,则AC=2x,由勾股定理得出(2x)2+x2=22,求出x的值则可得出答案.

【详解】

过点D作DE1AC于点E,则ZDEA=90°,

"：AD±AB,AC1.BC,

：.ZDAB=ZACB=90°,

：.ZDAE+ZCAB=90°,ZCAB+ZB=90°,

；.NDAE=NB,

又•；AD=AB,ZDEA=ZACB=-90°,

，zM8C(AAS),

：.AE=BC,

"：AD^CD,DELAC,

，A£=CE,

设BC=x,则4C=2x,

\'AC2+BC2^AB2,

：.(2x)2+x2=22,

.,.x=|石，即8c=1后，

故选：B.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握勾股定理

是解题的关键.

4.如图，N4Q8=30。，点M、N分别在边0403上，且OA7=3,ON=5,点P、Q分别在

边08、上，则MP+PQ+QN的最小值是()

C.734-2D.735-2

【答案】A

【解析】

【分析】

作M关于的对称点AT,作N关于。4的对称点M,连接MW,即为MP+PQ+QN的最

小值；证出△0NM为等边三角形，△0MM为等边三角形，得出/MOAf=90。，由勾股定理

求出WM即可.

【详解】

解：作M关于08的对称点AT,作N关于0A的对称点V,如图所示:

A

a、、：，B

连接WV,即为MP+PQ+QN的最小值.

根据轴对称的定义可知：ON,=ON=5.0M'=0M=3,/NOQ=/M，OB=30。,

・・・NNOM=60。，NMW60。，

•••△ONV为等边三角形，△OMW为等边三角形，

；・/NW90。,

；・在RtAATOM中,

MN=M+寻=取.

故选：A.

【点睛】

本题考查了轴对称-最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形

是解题的关键.

5.已知点。是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC,△PAB,△PBC,

△PCA的面积分别记为S0,S-邑，S3.若5+邑+53=25。，则线段02长的最小值是（）

A.延B.也C.班D.毡

222

【答案】B

【解析】

【分析】

根据S1+S2+S3=2S0,可得E=gs0,根据等边三角形的性质可求得△ABC中AB边上的高

九和△以8中A8边上的高为的值，当P在C。的延长线时，OP取得最小值，OP=CP-OC,

过。作0EL8C,求得OC=26,则可求解.

【详解】

解：如图，

A

S?=S4PDB+SABDC,S3=S“PDA+Sjoe.

**•S[+S?+S3=S]+(S4PDB+SA3DC)+(SAPDA+

=S]+(S4PDB+SA/VM)+(S4BDC+SAADC)

=S]+S4PAB+SAABC

=S]+S]+s0

=25]+S0=2S0,

设△ABC中A8边上的高为九，△RW中A8边上.的高为也,

则So=；A8・4=(?6叫3%,

S,=^?6./^3他，

3m=—?3九，

2

4=2kl,

,/△ABC是等边三角形，

；.4=卜§2=3上,

.•.点P在平行于AB,且到AB的距离等于的直线匕

当点尸在CO的延长线上时，OP取得最小值，

过。作OELBC于E,

CP="+用=|6，

：。是等边△ABC的中心，OE±BC

：.ZOCE=30°,CE=-BC=3

2

，OC=2OE

OE2+CE2=OC2.

Z.OE2+32=(2OE)2,

解得OE=G，

OC=26,

OP=CP-OC=2百-2月=°6.

22

故选B.

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到P点的

位置是解题的关键.

6.AABC是边长为4的等边三角形，其中点尸为高AO上的一个动点，连接2尸，将5尸绕

点8顺时针旋转60。得到BE,连接PE、DE、CE,则△由组周长的最小值是()

A.2+2退B.2+6C.4+&D.4+2百

【答案】A

【解析】

【分析】

先证明NBCE=30°,作B关TCE的对称点F,连接ORCF,根据对称性可得△曲周长

=BD+DE+BE=BD+DE+FE>BD+DF,当RE,尸三点共线时，取得最小值，据此即可

求解.

【详解】

E

将BP绕点、8顺时针旋转60。得到BE,

・•・△8PE是等边三角形，

「△ABC是等边三角形，

：.AB=AC=BC=4fZBAC=ZABC=60°,

VAD1CB,

：.BD=CD=2tZBAD=ZCAD=^ZBAC=30°t

・.,ZPBE=ZABC=60°,

NABP=/CPE,

•；BA=BC,BP=BE,

:.△ABP"/\CBE(SAS),

：.ZBAP=ZBCE=3001AP=CE

・,•点E的运动轨迹是射线CE(ZBCE=30°),

如图，作8关于CE的对称点尸，连接。

:.CB=CF,/BCE=/FCE=30°,

/.ZBCF=60°,

.•.△3C尸是等边三角形，

巧

:.DF=—BC=2>/3

2

・・4BDE周长=BD+DE+BE=BD+DE+FENBD+DF

当力，瓦厂三点共线时，取得最小值，最小值为3。+。/=2+2百

故选A

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，线段和最短问题，勾股

定理，求得点E的轨迹是解题的关键.

7.如图，在等边AABC中，点A、C分别在x轴、y轴上，AC=4,当点A在x轴氐半期上

运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（）

3

A.4B.2+x/3C.3+26D.2+26

【答案】D

【解析】

【分析】

取AC的中点。，连接。。，BD,利用三角形原理，当0、D、8三点共线时0B取得最大值,

且最大值等于0C+8D,计算出0。，80的长度即可.

【详解】

如图，取AC的中点。，连接。£>,BD,

「△ABC是等边三角形，/AOC=90。，AC=4,

DO=^AC=2=CD=AD,BD=\IBC2-CD2=273-

•/D0+BD>0B,

：.0B<D0+BD=2+2。

当O、D、B三点共线时08取得最大值，且最大值等72+26，

故选D.

【点睛】

本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系定理，熟练

掌握直角三角形性质和三角形三边关系定理是解题的关键.

8.如图，在心AABC中，AC=BC,ZACB=90°,。为AB的中点，E为线段上一点,

过E点的线段FG交C。的延长线于G点，交AC于尸点，且EG=AE.分别延长CE,BG交

于点H,若EH平分ZA£G,“。平分NC7/G则下列说法：①NGDH=45。；②GD=ED；

③EF=2DM；®CG^2DE+AE,正确的是（）

H

G

c

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】B

【解析】

【分析】

首先证明AAECWAGEC(SAS),推出C4=CG,/A=NCGE=45。，推出OE=DG,故②正

确，再证明AAOC二AGR7(A4S),推出4O=C/=FG,由AE=EG,推出£户=£应，证明

^HDC^^HDB(AAS),推出HC=H8,可得A/TOE=MDG(弘S),推出

/HDG=ZHDE=45。,即可判断①正确，③错误，作ET〃AC交C。于T,证明

DE=DT=DG,AE=CT即可判断④正确.

【详解】

・・•AC=BC,ZACB=90°,AD=DB

:.CD_LAB,CD=AD=DB,ZA=ZCBD=45°

,：EH平分Z-AEG

：.ZAHE=ZGEH

・・・ZAEH+ZAEC=180°,ZGEH+ZCEG=180°

:.ZAEC=ZCEG

・・・AE=GE,EC=EC

,\AAEC=AGEC(SAS)

CA=CG,ZA=ZCGE=45°

vZEDG=90°

:.ZDEG=ZDGE=45°

.・.DE=DG,ZAEF=/DEG=ZA=45。

故②正确；

ZAFE=NCFG=90。

ZFCG=ZFGC=45°

:.CF=FG

・・・ZADC=ZGFC=90°,ZACD=ZGCF,AC=GC

:./SADC=^GFC(AAS)

：.AD=CF=FG

\-AE=EG

：.EF=DE

・・•DE=DG,ZCDE=ZBDG=90°,DC=DB

AEDC"GDB(SAS)

/ECD=/DBG,EC=GB

・・・4DHC=/DHB/HCD=ZHBD,HD=HD

:.\HDC=\HDB(AAS)

:.HC=HB

：,HE=EG

・.・ZDHE=4DHG,DH=DH

;.\HDEw\HDG(SAS)

.\ZHDG=ZHDE=45°

故①正确；

:.DE=42DM

EF=DE*2DM

故③错误；

作交8于T,如图

•/ZDET=ZA=45°,/DTE=ZACD=45°

：.DE=DT=DG

QDA=DC

AE=CT

;.CG=CT+TG=AE+2DG

故④正确；

综上，正确的是①②④

故选：B.

【点睛】

本题考查等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正

确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

二、填空题

9.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=2,ZBAC=120°,M为AB的中点，P为BC

上任意一点，则，=加+总的范围是.

【答案】>/3<r<>/7+2

【解析】

【分析】

分别求出PM+PA的最大值和最小值即可.

作点M关于BC的对称点N,垂足为E,连接AN交BC于点P,则此时f=+最小,

作于点尸，45LBC于点。，可得出四边形AFED为矩形，再根据等腰三角形的

性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，即可求得AN的值；

当点尸与点C重合时，f=CM+C4最大，作MO_LC4于点D,根据三角形外角的性质及勾

股定理即可得出MC的值，从而得出CM+CN的值，即为所求.

【详解】

解：如图(1),作点M关于8c的对称点N,垂足为E,连接AN交于点P,则此时

f=+最小，且f=4V,作Af_LMV于点尸，A£>_L8c于点£>

图⑴

四边形AFEC为矩形

VAB=AC=2,ZBAC=\20°,

：.AM=BM=\,ZB=30°

AD=\,ME=NE=>,BE=DE=—

22

AEF=AD=\,AF=DE=—,

2

3

;.NF=EF+EN=-

2

:.t=AN=ylNF°+AF'=g

如图(2)当点尸与点C重合时，f=C0+C4最大

作MD_LC4于点O,

•;NBAC=120。

ZAMD=ZBAC-ZMDA=30°

•1.MD=—,AD=^-

22

/.MC=y/l,

=+2,

V3</<>/7+2

故答案为：y/3<t<>/l+2.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的应用、等腰三角形的性质、三角形外角性质、，正确作出辅助线

是解答本题的关键.

10.如图，在Rt^ABC中，NACB=90。，分别以A8,BC,AC边为直径作半圆，图中阴

影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙"，当"=10,BC=6时，阴影部分的面积为

B

【答案】24

【解析】

【分析】

根据勾股定理得到AG=AB2-BC2,先求解AC,再根据阴影部分的面积等于直角三角形的面

积加上以AC,8c为直径的半圆面积，再减去以A8为直径的半圆面积即可.

【详解】

解：由勾股定理得，AC2^AB2-BC2=64,

：.AC=8,

则阴影部分的面积

TA。*。骞AC礴BC靳B

=融8-1p^AC2+BC2-AB2)

=24,

故答案为24.

【点睛】

本题考查的是勾股定理、半圆面积计算，掌握勾股定理和半圆面积公式是解题的关键.

11.如图，AABC与A£)EF均为等边三角形，点E,F在边8c上，BE=CF=2EF,点D在

△ABC内，S.AG=GD=GE=y/19,则AABC的周长为.

【解析】

【分析】

如图，连接A。并延长交8c于连接4E,首先证明AAGE是等边三角形，求出AE=扬,

然后设EM=a,求出,AM=5底i,再在RdAEM中利用勾股定理列式求出a的值即可解决

问题.

【详解】

解：如图，连接并延长交8c于M,连接AE,

,/^ABC与△。瓦'均为等边三角形且BE=CF,

...点M是ER8c的中点，

：.ZEDM^30°,

：.ZADG+ZEDG=15O°,

AG=GD=GE=M,

：.ZADG=4DAG,NEDG=ZDEG,

：.ZADG+ZEDG+ZDAG+ZDEG=300°,

：.ZAGE=360°-ZADG-NEDG-ZDAG-ZDEG=60°,

.♦.△AGE是等边三角形，

：.AE=4G=M，

设EM=a,则EF=2a,BE=CF=4a,

••,点M是BC的中点，

：.AM±BC,NBAM=30。，

:.AM=>^BM=5&i,

在r也4£知中，有EM2+AM2=AE2,

/./+（5岛）2=（炳『,

解得：«=1，

8c=10“=5,

...△ABC的周长为5x3=15,

故答案为：15.

本题考查了等边三角形的判定和性质，含30。角的直角三角形的性质以及勾股定理的应用等

知识，能够作出合适的辅助线，证明AAGE是等边三角形是解题的关犍.

12.如图，RtAABC,ZC=90°,ZABC=60°,利用尺规在8C,84上分别截取BE,BD,

使BE=BD；分别以。，E为圆心，大于;。E的长为半径画弧，两弧在NCBA内交于点尸；

作射线BF交AC于点G.若BG=2,则AABG的面积为.

C

G.

【答案】73

【解析】

【分析】

先根据含30°角的直角三角形的性质、勾股定理求出CG,BC,AB的长，过点G作GHLAB于

点H,再根据角平分线的性质可得GH=CG,然后利用三角形的面积公式即可得.

【详解】

解：由题意可知，BG平分NA8C,

ZGBC=-ZABC=-x60°=30°,

22

•.-ZC=90°,BG=2,

:.CG=-BG=i,BC=ylBG2-CG2=>/3,

2

•.,在中，ZC=90°,ZA=90°-ZAfiC=30°,

AB=28C=26，

如图，过点G作于点”，

：.GH=CG=I,

则AABG的面枳为,AB-G//=-x2x/3xl=73,

22

故答案为：73.

【点睛】

本题考查了含30。角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识点，熟练掌握

角平分线的性质是解题关键.

13.如图，在RtA4BC中，ZC=90°,BC=6,=，点。在边BC上，且CD:£>8=1:2,

E为AC边上一动点，以。E为边AC上方作等边三角形OEF,连接8F,设8尸的长度为。，

则。的取值范围为.

B

D

E“

【答案】4<a<2yfl

【解析】

【分析】

由重合利用勾股定理可求8F的最大值；由60。联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长,

构建等边三角形8OG,利用△"£>尸gAGDE,转换BF=GE,然后即可求得其最小值.

【详解】

解：如图，当点E与点C重合时，8尸最长.

作用0_LAC于M,

：8C=6,CD：BC=\-.2,

：.CD=2,BD=4,

•••△CQF是等边三角形，

：.DM=CM=\,

，8M=5,

MF=4DF2-FM2=V22-l2=73，

在RMMF中，BF=\lBM2+FM2=卜+=2J7，

：.BF最大是2币.

以BD为边作等边三角形BOG,连接GE,如图所示：

B

'：&BDG,△力E尸都是等边三角形，

ZBDG=Z£DF=60°,BD=GD=BG,DE=DF=EF,ZBDG+ZGFD=ZEDF+ZGFD,即

NBDF=NGDE,

：.4BDg&GDE(SAS)

：.BF=GE

当GELAC时，GE有最小值，如图所示GE',作。”J_G£,

BF=GE=CD+^DB=2+2=4,

最小是4.

故填：4<a<2>/7.

【点睛】

此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是由60。联想旋转

全等，转换动长为定点到定线的长.

14.如图，“BC中，A8=4,N8AC=30。，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的

值最小，则这个最小值为.

【答案】

【解析】

【分析】

作点B关于AC的对称点B,过B作B'N±AB于M交AC于例.此时BM+MN的值最小.通

过证明△5/8是等边三角形，根据等边三角形的性质求解.

【详解】

：如图，作点B关于AC的对称点8,过9作于N,交AC于M.此时BM+MN的

值最小.

B'

C

ANB

BM+MN=B'N.

丁点方与点8关于AC对称，

f

：.AB=AB9

又・・・N3AC=30。，

，/8718=60。，

・•・△8X8是等边三角形，

r

BB=AB=4fNB，BN=60。,

乂丁B，NtAB,

：.B'N=^-B'B=2y/3.

2

故答案为：2G.

【点睛】

本题考查的是轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定和性质，难度较大.

15.如图，在矩形A8CO中，AB=4,BC=6,M是AB边上的中点，N是B边上的一动

点.连接MN,将AfiMN沿MN折叠，点B的对应点为点E,连接EC.当AENC为直角三

角形时，BN的长为________.

A__________________D

【答案】2或2M-2

3

【解析】

【分析】

分情况讨论：当NENC=90。时，当N/VEC=90。时，当/ECN=90。时三种情况下，分别利

用勾股定理和翻折的性质可得到答案.

【详解】

解：当为直角三角形时，可有：

①当NE7VC=9O。时，如图1,

AD

此时/8%七=180。一/七%。=90。，

由折叠性质可知，NBNM=/ENM=；/BNE=45。,

*/ZB=90°,

/.ZBMN=4NM=45。,

BN=BM=-AB=-x4=2-

22

②当N/VEC=90。时，如图2,

由折叠性质可知，ZNEM=90°,BN=EN,BM=EM=-AB=2,

2

：.ZNEC=ZNEM=9Q°,即例、E、C三点共线，

'设BN=EN=x,则CN=8C-BN=6—x,

在R£BCM中,CM=4BM2+BC2=VF+67=2而，

CE=CM-EM=2屈-2,

在RMNEC中,有EN2+CE?=CM,

即/+（2屈-2）2=（6-工）2,解得X=2®-2,

3

即叫巫Z,

3

③当NEC7V=9O。时，点E在直线CO上，此时故此种情况不符合题意.

综上所述，满足条件的BN的长为2或2河-2

3

故答案为：2或2叱2.

3

【点睛】

本题主要考查了翻折的性质和勾股定理的运用，根据题意画出图形并分情况讨论是解题关

健.

16.已知：在AABC中，NACB=90。，AC=BC=3®，点D,E都在边A8上，且A/)=8E,

过点。作DF_LAC于点尸，连接CQ,CE,若%°E=6,则线段CF的长为.

【答案】述或立

22

【解析】

【分析】

分两种情况：①如图1,过C作CGJL回于G,先根据三角形面积计算。E的长为4,可得

AO的长，根据A4FD是等腰直角三角形，计算AF的长，从而得CF的长.

②如图2,同理可得OE的长，计算即的长，根据ABZ羽是等腰直角三角形可得C尸的长.

【详解】

解：分两种情况：

如图1,•.•ZAC8=90°,AC=BC=30，

图1

/.AB=6,ZA=ZB=45°,

过C作CGL■于G,

AG=BG,

:.CG=-AB=3

2f

，.，S&CDE=；DE£G=6,

-DEx3=6,

2

DE=4,

6-4

AD=BE=——=1,

2

v£>F±AC,

二.M加是等腰直角三角形，

“1历

••.AF=忖丁

.\CF=3>/2--=—.

22

如图2,过0作。6_1_/15于G,过。作于，,

4

图2

•;AD=BE,

BD=AE，

同理得：DE=4,BD=1,

RtABDH中，ZB=45°,

,是等腰直角三角形，

:.DH=CF=—,

2

综匕。尸的长是：逆或正.

22

故答案为：巫或叵.

22

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理，解答此题的关键是运用等腰直角三角

形的判定，本题容易丢解，要注意=时，E有两个位置.

三、解答题

17.(1)如图①，在四边形A8C。中，ZB=ZC=90°,P是BC上一点，PA=PD,ZAPD=90°.求

证：AB+CD=BC.

(2)如图②，在四边形A5CD中，ZB=ZC=45°,P是5c上一点，PA=PD,ZAPD=90°.求

AB+CD/土

的值•

A

B

图①

72

【答案】(I)见详解；(2)

2

【解析】

【分析】

(1)证ABAP=SPC(A4S)即可求证;

(2)作A£，3C,DF±BC,由(1)步骤可证AAEPM,即可求解;

【详解】

解：(1)VZB=ZC=90°,ZAPD=90°

：.NBAP=NDPC

在反外炉和ADPC中

ZB=ZC

NBAP=ZDPC

PA=PD

AABAP^ACPD(A45)

/.BP=CD,AB=PC

：.BC=BP+PC=AB+CD-.

(2)如图，作AE_LBC,DFYBC

D

•/ZAPD=90°

・••山（1）步骤可证AA£P二APFlMAAS）

:・AE=PF,DF=PE

XVZB=ZC=45°

:・AE=BE,DF=FC

：.BC=2（AE+DF）

VAB=42AE,CD=42DF

・・・AE+DF=3（AB+CD）

・・・BC=2-（AB+CD）

,AB+CDV2

••-------=—

BC2

【点睛】

本题主要考查三角形的全等证明、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键.

18.已知：在6x6的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1个单位长度.

1-r।-1

____C」_：一人

I4L____Tu_A।___

V\C・一\...

----・■-T

1

1B二士

1

r----———---r.一一一一—

i

iDB；C

L___L____L___•___J

1|

I1

11

U---I__-------」___-—「_」--」----

修11图2自13

⑴【背景呈现1]如修1,点/LB,C都心E格，点上直接写出N8AC的度差〔.

⑵【,可题解法如佟]2,点力,B,CD都在的让,AB与CZB汗,点E,求ZAEC的度

数.

(3)【拓展应用】如图3,点A,B都在格点上，点C在格线上，若/BAC=45。，求线段BC

的长度.

【答案】(1)/847=45°

⑵NAEC=45°

⑶8c=2.5

【解析】

【分析】

(1)连接8C,运用勾股定理求出AB,BC,AC的长，判断A4BC是等腰直角三角形即可

得出结论；

(2)过点A作AF//C£>,KAF=CD,则NAEC=NE4B,连接阳，证明匈B是等腰直角三

角形即可；

(3)延长AC交格点于点。，连接8D可证明△物是等腰直角三角形，根据

S岫BD=^MBC+SgCD可求出BC的长.

(1)

连接BC,如图，

♦.•每一个小正方形的边长为I个单位长度，

/.AB-=22+12=5,BC2=22+12=5,AC2=32+12=10,

AB2+BC2=AC2，且AB=BC,

；•A48C是等腰直角三角形，

•*.NBAC=45°；

(2)

如图，过点A作AF//C。，且4F=CD,则NAEC=/E4B,连接FB,

由勾股定理得，A尸=32+12=10,BF2=32+l2=10,AB2=42+22=20,

AF2+BF2=AB2>^.AF=BF

尸是等腰直角三角形，

，N8AF=45°,

ZA£C=45°；

(3)

延长AC交格点于点D连接BD,

由勾股定理得,AF-=32+l2=10,BD2=32+l2=10,AD2=4、+22=20,

AB2+BD2=AD2，且AB=比>，

，是等腰直角三角形，

S,ABC=；AB'?BD=1x犷=10,

又虱A2=W+；BC=BC,

/.2BC=5,

，BC-2.5

【点睛】

本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，平行线的性质等知识，正确作图是解答本题的

关键.

19.已知“OB和△MON都是等腰直角三角形^OA<OM=ON\,

ZAOB=ZMON=90。.

AAA

OB

M

图1图2备用图

(1)如图1,连AM,BN,求证:△AQM%ABON；

⑵若将Z^MON绕点。顺时针旋转,

①如图2,当点N恰好在AB边上时，求证：BN2+AN2=2ON2;

②当点A,M,N在同一条直线上时，若03=4,0N=3,请直接写出线段3N的长.

【答案】(1)见详解

(2)①见详解

②BN="?戈

22

【解析】

【分析】

(I)利用SAS定理证明△A0MTA80N即可;

(2)①连接AM,证明△AOM丝△20N,即可证

②当点N在线段AM上时和当点M在线段AN上时两种情况讨论即可求得.

(1)

证明:如图,

A

M

•.*ZAOB=NMON=900,

：./AOM=/BON,

*：AO=BOfOM=ON,

:.△AOMWABON(SAS).

(2)

①证明：如图2中，连接AM.

,/NAOB=/MON=90。,

：.ZMON-ZAON=ZAOB-ZAON,

即/AO历=/BON,

•••△MON和ZA08是等腰直角三角形，

,OM=ON,OA=OB,NOAB=N08A=45。，

，&AOMmABON,

:.AM=BN,ZOAM=ZB=45°,

；/。48=/8=45。，

；.NMAN=NOAM+NOAB=90°,

MN2=AN2+AM2,

；△MON是等腰直角三角形，

，MNe=2ON2,

BN2+AN2=2ON2.

②当点N在线段AM上时，如图，设OA交BNTJ,过点。作H.

&A0MQ4B0N,

：.AM=BN,NOAM=NOBN,

ZAJN=NBJO,

：.NANJ=NJOB=90°,

・；OM=ON=3,NMON=90。,0HLMN,

：.MN=372.MH=HN=OH=^^,

A"=^Ofic-OH-=卜2-（半丫=华

BN=AM=MH+AH=巫铠近；

2

当点M在线段AN上时，如图，

同法可证AM=BN=麻&

2

综上可知，BN=屈+W或廊-3、

22

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题

的关键是正确寻找全等三角形解决问题.

20.已知：在KSA8C中，ZC=90°,ZB=30°,BC=6,左右作平行移动的等边三角形

OE尸的两个顶点E、尸始终在边BC上，DE、。尸分别与AB相交于点G、H.

图1图2备用图

(1)如图1,当点F与点C重合时，点。恰好在斜边AB上，求△〃£：产的周长；

(2)如图2,在AOEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果

存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；

(3)假设C点与F点的距离为x,AOEF与aABC的重叠部分的面积为y,求y与x的函数关

系式，并写出定义域.

【答案】(1)9；

⑵存在，CF=DG,证明见解析；

⑶尸苧一段(0"43)・

【解析】

【分析】

(1)利用勾股定理求出AC=2有，再证明CO=^AC=3，即可求出AOEF的周长：

2

(2)由(I)可知：EF=DF=DE=3,进一步得到B+BE=BC—EF=6—3=3,再证明EG=BE,

利用EG+DG=CF+BE=3,即可证明CF=DG；

(3)求出S4DEF=9?，S0H=X。,利用y=SAOEF-S^DHG,即可求出

产哈和(1分

(1)

解：•.•在RQABC中，ZC=90°,ZB=30°,BC=6,

AC=2y/3,乙4=60。，

•.•△力E尸是等边三角形，

ZDCE=60°,

：.ZACD=30°,

ZADC=90°,

CD=BAC=3，

2

，△。所的周长为9；

(2)

解：结论：CF=DG.

理由：..,8C=6,由(1)可知：EF=DF=DE=3,

JCF+BE=BC—EF=6—3=3,

/是等边三角形，

，ZD£F=60°,

•・♦NDEF=NB+NEGB,

：.ZB=ZEGB=ZDGE=30°,

:・EG=BE,

EG+DG=CF+BE=3,

：.CF=DG；

(3)

解：:S,、DEF=x32=9百,S=-GH»DH=-x-x^^-x=-^-x2，

△DEF44AD6H22228

•八o_96£2pn_96G2〃"",

••y=S^DEF-S^DHG=----—X，即y=—-------—x(0<x<3).

4o4o

【点睛】

本题考查勾股定理，等边三角形的性质，30。所对的直角边等于斜边的一半，动点问题，解

题的关键是熟练掌握勾股定理，等边三角形性质.

21.如图1,在平面直角坐标系xOy中，A(a,0),B(b,c),且(a-8)2+\b-3\+

(1)求点A和点B的坐标和线段AB的长度；

(2)如图2,点P是射线A。上一动点，连接BP,将AABP沿着直线8P翻折至△Q8P,当

PQ〃AB时，求点P和点。的坐标；

(3)在(2)的情况下，如图3,点尸是线段4P延长线上一动点，连接BR将AABF沿着直

线BF翻折至AMBF,连接MQ.当M尸〃8P时，试探究NQMF,/QBF与NMQB之间的

数量关系，并说明理由.

【答案】(1)A(8,0),B(3,3),48=后

⑵P(8-后，0)；。(3-后，3)

(3)NMQB=2NQBF-NQMF,见解析

【解析】

【分析】

(1)由(a-8)2+\b-3\+y/3^=0,可得a=8,h=3,c=3,故A(8,0),B(3,3),

又A82=(a-b)2+c2,即得AB?=(8-3)2+32=34,BPAB—>/34；

(2)由AB〃尸Q,^ZBPQ=ZABP,根据△ABP沿着直线BP翻折至△Q2P,即得

=NQBP,BQ//AP,而A8=BQ=南，8(3,3),故。(3-扃，3),5LAB//PQ,BQ//AP,

即得尸(8-取，0)；

(3)由BQ//AP,得NAFB=NQBF,又MF〃BP,得NMFB=NPBF.由折叠可得：NMFB

=ZAFB,即得ZQBP=2ZQBF,过点。作直线C£)〃MF,可得

CD//MF//BP,可得NCQB=NQBP,NCQM=NQMF,即可得NMQ8=2NQ8F-N0A/F.

(1)

解：,/(。-8)2+族-31+5^7=0,

又•••(a-8)2>0,\b-3|>0,行二加，

.\a-8=0,b-3=0,c-3=0,

.,.«=8,0=3,c=3,

・・・A(8,0),B(3,3),

：.AB2=(8-3)2+32=3%即AB=#?；

(2)

ZBPQ=ZABP,

•.•将△A8P沿着直线8P翻折至△Q8P,

：.ZBPQ=ZBPAtNABP=NQBP,

：.ZBPA=ZQBPt

：.BQ//AP,

乂AB=BQ=4,B(3,3),

：.Q(3-扃，3),

又A8〃PQ,BQ//AP,

・・・5Q可看作将AP平移所得，

由平移的性质得BQ=AP=«\/34，

又A(8,0),

：.P(8-南，0)；

(3)

解：数量关系：/MQB=2/QBF-NQMF.理由如下:

■:BQ〃AP,

：.ZAFB=ZQBF；

,:MF〃BP,

:・/MFB=NPBF,

由折叠可得：/MFB=/AFB,

：・NQBF=NPBF,

；・/QBP=2/QBF,

过点Q作直线。〃如图所示：

YMF"BP,

：.CD//MF//BP,

：.NCQB=NQBP,/CQM=/QMF,

又/MQB=NCQB-NCQM,

:・/MQB=/QBP-/QMF,

又/QBP=2/QBF,

：.ZMQB=2ZQBF-/QMF.

【点睛】

本题考查三角形综合知识，涉及非负式的和为0的条件、图像的折叠、平行线的性质等知识,

解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后图形形状、大小不变.

22.重温定理：

(1)我们在八年级上册学过三角形内角和定理，大家还记得定理内容吗？

三角形内角和定理三角形的内角和等于180。.

我们在探究证明“三角形内角和定理”时，"奋进组”进行了撕纸拼凑的探究活动，小丽撕下三

角形纸片的一个角拼成图1即可证明，你能否按以上操作完成探究证明?试写证明过程；

A

A

图1

方法类比：

(2)如图2,在四边形A8CO中，NABC与N49C互余，小明发现四边形A8CO中这对互余

的角可类比(1)中思路进行拼合：先作=再过点C作CE_LOF于点E,你

发现AD,DE,AE之间的数量关系是,试探究说明；

实践应用：

(3)如图3,在四边形ABCO中，连接AC,NBAC=90。，点。是△AC。两边垂直平分线的交

点，连接04,若/OAC=/ABC.

试证明：ZABC+ZADC=90°,

A

B

Dz^

c

图3

【答案】(1)见解析.

(2)AD2+DE2=AE2,说明见解析.

(3)见解析.

【解析】

【分析】

(1)根据拼图可求得NA=NDCF；

(2)根据NABC与/ADC互余求得N4D尸=/AOC+NCOE=90。，利用勾股定理即可求解;

(3)点0是AAC。两边垂直平分线的交点，证得OA=O£>=OC,推出

2ZOAC+2ZODC+2ZODA=180°,得到NOAC+/4OC=90。，即可求解.

(1)

解：如图1中，

证明如下：由撕纸可得：