2024七年级数学上册第六章几何图形初步6.2直线射线线段6.2.2线段的比较与运算课件新版新人教版

6．2直线、射线、线段6．2.2线段的比较与运算第六章几何图形初步逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2线段的画法及长短比较线段的基本事实线段的运算知识点线段的画法及长短比较知1－讲11.尺规作图在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.•••••••••知1－讲2.画一条线段等于已知线段a(1)方法一：利用刻度尺先量出已知线段a

的长度，再画一条等于这个长度的线段.(2)方法二：如图6.2-13，用直尺画射线AC，再用圆规在射线AC

上截取AB=a(这就是“作一条线段等于已知线段”的尺规作图).•••••••••••知1－讲3.线段的长短比较方法具体做法示例度量法先利用刻度尺分别测量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较.如图，对于线段AB与线段CD，测得AB=2.4cm，CD=2.9cm，所以AB<CD叠合法把两条线段中的一条线段移到另一条线段上，使它们有一个端点重合，然后根据另一个端点的位置进行比较.知1－讲特别解读1.比较线段的长短实质就是比较线段长度的大小.2.当两条线段的长短差别不大，且又不便放在一起比较时，运用度量法；当两条线段能够放在一起且又不需要知道相差的具体数值时，可用叠合法.3.度量法和叠合法是从“数”和“形”两个方面进行的，从“数”的方面比较，一般用度量法；从“形”的方面比较，一般用叠合法.知1－练例1如图6.2-14是一张三角形纸片，你能比较线段AB

与线段BC

的长短吗？解题秘方：可以利用度量法，分别量出两条线段的长度，然后进行比较，或者利用叠合法进行比较.解：方法一

度量法.用刻度尺量得AB=1.7cm，BC=1.3cm，所以AB>BC.方法二

叠合法.如图6.2－14，将圆规的针尖放在B点，笔尖放在C

点，将圆规绕B

点旋转，圆弧与AB

交于D

点.所以AB>BC.知1－练1-1.要比较线段AB与CD的长短，

小明将点A

与点C重合并使两条线段在一条直线上，

结果点B

在CD

的延长线上，

则AB与CD相比较，()A.AB<CDB.AB>CDC.AB=CDD.无法判断B知2－讲知识点线段的基本事实2线段的基本事实两点的距离举例两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短定义性质在所有连接A，B两点的线中，线段AB是最短的，线段AB的长度就是点A

与点B

之间的距离连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离(1)存在性；(2)最短性；(3)唯一性知2－讲警示误区两点的距离是一个具体的数量，而线段本身是图形.因此不能把A，B

两点的距离说成是线段AB.另外，连接两点是指画出以这两点为端点的线段.知2－练如图6.2-15所示，某同学的家在A

处，书店在B

处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线()A.A→C→D→B

B.A→C→F→BC.A→C→E→F→B

D.A→C→M→B例2解题秘方：判断出B，C两点之间最短的路线为C→F

→B，即可选出正确答案.解：根据两点之间线段最短，可知从点C

到点B

的最短路程为线段BC

的长，从A到C

的路程不变，故最短的路线为A

→C→F→B，故选B.答案：B知2－练2-1.如图是某住宅小区平面图，点B是某小区快递站的位置，其余各点为居民楼，图中各条线为小区内的小路，从居民楼点A到快递站点B的最短路径是()A.A－C－G－E－BB.A－C－E－BC.A－D－G－E－BD.A－F－E－BD知2－练例3如图6.2-16，有一个正方体盒子放在桌面上，一只虫子在顶点A

处，一只蜘蛛在顶点B

处，蜘蛛沿着盒子表面准备偷袭虫子，那么蜘蛛要想最快地捉住虫子，应该怎样走？你能画出来吗？知2－练解题秘方：蜘蛛要想最快地捉住虫子，需走最短的路径，而蜘蛛走的路径是正方体的不同侧面，因此应在正方体的侧面展开图中寻找.其实质是把立体图形展开为平面图形，也就是把正方体的不同侧面展开到同一平面，利用“两点之间，线段最短”确定最短的路径.知2－练解：如图6.2-1-7，有四种走法，分别是：B→F→A，B

→G→A，B→M→A，B→N→A(F，G，M，N

分别为DE，CD，KE，KH

的中点).知2－练方法点拨：在现实生活中，从A地到B

地，若要路程最短，则A，B

之间画成笔直的线，若要路程变长，则画成折线或曲线，各有用途，根据不同需求进行设计.知2－练3-1.如图，一观测塔底座部分是长方体，现在从下底面A点修建扶梯，经过点M，N到点D′，再进入顶部的观测室，已知AB=BC，试确定使扶梯的总长度最小的点M，N

的位置.解：如图，将长方体的三个面展开，连接AD′，分别与BB′，CC′交于点M，N，点M，N即为所求．知3－讲知识点线段的运算31.线段的和与差如图6.2-18，已知线段a，b(且a>b).知3－讲(1)线段的和：在直线l

上作线段AB=a，再在AB的延长线上作线段BC=b，线段AC

就是a

与b

的和，记作AC=a＋b，如图6.2-19①.(2)线段的差：在直线l上作线段AB=a，再在线段AB上作线段BD=b，则线段AD

就是a

与b

的差，记作AD=a－b，如图6.2－19②.知3－讲

•••••••••••••知3－讲

知3－讲特别提醒1.线段的中点必须在线段上，并且只有一个.2.线段的中点可以转化为线段相等或成倍分关系的等式，但是相等或倍分关系不一定能转化为线段的中点，如若AC=BC，如果点C不在线段AB上，就不是线段AB的中点.3.线段的中点及等分点的特征:这些点都在线段上，线段的中点只有一个，线段的三等分点、四等分点不止一个.知3－练[期末·南京秦淮区]如图6.2-23，C

为线段AD上一点，B

为CD的中点，且AD=13.5cm，BC=3cm．例4解题秘方：根据线段中点的定义结合线段的和差关系进行计算，情况不明时注意分类讨论.知3－练(1)图中共有_______条线段；6知3－练(2)求AC的长；解：因为B为CD

的中点，BC=3cm，所以CD=2BC=6cm.因为AD=13.5cm，所以AC=AD－CD=13.5－6=7.5(cm).所以AC

的长为7.5cm.知3－练(3)若点E

在直线AD

上，且EA=4cm，求BE

的长．解：分两种情况：当点E在线段CA

的延长线上时，如图6.2－24.因为EA=4cm，AC=7.5cm，BC=3cm，所以BE=AE＋AC＋BC=14.5(cm).当点E

在线段AC上时，如图6.2－25.因为EA=4cm，AC=7.5cm，所以CE=AC－AE=7.5－4=3.5(cm).因为BC=3cm，所以BE=CE＋BC=3.5＋3=6.5(cm).综上所述，BE

的长为14.5cm或6.5cm．知3－练4-1.[新考法

分类讨论法]已知线段AC

和线段BC在同一直线上，

如果AC=6cm，BC=4cm，则线段AC

和线段BC的中点之间的距离为______cm．1或5知3－练4-2.[期末·重庆荣昌区]如图，点C

在线段AB上，M

是AC的中点，且AB=76，BC=52．知3－练(1)求线段AM

的长；知3－练(2)在线段BC

上取一点N，使得CN∶NB

＝6∶7，求线段MN的长.知3－练[母题教材P166练习T2]用直尺和圆规作线段：如图6.2-26，已知线段a，b，c．例5解题秘方：按照线段和差的作法用圆规在射线上依次截取.知3－练(1)求作一条线段，使它等于a＋2b；解：如图6.2－27，1.作射线AM；2.在射线AM

上顺次截取AB=a，BC=CD=b.线段AD即为所求作．知3－练(2)求作一条线段，使它等于a－b＋c．解：如图6.2-28，1.作射线AM；2.在射线AM

上顺次截取AB=a，BC=c；3.在线段AC

上截取CD=b.知3－练5-1.已知：线段a，b.求作：线段AB，使得AB=2a＋b.小明给出了四个步骤(如图)：①作一条射线AE；②则线段AB=2a＋b；③在射线AE

上作线段AC=a，再在射线CE

上作线段CD=a；④在射线DE上作线段DB=b.你认为顺序正确的是(

)A．②①③④B．①③④②C．①④③②D．④①③②B线段的比较与运算线段的比较与运算线段的比较线段的运算度量法叠合法线段的和差线段的中点如图6.2－29，M是线段AC的中点，点B

在线段AC上，且AB=4，BC=2AB，求线段MC和线段BM的长.方法利用“逐段计算法”求线段长1例6思路引导：

方法点拨利用“逐段计算法”求线段长：要求某条线段的长，先确定这条线段等于哪几条线段的和或差，分析这些线段的长是已知的，还是要通过别的条件再求的，再进行逐段计算.如图6.2-30，已知B，C

两点把线段AD

分成2∶5∶3的三部分，点M为线段AD的中点，BM=6cm，求CM和AD的长.方法利用方程思想求线段长2解题秘方：画出如图6.2－31所示的示意图.根据BM=AM－AB，列方程求解.例7

方法点拨利用方程思想求线段长的方法：当利用逐段计算法难以求出线段长时，可考虑运用方程思想.其中将已知的线段长作为等量关系，设出要求的线段长，用含要求线段长的式子(利用它们之间的数量关系)表示已知线段，列出方程解决问题.如图6.2－32，线段AB=4，O

是线段AB

上一点，C，D分别是线段OA，OB

的中点.方法利用整体思想求线段长3例8(1)求线段CD的长.思路引导：

(2)若把“O

是线段AB

上一点”改为“O

是线段AB

延长线上一点”，其他条件不变，请你画出图形，并求线段CD的长.思路引导：

方法点拨利用整体思想求线段长的方法：当根据已知条件无法逐一计算出每条线段的长时，可根据各线段之间的数量关系，将某些线段的和或差看成整体进行计算.模型解读双中点模型：如图6.2－34，直线上三点构成的三条线段中，任意两条线段中点间的距离等于第三条线段长度的一半.如图6.2－35，已知在数轴上有A，B两点，点A

表示的数为－10，点O

表示的数为0，OB=3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A

向右运动，点N

以每秒2个单位长度的速度从点O

向右运动(点M，点N

同时出发).方法利用“化动为静法”求线段长4例9(1)数轴上点B表示的数是______.30(2)经过几秒，点M，N

到原点的距离相等？思路引导：解：设经过x秒，点M，N

到原点的距离相等.分两种情况：①当点M，N

在原点两侧时，根据题意列方程，得10－3x=2x，解得x=2.②当点M，N

重合时，根据题意列方程，得3x－10=2x，解得x=10.所以经过2秒或10秒，点M，N

到原点的距离相等.(3)点N

在点B

左侧运动的情况下，当点M运动到什么位置时，恰好使AM=2BN

？思路引导：

方法点拨1.求数轴上的点表示的数时，转化为求该点到原点之间的线段的长度，然后利用该点在原点的左侧还是右侧确定数.2.若数轴(点O

表示的数为0)上有A，B

两点，A点表示的数为a，B点表示的数为b，则OA=|a|，OB=|b|，AB=|a－b|.3.对于动点问题，用点运动的速度乘运动的时间等于运动的路程来表示线段的长度.易错点对线段的中点的理解有误

例10错解：A或B或C正解：分别画出图形，如图6.2-36所示.答案：D诊误区：C是线段AB的中点，关键要说明点C在线段AB上.考法利用线段基本事实解决实际问题1[中考·柳州]如图6.2－37，从学校A

到书店B

有①，②，③，④四条路线，其中最短的路线是()A.①B.②C.③D.④例11试题评析：本题考查了线段的基本事实，将实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．解：因为两点之间，线段最短，所以从学校A

到书店B

的四条路线中，最短的路线是②．答案：B考法利用线段的和差倍分进行计算2[新考法分类讨论法中考·包头]已知线段AB=4，在直线AB

上作线段BC，使得BC=2，若D

是线段AC

的中点，则线段AD

的长为(

)A.1B.3C.1或3D.2或3例12试题评析：本题考查线段中点的概念及线段的运算，正确运用分类讨论思想是解题关键.

答案：C1.如图，用圆规比较两条线段AB

和A′B′的长短，其中正确的是()A.A′B′>ABB.A′B′=ABC.A′B′<ABD.没有刻度尺，无法确定C2.[期末·绍兴诸暨市]如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是(

)A.两点之间直线最短B.两点之间线段最短C.两点确定一条直线D.经过一点有无数条直线B

A

D5.如图，在射线OM

上顺次截取OA=AB=a，在线段BO

上截取BC=b，则图中线段OC

的长可表示为(

)A.a＋b

B.a－bC.2a＋bD.2a－bD6.[期末·重庆荣昌区]如图，点C

是线段AB上的一点，点D是线段BC的中点，若AB=20，AC=12，则CD=________

．47.[新视角新定义型题]定义：C是线段AB(5＜

AB＜10)上的一点，若点C

将AB

分得的两条线段中，有一条线段的长与AB

的长的和是10，则称点C

是线段AB

的“圆满分割点”．已知MN=8，P，Q

分别是线段MN，PN

的“圆满分割点”，则QN的长是______．2或48.[母题教材P168习题T7]已知数轴上有点A，B，C，它们所表示的有理数分别是6，－8，x.(1)求线段AB

的长；解：AB＝6－(－8)＝14.(2)求线段AB

的中点D表示的数；(3)已知AC=8，求x.解：(－8＋6)÷2＝－1，即点D表示的数为－1.当点C在点A的左边时，x＝6－8＝－2；当点C在点A的右边时，x＝6＋8＝14.所以x为－2或14.9.[期末·苏州姑苏区]如图，C

为线段AB上一点，D

为线段BC

的中点．(1)若AB=7cm，AC=2cm，

则BD=_____cm；(2)若AB=8cm，CD－AC=1cm，求线段AC

的长度．解：因为点D为线段BC的中点，所以CD＝BD.设AC＝xcm，则CD＝BD＝(x＋1)cm.因为AB＝8cm，即