2020-2021学年江苏省如东某中学泰州某中学高二11月联考数学解析版

绝密★启用前

2020-2021学年江苏省如东高级中学泰州高级中学高二11月联考数学

一、选择题(本大题共8小题，共40分)

1.已知函数y=V-%2+2x+3的定义域为集合M,集合N={x|0WxW2},则

MCIN=()

A.[-1,3]B.[0,2]C.[0,1]D.[-1,4]

【答案】B

【解析】令一/+24+3》。得一l《x43,

所以M={x|-1<%<3},所以MCN={x|04x42},

故选B.

2.命题[2,+8),刀224”的否定为()

A.VxG[2,+oo),X2<4B.VxG(-00,2),x2>4

e

C.3x0e[2,+oo),XQ<4D.3x0[2,+8),就24

【答案】C

【解析】••・命题"Vxe[2,+8),X2>4",

•••命题的否定是三支06[2,+8),XQ<4

故选C.

3.已知二次函数f(x)=(x-m)(x-n)+l,且%i，%2是方程/(x)=0的两个根，则

X2>W,"的大小关系可能是()

A.x1<x2<m<nB.<m<x2<n

C.m<n<xx<x2D.m<<x2<n

【答案】D

【解析】/(x)=(x-m)(x-n)+1,并且%i，%2是方程/(x)=0的两根，

即有f(m)=/(n)=1./(%!)=f(x2)=0,

由于抛物线y=/(x)开口向上，可得加，〃在两根&之外，

可得A,B,C均错，。正确，

故选：D.

4,已知圆C:/+y2-2%+4y=0关于直线3x—2ay-11=0对称，则圆C中以

己一夕为中点的弦长为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

依题意可知直线过圆心（1,一2）,即3+4。-11=0,。=2.故（泉—卞=（1,-1）.

圆方程配方得（x-1）2+（y+2）2=5,（1,一1）与圆心距离为1,

故弦长为2臼=1=4.

故选：D.

5.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光

灯（如图）的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点

处，若灯口直径是20am灯深10。〃，则光源到反光镜顶

点的距离是（）

A.2.5cmB.3.5cmC.4.5cmD.5.5cm

【答案】A

【解析】

设对应抛物线的标准方程为y2=2px,由题意知抛物线过点（10,10）,

得100=2px10.得p=5,

则々=2.5,即焦点坐标为（2.5,0）,

则光源到反光镜顶点的距离是2.5.

故选A.

6.平流层是指地球表面以上10和1到50府的区域，下述不等式中，x能表示平流层高

度的是（）

A.|%+10|<50B.|x-10|<50C.|x+30|<20D.|x-30|<20

【答案】D

【解析】

解：由题意知10cx<50,

4选项，不等式可化为-50<x+10<50,即—60<x<40,不正确；

第2页，共12页

8选项，不等式可化为一5010<50,即—40<x<60,不正确；

C选项，不等式可化为-20<x+30<20,即-50<x<-10,不正确；

。选项，不等式可化为一20<》一30<20,即10cx<50,正确；

故选D.

7.在公比为q的正项等比数列｛用｝中，a4=l,则当2a2+取得最小值时，1咤2勺等

于（）

A.；B.C.iD.-i

【答案】A

22

【解析】由。4=4，及等比数列的性质可得2a2+a6=2X4xQ-+4q>

2,8q-2义4q2=诉

当且仅当q=好时取得最小值.

所以log2q=3故选A.

8.设a>0,b>0,且2a+b=l,则三+--（）

A.有最小值为2夜+1B.有最小值为e+1

C.有最小值为gD.有最小值为4

【答案】A

【解析】a>0,b>0,且2a+b=1,则0<a<土

12a12a

:.__।=__|

aa+ba1-a

1—2（1—CL）+212

=—I---------------------=—F----------2

a1—aa1-a

又！+W=G+E）（a+l-a）

=3+^+—>3+2V2,

a1-a

当且仅当与士=言，即当且仅当a=a-1时等号成立，

所以2+g的最小值为2夜+L故选人

aa+b

二、不定项选择题（本大题共4小题，共16分）

9.下列不等式成立的是（）

A.若a<Z?<0,则a2>b2B.若ab=4,则a+Z?>4

C.若a>b,则ac2>be2D.若a>b>0,m>0,则&<竺上

aa+m

【答案】AD

【解析】对于A,若QVbvO,根据不等式的性质则Q2>〃，故A正确；

对于8,当Q=—2,b=—2时，a4-h=—4<4,显然B错误；

22

对于C当c=0时，ac=bcf故于错误;

-bb+mb(a+m)-a(b+m)(b-a)m

对于。，-------=-----;---;---=-----7,

aa+ma{a+m)a(a+m)

因为Q>b>0,m>0,所以b—aVO,a4-m>0,所以()<0

aia+m)

所以巴一处巴<o,即2<处及成立，故。正确.故选AZZ

aa+maa+m

10.下面命题正确的是()

A.“a>1”是叫<r的充分不必要条件

B.在△ABC中，asinA+cosA=sinB+cosBn是“A=B”的充要条件

C.设x,yeR,则“x>2且y>2”是“小+y2>4”的必要而不充分条件

D.设a,bGR,则“aH0”是“abH0”的必要不充分条件

【答案】AD

【解析】对于A,由三<1可得a>1或a<0,

a

所以“a>r是“5<1”的充分不必要条件，故A正确；

a

对于B,由sin/4+cosA=sinB+cosB,可得疝i(j+*)=sin(B+,

所以.A+g="+；或A+]+B+J=7T,即A=B或,4+B=1，

所以“sinA+cosA=sinB+cosB”是uA=Bn的必要不充分条件,故B错误;

对于C,设x,y6R,由x22且y22可得M+y224,反之不成立，

则“x22且y22”是+丫2>4”的充分不必要条件，故C错误；

对于。，由ab片0可得aH0,反之不成立，

所以“a短0”是“ab#0”的必要不充分条件，故。正确，

故选AD.

第4页，共12页

11.已知双曲线\一，=l（a〉O,b〉O）的左、右焦点分别为尺，F2,尸为双曲线上一

点，且仍0|=2仍员1，若sin/FiPF2=半，则对双曲线中a，b,c,e的有关结论

正确的是（）

A.e=V6B.e=4C.b=y/5aD.b=V3a

【答案】ACD

【解析】IPFJ=2\PF2\,

•••由双曲线定义可知:IPFJ-\PF2\=\PF2\=2a,AIPFJ=4a,

由sinNFiPEi=—，得cos乙&PF2=±；.

1

在APFiF2中，由余弦定理可得：丝*竺七空=±3,

12x2ax4a4

解得，底=4或a=6,

•••c—2a或c=V6a>

:，b=y/c2—a2=百a或b=Vc2-a2=V5a»

e=~=2或几，

.•.8选项的结论错误，故选ACD

12.在数列｛a"中，若嫌一嫌_1=2（7122/£/7*/为常数），则称｛6｝为“等方差数

列”,下列对“等方差数列”的判断正确的是（）

A.若｛an｝是等差数列，则｛册｝是等方差数列

B.｛（一1严｝｝是等方差数列

C.若｛an｝是等方差数列，则｛akn｝（keN*）,/c为常数）也是等方差数列

D.若｛a“｝既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列

【答案】BCD

【解析】对于4,若｛%｝是等差数列，如斯=心

则联—an-i=n4—（n—I）4=（2n—l）（2n2—2n+1）不是常数,

故｛吗｝不是等方差数列，故4错误；

对于8,数列｛（一1为中,成一碎_i=［（T）呼一［（一1）"-平=0（常数）,

｛（一1尸｝是等方差数列，故B正确；

对于C,数列｛6｝中的项列举出来是，即，。2，…，ak'a2k'

数列｛akn｝中的项列举出来是，ak^a2k>…，

（或+1-破）=（或+2-或+D=（或+3-或+2）=…=（喙-吸-1）=P，

二（成+1-al）+（磕+2—或+1）+（或+3-或+2）+…+（a金-a泉-1）=切，

（a金—或）=kp,■1•（dfc（n+i）—a短）=kp,

■■｛akn｝（/cGN*,k为常数）是等方差数列，故C正确；

对于是等差数列，

**,Q九=d9

・・・｛a"是等方差数列，

«n-Wt=p,

二（an+an-i）d=p，

1°当d=0时，数列｛a,J是常数列，

2。当dHO时，〃为偶数时，册=畀袅〃为奇数时，an=；合数列5｝是常数歹U，

综上数列｛aj是常数列，故。正确.

故选BCD.

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.已知正数x,y满足3xy+y?-4=0,则3x+5y的最小值为。

【答案】8

【解析】

•.•正数x,y满足3xy+y2-4=0,

C4

・•・3x=——y,

y

・••3x+5y=（+4y>2J；•4y=8,

当且仅当j=4y,即y=i时取等号，

3x+5y的最小值为8.

故答案为8.

14.抛物线C:y2=2x的焦点坐标是；经过点P（4,l）的直线/与抛物线C相交

于4,8两点，且点P恰为A8的中点，/为抛物线的焦点，则|而j+|FF|=

【答案】C，0）；9

第6页，共12页

【解析】

由抛物线C：y2=2x,得2P=2,p=1,则］=J

•••抛物线的焦点尸G，0).

过A作4M_L准线，BN_L准线，PK_L准线，M、N、K分别为垂足,

则由抛物线的定义可得|4M|+\BN\=\AF\+\BF\.

再根据P为线段A8的中点，有“|AM|+\BN\)=\PK\=l，

■.\AF\+\BF\=9,

故答案为：G，0），9.

15.过P(2,2)作圆C：(x—l)2+y2=i的切线，则其切线方程为

【答案】x=2或3K-4y+2=0

【解析】圆C：(x—l)2+y2=1的圆心为(1,0),半径为1,

(1)当过点(2,2)的直线垂直于x轴时，

此时直线斜率不存在，方程是x=2,

•••圆心。(1,0)到直线的距离为d=1=r,

••・直线x=2符合题意；

(2)当过点(2,2)的直线不垂直于x轴时，

设直线方程为y—2=k(x—2),即kx-y-2k+2=0.

•.•直线是C(》一1)2+丫2=1的切线，

.・•点。(1,0)到直线的距离为d==1,解之得k=

此时直线方程为3x-4y+2=0.

切线方程为x=2或3%-4y+2=0.

故答案为久=2或3%-4y+2=0.

16.若关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+8),则关于x的不等式誓>0的解集

X-Z

是.

【答案】(—1,2)

【解析】由题意得，ax-b<0的解集是(1,+8),

则广1,

la<0

而不等式笔>0等价于a(%+1)(%-2)>0,

X—2

即(％+1)(%—2)<0,

解得—1<x<2,

所以不等式箸>0的解集是(-L2)；

故答案为(一1,2).

四、解答题(本大题共6小题，共72分)

17.已知圆C：(X-3尸+(y-4产=4.

(I)若直线/过点4(2,3)且被圆C截得的弦长为2次，求直线/的方程；

(U)若直线/过点与圆C相交于P,Q两点，求ACPQ的面积的最大值，并求

此时直线/的方程.

【答案】(I)圆C的圆心坐标为C(3,4),半径R=2,

•・•直线/被圆E截得的弦长为26，二圆心C到直线/的距离d=1.

(1)当直线/的斜率不存在时，/：x=2,显然满足d=l；

(2)当直线/的斜率存在时，设/：y-3=fc(x-2),即kx-y+3-2k=0,

由圆心C到直线/的距离d=l得：芈吗=1，解得k=0,故/：y=3；

vl+fcz

综上所述，直线/的方程为久=2或y=3

(!!)•••直线与圆相交，的斜率一定存在且不为0,设直线/方程：y=k(x-l),

即kx-y—k=0,则圆心C到直线I的距离为d=警整，

/vl+kz

第8页，共12页

又「△CPQ的面积S=1xdx2V4—d2=y/d2(4—d2)=(-(d2-2尸+4,

・••当d=鱼时，S取最大值2.由d=隼瞿=VL得k=l或k=7,

vl+fcz

二直线/的方程为x-y-1=0或7%-y-7=0.

18.在①%,。2成等差数列，②%，a2+l,。3成等比数列，③$3=：，三个条件

中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.

已知％为数列｛须｝的前〃项和，3Sn=an+2ai，(n€N*),%片0,且____.

(1)求数列｛Qn｝的通项公式；

(2)记g=一log?成，求数列｛bn｝的前〃项和〃.

【答案】解：选①，

(1)・；口1，：,口2成等差数列，二。1+。2=5

v3sH=@九+2alf

・••3(%+a2)=a2+2%,即%+2a2=0，

Y1

・•・Ql=1，@2=-5，

•・,当n>2时，3Sn_i=Qn_i+2QI，

・•・3a=3S—3S_i=Qn—an-i»•*,T-2-=-2,

nnnan-i』

二数列｛a,J是以1为首项，-沙公比的等比数列，

斯=(一旷:

2

(2)-bn=-log2an=-log2(-0=-log2=2n-2.

数列｛b｝的前n项和7；=0+2+4+…+(2律-2)=吟卫=n2-n.

2

19.已知等差数列｛&J的前“项和为又，Sn=n+n+m.

⑴求m的值;

(2)已知%=^-+2an,求数列｛%｝的前"项和

2

【答案】(1)5rl=n+n+m,

当九>2时，Sn_1=(九一I)?+九一i+爪,

两式相减可得Qn=2n,

・・•{an}为等差数列，

・•・当九=1时，%=2+m=2,

Am=0,

2

(2)由(1)可得Sn=n+n=n(n+1),

..飞弋+2斯=儡+22"=(^^)+4”，

11111114(1一4n)

A7^=(1--+---+---4-•••4-------------)+

nk22334nn+Y1-4

Y1,1477+144n+111

1---------F-x4n+1——=-------------------

n+1333n+l3

20.已知p：%2—7%+10<0,q：x2—4mx+3m2<0其中m>0.

(1)已知m=4,若pAq为真，求x的取值范围；

(2)若7?是"的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

【答案】解：(1)由M—7%+10V0,解得2VXV5,

所以p02cx<5；

对于不等式—4mx+3m2<o,

因为一：V2+：+24-；，解得M<%<3ni,

3A2

所以q<=>m<x<3m.

当一2V—4?」<一工时，，qQ4Vxe12,

33m2+4—2

又m2为真,p,q都为真,

所以4<x<5,

即x的取值范围是(4,5)；

(2)由m<-卓是「p的充分不必要条件，

・•.p为q的充分不必要条件，

由(l)p<=>2<x<5,q<=>m<x<3m,

第10页，共12页

m<2①

3m>5(2),且①②不能同时取等号，

m>0③

/.-<m<2,

3

・•.实数m的取值范围是自21

21.设函数y=QM+%一匕(QcbER).

(1)求不等式y<(2a+2)x-b-2的解集;

(2)当Q>0,h>1时，记不等式y>0的解集为P,集合Q={%|-2-t<x<-2+

t}.若对于任意正数r,PCQ力。，求;一3的最大值.

【答案】

解(1)lily<(2a+2)x-b-2得a/_(2a+l)x+2V0,即(ax-l)(x-2)<0.

(/)当a>0时，不等式可以化为—2)<0.

①若0,则*2,此时不等式的解集为(2,*;

②若。=也则不等式为。一2¥<0,不等式的解集为a;

③若a>：,则5<2,此时不等式的解集为(%2).

(口)当a=0时，不等式即-x+2<0,此时不等式的解集为(2,+8).

(〃)当a<0时，不等式可以化为(x-》(x-2)>0,解集为(一8,》〃(2,+8).

综上所述，第a<0时，不等式的解集为(-8,》U(2,+8)；

当Q=0时，不等式的解集为(2,+8)；

当0<a<衬，不等式的解集为(2,；);

当。=泄,不等式的解集为0；

当a>决寸,不等式的解集为(；,2).

(2)集合Q={x\-2-t<x<-2+t}

又PCQ手所以满足当x=—2时，函数y>0,即4a-2-b>0,所以4a>b+2>3,

11,413b-2…6-„..t+2

正一/再？记t=3b-2>l,此u时匕=丁，

1141_3b-2_9t_91

则益~~b~~b+2~b~b(b+2)~~(t+2)(t+8)~~tTy+lO-