“双减”初中数学八年级上册单元整体作业设计案例

基于双减"核心素养”下的小单元整体

作业设计

一以北师大版八年级上册《2.2平方根》为例

学段I八年级I学科I数学

【课标要求】

L了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根；

2.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平

方根。

【学业要求】

1.知道平方根、算术平方根的概念，会用根号表示平方根、算术平方根;

2.知道乘方与开方互为逆运算，会用乘方运算求百以内完全平方数的平

作方根。

业【作业目标】

口1.知道平方根的概念、开平方的概念，会用根号表示平方根；明确算术

标平方根与平方根的区别与联系.

2.进一步明确平方与开方是互为逆运算，会用乘方运算求百以内完全平

方数的平方根。

【设计原则】

基于课标中的单元整体教学，针对研究路径相似的教学内容，整体进行

作业设计，帮助学生感受一类知识的研究方法，激发学生探究更多相关知识

的兴趣。

【核心素养】

运算能力、推理能力、符号意识、应用意识、创新意识

≪2.2平方根》作业内容

一•总结反思类作业：全体同学完成完成时间：5分钟

复习回顾算术平方根与平方根的相关知识：作业设计说明：

1.算术平方根2.平方根1.复习回顾基

［定义］___________________

［定义］_________________________础知识，辅助完

成本节作业内

【性质】

【性质】容；

正数的平方根是____,互为______；

算术平方根具有0的平方根是______；

2.给出算术平

负数的平方根是______。

【运算】【运算】

方根、平方根明

(1)900的算术平方L(I)言的平方根________,用数学式

根__________,

确的研究路径，

用数学式子表示为：_________子表示为：____________________

(2)H的算术平方根______(2)11的平方根________________

64帮助学生为后续

(3)V?=______；(√α-)2=____α≥0)

(3)计算√0.04=__________研究立方根作铺

2.平方运算与开平方运算互为__________

垫。

【应用】【应用】

二、知识技能类作业完成时间：20分钟

题组一：作业设计说明：

【题作业改编

1.下列各数中没有平方根的是()1-5

来源】教材29页随

A.OB.-1C.10D.IO2堂练习1、习题

1.2.3

【作业设计意图】

2.16的平方根是()

『5题围绕本节课

的重点知识(平方

A.±4B.24C.±√2D.±2

根)做适当的练习，

3.〃的平方根为________；J(-8)2=________.在不同的变式练习

中加深对平方根意

义的理解。

4.求下列各数的平方根：

(1)0.01；⑵2(；(3)(-13)2.[6-9题作业改编

来源】

5.求下列各式中的X.教材29页随堂练习

2、习题4

【作业设计意图】

(1)16X2=81;⑵(X-3)2-25=0.

6-9题重难点辨析

题组二：(√a)2=a(a为非

6.(W的平方根是_________,平方根等于±7的数数)；

Va^=∣a∣(a为任意

是________•

数)•

7.若5x+4的平方根为±3,则X=________.

[10-14题作业改

8.若(《)J|,贝UX=______；若F^=3,贝!|X=______.编来源】

教材29页随堂练习

9.若(X-I)J4,贝IJX=________.3、习题5、6

【作业设计意图】

10-14题通过拓展

题组三：(学有余力的同学完成)提升，使学生深刻

理解概念，灵活应

10.如果g有意义,那么X的取值范围是________.

用概念解决问题，

提高学生分析问

U.Vi石的平方根是______,16的算术平方根是______.

题、灵活解题的能

12.已知(a-3)2+lb-41=0,则？的平方根是________.力.

本环节通过三个题

13.一个正数的平方根是2aT与-a+2,则a=________,这

组的强化训练旨在

培养学生的符号意

个正数是________.识，提升学生的运

算能力、推理能力。

14.若y-Vx-I+√l-x+2,求x+y的平方根.

三、趣味探究类作业完成时间：5分钟

15.研究下列算式，你会发现有什么规律？作业设计说明：

JlX3+1=,4=2;J2x4+l=j9=3;J3χ5+1=J16=4；J4χ6+1=通过规律探究问

J25二5・•••题，帮助理解平

请你找出规律，并用公式表示出来.方根运算，并通

过探究含有平方

根的数字规律，

16•先观察下列等式，再回答下列问题：培养学生的推理

111111能力。

①卡+/+级=1+ΓI71-」5；

11111

②"+2232=1+22+1=16；

③寸+32+42=1+33+1=12,

（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想本+"的

结果，并验证；

（2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的

式子表示的等式（n为正整数）.

四、数学素养类：解读平方根与算术平方根完成时间：不限时

平方根与算术平方根是中学数学中两个十分重要的、也是最作业设计说明：

学生通过阅读对平

容易混淆的概念，稍不注意，就会出现类似："4的平方根是2”，

方根与算术平方根

“后=±3”，“痛的平方根是±4”的错误•为了避免类似错误的解读，从不同角

度理解两者的区

别，进而引发后续

发生，下面将这两个概念之间的联系与区别解读如下：

对研究立方根的深

度思考，培养学生

一、从定义的不同来区分

应用意识与创新意

识。

如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根.换句

话说，若x\a,则X就叫做a的平方根.例如，于=4,(-2)2=4,

所以，2与-2都是4的平方根，即是4的平方根是±2.

正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根.例如，9的算术平

方根是3,即:方=3.

总之，若d=",贝产=±g,其中±6是X的平方根，6是X的算

术平方根(这里的α>0)

二、从运算的结果来区分

一个正数有两个平方根，它们互为相反数；一个正数的算术平方

根是一个正数；0的平方根与算术平方根都是0;负数没有平方根

与算术平方根•由此可见，平方根包括了算术平方根•例如，4的

平方根是±2,4的算术平方根是2.

三、从记法的差异来区分

非负数a的平方根记为±石，而非负数a的算术平方根是记为

&.例如，±"表示4的平方根，即±〃=±2；"表示4的算术

平方根，即4=2.

四、从两个概念的综合应用来区分

如求师的平方根.此题包含了两层意思：（I）J比表示16的算术

平方根，即J比=4；（2）求廊的平方根，也就是求16的算术平

方根4的平方根，即±"=±2.因此，"痛的平方根是±2"才正

确.

一般地，对于求形如J/的平方根，实际上是求同的平方根，它

涉及到平方根与算术平方根两个概念，解题时必须认真区分•

五、从作用的不同来区分

解题时，遇到开方，就必须涉及到平方根和算术平方根.例如，

已知/=25,求X的值，由题设可知，即是求25的平方根是多少？

由此求出x=±岳=±5；又如，已知一个正方形的面积是25,求其

边长X.因为正方形的边长不能为负数，所以，这里是求25的算

术平方根，即χ=后=5.一般而言，对于x2="（α20）,若X不附

于任何实际意义，则X取平方根；若χ2。，则X取算术平方根.

思考：通过阅读以上内容，类比前面对算术平方根与平方

根的学习，你能独立研究立方根吗？四次方根呢？五次方

根呢？

一、二类作业评价:

秆耍

2.2平方根

5.求下列各式中的X.

任务一：复习回顾算术平方根与平方根的相关知识(l)16x,-81;(2)(x-3),-25-0.

1.算术平方根2.平方根

厘］库电,»¥日/岁，句7题组二二∙/:±

样"<,ZA⅜力方M<⅜1⅜¾X第阪Z∕⅛‘:a我以修/玄M效6.(-5)‘的平方.7的数是

久咳%⅜一/色而咏垓中白C)7.若5x+4的平方根为±3,则X-.

【性质】近必招

正嚣;方根是基=/为:^^8.若(√x)/则X=.才上^£?

算术平方根具有双重非乡也/,

Q的平方根是庄厚JZ9.若(x-l)-4,则x∙3步"./

负数的平方根是五/题组三：/

续算】"/10.如果我2有意义，那么X的取值范围是工交/

(1)900的第术平方根叱.

(1)含的平方根三互二,用数学式子

用数学式子表示为：疵70Z11.房的平方根是W^_：16的算术平方根是±/

V表示为：士盾:±号J/

唠的算术平方根元、//

(2的平方产±而Z.已知,赈的平方根是^/.

(2)11J12(a-3)+1b-41-0,⅛

(3)计算√δ/-。2/(3)V?=//;(√α^2≡α

一个吟教的平方根是与则或力

J.α≥O)/Vz13.,2a-l-a+2,a=J.,这个正数

v是/呼"

【应用】【应用】

任务二：闯关题组14.箸j∙≡√jE"+√l-x+2,求x+y的平方根.

题组一：帚*斤小沁以丑

1.下列各数中没有平方根的是(

A.OB.-1二d力铝；尸/

任务二：规律及究..4也笫徒呈土花

2.16的平方根是

15.研究下列算式，你会发鱼看亮行律？

A.±4B.24C.±√2D.±2

Vl×3+1=«=2;<2x4+1=6=3;J3χ5+I=VT^=4.J4x6+1=

3.C的平方根为土叵/J丽，

.求下列各数的平方

4M√25-5;...

J(1)0.01;⑵弓；(3)(-13)*.请你找出规律，并用公式表示出来.

步.出可*4吊哼

4阿同i↑=向？:/""=上I•

「.士窥:力5/

哨

2.2平方根5.求下列各式中的X.①纵马/时/

任务一：复习回顾算术平方根与平方根的相关知识(l)16x,-81;(2)(x-3)'-25=0.X=gJ

代丘"⅛S平号®当卜

1.算术平方根2.平方根RJ

XxiM牛卜星通X=∙2J

【定义】，做理.,破"1底教放］［定义JW¾■加,网M一豆人斛子闩题组二：*土治VX-i-±5网

⅜JO,即了以捷律端*6.(-5)■的平旁根聂土1/.平方根等于±7的数是I.

7.若5x+4的平方根为±3,RiJX=I、/

【性质I

【性质】一.8.若(√5∂,≡∣,则X=~gy⅜√^-3,则x∙B弋/

正数的平方根是工黑/Q为/目雄攵

算术平方根具有豆蛀负&_9.若(x-l),-4,则X=减4J

0的平方根是_

负数的平方根是_XPZ

【运算】【运算】10.如果√5U有意义，那么X的取值范围是XZZ“/

(1)900的算术平方根'¾O,(1)含的平方根仔，用数学式子

用数学式子表示为：痴女VZll.√π的平方根是土7/16的算术平方根是4、/

表示为：上J⅞:±析/

(2)g的年术平方根^⅞^J

(2)11的平、报±R7

12.已知(a-：

(3)计算疝/-0.2»/(3)Va^*IQ∣^y(√α^12-/^∕

L一或］/.这个正数.

13一个正数的平方根是2a-l与-a+2,则a，

【应用】【应用】是与慎L当OF咐弋H:评左的「U当(XF电.2"；

任务二：闯关题组

14.若y-6?"+√1-X+2,求x+y的平方根.r-勺T心力0

题组一:r曲吼仲,。2%一.、、、阿:害T一咿〃

1.下列各数中没有平方根的是(

A.OB.-lC.IOD.

任献7雯

2.16的平方根是3¾

研究下列算式，你会发现有什么规律？

A.±4B.24215.

Jlχ3+1.74«2;<2x4+1.Q.3;,3x5+1=Vi^=4;<4x6+1

3.C的平方根为加.：#7豆话-*^/

4.求下列各数的平方根：'

(1)0.01;(2)2∣;(3)(-13),∙请你找出规律，并用公式表示出来.一,______.\

吊二婀解G若闸L还照

-±0∙∣JZ.-,1®：、切研:涉

∙.∙n.∣.2

学生书写规范，能灵活运用所学知识解决问题

巾包击.初丸Uw

2.2平方根

5•求下列各式中的x∙

任务一：复习回顾算术平方根与平方根的相关知识(l)16x,≡81;(2)(x-3),-25-0.

M浊

11OWj二25"

1•算术平方根2.平方根

题组2l*tzz∖K%j本玄7

［定义］书械I.陈寸扑暮∏R7［定义］不抵，也王谓故j鹤!-F=9或"

}*胃久肉7泣女人仇⅜,米执得.久υ弘故Λ书M∣½6“寄⅜^⅞就6.(-5)‘的平方根是土鼠，平方根等于±7

7.若5x+4的平方根为~%徊

【性质】【性质】8.若(√x)胃则X=大者浦用=3,则x∙+，/.

正数的平方根/是L理裁为重婚

算术平方根具有立工i物纥乙,,x

0的平方根是OJz;9.若(x-l)-4,则X-⅛V∕/

负敏的平方根是1弘•无二/题组三：▽

【运算】如果有意义，那么的取值范围是力2/

【运算】J10.√5UXX∙

(1)900的算术平方打力/，(1)含的平方根二Jy用数学太子

用数学式子表示为：拉/

4WJ表示为：统二:/

⅛11.压的平方根是会.M的算术平方根是_⅛y/

(2)≤的算术平方根感;¥、/

的平方根五行痴，

(2)1112.已知(a-3"+lb-4∣-0,则g的平方根是士Jz

(3)计算√5函-0-2J(3)√a7*K/:C√5Y∙久,

-LaNO)夕小一个正数的平々根是2a-l与-a+2,则a--I这个正数

【应用】【应用】是-3_^..吨一

任务二：闯关题组

M.若y=√j∏+√l-x+2,%x+y的平方根.

题组一：

郁「飞》0/-X力o\"—W

1.下列各数中没有平方根的是

A.0B.-1C.10A"VJf5

任务三：规律探究"

2.16的平方根是(A»

研究下列算式，你会发现有什么猊律？

A.±4B.24C.土0D.±215.

√1×3+1.√4.2;√2×4+I-√9.3;√3×5+l.√I6≡4；√4×6+l.

3.α的平方根为

4.求下列各数的/抵√25-5;...

(1)0.01;⑵考⑶(T3)'・

请你找出1»律，并用公式表示出来.

腐哪》iW^√而I需二夕储且以I$乂

血杀:向■:Inrl=W

-Jn»I出⅛1宓靓

学生基础知识已基本掌握，但存在审题不清的情况,以及灵活应用方面有待提高

2.2平方根

5.求下列各式中的X.

任务一：复习回顾算术平方根与平方根的相关知识(l)16xi-81:.,(2)(x-3),-25-0.

B昨落

1.算术平方根2.平方根：(设**

z

［定义］支WgP里Tr⅜‰旅？题组。7^"一,..%x¾∕^2-

∙7α,⅞Jjx%∙93断击移卞*∙⅜%uα,H加ZW"片&7影76.(-5)；的平方根是土'a/.彳方根等于±7的数是逝X.

就a%⅜才、力年/EoM"女故叨怨/___________7.若5x+4的平方根为±3(则X-_^Z_.5*4=7；,√oFβ13

【性质】【性质】h^∙lLZ

正效的平方根避^互为^^f8.若(例%则X=外猪庇3,则Xηa4.(而大09"

算术平方根具有或负z⅛［我⅛)

0的平方根是」79.若(x-l),-4,则X=W夕沁X

负数的平方根是a登一彳0题组三：I•年3取.

【运算】Wa/【运算】10.如果&2而疼'义，那么X的取值范围是X£"X.

(1)900的算术平方根卫:_，()拼的平方根宝上，用数学式子

1χ-2力。X^Z-

用数学式子表示为：俪二%VZ

表示为:虚*11.代的平方根是母/.】6的算术平方根是Z-XC二中•

(2)≡的算术平方根)\/

12.已知d-3)‘J±4∣¢0,则g的平方根是金^^；

(2)1】的平方根叫士加JS

(3)计算√O^=OX(3)幅=El/(√s^y=久/

_LaNO)WF13.三个/&山平~方根是2a-l与-a-2,则a=IW|.这个正数

【应用】【应用】是生C小+f十Ζ2T

任务二：闯关题组'•,____⑨十=CV.*T

1.-^^14.若y=灰I+√1-X+2,杀x+y的申为根.

题组一：

•AT天。，I-X刁°；.A

L下列各数中没有乎方根的是(J)X^,H∙2>3.

：.X-|=I-X=O"∣∙⅛

A.0B.-1C.10

2.16的平方根是(C)N任务三：规律探究-∙J*i

A.±4B.24C.±AD.±215.研究下列算式，你会发现有什么规律？

Jlχ3+l."・2;J2x4+1=代=3;J3χ5+1=Vi^=4.√4×6+l.

(1)0.01;(2)2⅛⑶(-13))请你找出规律，并用公式表示出来.

±/f^t二土觌二做

士年出：X

:MSf二±1，^^^4∏X(∣阀力-

学生算术平方根与平方根的概念混淆，理解不清以至于没有达成学习目标

三类作业评价：

任务二：规律探究庵闹接星比.

15.研究下列算式，你会发励㈱么躺？

Jlx3+1=^4=2*,2x4+1=V^=3•,3x5+1=V^6=4•,4x6+1

V^=5;•・「

请你找出规律，并用公式表示出来.

痴而^:倔AI叶Ik伙+、•

16.先观察下列等式，再回答下列问

（1）请你根据上面三个等式提供的信息猜患尸的结果，并

验证；魏痴证：宅怨芷幽引号-新5

（2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式

—砒^七击喘

学生观察细致准确，思路清晰，书写规范，运用灵活

任纪1^≡=3

0哥完下列真大，*⅛λt*tl**τ

而Tn八口.2；j2"*1.、用.3；6n"1.而"；"*6*1.

4你找Ibiur#用公式**出来.一I

向皿河噌mIN

∙.。n,∣@砧学融

16.先川*下列第大.H圆3下另用0：

φV34∙∣.3)♦!.12.

(i)⅛∣M*i≡Ξtfm⅛tfe.*』■》♦歹的婚IL弄

.*JΛ^:七

(2)清保按且上M备*大反映的Hit.*写出用含n的丸子兼水耳5，

("正MU—"

二I葭研小吃）

任务三：规律探究-'------------—

15.研究下列算式，你会发现有什么规律？

Jlx3+1=〃=2;,2x4+1=祈=3；,3x5+1=Vi^=4；,4x6+1

√25≡5;../

请你找出规律，并用公式表示出来.

j^∣⅛dHτr^ι

Tnz旦夕2女比工

16.先观察下列等式，再回答下列问题:

■]+22+1≡6•

（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想V+不+亨的结果，并

验证；加佣UAHW-Jn