2020-2021学年新人教A版（2019）高一数学暑假作业综合六（含解析）

综合六-【新教材】人教A版（2019）

高一数学暑假作业（含解析）

一.单选题

1.设i-z=4—32为虚数单位），则复数z的虚部为（）

A.—4B.4C.—4iD.4/

2.已知在〃?、，?、小O表示直线，a、/?表示平面，若mca,nca,lrc/?,l2c/?,

S2=M,贝Ua〃夕的一个充分条件是（）

A.他〃夕且k〃aB.m///3S.n//pC.且n〃%D.m//l^n//l2

3.在AaBC中，已知AB=AC,D为8c边中点，点。在直线AD上，且庶.诙=3,

则3c边的长度为（）

A.V6B.2V3C.2V6D.6

4.函数/。）=谭3的图象大致是（）

A

-〜-7'

5.ZkABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知bs讥C+csinB=4QS讥8s讥C,

b2+c2—a2=8,则△力BC的面积为（）

A.遮B.延C.V3D.更

334

6.如图，在透明塑料制成的长方体/BCD-aB1CiA容器内灌进一些水，将容器底面

一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：

①水的部分始终呈棱柱状；

②水面四边形E尸GH的面积不改变;

③棱&Di始终与水面EFGH平行;

④当441时，AE+BF是定值.

其中正确说法的是（）

A.②③④B.①②④c.①③④D.①②③

7.已知平面向量五万片均为单位向量，且了大=0,则|五+9一码的取值范围是（）

A.[V2—1,>/2+1]B.[1,V2]

C.[V2-1,1]D.[V2,V3]

Inx-~,x>0

X则函数y=/l/（x）+l]的零点个数是（）

{%2+2x,x<0

A.2B.3C.4D.5

在斜三棱柱中，乙。，则在底面上的射影

9.4BC-4B1G4cB=90ABr1BC,ABC

“必在（）

A.直线AC上B.直线BC上C.直线48上D.AABC内部

多选题

10.如图所示，为正方体，给出以下四个结

论中，正确结论的序号为（）

A.4cl1平面CBiDi

B.ZG与底面ABC。所成角的正切值是企

C.二面角C-B1D1-C1的正切值是企

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D.若点。是8。的中点，则。力J/平面C&D1

11.下列说法中错误的为()

A.已知3=(1,2),方=(1,1)且方与五+4方的夹角为锐角，则实数4的取值范围是

(-|,+8)

B.向量可=(2,-3),逐=G,一》不能作为平面内所有向量的一组基底

C.非零向量落K，满足|矶＞|方|且有与嗣向,则-

D.非零向量方和B，满足|五|=|方|=|弓—石则有与五+四的夹角为30。

12.已知人b是两条不重合的直线，a、£是两个不重合的平面，则下列命题正确的是

()

A.若a_La,Q±H，贝ija///?

B.若a_La,h1a,则a//b

C.若a_Lb,bLa,a///?,则

D.若。〃氏。与a所成的角和b与/?所成的角相等，贝ija〃匕

三.填空题

13.已知复数z=7；^%,则zi=____.

(1-V302

14.在44BC中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为质,c-a=2,

cosB=:，则b的值为__.

4

15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后

遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两

点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CO=45m,^ADB=135。,NBOC=

^DCA=15°,乙ACB=120°,则43两点的距离为m.

16.已知五=(2,3),b=(-2,4).向量五在方上的投影向量____.

17.已知函数/(%)=gsinx+4cosx,x&R,则函数/(x)的最大值是,且取到

最大值时x的集合是.

18.在边长为2的正方体ABCD-4B1GD1中，点M是该正方体

表面及其内部的一动点，且BM〃平面ADiC,则动点M的轨

迹所形成区域的面积是.

19.已知/(%)是定义在R上的偶函数，且在[0,+8)上单调递增.若对任意xeR,不等式

f(a+k-b|)2/(|x|-2|x-l|)(a,beR)恒成立，则2a2+炉的最小值是

20.仇章算术少是我国古代数学名著，书中将四个面均为

直角三角形的三棱锥称为鳖腌.如图，三棱锥P-ABC为

鳖嚅，且PA平面ABC,AC=BC=1,PA=y[2,则该

鳖席外接球的表面积为.

四.解答题

21.如图，在正方形ABC。中，点E是8c边上中点，点尸

在边CD上.

(1)若点尸是8上靠近C的三等分点，设前=4四+

求4+〃的值.

(2)若4B=2,当荏.乔=1时，求。尸的长.

22.在△ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,csinA+y/Sasin^C+^)=0,

c=6.

(1)求△48C外接圆的面积；

(2)若°=g》AM=^AB,求△ACM的周长.

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23.设函数/(x)=4sina)xcos(^a)x-g)-1的最小正周期为兀，其中3>0.

O

(1)求函数f(x)的递增区间；

(2)若函数g(x)=/(x)+nt在xe哈印上有两个不同的零点x2>求实数”的取

值范围.

24.已知四棱锥P—ABCD,PA1PB,PA=PB=V2,4。_L平

面PAB,BC//AD,BC=3AD,直线CD与平面PA3所成

角的大小为%M是线段AB的中点.

(1)求证：。。，平面/5/*/；

(2)求点例到平面PCD的距离.

25.如图所示，摩天轮的半径为40〃?，。点距地面的高度为50〃?，摩天轮按逆时针方向

作匀速转动，且每2min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点.

(I)试确定点P距离地面的高度做单位：m)关于旋转时间t(单位：m讥)的函数关系

式；

(口)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m?

26.如图所示，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC,且使

两个三角形所在的平面互相垂直，若NB4C=90°,AB=AC,

乙CBD=90°,乙BDC=60°,BC=6.

(1)求证：平面ABDJ■平面ACD；

(2)求二面角4-CD-B的平面角的正切值；

(3)求异面直线AD与BC间的距离.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：:i-z=4-3i,

_4-3i_(4-3i)i_4i-3i2

Z—"","—"——-3—43

复数Z的虚部为-4,

故选：A.

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数的虚部概念得答案.

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的虚部的概念，是基础题.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查两个平面平行的判定定理的应用，明确已知条件的含义是解题的关键，属于基

础题.

根据题意，要使a〃夕，只要一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行即可.

【解答】

解：由题意得，加、力是平面a内的两条直线，

人、%是平面夕内的两条相交直线，要使

只要一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行即可，

故选。.

3.【答案】3

【解析】解：在MBC中，由4B=4C,。为BC边中点，点。在入

直线AO上，且瓦;.布=3，/\

结合图象可得|而|•|布|cos＜就，前＞=3，/

即9后?2=3,所以|BC|=诧./|',

故选：A.

画出图形，利用两个向量的数量积的定义求出结果.

本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，是基础题.

4.【答案】A

【解析】解：函数的定义域为R,7'(-%)=需品=曲=—f(x)，

即函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故可排除选项8,C；

2

当XT0+时，sinx>0,ln(x+2)>0)?^^>0,故可排除选项D

故选:A.

由函数的奇偶性排除选项BC,由函数值的正负排除选项D,进而得解.

本题考查根据函数解析式确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：由正弦定理知，金=急

sinC

•・•bsinC+csinB=4asinBsinC,

：•sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,§\^2sinBsinC=4sinAsinBsinC,

i

vsinBsinCW0,八sinA=

由余弦定理知，COSA=b2+尸

:-cosA=V1—sin2/l=--

2

...3=立,即be=这，

be23

・•.△ABC的面积S=-besinA=-xx-=亚

22323

故选：B.

利用正弦定理化边为角，可得sin/=g由余弦定理知，cos4=f>0,再结合同角三

2be

角函数的关系式，可得松的值，最后由S=[bcs讥4得解.

本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式是解题的关键，

考查转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

①水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面判断即可；

②水面四边形EFGH的面积改不改变；可以通过EF的变化EH不变判断正误;

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③棱4D1始终与水面EFG”平行；利用直线与平面平行的判断定理，推出结论；

④当EC441时，4E+BF是定值.通过水的体积判断即可.

本题属于中档题，考查棱柱的结构特征，直线与平面平行的判断，棱柱的体积等知识.

【解答】

解：①水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面44&B平行平面CGDiD即可判断①

正确；

②水面四边形EFGH的面积不改变；EF是可以变化的，EH是不变的，所以面积是改

变的，②是不正确的；

③棱AD1始终与水面EFGH平行；由直线与平面平行的判断定理，可知所

以结论正确；

④当EC时，4E+BF是定值.水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所

以正确.

故选：C.

7.【答案】A

•••设五=(1,0),b=(0,1)，C=(x,y),则五+加一芸=(l-x,l-y)，

若下为单位向量，则好+72=1,表示单位圆上的任意一点，

•.\a+b-c\2=7(l-x)2+(l-y)2.

它表示单位圆上的点到定点P(l,l)的距离，

其最大值是PM=r+\OP\=1+&，

最小值是|OP|-r=&-1.

的取值范围是[挖一1,好+1].

故选：A.

根据题意，求出丘+石-m的表达式，分析可得表示单位圆上的点到定点P(l,l)的距离,

由点与圆的位置关系分析可得答案.

本题考查向量数量积的计算，关键是涉及向量的坐标，分析向量模的几何意义.

8.【答案】。

【解析】

【分析】

本题考查函数的零点个数问题，考查数形结合思想，属于中档题.

令t=/(%)+1,结合零点存在定理得出函数/(t)的零点匕€(1,2),母=-2,1=0,

然后作出函数t=/(%)+1,直线t=t］、t=—2、t=0的图象，观察三条直线与函数

t=/(%)+1的图象的交点个数，由此得出结论.

【解答】

Inx--+1,x>0

{(X+1)2,X<0

①当t>o时，f(t)=mt则函数y(t)在(o,+8)上单调递增，

由于/(I)=-1<0,/(2)=Zn2-i1>0,

由零点存在定理可知，存在“€(1,2),使得/(ti)=0；

2

②当tSO时，/(t)=t+2t,由/'(t)=#+2t=0,解得t2=-2,t3=0,

作出函数t=/0)+1,直线1=匕、t=—2、t=0的图象如下图所示：

由图象可知，直线t=0与函数t=/(%)+1的图象有两个交点,

直线t=0与函数t=f(x)+1的图象有两个交点，

直线t=-2与函数t=/(x)+1的图象有且仅有一个交点，

综上所述，函数丫=/丁0)+1］的零点个数为5.

故选：D.

9【答案】A

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【解析】解：•.•在斜三棱柱4BC-4/G中，

AACB=90°,ABr1BC,

BCLAC,又ACn4当=4,

•••BC1平面ACBi，BCu平面ABC,

二平面ZCBiJ_平面ABC,

•.Bi在底面ABC上的射影H必在两平面的交线

AC上.

故选：A.

由题意知要判断当在底面ABC上的射影H,需要看过这个点向底面做射影，观察射影

的位置，根据BC与一个平面上的两条直线垂直，得到BC与两条直线组成的面垂直，

根据面面垂直的判断和性质，得到结果.

本题考查棱柱的结构特征，考查直线与平面垂直的判定，考查平面与平面垂直的判定,

考查平面与平面垂直的性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

10.【答案】ACD

【解析】解：对于A,连结&C],因为B1D114C1，

九51AAlt

又&Cin/M]=&,A1C1,u平面"心，

故_L平面44道1，因为4Qu平面4&G，

所以AC11Bn，

同理可证AGLB1C,

又BW1nB]C=B1，B1D1,BrCu平面

所以4G_L平面CB/i，

故选项4正确；

对于B,连结AC,因为CG1平面A8C£>,则4GAe即为直线AR与平面A8C£>所成的

角，

故tan/C]4c=筌=乎，

故选项8错误：

对于C,设AiCiCBiA=。「连结0传,则NCOiG为二面角。一当。[-6的平面角,

所以tan"。©=能=迎，

故选项C正确;

对于。，因为40J/0C,且4O1=OC,

所以四边形401。。为平行四边形，

则04"/C0i，又。4<t平面CO]U平面CBM，

所以04〃平面CBiDi，

故选项D正确.

故选：ACD

利用线面垂直的性质定理证明4cli当久，AC,1BtC,即可判断选项A；利用异面直

线所成角的定义得到NC1AC即为直线4C1与平面A8C。所成的角，求解即可判断选项8；

利用二面角的平面角的定义得到4coic1为二面角C-&D1-G的平面角，求解即可判

断选项C；利用线面平行的判定定理即可判断选项D

本题以命题的真假判断为载体，考查了空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的

位置关系，空间角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能

力，考查化归与转化思想等，属于中档题.

11.【答案】AC

【解析】解：对于A,0+4区)=34+5>0，且440，所以A不正确；

对于8,向量可=(2,—3),宅=©,_$,满足国=4石，两个向量共线，所以不能作

为平面内所有向量的一组基底，所以8正确；

对于C,向量是有方向的量，不能比较大小，所以C不正确；

对于。，非零向量五和石，满足|五|=|石|=同—石所以以向量五和石的长度为边，构

造菱形，满足日与3+方的夹角为30。，所以。正确；

故选：AC.

利用斜率的数量积，求解实数4的取值范围判断4判断斜率是否共线，判断以利用

向量的定义判断C；利用向量的平行四边形法则判断D即可.

本题考查命题的真假的判断与应用，向量的基本定理以及向量共线，平行四边形法则的

应用，是基础题.

12.【答案】AB

【解析】解：对于A,若ala,alB，由直线与平面垂直的性质可得0〃，故A正确；

对于B,若a，a,bla,由直线与平面垂直的性质可得a〃山故8正确；

对于C,若aJLb,a〃B，则〃与0不一定垂直，而bJ.a,则a与6不一定平行，故C错

误；

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对于，若a〃氏a与a所成的角和6与0所成的角相等，可得。与a所成的角和〃与a所

成的角相等，

则。与b的位置关系可能平行、可能相交、也可能异面，故。错误.

故选:AB.

由直线与平面垂直的性质判断A与B；由空间中直线与平面、平面与平面的位置关系判

断C；由直线与平面所成角判断D

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象

能力与思维能力，是中档题.

13.【答案】；

4

|遥+甲

【解析】解：Z-Z=\z\2=6+i__4__1

(1一倔/|-2-2厨2—16-4

故答案为：

4

利用复数与共粗复数的性质，结合复数模的运算性质进行求解即可.

本题考查了复数与共扼复数的应用，复数模的运算性质的应用，考查了运算能力与转化

化归能力，属于基础题.

14.【答案】4

【解析】解：因为cosB=；,

4

所以sinB=V1—cos2B=—»

4

因为△4BC的面积为■/记=jacsinB=|acx等，解得ac=8,

又c—a=2,

由余弦定理可得台2=a2+c2-2accosB=a24-c2—^CLC=(c—a)2+2ac—|ac=

4+16-4=16,

解得b=4.

故答案为：4.

由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，根据三角形的面积公式可求ac的

值，结合已知利用余弦定理可求b的值.

本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中

的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

15.【答案】45V5

【解析】解：如图所示:

D

△BCD中,CD=45,^BDC=15°,/.BCD=/.ACB+Z.DCA=120°+15°=135°,

Z.CBD=30°,由正弦定理，得一^=等；；，解得BD=45位，

snil3505171300

△2CD中，CD=45,^DCA=15°,

^ADC=^ADB+乙BDC=135°+15°=150°,

/.CAD=15°,AAD=CD=45,

△ABD中，由余弓玄定理，^AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cos^ADB

=452+（45aA-2x45x4572xcosl35°

=452x5,

：.AB=45V5，即A,B两点间的距离为45遍，

故答案为：45V5.

根据题意画出图形，△BCD中利用正弦定理求出8。的值，△4CZ）中利用等角对等边求

出AD的值，再在△48。中由余弦定理求出AB的值.

本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查学生逻辑推理能力和运算求解

能力，属于中档题.

16.【答案】（一级）

【解析］解：N与石的夹角仇向量方在石上的投影向量为噌.总=（—2,4）=

网\b\（-2），+4，

（-?!）■

故答案为：（―3，》.

有与石的夹角0,向量行在了上的投影向量计算方法为噌・亲，依据此法可解决此题.

网网

本题考查平面向量数量积性质及运算、投影向量计算方法，考查数学运算能力，属于基

础题.

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17.【答案】1[x\x=2kn+1,k&Z}

o

【解析】解：/(%)=[sin%+,cosx=sin(%+》

则当sin(%+$=l时,函数取得最大值1,此时％+”2"+今kEZf

即x=2/czr+m，kGZ,即对应集合为{久|%=2/CTT+£,/c£Z},

6o

故答案为：1，{x|x=2/OT+%keZ}.

o

利用辅助角公式结合两角和差的三角公式，结合三角函数的最值性质进行求解即可.

本题主要考查三角函数值的求解，利用辅助角公式结合三角函数的最值性质是解决本题

的关键.是基础题.

18.【答案】2V3

【解析】解：因为平面841cl〃平面AC/,点M是该正方体表面

及其内部的一动点，且BM〃平面4£>iC,

所以点M的轨迹是A&GB三角形及其内部，

所以△4BG的面积为S=弓x(2近产=2V5.

故答案为：2V

根据平面B4C1〃平面4CD1，可得点"的轨迹是AAiCiB三角形及其内部，然后利用正

三角形的面积公式进行求解即可.

本题主要考查了面面平行的性质，以及三角形的面积公式，同时考查了转化思想和运算

求解的能力，属于中档题.

19.【答案】I

【解析[解：如图，作出函数y=||x|—

的图象,

•••/(X)是定义在R上的偶函数，且在

[0,+8)上单调递增,f(a+\x-b[)>

f[\x\-2|x-l|)(a,6eR)恒成立，

y=|cz+|x-的图象始终在y=

|闵-2|尤-1||的上方,

••.x=0时，。+闻22且620,所以{£：力'2,

2a2+b2>2(2-b)2+炉=3炉—8b+8=3(b-1)2+1>|,当且仅当“a=

|,b=g”时取等号.

故答案为：|.

由题意，y=|a+|x—b||的图象始终在y=||x|-2|久一1||的上方，结合图象可知，

{£；归2,进而得解.

本题考查函数性质的综合运用，考查数形结合思想，属于中档题.

20.【答案】4兀

【解析】解：PA1平面ABC,AB,BCu平面ABC,AB1PA,BC1PA,

又△ABC是直角三角形，AC=BC=1,BC1AC,又P4n4C=4

PA,ACu平面PAC,：.BC_L平面PAC,又PCu平面PAC,：.BC1PC,

•・•该鳖腌外接球的球心为PB的中点，则(2R)2=PA2+AC2+BC2,

4R2=1+1+2=4,

二该鳖喘外接球的表面积为4TTR2=47r.

故答案为：47r.

利用已知条件求出几何体的外接球的位置，求解外接球的半径，然后求解外接球表面积.

本题考查几何体的外接球的表面积的求法，判断几何体的形状，求解外接球的半径是解

题的关键，是中档题.

21.【答案】解：(I)、•点E是8c边上中点，点尸是8上靠近C的三等分点，

—111，1If,-i—f1,1一

ACF=--DC=--AB,EC=-BC=-AD,

3322

^EF=EC^~CF=--AB^-AD,

32

AA=—R=L

3^2

故a+M=~~+1=

oZO

⑵设加=4而，则/=就+#=而-;l而，又近=荏+炉=而+：而，AB-

而=0，

—一■—»1…―一-一—»一一〉—■—>21——»2

/.AE-BF=(AB+•(AD-XAB)=-XAB=—42+2=1,

故a=p

4

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2

•••OF=(1-A)x2=p

【解析】(1)用而,而表示出品，得出;I,〃的值即可得出4+〃的值；

(2)设方=入而,用荏，而表示出荏，前,根据荏-BF=1计算九从而可得DF的长.

本题考查平面向量的基本定理，平面向量的数量积运算，属于基础题.

22.【答案】解：⑴"csinA+Hasin(C+^)=0,

•••csinA+\[3acosC=0-

•••sinCsinA+\/3sinAcosC=0>

vsinA00,

・•・tanC=一遮，

v0<C<7T,

・•.C=季

zBc外接圆的半径R=r^=lxi=2A

2

ABC外接圆的面积为127r.

(2)由正弦定理得，§/8=史处=强=匕

c\[3b2

V0<B<P

D

••A=TI—B—C=-

6f

.•.在△4CM中，由余弦定理得，CM2=AM2+AC2-2AM-AC-cosA,解得CM=2,

则△ACM的周长为4+2V3.

【解析】(1)利用诱导公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanC

的值，结合0<C<TT,可求C的值，利用正弦定理，圆的面积公式即可求解.

(2)由已知利用正弦定理可求sinB的值，结合0<8<不可求B,利用三角形内角和定

理可求A,在AACM中，由余弦定理可求CM的值，即可求出△ACM的周长的值.

本题主要考查了诱导公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，

余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

23.【答案】解:(1)依题意,/(%)=\[3sin2cox-cos2a)x=2sin(2(ox-》

•・♦/(%)的最小正周期为江，且3>0,・•.茄=7T,解得3=1,

•••f(x)=2sin(2x—^),设“=2x—

・.・函数y=sirm的递增区间是[2k7r-]2/CTT+WZ),

由2/czr—W2x—2W2/CTTH—(kGZ),

262

63

・•・函数/(%)的递增区间是[而一/时+白(k€Z)；

(2)当x6玲时，u=2x-|e[0,刑.令尸(a)=2sinu,则%)=F督)=1,

•••F(u)=2sinu^Eu&[0,自上递增，在uG生中上递减.

•••FMmax=尸®=2,

♦.・函数g(x)=f(x)+ni在x6吟，自上有两个不同的零点，

・函数y=/(x)与y=-ni两图像在xG哈，勺上有两个不同的交点，

二函数y=F(a)与y=-m两图像在“6[0,1]上有两个不同的交点，

6

:.1<—m<2,解得一2<znS-1

二实数机的取值范围是(一2,—1].

【解析】本题考查了三角函数的解析式，单调性以及图像性质，涉及到倍角公式以及辅

助角公式的应用，考查了学生的运算推理能力，属于中档题.

(1)根据余弦的差角公式以及倍角公式，辅助角公式化简函数的解析式，利用周期求出3

的值，然后利用整体代换思想以及正弦函数的单调性即可求解；

(2)先求出函数/(x)在已知定义域上的值域，然后将己知问题转化为函数y=f(x)与y=

-讥两图像在xG[卷，自上有两个不同的交点，根据函数fQ)的值域即可求解.

24.【答案】解：⑴因为4。1■平面PAB,PMu平面PAB,

所以ZD1PM,

因为P4=PB=夜,M是线段AB的中点，所以PM1AB,

又4。CAB=4,40u平面ABC£>,4Bu平面ABC。，

所以PM1平面ABC。，

又CDu平面ABCCD,所以PM1CD.

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取CB上点E,使得CE=)B,连接AE,所以4D〃CE且4。=CE,

所以四边形4EC。为平行四边形，所以CD〃4E,

所以直线CD与平面PAB所成角的大小等于直线AE与平面PAB所成角的大小,

又4D1平面尸48,BC//AD,所以BC1平面PA8,

所以4EAB为直线AE与平面PAB所成的角，

所以NE4B=f,所以BE=AB,

因为P4=PB=&，PA1PB,所以AB=2=BE,

所以4。=1,BC=3,CD=2V2,

所以DM=VLCM=VlO.

所以+。。2=c“2,所以CDIOM,

因为DMClPM=M,DM,PMu平面POM,

所以C。_L平面PDM.

⑵由⑴可知CDJ•平面PDM,所以△COM和ACDP均为直角三角形，

又PD=V3.设点M到平面PCD的距离为d,

则%-CDM=VM-PCD>BpiCDDM-PM=^CDDP-d,

化简得-PM=DP-d,解得

DMd=—3,

所以点M到平面PCD的距离为在.

3

【解析】⑴根据