2020-2021学年新人教A版（2019）高一数学暑假作业综合十三（含解析）

综合十三-【新教材】人教A版(2019)

高一数学暑假作业(含解析)

一、单选题

1.有下列关系式：①{a,b}=(b,a);@{a,b}Q{b,a}；③0={。}；④{0}=。；⑤。些

{0}；⑥0e{0}.其中不正确的是()

A.①③B.②④⑤C.①②⑤⑥D.③④

2.下列说法不正确的是()

A.%+;（%>0）的最小值是2

B.罂的最小值是2

VX2+4

C.帘的最小值是应

VX2+2

D.若x>0,贝1|2—3%—:的最大值是2—4^/3

3.下列命题中正确的是()

A.若函数/(%)的定义域为(1,4),则函数/(/)的定义域为(_2,—l)U(l,2)

B.y=%+1和y=J(x+1)2表示同一函数

C.定义在R上的偶函数"X)在(0,+8)和(-8,0)上具有相反的单调性

D.若不等式a/+bx+2>0恒成立，则炉—8a<0且a>0

sing?

4.已知而乎，则tanx的值为()

A.一3B.渔C.-叵D.在

2288

5.已知向量。"满足方4=0,|研=\b\=24,若t6[0,1],则|t@一五）+初+

|（1-力0一加）+3|的最小值为（）

A.2V193B.24V2C.24D.26

若复数Z=j2019+等，则2的虚部为（）

A.-iB.iC.-|iD.9

7.如图，矩形A8CQ中，AB=2AD,E为边45的中点，将440E沿直线£>E折起至

4&DE,若点M、。分别为线段为C、DE的中点，则在2L4CE翻折的过程中，下列

说法错误的是()

.1/

A.与平面&0E垂直的直线必与BM垂直

B.异面直线8M与4E所成角是定值

C.一定存在某个位置，使

D.三棱锥&-4DE的外接球的半径与棱A。的长之比为定值

8.随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺

的重要组成部分,下图是2012-2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这

9年的统计信息，下列说法正确的是（）

2012・2020年我国快递业务最变化情况

90090.0%

828.9

一80.0%

70.0%

60.0驾

—50.0%

「40.0%

_20.0%

_10.0%

TO.O%

201220132014201520162017201820192020

f1快递业务量（亿件）—同比增速

A.这9年我国快递业务量有增有减

B.这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%

C.这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%

D.这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件

二、多选题

9.三棱锥V-48c中，△4BC是等边三角形，顶点V在底面ABC的投影是底面的中心,

侧面VAB1侧面VAC,贝女）

TT

A.二面角V-BC-A的大小为飞-

B.此三棱锥的侧面积与其底面面积之比为«

C.点V到平面4BC的距离与VC的长之比为返

3

D.此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为逅

9兀

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10.下列关于平面向量的说法中正确的是()

A.a=b=(fc,8).若胃〃弓，则k=6

B.向量7=(1,0),7=(0,1)，贝—4力=5

C.若点G为△ABC的重心，则3而+通+前=6

D.若五c=b-下且^40>则日=b

11.给出下列结论，其中不正确的结论是()

A.函数y=G)-/+i的最大值为之

B.已知函数丫=1。8£1(2-。町(£1>0且£1M1)在(0,1)上是减函数，则实数a的取值

范围是(1,2)

C.在同一平面直角坐标系中，函数y=2'与y=log2》的图象关于直线丫=尤对称

D.已知定义在R上的奇函数/(x)在(-8,0)内有1010个零点，则函数/(%)的零点

个数为2021

12.关于函数〃x)=ln三，下列选项中正确的有()

A.f(x)的定义域为(―8,—1)u(1,+8)

B.f(x)为奇函数

C.f(x)在定义域上是增函数

D.函数/'(x)与y=In(1-%)-In(1+x)是同一个函数

三、填空题

13.下列结论中正确的是.(填序号)①如果P(4)=0.99999,那么A为必然事件；

②灯泡的合格率是99%,从一批灯泡中任取一只，是合格品的可能性为99%；

③概率是随机的，在试验前不能确定；

④频率是客观存在的，与试验次数无关；

⑤若事件A与3是对立事件，则A与B一定是互斥事件：

14.设函数/(%)=a，^(x)=ax+5—2a(a>0),若对任意的与6[0,1],存在冷€

[0,1]使得/(与)？9(小)，则实数a的取值范围为_；若对任意的与e[0,1],存在

x26[。,1]使得f(xi)=/冷)，则实数a的取值范围为.

15.在△ABC中，若sin4(sinB+cosB)-sinC=0,则角A的值为,当sin2B+

2sin2c取得最大值时，tan2B的值为.

16.如图，在三棱锥S—ABC中，若底面4BC是正三角形，侧棱长SA=SB=SC=V3,

M、N分别为棱SC、BC的中点，并且4M1MN,则异面直线MN与AC所成角为

三棱锥S—4BC的外接球的体积为.

四、解答题

17.已知函数/'(X)=1+a(|)x+(J、，g(x)=log号詈

(1)若g(x)为奇函数，求实数。的值；

(2)在(1)的条件下，当xe［-3,2］时，函数y=/(x)+m存在零点，求实数，"的取

值范围；

(3)定义在。上的函数f(x),如果满足:对任意xeD,存在常数M>0,都有|/(x)|<

M成立，则称/(%)是。上的有界函数，其中M称为函数/(x)的一个上界.若函数/"(X)

在［0,+8)上是以5为上界的有界函数，求实数。的取值范围.

18.已知/(x)=sinx+cosx,g(x)=V2sin.

(1)若y=/2(x)-1+af(x)g(x)的图象关于直线x=一彳对称，求实数a的值;

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⑵在L中，已知日记=acosB+bcosA，c=E4ABe的面积为苧，求

2MBe的周长.

19.已知平面直角坐标系内三点A,B,C在一条直线上，满足面=(-3,爪+1)，南=

(加3),0C=(7,4).且瓦？1.话，其中。为坐标原点.

(1)求实数〃?，〃的值；

(2)设△AOC的重心为G,且而=|话，求cos乙40c的值.

20.如图，在直角梯形ABC。中，AB//CD,ABA.AD,且AB=力。=2C0=1.现以4。

为•边向梯形外作正方形4DEF,然后沿边AD将正方形ADE尸折叠，使ED1DC,

例为E。的中点，如图2.

图1图2

(1)求证：AM〃平面BEC;

(2)求证：平面BCD1平面BDE；

(3)若DE=1,求点。到平面BCE的距离。

21.今年是中国共产党成立100周年，为了普及党史知识，加强爱国主义教育，某校举

办了党史知识竞赛.经过激烈角逐选拔，甲、乙、丙三名选手进入决赛，决赛由必

答和抢答两个环节，必答环节每人必须回答随机抽签的3道题目，全部答对者进入

抢答环节，否则被淘汰；在抢答环节中采用积分制，共有3道题目，每人是否抢到

试题机会均等，抢到试题者必须作答，最后得分最高者获得一等奖.若答对则得

100分，其他选手得0分；若答错则得0分，其他选手得100分.设甲、乙、丙在

必答环节中每道题答对的概率都是5在抢答环节中每道题答对的概率都是右且三

名选手每道题是否答对互不影响.

(1)求甲、乙进入抢答环节，且丙未进入抢答环节的概率；

(2)若甲、乙、丙都进入抢答环节，

①求在一次抢答中，甲得100分的概率；

②求丙以满分获得一等奖的概率.

22.南京地铁项目正在如火如荼地进行中，全部通车后将给市民带来很大的便利.已知

地铁7号线通车后，列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2WtS20,经市场调

研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔r相关，当104tW20时，地铁为满载状

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态，载客量为500人；当2st<10时，载客量会减少，减少的人数与(10-t)2成

正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记地铁的载客量为s(t).

(1)求s(t)的表达式，并求发车时间间隔为5分钟时列车的载客量；

(2)若该线路每分钟的净收益为Q=8s*2656_60(元).问：当列车发车时间间隔为

多少时，该线路每分钟的净收益最大？

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查元素与集合，集合与集合之间的关系，空集和集合的关系，属于基础题.

根据集合元素的无序性判断①；根据子集的定义判断②；根据集合及空集的定义判断

③④⑤；利用元素与集合的关系判断⑥.

【解答】

对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确；

对②：因为集合｛a,b｝=｛b,a｝,故｛a,b｝U｛瓦a｝正确,即②正确；

对③：空集。是一个集合，而集合｛。｝是以空集为元素的一个集合，因此。=｛。｝不正确；

对④：｛0｝是一个集合，仅有一个元素0,但是空集不含任何元素，于是｛0｝力。，故④不

正确；

对⑤：由④可知，｛0｝非空，于是有。些｛0｝,因此⑤正确；

对⑥：显然06｛0｝成立，因此⑥正确.

综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为D

故选D.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了基本不等式的应用，掌握利用基本不等式的条件是关键，属于中档题.

对于48。根据基本不等式即可判断，对于C根据不等式的性质即判断.

【解答】

解：对于A,•；x>0,.♦.%+乙22=工=2,当且仅当x=l时取等号，故A正确；

对于8,空=1等=后不4+J=N2,当且仅当/+4=1时取等号，显然x

VX2+4VX2+4VX2+4

的值不存在，故B错误；

对于C,=V^+2>y/2,当且仅当x=0时取等号，故C正确；

VX2+2

对于D,■：x>0,2-3x--<2-2)3x--=2-4痘,当且仅当x=2时取等号，

xylx3

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故。正确.

故选：B.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查函数基本概念，函数的奇偶性及单调性,考查不等式恒成立问题,属于中档题.

逐一对选项进行分析，讨论其正确性，即可得到答案.

【解答】

4.由题意可知1</<4=x6(-2,-1)U(1,2),

・•・函数/(M)的定义域为(一2,—1)U(1,2),故A正确；

A两个函数的值域不同，前者为R，后者为［0,+8),故B错误；

C.举反例，如函数y=l,符合条件，但结论不成立，故C错误；

£>.当。=b=0时，符合条件，不符合结论，故。错误.

故选A.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，诱导公式以及三角函数的化简求

值，属于基础题.

根据诱导公式和二倍角公式对原式分母进行化解，利用两角和的三角函数公式对原式分

子进行化简，得到5shM+，再根据—=tann,得到Itanx+逛=力包，

--------g---------COSO991

cosjr

即可得到答案.

【解答】

'K发7~,7T工、7T工、

2sm（彳-（彳+5）2sm（彳-Z--）

*4ZTN

1.、61.、瓜

-S1HJTH---------COtUT-SULTH----------COfrJX

22_22

所以tanz=.

2

故选B.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查平面向量运算以及向量共线，模，数量积的意义，考查坐标法思想的应用，考

查点关于直线的对称点的求法，考查创新意识，考查运算能力，属于难题.

根据已知条件的特征，可考虑利用坐标法来处理，建立平面直角坐标系，在坐标平面上，

找出与t(B-Z)以及磊石+(1-t)值-石)对应的向量，将问题等价转换成在直线(线段)

上找一点，使得它到直线外两定点的距离之和最小问题.然后根据平面解析几何的基础

知识容易解决问题.

【解答】

解:在如图所示的平面直角坐标系中,4(24,0),5(0,24),C(0,14),

记2-OA—(24,0)>b-OB-(0,24)>~b=CB=(0,10).

设宿一砂，则的=(1一t6[0,1],

.-.OM=a+t(K-a),CM=^K+(l-t)(a-K),

\t(b-a)+a\+|(1-t)(a-b)+-^b\=\OM\+|CM|.

.••问题等价于当点M在线段AB：y=-x+24上运动时，求同归|+「祈|的最小值.

易知点C(0,14)关于直线AB；y=-x+24的对称点D的坐标为(10,24),

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|0M|+|CM|=|0M|+\DM\>\0D\=V(10-0)2+(24-0)2=26.

当且仅当M成为直线OD与线段AB的交点N(詈，誉)时取得最小值.

这时由祠=丽=(-瑞，詈)=t(-24,24),知£=与符合条件.

故答案为：D.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

利用虚数单位i的性质及复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得W得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

【解答】

解：•:Z=i2019+答=i504x4+3+士

..5(3+4i)..3.4.31.

=T+/14而：45=7+g+g'=g_gL

-3,1.

••-Z=5+5l-

二复数£的虚部为

故选：B.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查了线面，面面平行与垂直的判定和性质定理以及线面角，二面角的定义及

求法是解题的关键.

对于A,运用中位线定理和线面平行的判定定理，可得〃平面&DE,即可判断A；

对于B,运用平行线的性质和解三角形的余弦定理，以及异面直线所成角的定义，即可

判断B；

对于C,连接公0,运用线面垂直的判定定理和性质定理，即可判断C；

对于力，由直角三角形的性质，可得三棱锥外接球球心为。，即可判断D

【解答】

解：对于A,延长CB,DE交于H,连接&H,由E为A8表、U

的中点，

可得B为C”的中点，又M为&C的中点，可得BM〃&H,泻

BMC平面&DE,„

n

ArHu平面&DE,则8M〃平面&DE,故与平面4DE垂直的直线必与直线BM垂直，故

A正确；

对于8,设AB=2AD=2a,过E作EG//BM,GW平面AiDC,^\^EG=/.EA^H,

22

在^EA1H<^,EA1=a,EH=DE=®a,AXH=la+2a-2-a-V2a-(-y)=任a，

则为定值，即乙4]EG为定值，故8正确；

对于C,连接Ai。，可得。E141。，若DE1M0,即有。E_L平面41M0,即有。E1ArC,

由&C在平面ABC。中的射影为4C,可得AC与。E垂直，但4c与。E不垂直.

则不存在某个位置，使。E1M0,故C错误；

对于C，连接。4,由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得三棱锥A1-4DE外

接球球心为。，半径为号内即有三棱锥4-ADE外接球半径与棱AO的长之比为定值，

故。正确.

故选C.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查了条形图，中位数，是基础题.

根据统计图逐个分析选项即可.

【解答】

解：由条形图可知，这9年我国快递业务量逐年增加，故A错误；

将各年我国快递业务量同比增速按从小到大排列得：25.3%,26.6%,28.0%,30.5%,

48.0%,51.4%,51.9%,54.8%,61.6%,故中位数为第5个数48.0%,故8错误；

这9年我国快递业务量同比增速的极差为61.6%-25.3%=36.3%>36%,故C错误;

由条形图可知，自2016年起，各年的快递业务量远超过210亿件，故快递业务量的平

均数超过210亿件，。正确.

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故选D.

9.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本题考查三棱锥的结构特征，二面角，侧（底）面面积，点到直线的距离以及三棱锥及其

外接球体积的计算，属于较难题.

数形结合，记等边三角形△力BC的中心为尸，取8C,A8的中点M,。连结VP,VM,

AM,V。过点8作BN于M

连结CM立足题中三棱锥结构特征结合题设条件运用直线与平面垂直的性质定理证得

VP_L平面ABC,;运用二面角的定义证得WM4为二面角IZ-BC-4的平面角;运用三角

形的全等结合平面与平面垂直的性质定理，直线与平面垂直的性质定理证得BN1CN,

BN=CN;然后BC=2,1177=%求得^。=或，最后结合各选项逐一展开计算即可得到

结论.

【解答】

解：如图不，

在三棱锥一ABC中，记等边三角形△力BC的中心为P,取BC,AB的中点M,。连结VP,

VM,AM,V。过点B作BN14U于N,

连结CN.

••・顶点丫在底面ABC的投影是底面的中心，

VP，平面ABC,①且UA=VB=VC.

又,：M,。是BC,AB的中点.

•••VM1BC,AM1BC,VQ1AB

故NVM4为二面角V-BC-4的平面角②，

■■■ABAC,VB=VC,公用.

■­•△VBAVCA.

•••平面1MB1平面VAC,平面匕4BCI平面匕4c=VA,

BN1AV,BNu平面VAB,

•••BNJ"平面VAC,

•：CNu平面VAC

BN1CN.

又•••△VBASAVCA,

•••BN=CN.

设BC=2,VC=x.

贝lj：PM=-AM=->JAB2-BM2y，VQ=VM=y/VA2-AQ2=Vx2-1.

33

21V

•••ShVAB=^xABxVQ=Vx-1=；xVAxBN=；BN.

22

故BN=CN=空三1

X

又・・•BN1CNf

BC=V2BWBPV2X2-2=x.

解得％=V2

即h?=V2

故VQ=KM=1,

11后

VP=y/VM2-PM2=1—=——

33

V6

VPTV3„

9=正。③

三棱锥1/-ABC的侧面积S^=3X1XV2XV2=3,底面积S族=1x2x2xsin60°=

V3.

•卷=2题

故A,由②，在直角三角形VPM中

PM孚国

cosWPM=-=-=-

・・・二面角V—BC—4的余弦值为出，选项A错误;

3

B,由④知此三棱锥的侧面积与其底面面积之比为值，选项3正确;

C,由③知点V到平面A8C的距离与VC的长之比为手，选项C正确;

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D,,:VA=VB=VC=AB=BC=AC=2,.

•••三棱锥U-ABC为正三棱锥，且MA,VB,VC三者两两垂直.

故其体积为U=-x-xVAxVBxVC=-x-x>/2xy/2xV2=—.

32323

、3

外接球半径R=WA2+VBZ+VC2=渔，体积为(坐］=瓜

2233\2/

瓜

••・此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为二匚9.

V/6TT9TT

选项。正确.

故选BCD.

10.【答案】BC

【解析】

【分析】

本题考查向量的线性运算，向量的平行、垂直和向量的数量积，三角形重心的性质，属

于中档题.

利用向量平行得出关于％的方程，求解％的值判断4利用向量的坐标运算以及求模公

式判断B；利用三角形的重心性质结合向量的加法运算判断C；利用向量的数量积的运

算法则得出五=石或不1(3-9)判断D.

【解答】

解：A.a=(-,/c),b=(k,8)，

故不正确；

B.单位向量i=(1,0)>j=(0,1)，

则3；-4，=(3,-4),

则|3：-4力=J32+(—4)2=5,故正确；

C.若点G为△ABC的重心，设。为BC的中点，

由重心的性质得：GA=-2GD，

则3/+超+左=—3x|同+2初=6,故正确;

D若五-c=b-ciLc*0,

WJc-(a-h)=0,

则五=B或口1(a—b),故不正确;

故选8c.

11.【答案】AB

【解析】

【分析】

本题主要考查了指数函数的性质，对数函数的性质，函数的零点个数以及复合函数的单

调性，属于中等题.

由指数函数的性质可判断4;由对数函数的性质及复合函数的单调性可判断8；由反函

数的定义可判断C；由奇函数的性质可判断D

【解答】

解：对于A,令t=-/+i,则r的最大值为1,

...y=的最小值为点故4错误；

对于B,•.,函数y：log,,(2-ar)在(0,1)上是减函数，

・.•g>l、n，解得l<aW2,8错误；

对于C,•.・函数y=2'与y=log2X互为反函数，

二函数y=2*与y=log2%的图像关于直线y=x对称，故C正确；

对于。，•••定义在R上的奇函数/(x)在(-x.O)内有1010个零点，

.,.“万)在(0,+8)在内有1010个零点，又•••/(())=0,

二函数/(x)的零点个数为2x1010+1=2021,故。正确.

故选AB.

12.【答案】BD

【解析】

【分析】

本题考查了对数函数的性质的判断和运用，属于中档题.

求函数的定义域，根据函数奇偶性，复合函数的单调性，同一函数的概念依次判断各选

项即可.

【解答】

解：由>0，得(1—x)(l+x)>0,解得：-1<x<1,

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•••定义域为(-1,1),

二4不正确；

函数的定义域为(―1,1)关于原点对称，且/x)==In=—ln|^=

-fix),是奇函数，

正确；

函数y=£=-1+W在上是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减，

1一1

〃工)=在定义域上是减函数，

1+工

C不正确；

当％C(-1,1)时，f(x)=114J==ln(lJ-)-ln(14-x)；

1+J-

由｛:;得一1<X<1，故V的定义域为(―L1).

二f(x)与y丁hi(i-1)-皿1+工)的定义域相同,解析式相同,是同一个函数.

正确.

故选BD.

13.【答案】②⑤

【解析】

【分析】

本题考查随机事件，概率的基本性质和概率的意义，事件的互斥和对立，属于拔高题.

根据必然事件的概念判定①错误；

根据概率的基本性质和概率的意义判定②正确；

概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，随着试验次数的增加，频率一般会越

来越接近概率，判定③,④错误；

根据互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件，判定⑤正确.

【解答】

解：必然事件的概率为1,故①错误.

灯泡的合格率是99%,所以从一批灯泡中任取一只，是合格品的可能性为99%,故②正

确.

概率是确定的，与试验无关，故③错误.

随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故④错误.

对立事件一定是互斥事件，故⑤正确;

故答案为②⑤.

14.【答案】［|,+8)

5

弓，旬

【解析】

【分析】

本题主要考查函数定义域与值域、函数的单调性与单调区间，函数的最值问题以及集合

关系中的参数取值问题，属于中档题.

由题意，分析得知要使得对任意的G［0,1］,存在刀2e［0,1］使得>g(%2)，则g(X)

在［0,1］上的最小值g(X)min《/O)min，利用单调性可求解。的取值范围：要使得对任意

的与e［0,1］,存在小e［0,1］使得"%)=9(X2)，得到八X)在［0,1］上值域是gQ)在［0,1］上

值域的子集，利用单调性与集合的包含关系可求出。的取值范围.

【解答】

解：由题意，要使得对任意的/e［0,1］,存在%2e［0,1］使得f(xi)>g(%2)，则g(x)在［0,1］

上的最小值9(X)min《f(x)min(/(x)min是/'(%)在f(x)在［。，1］上的最小值)，下面求出函

数f(久)在［0,1］上的最小值，

因为/(x)=Sl=*F2(%+1)4------4,

利用y=%+；函数图像性质可知f(x)在［0,1］上单调递增,

于是/(%)在X=0处取得最小值，即f(%)min=f(0)=0,

因为。(久)="+5-2a,注意到Q>0,则g(x)在[0,1]上单调递增，

于是。(久)在％=0处取得最小值,即g(%)min=。(0)=5-2fl,

故5—2a40,即得aG[1,4-oo)；

由上述分析可知，f(%)在％=1处取得最大值，即f(X)max=/(I)=1，

于是当％e[0,1]时，/(%)eA=[0,1],

g(x)在％=1处取得最小值,即g(%)max=g(l)=5_a,

于是当%6[0,1]时，g(x)eB=[5—2a,5-a],

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要使得对任意的%ie[0,1],存在%2G[0,1]使得f(%i)=趴皿)，

根据/(x)与g(x)的连续性可知4GB成立,

55L7O'解得。6串包.

故答案为[|,+8);[|,4].

15.【答案】:

1

~2

【解析】

【分析】

本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用，两角和与差公式，以及辅助角公式，是

中等题.

整理si九4(sinB+cosB)—sinC=0得sinB(sbiA-cosA)=0,进而判断出cosA=sinA

求得A；进而得8+C,利用辅助角公式化简s讥2B+2sin2C,结合正弦函数的性质得

何时sin2B+2sin2c取得最大值，最后利用诱导公式求得tan2B.

【解答】

解：sinA(sinB+cosB)—sinC=0,

：,sinAsinB4-sinAcosB-sin(4+8)=0,

・•・sinAsinB+sinAcosB—sinAcosB—cosAsinB=0,

・•・sinB^sinA-cosA)=0.

因为B6所以sinB。0,从而cosA=sinA,

・,.tanA=1,

由/E(0,yr),知4=

・•・8+C=二兀，

4

・•・sinZB+2sin2C

=sin2B+2sin^n—2B)

=sin2B—2cos2B

=V5(gsin2B一雪cos2B)(设cosp=，，sincp=雪)

V5sin(2B—(p).

由题意，当2打一,=：,2B尸+；时，sin2B+2sin2c取得最大值遍,

sin23=皿W+.）

COSW

此时tan2B

cos2B0K（夕+^）-siii夕

故答案为，—

16.【答案】I

97r

【解析】

【分析】

本题主要考查了线面垂直的性质与判定、异面直线所成的角、正三棱锥的外接球的体积.

根据三棱锥的底面为正三角形且侧棱长相等得到正三棱锥，得到$。_1面48^接着根

据线面垂直的性质、正三角形的性质及线面垂直的判定得到AC_L面SBE,进而得到SB1

AC,最后根据中位线的性质证明出4c1MN;根据已知及线面垂直的判定得到SB1面

SAC,从而结合正三棱锥得到其为相应正方体的一部分，求出球的半径及球的体积.

【解答】

解：如图所示,

在三棱锥S—ABC中，若底面ABC是正三角形,

侧棱长SA=SB=SC=遮知，三棱锥S—ABC

是正三棱锥，

则点S在底面A8C中的投影为底面的中心0,

所以SOJL面ABC,

因止匕S。J.4C,又E为AC中点，AC1BE,SOn

BE=0,所以AC_L平面SBE,SBu平面S8E,

•••SB1AC,

又M、N分别为棱SC、BC的中点，则MN〃SB,

因此MN1AC,异面直线MN与4c所成角为今

•••AM1.MN,MN1AC,AMnAC=A,

•••MNJL平面SAC,又MN//SB,贝USB_L平面SAC,

又三棱锥S—ABC是正三棱锥，因此三棱锥S—ABC可以看成正方体的一部分且S,A,

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B,C为正方体的四个顶点，故球的直径为J(遍产+(苗产+(V3)2=3-

则球的体积为广(|)3=等.

故答案为：丁管.

17.【答案】解：(1)因为g(x)为奇函数，所以g(-x)=-g(x)恒成立，即log：翳

.1-ax

一㈣百，

即得弋=产_,解得。=±1,

-x-11-ax

经检验，Q=1不合题意，故。=一1;

(2)由(1)得，=1一©尸+(;尸，令1=©尸，

因为X€[—3,2],所以t6

因此/(x)化为/i(t)=t2-t+1,其对称轴为t=1,

使用t=:时，九min(。=蛇)=%

当£=8时，hmax(t)=/i(8)=57,

所以f(x)值域为[|,57],

又因为函数y=/(x)+?n存在零点，等价于方程m=-/(x)有解，

所以实数，”的取值范围是[—57,一》

(3)由已知,|f(x)|W5在[0,+8)上恒成立，即一5W/(%)45,

化简得一6•2、一士。式4•2》一G尸在[0,+8)上恒成立，

所以[-6-2*-G)x]max<a<[4-2--(ir]min,

设t=2方,因为工€[0,+8),即得t21,记F(t)=-6t-G(t)=4t-

易得G(t)=4t-:在［1,+8)上单调递增，所以Gmin(t)=G(l)=4-1=3,

设1Wti<t2,则FG)-FQ=(y(:tf)>o

所以F(t)在［l,+8)上单调递减，故&ax(t)=F⑴=—7，

因此实数a的取值范围是［-7,3］.

【解析】本题主要考查函数的奇偶性、函数的最值，函数的零点与方程根的关系以及不

等式的恒成立问题，属于中档题.

(1)利用g(x)为奇函数，得到2=^检验得知a=—1：

—X-lL—CLX

(2)由⑴，令"G尸将/(X)化为W)=t2一t+1,利用二次函数知识求得/(X)的值域，

再利用函数的零点与方程根的关系可求得实数用的取值范围；

(3)利用题设条件，得到一5</(%)<5,化简得到关于a的不等式组[-6.X-

G尸]maxWaS[4-2X—C)x]min，令t=2》，构造函数F(t)=-6t-[G(t)=4t-%

利用函数单调性，可求得实数a的取值范围.

18.【答案】解：(1)因为g(x)=&sin(x—^)=V2xsinxx孝—夜xcosxx曰=

sinx—cos%.

所以y=产(%)-1+af(x)g(x)

=(sinx+cos%)2—1+a(sinx+cosx)(sinx—cosx)

=14-2sinxcosx-14-a(sin2x—cos2x)

=sin2x-acos2x=V14-a2sin(2%—(p)，其中tanp=a,

由题意得:2(d)-3=/而,kez,

解得0=3,即a=l.

(2)因为正言面=acosB+bcosA,

c

maacaw134-bcosA

所XsinC+8KC-sin(C—二)，

4

即'=acosB+bcosA,

2cosC

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HPsinC=sin/cosB+sinBcosA,

2cosC

即see=sin(?l+B)=sinC,

2cosC'7

又sinCH0,所以cosC=：,所以sinC=血;

由余弦定理得，17=a2+b2-QM0,

又S=-absinC=所以ab=6②，

22J，

由①②解得0+8=回，

则周长C=Q+b+c=V35+>/17.

【解析】本题主要考查三角函数的化简，同角三角函数基本关系式，二倍角公式及辅助

角公式的应用，余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题.

（1）先化简函数得y=Vl+a2sin（2x—口）再根据题意得2-W=1+々兀，kEZ,

解得0=%即Q=1；

（2）将已知条件化简得cosC=±由余弦定理得到17=。2+炉-ab,由三角形面积公式

得ab=6进而得a+b=V35,即可得周长.

19.【答案】解：（1）因为三点A,B,C在一条直线上，所以而〃灰，

又荏=05-01=（n+3,2-m）,

---»，♦---»

BC=0C-0B=（7-珥1），

所以几+3=（7—九）（2—m）,①

因为。A_LOB，所以-3?i+3（ni+1）=0,即?1=771+1,（2）

由①、②解得｛。二:或｛【二21.

（2）因为记=|丽，

所以B为AC的中点，

所以m=1,n=2,

所以瓦5=(-3,2)，OC=(7,4).

oAod-21+8底

因此――

\/13x5•

【解析】本题考查向量平行与垂直的判定，考查向量的坐标运算，考查向量夹角的求解，

注意向量数量积的运算与性质，属于中档题.

(1)根据三点A,B,C在一条直线上，可得荏〃而，结合瓦？1而，根据向量平行与

垂直的条件分别建立关于m〃的方程，联立解得结果；

(2)根据布=：08,可得m=l,n=2,进而可知瓦？=(-3,2)，将cosZTlOC转化为向

量所成角的余弦值求得结果.

20.【答案】(1)证明：取EC中点N,连结MMBN,

在△£■/)(；中，M,N分别为ED,EC的中点,

所以MN〃CD,且MN=：CD,

由已知AB〃CD,力B=^CD,

所以MN〃4B,且MN=AB,

所以四边形ABMW为平行四边形，

所以BN〃/1M,

又因为BNu平面BEC,且2M,平面BEC,

所以4M〃平面BEC.

(2)证明：在正方形AZJEF中，EDLAD,

因为ED_LDC,ADODC=D,AD,DCu平面ABC。,

所以EDJ_平面ABCD,BCu平面ABCD,

所以ED1BC.

又在直角梯形ABC。中，AB=AD=1,CD=2,Z.BDC=45°,

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所以BC=V2.

在△BCD中，BD=BC=V2,CD=2,

所以BO?+BC2=CD2,

所以BC1BD,

因为ECC\BD=D,ED,BDu平面BDE,

所以BC_L平面BDE.

因为BCu平面BCD,

所以平面BCO1平面8OE.

(3)解：设点D到平面BCE的距离为h,

由(2)BC_L平面8DE,可知BC1BE,

因为DE=1,AB=AD=\CD=1,所以BO=a,BC=V2,BE=a,

所以S^BDC=JxV2xV2=1,SABEC=；xV3xy/2=当，

n22

根据VQ-BCE=^E-BCD,即］SABEC,九=3^t^BCD'DE,

ix^.h=-xlxl,解得/!=在，

3233

即点D到平面BCE的距离为在.

3

【解析】本题考查简单多面体及其结构特征，线面平行的判定与性质，面面垂直的判定，

利用三棱锥的体积求空间中点到平面的距离，是中档题.

(1)取EC的中点N,连结MN,BN