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文档简介

高中数学精选资源2/2第十章三角恒等变换10.1.1两角差的余弦公式通过推导两角差的余弦公式,以及两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式以及积化和差、和差化积、半角公式的过程,让学生在经历和参与数学发现活动的基础上,体验数学的发现与创造过程,体会向量与三角函数的联系、三角恒等变换公式之间的联系,理解并掌握三角变换的基本方法,发展学生的运算能力和推理能力.课程目标学科素养1.通过探究,了解两角差的余弦公式的推导过程;2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算.a逻辑推理:通过差角余弦公式的正用、逆用、变形用,重点提升学生的逻辑推理素养.b数学运算:能利用两角差的余弦公式进行求值、计算.1.教学重点:能熟练利用两角差的余弦公式进行求值、计算.2.教学难点:通过探究,了解两角差的余弦公式的推导过程.多媒体调试、讲义分发。某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,在地平面上有一点A,测得A,C两点间距离约为60米,从点A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°,∠CAB=15°,求这座电视发射塔的高度.设电视发射塔的高度CD=x.则AB=AC·cos15°=60cos15°,BC=ACsin15°=60sin15°,BD=AB·tan60°=60·cos15°·tan60°=60eq\r(3)cos15°,∴x=BD-BC=60eq\r(3)cos15°-60sin15°,如果能求出cos15°,sin15°的值,就可求出电视发射塔的高度了.公式:对于任意角α,β都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.题型一两角差的余弦公式的简单应用【例1】(1)cos(-15°)的值是()A.eq\f(\r(6)-\r(2),2) B.eq\f(\r(6)+\r(2),2)C.eq\f(\r(6)-\r(2),4) D.eq\f(\r(6)+\r(2),4)(2)cos(α-35°)cos(α+25°)+sin(α-35°)sin(α+25°)=________.(3)eq\f(cos7°-sin15°sin8°,cos8°)=________.解析(1)cos(-15°)=cos(30°-45°)=cos30°cos45°+sin30°sin45°=eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)+eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)=eq\f(\r(6)+\r(2),4).(2)原式=cos[(α-35°)-(α+25°)]=cos(-35°-25°)=cos(-60°)=cos60°=eq\f(1,2).(3)原式=eq\f(cos(15°-8°)-sin15°sin8°,cos8°)=eq\f(cos15°cos8°+sin15°sin8°-sin15°sin8°,cos8°)=eq\f(cos15°cos8°,cos8°)=cos15°=cos(60°-45°)=eq\f(\r(6)+\r(2),4).答案(1)D(2)eq\f(1,2)(3)eq\f(\r(6)+\r(2),4)规律方法利用两角差的余弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的差,正用公式直接求解.(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的右边形式,然后逆用公式求值.【训练1】求下列三角函数式的值:(1)sineq\f(π,12);(2)cos15°cos105°+sin15°sin105°.解(1)原式=cos(eq\f(π,2)-eq\f(π,12))=coseq\f(5π,12)=cos[eq\f(π,4)-(-eq\f(π,6))]=coseq\f(π,4)cos(-eq\f(π,6))+sineq\f(π,4)sin(-eq\f(π,6))=eq\f(\r(6)-\r(2),4).(2)原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos90°=0.题型二给值求值【例2】已知α,β为锐角,且cosα=eq\f(4,5),cos(α+β)=-eq\f(16,65),求cosβ的值.(1)β=(α+β)-α(2)在求sin(α+β)时需注意α+β的范围,注意符号的选取解∵0<α,β<eq\f(π,2),∴0<α+β<π.由cos(α+β)=-eq\f(16,65),得sin(α+β)=eq\r(1-cos2(α+β))=eq\r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(16,65)))\s\up12(2))=eq\f(63,65).又∵cosα=eq\f(4,5),∴sinα=eq\f(3,5).∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)·sinα=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(16,65)))×eq\f(4,5)+eq\f(63,65)×eq\f(3,5)=eq\f(5,13).规律方法给值求值问题的解题策略(1)从角的关系中找解题思路:已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.(2)常见角的变换:①α=(α-β)+β;②α=eq\f(α+β,2)+eq\f(α-β,2);③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-(α-β).【训练2】已知sinα=eq\f(2,3),α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π)),cosβ=-eq\f(3,4),β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π,\f(3π,2))),求cos(α-β)的值.解∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π)),sinα=eq\f(2,3),∴cosα=-eq\r(1-sin2α)=-eq\f(\r(5),3).又β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π,\f(3π,2))),cosβ=-eq\f(3,4),∴sinβ=-eq\r(1-cos2β)=-eq\f(\r(7),4).∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(5),3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,4)))+eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(7),4)))=eq\f(3\r(5)-2\r(7),12).题型三给值求角【例3】已知cosα=eq\f(1,7),cos(α+β)=-eq\f(11,14),且α,β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),求β的值.eq\a\vs4\al(,注意β=(α+β)-α)解∵α,β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))且cosα=eq\f(1,7),cos(α+β)=-eq\f(11,14),∴α+β∈(0,π),∴sinα=eq\r(1-cos2α)=eq\f(4\r(3),7),sin(α+β)=eq\r(1-cos2(α+β))=eq\f(5\r(3),14).又∵β=(α+β)-α,∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(11,14)))×eq\f(1,7)+eq\f(5\r(3),14)×eq\f(4\r(3),7)=eq\f(1,2).又∵β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),∴β=eq\f(π,3).规律方法已知三角函数值求角的解题步骤(1)求所求角的某种三角函数值(为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数).(2)结合三角函数值及角的范围求角.【训练3】已知sin(π-α)=eq\f(4\r(3),7),cos(α-β)=eq\f(13,14),0<β<α<eq\f(π,2),求β的大小.解∵sin(π-α)=sinα=eq\f(4\r(3),7),0<α<eq\f(π,2),∴cosα=eq\f(1,7),又∵0<β<α<eq\f(π,2),∴0<α-β<eq\f(π,2),又cos(α-β)=eq\f(13,14),∴sin(α-β)=eq\f(3\r(3),14).∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=eq\f(1,7)×eq\f(13,14)+eq\f(4\r(3),7)×eq\f(3\r(3),14)=eq\f(13+36,98)=eq\f(1,2).又∵0<β<eq\f(π,2),∴β=eq\f(π,3)1.cos56°cos26°+sin56°cos64°的值为()A.eq\f(1,2) B.-eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D.-eq\f(\r(3),2)解析原式=cos56°cos26°+sin56°sin26°=cos(56°-26°)=cos30°=eq\f(\r(3),2).答案C2.cos(-75°)的值()A.eq\f(\r(6)-\r(2),2) B.eq\f(\r(6)+\r(2),2)C.eq\f(\r(6)-\r(2),4) D.eq\f(\r(6)+\r(2),4)解析cos(-75°)=cos(-30°-45°)=cos(-30°)cos45°+sin(-30°)sin45°=eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)-eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)=eq\f(\r(6)-\r(2),4),故选C.答案C3.已知α是锐角,sinα=eq\f(2,3),则cos(eq\f(π,3)-α)=________.解析因为α是锐角,sinα=eq\f(2,3),所以cosα=eq\f(\r(5),3),所以cos(eq\f(π,3)-α)=coseq\f(π,3)cosα+sineq\f(π,3)sinα=eq\f(1,2)×eq\f(\r(5),3)+eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,3)=eq\f(\r(5)+2\r(3),6).答案eq\f(\r(5)+2\r(3),6)4.若cos(α-β)=eq\f(1,3),则(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=________.解析原式=2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=2+2cos(α-β)=eq\f(8,3).答案eq\f(8,3)5.计算:eq\f(1,2)sin60°+eq\f(\r(3),2)cos60°=________.解析原式=sin30°sin60°+cos30°cos60

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