10.1.1-两角差的余弦公式-教学设计VIP

高中数学精选资源2/2第十章三角恒等变换10.1.1两角差的余弦公式通过推导两角差的余弦公式，以及两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式以及积化和差、和差化积、半角公式的过程，让学生在经历和参与数学发现活动的基础上，体验数学的发现与创造过程，体会向量与三角函数的联系、三角恒等变换公式之间的联系，理解并掌握三角变换的基本方法，发展学生的运算能力和推理能力．课程目标学科素养1.通过探究，了解两角差的余弦公式的推导过程；2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.a逻辑推理:通过差角余弦公式的正用、逆用、变形用，重点提升学生的逻辑推理素养.b数学运算:能利用两角差的余弦公式进行求值、计算.1.教学重点：能熟练利用两角差的余弦公式进行求值、计算.2.教学难点：通过探究，了解两角差的余弦公式的推导过程.多媒体调试、讲义分发。某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离约为60米，从点A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°，∠CAB＝15°，求这座电视发射塔的高度.设电视发射塔的高度CD＝x.则AB＝AC·cos15°＝60cos15°，BC＝ACsin15°＝60sin15°，BD＝AB·tan60°＝60·cos15°·tan60°＝60eq\r(3)cos15°，∴x＝BD－BC＝60eq\r(3)cos15°－60sin15°，如果能求出cos15°，sin15°的值，就可求出电视发射塔的高度了.公式：对于任意角α，β都有cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.题型一两角差的余弦公式的简单应用【例1】(1)cos(－15°)的值是()A.eq\f(\r(6)－\r(2),2) B.eq\f(\r(6)＋\r(2),2)C.eq\f(\r(6)－\r(2),4) D.eq\f(\r(6)＋\r(2),4)(2)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________.(3)eq\f(cos7°－sin15°sin8°,cos8°)＝________.解析(1)cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).(2)原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－35°－25°)＝cos(－60°)＝cos60°＝eq\f(1,2).(3)原式＝eq\f(cos（15°－8°）－sin15°sin8°,cos8°)＝eq\f(cos15°cos8°＋sin15°sin8°－sin15°sin8°,cos8°)＝eq\f(cos15°cos8°,cos8°)＝cos15°＝cos(60°－45°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).答案(1)D(2)eq\f(1,2)(3)eq\f(\r(6)＋\r(2),4)规律方法利用两角差的余弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.【训练1】求下列三角函数式的值：(1)sineq\f(π,12)；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°.解(1)原式＝cos(eq\f(π,2)－eq\f(π,12))＝coseq\f(5π,12)＝cos[eq\f(π,4)－(－eq\f(π,6))]＝coseq\f(π,4)cos(－eq\f(π,6))＋sineq\f(π,4)sin(－eq\f(π,6))＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.题型二给值求值【例2】已知α，β为锐角，且cosα＝eq\f(4,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(16,65)，求cosβ的值.(1)β＝(α＋β)－α(2)在求sin(α＋β)时需注意α＋β的范围，注意符号的选取解∵0<α，β<eq\f(π,2)，∴0<α＋β<π.由cos(α＋β)＝－eq\f(16,65)，得sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2（α＋β）)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,65)))\s\up12(2))＝eq\f(63,65).又∵cosα＝eq\f(4,5)，∴sinα＝eq\f(3,5).∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,65)))×eq\f(4,5)＋eq\f(63,65)×eq\f(3,5)＝eq\f(5,13).规律方法给值求值问题的解题策略(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.(2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β).【训练2】已知sinα＝eq\f(2,3)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，cosβ＝－eq\f(3,4)，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，求cos(α－β)的值.解∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(2,3)，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(\r(5),3).又β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，cosβ＝－eq\f(3,4)，∴sinβ＝－eq\r(1－cos2β)＝－eq\f(\r(7),4).∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＋eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(7),4)))＝eq\f(3\r(5)－2\r(7),12).题型三给值求角【例3】已知cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，且α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求β的值.eq\a\vs4\al(,注意β＝（α＋β）－α)解∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))且cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，∴α＋β∈(0，π)，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(4\r(3),7)，sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2（α＋β）)＝eq\f(5\r(3),14).又∵β＝(α＋β)－α，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,14)))×eq\f(1,7)＋eq\f(5\r(3),14)×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(1,2).又∵β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴β＝eq\f(π,3).规律方法已知三角函数值求角的解题步骤(1)求所求角的某种三角函数值(为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数).(2)结合三角函数值及角的范围求角.【训练3】已知sin(π－α)＝eq\f(4\r(3),7)，cos(α－β)＝eq\f(13,14)，0<β<α<eq\f(π,2)，求β的大小.解∵sin(π－α)＝sinα＝eq\f(4\r(3),7)，0<α<eq\f(π,2)，∴cosα＝eq\f(1,7)，又∵0<β<α<eq\f(π,2)，∴0<α－β<eq\f(π,2)，又cos(α－β)＝eq\f(13,14)，∴sin(α－β)＝eq\f(3\r(3),14).∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(1,7)×eq\f(13,14)＋eq\f(4\r(3),7)×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(13＋36,98)＝eq\f(1,2).又∵0<β<eq\f(π,2)，∴β＝eq\f(π,3)1.cos56°cos26°＋sin56°cos64°的值为()A.eq\f(1,2) B.－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D.－eq\f(\r(3),2)解析原式＝cos56°cos26°＋sin56°sin26°＝cos(56°－26°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).答案C2.cos(－75°)的值()A.eq\f(\r(6)－\r(2),2) B.eq\f(\r(6)＋\r(2),2)C.eq\f(\r(6)－\r(2),4) D.eq\f(\r(6)＋\r(2),4)解析cos(－75°)＝cos(－30°－45°)＝cos(－30°)cos45°＋sin(－30°)sin45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，故选C.答案C3.已知α是锐角，sinα＝eq\f(2,3)，则cos(eq\f(π,3)－α)＝________.解析因为α是锐角，sinα＝eq\f(2,3)，所以cosα＝eq\f(\r(5),3)，所以cos(eq\f(π,3)－α)＝coseq\f(π,3)cosα＋sineq\f(π,3)sinα＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(5),3)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,3)＝eq\f(\r(5)＋2\r(3),6).答案eq\f(\r(5)＋2\r(3),6)4.若cos(α－β)＝eq\f(1,3)，则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝________.解析原式＝2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝2＋2cos(α－β)＝eq\f(8,3).答案eq\f(8,3)5.计算：eq\f(1,2)sin60°＋eq\f(\r(3),2)cos60°＝________.解析原式＝sin30°sin60°＋cos30°cos60