题型专训：幂的乘方与积的乘方

幂的乘方与积的乘方（题型专训）一、知识清单知识点01幂的乘方法则幂的乘方法则：(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：公式的推广：(，均为正整数)知识点02幂的乘方法则逆用公式幂的乘方法则逆用公式：，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.知识点03积的乘方法则积的乘方法则：(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：公式的推广：(为正整数).知识点04积的乘方法则逆用公式积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：二、题型专训题型01幂的乘方运算【例题】（2023下·广东茂名·七年级统考期末）计算：______．【变式训练】1．（2023下·江苏连云港·七年级校考阶段练习）计算的结果是．2．（2023上·福建福州·八年级校考期末）若，则x的值为．题型02幂的乘方的逆用【例题】（2023下·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）已知：，求的值．【变式训练】1．（2023下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）已知，求：(1)；(2)．2．（2023下·江苏苏州·七年级校考阶段练习）已知，．求：(1)的值；(2)的值；(3)的值．题型03利用幂的乘方比较大小【例题】（2023上·八年级课时练习）已知，，试比较a，b的大小．【变式训练】1．（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）比较，，这三个数的大小，并用“”将它们连接起来．2．（2023上·八年级课时练习）【阅读理解】特殊数大小的比较问题：比较，，的大小．解：，，，．【问题解决】学习以上解题思路和方法，然后完成下题：比较，，的大小．题型04积的乘方运算【例题】（2023上·上海奉贤·七年级校联考期中）计算：．【变式训练】1．（2023上·广东珠海·八年级校考阶段练习）计算：．2．（2023上·广东惠州·八年级统考期中）计算：.题型05积的乘方的逆用【例题】（2023上·福建泉州·七年级校联考期中）计算并认真观察：(1)计算：①___________；___________；②___________；___________．(2)根据以上两组计算结果的规律，猜想：___________（是正整数）；(3)根据你发现的规律与猜想，简便计算：．【变式训练】1．（2023下·江苏·七年级专题练习）（1）若，，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，求的值．2．（2023上·广东深圳·七年级校考期中）阅读下列各式：．解答下列问题：(1)猜想：．(2)计算：；(3)计算：．

参考答案题型01幂的乘方运算【例题】（2023下·广东茂名·七年级统考期末）计算：______．【答案】【分析】直接运用幂的乘方法则进行运算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查的是幂的乘方法则知识内容，幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．【变式训练】1．（2023下·江苏连云港·七年级校考阶段练习）计算的结果是．【答案】【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项法则进行计算即可．【详解】【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项等运算法则，解题的关键是要分辨清这三种不同的运算规则：指数相加、指数相乘、系数相加．2．（2023上·福建福州·八年级校考期末）若，则x的值为．【答案】【分析】本题考查了主要考查了幂的乘方．利用幂的乘方化简，再得到，解方程即可求解．【详解】解；∵，∴，∴，解得，故答案为：．题型02幂的乘方的逆用【例题】（2023下·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）已知：，求的值．【答案】【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法的运算法则，原式可化为，代入已知量，即可求解．【详解】解：．【点睛】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘方的逆运算法则是解题关键．【变式训练】1．（2023下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）已知，求：(1)；(2)．【答案】(1)8(2)72【分析】（1）利用积的乘方的法则运算即可；（2）利用同底数幂的乘法与幂的乘方对式子进行运算即可．【详解】（1）解：∵，∴（2）解：∵，∴【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．2．（2023下·江苏苏州·七年级校考阶段练习）已知，．求：(1)的值；(2)的值；(3)的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）逆用同底数幂乘法运算法则进行计算即可；（2）逆用幂的乘方运算法则进行计算即可；（3）逆用同底数幂乘法和幂的乘方运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：∵，，∴；（2）解：∵，∴；（3）解：∵，，∴．【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法，解题的关键是熟练掌握幂的乘方，同底数幂乘法运算法则，准确计算．题型03利用幂的乘方比较大小【例题】（2023上·八年级课时练习）已知，，试比较a，b的大小．【答案】【分析】根据幂的乘方运算法则把它们化为指数相同的幂，再比较大小即可．【详解】解：∵，，，∴．∴，∴．【点睛】本题主要考查了幂的乘方以及有理数大小比较，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【变式训练】1．（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）比较，，这三个数的大小，并用“”将它们连接起来．【答案】【分析】把它们化为指数相同的幂，再比较大小即可．【详解】解：，，∵，∴【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆用：，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．2．（2023上·八年级课时练习）【阅读理解】特殊数大小的比较问题：比较，，的大小．解：，，，．【问题解决】学习以上解题思路和方法，然后完成下题：比较，，的大小．【答案】【分析】根据幂的乘方逆运算法则解答．【详解】，，，且，．【点睛】本题考查了幂的乘方，正确理解题意、熟练掌握幂的乘方法则是解题关键．题型04积的乘方运算【例题】（2023上·上海奉贤·七年级校联考期中）计算：．【答案】【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键．【详解】解：．【变式训练】1．（2023上·广东珠海·八年级校考阶段练习）计算：．【答案】/【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方，掌握积的乘方、幂的乘方法则是解题的关键．根据积的乘方、幂的乘方法则计算即可．【详解】解：．故答案为：．2．（2023上·广东惠州·八年级统考期中）计算：.【答案】【分析】本题考查了积的乘方运算、幂的乘方运算，先进行积的乘方运算，再进行幂的乘方运算即可得到答案，掌握积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则是解题的关键．【详解】解：原式，故答案为：．题型05积的乘方的逆用【例题】（2023上·福建泉州·七年级校联考期中）计算并认真观察：(1)计算：①___________；___________；②___________；___________．(2)根据以上两组计算结果的规律，猜想：___________（是正整数）；(3)根据你发现的规律与猜想，简便计算：．【答案】(1)①；；②；(2)(3)【分析】本题考查数与式的变化规律，（1）①通过计算得出结论；②通过计算得出结论；（2）根据（1）计算结果的规律猜想得出结论；（3）根据发现的规律与猜想进行计算；根据算式中数的变化找出变化规律是解题的关键．【详解】（1）解：①；，故答案为：；；②；，故答案为：；；（2）根据以上两组计算结果的规律，猜想：，故答案为：；（3）．【变式训练】1．（2023下·江苏·七年级专题练习）（1）若，，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，求的值．【答案】（1）；（2）8；（3）144【分析】（1）将待求式转化为含有x3m，y3n的式子后整体代入计算；（2）（3）利用积的乘方与幂的乘方的逆运算对所求式子化简，然后代入计算即可.【详解】解：（1）∵，，∴；（2）∵，∴，∴；（3）∵，，∴．【点睛】此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，掌握其运算法则是解决此题