折叠问题：平面图形的认识（二）（基础篇）

平面图形的认识（二）（折叠问题）（基础篇）（专项练习）一、单选题1．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则∠A与∠1+∠2之间有始终不变的关系是（）A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2C．3A=∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）2．如图，中，，沿着图中的折叠，点刚好落在边上的点处，则的度数是（

）A． B． C． D．3．将一副三角板按图中所示方式折叠，其中∠ABC=∠D=90°，∠C=60°，∠BAD=45°，AC与BD相交于E，则∠BEC的大小为（

）A． B． C． D．4．如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l，则l是的（

）A．中线 B．高线 C．角平分线 D．任意一条线段5．如图，四边形中，，将四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若，则为（）A． B． C． D．6．如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点B落在B′处，若，则的度数为（

）A． B． C． D．7．如图，将矩形纸片沿折叠，使点A落在对角线上的点处．若，则的大小为（

）A． B． C． D．8．如图，在中，，，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则的度数为（

）A． B． C． D．9．如图，将直角三角形纸片沿（是斜边上一点）折叠，使点落在点处．若，则的度数是（）A． B． C． D．10．如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（）A．如图1，展开后测得∠1=∠2 B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4C．如图3，测得∠1=∠2 D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°11．学习平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m外一点P画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的．观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线．从图中可知，小龙画平行线的依据有（

）①两直线平行，同位角相等；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．A．①② B．②③ C．③④ D．①④12．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是（

）A． B． C． D．二、填空题13．如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使直角顶点A落在斜边BC上的点E处，并使折痕经过点C，得到折痕CD．若∠CDE=70°，则∠B=______°．14．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AD为BC边上的中线，沿中线AD把△ABC折叠后如图2，则S△BDG___S△ACG（用“＜”，“＞”，“＝”填空）．15．“生活中处处有数学”，请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，我们就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是________.16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE分别沿CD，DE折叠，点A、B恰好重合于点A'处．若∠A'CA＝18°，则∠A＝____°．17．如图，已知：长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数是______．18．已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为___19．如图，在中，将、按如图所示的方式折叠，点B、C均落于边上的点Q处，、为折痕，若，则______度．20．如图，在中，，点P是直线上一动点，将沿折叠，点A的对应点为点D．当时，的度数为____________．21．如图，点F是长方形ABCD的边BC上一点，将长方形的一角沿AF折叠，点B的折叠点E落在长方形ABCD外侧，若AEBD，∠ADB=28°，则∠EAD=______°，∠AFC=_______°22．如图，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使A点与I点重合，若∠1+∠2＝132°，则∠BIC＝_____°．三、解答题23．一个四边形的纸片ABCD，其中∠B＝∠D＝90°，把纸片按如图所示折叠，点B落在AD边上的E点，AF是折痕．（1）求证：EF∥DC；（2）如果∠AFB＝70°，求∠C的度数．24．如图，在三角形ABC中，∠C=90°，把三角形ABC沿直线DE折叠，使三角形ADE与三角形BDE重合（1）若∠A=30°，求∠CBD的度数（2）若三角形BCD的周长为12，AE=5，求三角形ABC的周长25．如图，将△ABC的一角折叠，使点C落在△ABC内一点（1）若∠1=40°，∠2=30°，求∠C的度数；（2）试通过第（1）问，直接写出∠1、∠2、∠C三者之间的关系．26．如图①，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落F的位置，DF与BC交于点G，EF与BC交于点M，∠A=80°，求∠1+∠2的度数；27．如图，已知四边形纸片，，点在边上，把纸片按图中所示的方式折叠，使点落在边上的点处，折痕为．（1）试判定与的位置关系，并说明理由；（2）如果，求的度数．28．如图，将长方形纸片沿折叠得到图，点，的对应点分别为点，，折叠后与相交于点．、(1)若，求的度数．(2)设，．①请用含的代数式表示．②当恰好平分时，求的度数．

参考答案1．B【分析】本题问的是关于角的问题，当然与折叠中的角是有关系的，∠1与∠AED的2倍和∠2与∠ADE的2倍都组成平角，结合△AED的内角和为180°可求出答案．解：∵△ABC纸片沿DE折叠，∴∠1+2∠AED=180°,∠2+2∠ADE=180°，∴∠AED=(180°−∠1),∠ADE=(180°−∠2)，∴∠AED+∠ADE=(180°−∠1)+(180°−∠2)=180°−(∠1+∠2)在△ADE中,∠A=180°−(∠AED+∠ADE)=180°−[180°−(∠1+∠2)]=(∠1+∠2)则2∠A=∠1+∠2，故选择B项.【点拨】本题考查折叠和三角形内角和的性质，解题的关键是掌握折叠的性质.2．C【分析】由折叠的性质可求得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，在△ACD中，利用外角可求得∠BDC，则可求得答案．解：由折叠可得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=45°，∵∠A=30°，∴∠BDC=∠A+∠ACD=30°+45°=75°，∴∠CDE=75°．故选C.【点拨】本题主要考查折叠的性质，掌握折叠前后图形的对应线段和对应角相等是解题的关键．3．C【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．解：∵∠ABC=∠D=90°，∠BAD=45°，∠C=60°，∴∠DBA=45°，∠CAB=90°-60°=30°，∴∠BEC=∠CAB+∠DBA=30°+45°=75°．故选：C．【点拨】本题考查了三角形的外角性质，三角板的知识，熟记性质是解题的关键．4．C【分析】根据折叠的性质可得，作出选择即可．解：如图，∵由折叠的性质可知则l是的角平分线，故选：C．【点拨】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键．5．C【分析】由平行线得到，由折叠得到，由三角形的内角和求得的度数．解：，，，由折叠得，，，，，故选：C．【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，折叠的性质，解题的关键是利用平行线的性质求得．6．B【分析】根据，求出即可解答．解：，，，由翻折的性质可知：，，故选：B．【点拨】本题考查翻折变换，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．7．D【分析】由矩形的性质得，由折叠的性质得，，进一步计算即可得出答案．解：∵四边形是矩形，∴，由折叠的性质得：，，∴，∴．故选：D．【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理；熟练掌握折叠的性质是解题的关键．8．C【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据折叠的性质得，，，进而得．解：∵，，∴，∵将点A与点B分别沿和折叠，使点A、B与点C重合，∴，，∴，故选：C．【点拨】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，折叠的性质是解题关键．9．C【分析】根据角之间的数量关系，得出，再根据折叠的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，解出即可得出结果．解：∵，∴，∵将直角三角形纸片沿（是斜边上一点）折叠，使点落在点处，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故选：C【点拨】本题考查了三角形折叠中的角度问题，理清角之间的数量关系是解本题的关键．10．C【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．解：A、当∠1=∠2时，内错角相等，两直线平行，所以；B、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90∘，所以；C、∠1=∠2不能判定a，b互相平行；D、∠1+∠2=180°时，同旁内角互补，两直线平行，所以．故选：C．【点拨】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．11．C【分析】根据折叠可直接得到折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直，折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；然后根据平行线的判定条件由③∠3=∠1可得AB∥CD，由④∠4=∠2，可得AB∥CD．解：第一次折叠后，得到的折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直，将正方形纸展开，再进行第二次折叠（如图（4）所示），得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；∵AB⊥m，CD⊥m，∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°，∵∠3=∠1，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故③正确；∵∠4=∠2，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故④正确；综上分析可知，正确的是①②，故C正确．故选：C．【点拨】此题主要考查了平行线的判定，以及翻折变换，关键是掌握平行线的判定定理．12．B【分析】根据平行线的性质可得∠BFE=∠DEF=22°，则在图a中，∠CFE=158°，进而可得在图b中，∠BFC=136°，进而在图c中即可求解．解：∵，且，∴∠BFE=∠DEF=22°，∴在图a中，∠CFE=180°-∠BFE=158°，∴在图b中，∠BFC=158°-22°=136°，∴在图c中，∠CFE=136°-22°=114°，故选：B．【点拨】本题考查了折叠—有关角的计算，运用了平行线的性质及补角的定义，掌握折叠的性质是解题的关键．13．50【分析】根据折叠的性质求得∠CDE=∠CDA=70°，得到∠BDE=40°，再利用余角的性质即可求解．解：根据折叠的性质得：∠CDE=∠CDA=70°，∠CED=∠A=90°，∴∠BDE=180°-70°-70°=40°，∠BED=180°-90°=90°，∴∠B=180°-90°-40°=50°，故答案为：50．【点拨】本题考查翻折变换，三角形内角和定理等知识，关键是根据翻折前后对应角相等，利用三角形内角和定理求解即可．14．【分析】根据三角形中线的性质可得，由此即可得出答案．解：是边上的中线，（等底同高），，即，故答案为：．【点拨】本题考查了三角形的中线，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．15．三角形的内角和是180°【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理．解：根据折叠的性质，∠A=∠3，∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠B+∠C+∠A=180°，∴定理为：三角形的内角和是180°．故答案为：三角形的内角和是180°．【点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．16．126【分析】由折叠的性质可得AD＝A'D＝BD，∠DCB＝∠DCA，∠BDC＝∠A'DC，∠ADE＝∠EDA'，由直角三角形的性质和折叠的性质可求∠DCB＝54°，∠DCA＝36°，即可求∠AED的度数．解：∵将△BCD，△ADE分别沿CD，DE折叠，点A、B恰好重合于点A'处．∴AD＝A'D＝BD，∠DCB＝∠DCA，∠BDC＝∠A'DC，∠ADE＝∠EDA'，∵∠ACB＝90°，AD＝A'D＝BD∴AD＝BD＝CD，∠ACD+∠DCB＝90°∴∠A＝∠DCA∵∠ACA'＝∠DCA'﹣∠DCA＝18°，∠ACD+∠DCB＝90°∴∠DCB＝54°，∠DCA＝36°∵∠BDC＝∠A'DC，∠ADE＝∠EDA'，∴∠EDC＝90°∴∠AED＝∠EDC+∠DCA＝126°故答案为：126．【点拨】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．17．##度【分析】根据平行线的性质得到，由折叠得：，，从而得到与的和．利用两个平角求出与的和，最后根据三角形内角和等于即可求出答案．解：长方形，，，，，由折叠得：，，，，在中，，故答案是：．【点拨】本题考查了平行线的性质、折叠的性质以及三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行线的性质．18．72【分析】设，则，由折叠得，，，根据三角形的外角的性质得出，解方程即可求解．解：设，则，由折叠得，，，是的外角，，，解得：，，故答案为：．【点拨】本题考查了三角形的外角的性质，三角形内角和定理，折叠问题，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．19．80【分析】由折叠的性质可知：，，根据三角形的内角和为，可求出的度数，进而得到的度数，问题得解．解：线段、为折痕，∴，，，，，，故答案为：80．【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利用整体思想得到的度数．20．##75度【分析】首先求出，进而可得的度数，然后根据折叠的性质得出答案．解：∵，，∴，∴，由折叠得：，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了折叠的性质，角的和差计算，求出的度数是解题的关键．21．

28

149【分析】根据长方形的定义，得出∠BAD＝∠ABC＝90°，再根据平行线的性质，由AEBD，即可得到∠EAD＝∠ADB＝28°，再根据长方形的一角沿AF折叠，得∠BAF＝∠EAF＝59°，然后根据角的关系，得到∠DAF＝31°，再根据平行线的性质，得出∠DAF+∠AFC＝180°，即可计算出∠AFC的度数．解：∵四边形ABCD为长方形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，∵AEBD，∴∠EAD＝∠ADB＝28°，∴∠BAE＝∠BAD+∠EAD＝90°+28°＝118°，∵长方形ABCD沿AF折叠，点B的折叠点E落在长方形ABCD外侧，∴∠BAF＝∠EAF＝∠BAE＝×118°＝59°，∴∠DAF＝∠BAF∠EAD＝59°28°＝31°，∵ADBC，∴∠DAF+∠AFC＝180°，∴∠AFC＝180°31°＝149°．故答案为：28；149【点拨】本题考查了长方形的定义、平行线的性质，熟悉平行线的性质是解本题的关键．22．123【分析】根据题意结合图形得∠ADI+∠AEI＝228°，由折叠的性质得∠ADE+∠AED=114°，利用三角形内角和定理得出∠A=66°，再由角平分线进行计算即可．解：∵∠1+∠2＝132°，∴∠ADI+∠AEI＝360°-(∠1+∠2)＝228°，∵△ABC折叠，使A点与I点重合∴∠ADE=∠IDE，∠AED=∠IED，∴∠ADE+∠AED=228°÷2=114°，∴∠A=180°-114°=66°，∴∠ABC+∠ACB=180°-66°=114°，∵BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，∴∠IBC+∠ICB=，∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=123°，故答案为：123．【点拨】题目主要考查折叠的性质及三角形内角和定理，角平分线的计算等，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键．23．（1）见分析；（2）140°【分析】（1）由折叠得：∠AEF＝∠B＝90°，然后根据平行线的判定定理可进行求证；（2）根据折叠可得∠AFB＝∠AFE，则有∠BFE＝140°，然后根据平行线的性质可求解．解：（1）证明：由折叠得：∠AEF＝∠B＝90°，∵∠D＝90°，∴∠AEF=∠D，∴EF∥CD；（2）解：根据折叠可得∠AFB＝∠AFE，∵∠AFB＝70°，∴∠BFE＝70°×2＝140°，∵EF∥DC，∴∠C＝∠EFB＝140°．【点拨】本题主要考查折叠的性质及平行线的性质与判定，熟练掌握折叠的性质及平行线的性质与判定是解题的关键．24．（1）；（2）22【分析】（1）根据折叠三角形重合，可得，根据直角三角的性质求解即可；（2）根据AE=BE，BD=AD，化简即可得到结果；解：（1）∵三角形ADE与三角形BDE重合，∴，∴，∵∠C=90°，∠A=30°，∴，∴．（2）由（1）得：AE=BE，BD=AD，，∵三角形BCD的周长为12，∴，∴，∵AE=5，∴，∴三角形ABC的周长．【点拨】本题主要考查了三角形的折叠问题，准确分析是解题的关键．25．（1）；（2）2∠C=1+∠2.【分析】（1）由折叠关系可得到∠C=∠C′,∠C′DE=∠CDE,∠C′ED=∠CED，在再根据平角的性质，得到∠C′DC+∠C′EC的值，在根据四边形的内角和为360°，即可求出∠C的度数；（2）根据（1）问可知，∠C′DC+∠C′EC=360∘−(∠1+∠2)，2∠C=360°-（∠C′DC+∠C′EC），联立上式即可得到∠1、∠2、∠C三者之间的关系.解：（1)

∵△C′DE是由△CDE折叠而成，∴∠C=∠C′,∠C′DE=∠CDE,∠C′ED=∠CED，又∠1+∠C′DC=180∘,∠2+∠C′EC=180∘∴∠C′DC+∠C′EC=360∘−(∠1+∠2)=290∘，又∵四边形C′DCE的内角和为360∘，∴∠C′+∠C=7