折叠问题：平面图形的认识（二）（巩固篇）

平面图形的认识（二）（折叠问题）（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．如图，在，将点A与点B分别沿和折叠，使点A、B与点C重合，则的度数为（

）A．22° B．21° C．20° D．19°2．如图，已知三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点C落则在内，若，则∠2的度数为（

）A．29° B．30° C．31° D．32°3．如图1，中，点和点分别为上的动点，把纸片沿折叠，使得点落在的外部处，如图2所示．若，则度数为(

)A． B． C． D．4．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（）A． B． C． D．5．如图，，垂足为O，的平分线与的平分线相交于点E，将沿FG折叠，使点E落在四边形内部的位置，则的值为（）A． B． C． D．6．如图，在长方形纸片ABCD中，点F是边BC上一点（不含端点），沿DF折叠纸片使得点C落在点C′位置，满足C′D∥AC，∠ADF－∠ACB＝18°，则∠ADF的度数是（

）A．42° B．36° C．54° D．18°7．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD，若，若，则的度数是（）A． B． C． D．8．如图，将一张四边形纸片沿EF折叠，以下条件中能得出AD∥BC的条件个数是（

)

①∠2=∠4：②∠2+∠3=180°；③∠1=∠6：④∠4=∠5A．1 B．2 C．3 D．49．如图，图①是一个四边形纸条ABCD，其中AB∥CD，E，F分别为边AB，CD上的两个点，将纸条ABCD沿EF折叠得到图②，再将图②沿DF折叠得到图③，若在图③中，∠FEM=26°，则∠EFC的度数为（

）A．52° B．64° C．102° D．128°10．学习近平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m外一点P画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的．观察图(1)～(4)，经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有()①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．A．①② B．②③ C．③④ D．①④二、填空题11．如图，已知中，，，D为上一点，将沿折叠后，且，则的度数是_____°．12．如图，在中，，是斜边的中点，将沿直线折叠，点落在点处，如果恰好与垂直，则_______°．13．已知中，，将按照如图所示折叠，若，则_____．14．如图，沿折叠使点落在点处，、分别是、平分线，若，，则_____．15．如图，把一张纸片沿折叠，若，，则的度数为______．16．如图，直角三角形ABC在，∠C＝90°，∠BAC＝60°，点D是BC边上的一点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处，当△BDE是直角三角形时，∠CAD的度数为__________．17．如图，长方形纸片ABCD，点E，F分别在AB，BC边上，将纸片沿EF折叠，使点B落在边AD上的点处，然后再次折叠纸片使点F与点重合，点C落在点，折痕为GH，若，则∠EFC＝______度．18．如图，在四边形纸片中，将纸片折叠，点、分别落在、处，折痕为，与交于点．若，则的度数为________．19．折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图所示，育育在课余时间拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿EF折叠，再将折叠后的纸片沿GH折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则的度数为_____________．20．学习平行线后，张明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的．观察图（1）~（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P与已知直线a平行的直线．由操作过程可知张明画平行线的依据有__________．①同位角相等，两直线平行；

②两直线平行，同位角相等；③内错角相等，两直线平行；

④同旁内角互补，两直线平行．21．如图，有一条纸带ABCD，现小慧对纸带进行了下列操作：（1）将这条上下两边互相平行的纸带折叠，设∠1为65°，则∠a的度数为___．（2）已知这是一条长方形纸带，点E在折线AD﹣DC上运动，点F是AB上的动点，连EF，将纸带沿着EF折叠，使点A的对应点A'落在DC边上，若∠CA'F＝x°，请用含x的代数式来表示∠EAA'的度数：___．22．有长方形纸片，E，F分别是AD，BC上一点∠DEF＝x（0°＜x＜45°），将纸片沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2．（1）如图1，当x＝32°时，＝_____度；（2）如图2，作∠MGF的平分线GP交直线EF于点P，则∠GPE＝_____（用x的式子表示）．三、解答题23．如图，在中，O是边AC上的一点，，将沿折叠得到，与交于点N．(1)求的度数．(2)求的度数．24．如图，长方形ABCD中，AD∥BC，E为边BC上一点，将长方形沿AE折叠（AE为折痕），使点B与点F重合，EG平分∠CEF交CD于点G，过点G作HG⊥EG交AD于点H．（1）请判断HG与AE的位置关系，并说明理由．（2）若∠CEG＝20°，请利用平行线相关知识求∠DHG的度数．25．人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下：如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，则．∵（想一想为什么），∴．请证明上文中的．如图2，在中，如果，能否证明？小敏同学提供了一种方法：将折叠，使点B落在点C上，折痕交于点F，交于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小敏的方法完成证明．26．（1）如图，把沿折叠，使点落在点处，试探究、与的关系；（2）如图2，若，，作的平分线，与的外角平分线交于点，求的度数；（3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时，，满足怎样的数量关系？并给出证明过程．27．如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，(1)若、则__________．(2)若“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”如图2，试猜想此时与、之间的数量关系，并说明理由．(3)将四边形纸片（不平行）折叠成图3的形状，若，，请直接写出的度数．28．如图a，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，将纸带沿EF折叠后，点C,D分别落在H，G的位置，再沿BC折叠成图b（1）图a中，若，则______，______（2）图b中，，当为何值时，参考答案1．C【分析】根据，点A与点B分别沿和折叠，使点A、B与点C重合，得到，结合代入计算即可．解：因为，点A与点B分别沿和折叠，使点A、B与点C重合，所以，因为，所以，解得．故选C．【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．2．D【分析】利用三角形的内角和定理和四边形的内角和解答即可．解：∵，，∴，∵，，∴．∵四边形的内角和为360°，∴，∴．∵，∴．故选：D．【点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理，图形的翻折变换，熟练掌握三角形的内角和定理和四边形的内角和定理是解题的关键．3．B【分析】根据折叠的性质得出，，继而分别表示出，得到，即可求解．解：根据折叠的性质得，，∵，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴故选B．【点拨】本题考查了折叠问题，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．4．C【分析】连接，根据三角形内角和求出，再根据，，得出，从而得出答案．解：如图，连接，∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∵，，，∵，，∴，∴平分，平分，∴平分，∴，∵，∴．故选：C．【点拨】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识．5．A【分析】由、外角定理和三角形内角和为得到，再利用的平分线与的平分线相交于点E得到，从而得到，继而可知，再利用折叠的性质可知，最后利用邻补角计算出的值．解：∵，垂足为O，∴，又∵，，，∴又∵的平分线与的平分线相交于点E，∴∴∴，∴，又折叠的性质可知：，∴，∴，∴故选：A．【点拨】本题考查与角平分线有关的三角形内角和定理，折叠的性质，三角形的外角定理等知识，掌握三角形的内角和与外角定理是解题的关键．6．B【分析】根据翻折的性质及平行线的性质求解即可．解：∵四边形ABCD为长方形，∴AD∥BC，∠BCD＝90°，∴∠DAC＝∠ACB，∠ADF＝∠DFC，∵C′D∥AC，∴∠DAC＝∠C′DA，由折叠的性质得到，△CDF≌△C′DF，∴∠FDC＝∠FDC′＝∠ADF+∠C′DA＝∠ADF+∠ACB，∴∠CFD+∠FDC＝2∠ADF+∠ACB＝90°，∵∠ADF﹣∠ACB＝18°，∴∠ADF＝36°，故选：B．【点拨】此题考查了翻折的性质，熟记翻折的性质是解题的关键．7．D【分析】由折叠的性质可知∠1=∠BAG，2∠BDC+∠2=180°，根据BE∥AG，得到∠CFB=∠CAG=2∠1，从而根据平行线的性质得到∠CDB=2∠1，则∠2=180°-4∠1.解：由题意得：AG∥BE∥CD，CF∥BD，∴∠CFB=∠CAG，∠CFB+∠DBF=180°，∠DBF+∠CDB=180°∴∠CFB=∠CDB∴∠CAG=∠CDB由折叠的性质得∠1=∠BAG，2∠BDC+∠2=180°∴∠CAG=∠CDB=∠1+∠BAG=2α∴∠2=180°-2∠BDC=180°-4α故选D.【点拨】本题主要考查了平行线的性质与折叠的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.8．D【分析】分别利用同旁内角互补两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行得出答案即可．解：①∵∠2=∠4，∴AD∥BC（同位角相等两直线平行），符合题意；②∵∠2+∠3=180°，∠5+∠3=180°，∴∠5=∠2，∴GF∥HE，因为GF和HE是由DF和CE折叠得到的，∴FD∥EC，即AD∥EC，符合题意；③∠1=∠6，由折叠性质知∠1=∠FEC，∴∠6=∠FEC，∴AD∥BC，符合题意：④由折叠的性质知,∠GFE=∠DFE，∴∠DFE=∠5+∠6，∵∠6+∠DFE=180°，∴∠5+2∠6=180°，∵∠4=∠5，∴∠4+2∠6=180°，又∵∠4+2∠1=180°，∴∠6=∠1=∠FEC，∴AD∥BC，符合题意.故答案为：D.【点拨】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键．9．C【分析】先由折叠得：∠BEF=2∠FEM=52°，由平行线的性质得∠EFM=26°，如图③中，根据折叠和平行线的性质得，∠MFC=128°，根据角的差可得结论．解：如图①，由折叠得：∠BEF=2×26°=52°，如图②，∵AE∥DF，∴∠EFM=26°，∠BMF=∠DME=52°，∵BM∥CF，∴∠CFM+∠BMF=180°，∴∠CFM=180°-52°=128°，由折叠得：如图③，∠MFC=128°，∴∠EFC=∠MFC-∠EFM=128°-26°=102°，故选C．【点拨】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质等知识；熟练掌握平行线和翻折变换的性质得出相等的角是解决问题的关键．10．C【分析】根据折叠可直接得到折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直，折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；然后根据平行线的判定条件可得③∠3=∠1可得m∥CD；④∠4=∠2，可得m∥CD．解：第一次折叠后，得到的折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直；将正方形纸展开，再进行第二次折叠（如图（4）所示），得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；∵AB⊥m，CD⊥AB，∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°，∵∠3=∠1，∴m∥CD（同位角相等，两直线平行），故③正确．∵∠4=∠2，∴m∥CD（内错角相等，两直线平行），故④正确．故选C．【点拨】此题主要考查了平行线的判定，以及翻折变换，关键是掌握平行线的判定定理．11．25【分析】由平行线的性质和折叠的性质可得，再由三角形的内角和定理求出，利用角的和差即可求出．解：∵折叠后得到，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，故答案为：25．【点拨】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，掌握平行线的性质、折叠的性质是解题的关键．12．30【分析】根据折叠的性质可知，折叠前后的两个三角形全等，则，从而求得答案．解：如图，在中，，∵是斜边上的中线，∴，∴，将沿直线折叠，点落在点处，设度，∵，∴，如果恰好与垂直，在中，，即，解得，，∴，∵，∴，即故答案为：30【点拨】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．13．【分析】利用三角形的内角和定理的推论，先用表示出，再利用邻补角和四边形的内角和定理用表示出，最后再利用三角形的内角和定理求出．解：由折叠知．∵，∴．∵，，∴．∴．故答案为：．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是”、“四边形的内角和是”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键．14．140【分析】欲求，因为，所以仅需求．根据三角形外角的性质，得．因为、分别是、平分线，所以，进而可求出．解：如图，、分别是、平分线，，．又，，又，，，，由题意得：，，，故答案为：140．【点拨】本题主要考查三角形外角的性质以及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质以及角平分线的定义是解决本题的关键．15．##50度【分析】由折叠的性质得：．先求出的度数，可得的值，再根据直角三角形两直角互余求解即可．解：由折叠的性质得：．∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点拨】本题考查图形折叠的性质、邻补角的定义、直角三角形两锐角互余，熟练掌握图形折叠的性质是解决本题的关键．16．或【分析】分两种情况：当点在上时，有直角三角形的性质可得，当时，即在外时，由折叠可得：，，，平分，即．解：分两种情况：如图，①当时，点在上时，②当时，即在外时，如图，由折叠可得：，，，平分，，不可能为直角．故答案为或．【点拨】本题考查折叠的性质，解本题要注意分类讨论．熟练掌握折叠的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和等基本知识点．17．147【分析】根据将纸片沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，得出∠EB′F＝∠B＝90°，∠BFE＝∠B′FE，可得∠AB′E+∠DB′F＝90°，根据四边形ABCD为长方形，得出ADBC，可得∠DB′F＝∠B′FB＝2∠EFB，可求∠AB′E＝90°﹣∠DB′F＝90°﹣2∠EFB，根据GH为对称轴，可得∠C′B′F＝∠CFB′＝180°﹣∠B′FB＝180°﹣2∠EFB，可得∠C′B′D＝∠C′B′F﹣∠FB′D＝180°﹣2∠EFB﹣2∠EFB，根据∠C′B′D＝∠AB′E+24°，列方程180°﹣2∠EFB﹣2∠EFB﹣（90°﹣2∠EFB）＝24°，解方程即可．解：∵纸片沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，∴∠EB′F＝∠B＝90°，∠BFE＝∠B′FE，∴∠AB′E+∠DB′F＝90°，∵四边形ABCD为长方形，∴ADBC，∴∠DB′F＝∠B′FB＝2∠EFB，∴∠AB′E＝90°﹣∠DB′F＝90°﹣2∠EFB，∵再次折叠纸片使点F与点B'重合，点C落在点C'，折痕为GH，∴四边形GHC′B′与四边形GHCF关于EG对称，∴∠C′B′F＝∠CFB′＝180°﹣∠B′FB＝180°﹣2∠EFB，∵∠C′B′D＝∠C′B′F﹣∠FB′D，∴∠C′B′D＝180°﹣2∠EFB﹣2∠EFB，∵∠C′B′D＝∠AB′E+24°，∴∠C′B′D﹣∠AB′E＝24°，∴180°﹣2∠EFB﹣2∠EFB﹣（90°﹣2∠EFB）＝24°，∴∠EFB＝33°，∴∠EFC＝180°﹣∠EFB＝147°，故答案为：147．【点拨】本题主要考查了折叠的性质、平行线的性质，三角形的内角和定理，恰当应用折叠的性质是解题的关键．18．40°【分析】先根据平行线的性质证明∠CNM=∠AMN，∠B=∠D，由折叠的性质可知，∠AMN=∠EMN，再证明∠CNF=∠BME，推出∠BME+∠B=140°，则∠BPM=180°-∠B-∠BME=40°．解：∵，∴∠A+∠D=∠A+∠B=180°，∠CNM=∠AMN，∴∠B=∠D，由折叠的性质可知，∠AMN=∠EMN，∵，∴∠MNF+∠EMN=180°，又∵∠AMN+∠EMN+∠BME=180°，∴∠AMN+∠EMN+∠BME=∠EMN+∠MNF，∴∠MNF=∠AMN+∠BME，∴∠CNF+∠CNM=∠AMN+∠BME，∴∠CNF=∠BME，∵∠D+∠CNF=140°，∴∠BME+∠B=140°，∴∠BPM=180°-∠B-∠BME=40°，故答案为：40°．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟知平行线的性质是解题的关键．19．75°【分析】根据平行线的性质求得∠FED=60°，∠AEF=120°，再利用折叠的性质以及余角的性质求得∠A1GE=30°，再利用折叠的性质即可求解．解：∵ADBC，∠BFE=60°，∴∠FED=60°，∠AEF=180°-60°=120°，由折叠的性质得：∠A1EF=∠AEF=120°，∠A1=∠A=90°，∴∠A1EG=∠A1EF-∠FED=60°，∴∠A1GE=90°-∠A1EG=30°，∴∠DGD1=∠A1GE=30°，由折叠的性质得：∠DGH=∠HGD1=∠DGD1=15°，，∴故答案为：75°．【点拨】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．20．①③④【分析】根据题意可得a⊥AB，CD⊥AB，然后利用平行线的判定即可解答．解：由题意得：a⊥AB，CD⊥AB，所以，可以利用同位角相等，两直线平行或内错角相等，两直线平行或同旁内角互补，两直线平行，来判定a∥CD，∴由操作过程可知张明画平行线的依据有①③④，故答案为：①③④．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，平行线，翻折变换（折叠问题），熟练掌握平行线的判定是解题的关键．21．

57.5°；

或【分析】（1）由翻折的性质可得∠3=∠4，由AB∥CD，可以得到∠a=∠3=∠4，再根据三角形内角和定理求解即可；（2）分两种情况如图，分类讨论求解即可．解：（1）如图，由翻折的性质得：∠3=∠4，∵AB∥CD，∴∠a=∠3=∠4，∵∠2=∠1=65°，∠4+∠a+∠2=180°，∴2∠a=180°-65°，∴∠a=57.5°，故答案为：57.5°；（2）由翻折的性质可知，，∴，∴，∵∠D=90°，∴∵，∴，∴；如图，由翻折的性质可知，，∴，，∵AB∥CD，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：或．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．22．

64

2x【分析】（1）由长方形的对边是平行的，得到∠BFE＝∠DEF＝30°，根据三角形外角的性质得到∠EGB＝∠BFE+∠DEF＝60°，由对顶角的性质得到∠FGD′＝∠EGB＝60°，即可得到∠GFC′＝180°﹣∠FGD′＝120°；（2）由长方形的对边是平行的，设∠BFE＝∠DEF＝x，根据三角形外角的性质得到∠EGB＝∠BFE+∠D′EF＝2x，由对顶角的性质得到∠FGD′＝∠EGB＝2x，由折叠可得∠MGF＝∠D′GF＝2x，由角平分线的定义得到∠PGF＝x，再根据三角形外角的性质得到∠GPE，从而求解．解：（1）由折叠可得∠GEF＝∠DEF＝32°，∵长方形的对边是平行的，∴∠DEG＝∠FGD′，∴∠DEG＝∠GFE+∠DEF＝64°，∴∠FGD′＝∠EGD＝64°，∴当x＝30度时，∠GFD′的度数是64°．故答案为：64；（2）∠GPE＝2∠GEP＝2x．由折叠可得∠GEF＝∠DEF，∵长方形的对边是平行的，∴设∠BFE＝∠DEF＝x，∴∠EGB＝∠BFE+∠D′EF＝2x，∴∠FGD′＝∠EGB＝2x，由折叠可得∠MGF＝∠D′GF＝2x，∵GP平分∠MGF，∴∠PGF＝x，∴∠GPE＝∠PGF+∠BFE＝2x，∴∠GPE＝2∠GEP＝2x．故答案为：∠GPE＝2x．【点拨】本题考查翻折变换的性质、平行线的性质，熟悉掌握相关知识点并准确识图，理清翻折前后重叠的角是解题的关键．23．(1) (2)【分析】（1）根据折叠的性质，得到的两个三角形全等，利用全等的性质，即可求解；（2）利用三角形内角和定理及折叠的性质即可求解．（1）解：∵沿折叠得到．∴．∵°，∴（2）解：∵°∴°∵沿折叠得到，∴°，∴【点拨】本题考查了三角形的折叠问题，三角形内角和定理，解题的关键是掌握折叠的性质．24．（1）HG∥AE，理由见分析；（2）∠DHG＝70°．【分析】（1）根据折叠的性质得∠AEB=∠AEF，根据角平分线定义及垂直的定义得AE⊥EG，最后由平行的判定可得结论；（2）由余角的性质得∠AEB=70°，然后根据平行线的性质可得答案．解：（1）平行，理由如下：∵长方形沿AE折叠，∴∠AEB＝∠AEF，∵EG平分∠CEF交CD于点G，∴∠FEG＝∠CEG，∵∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG＝180°，∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝90°，∴AE⊥EG，∵HG⊥ED，∴HG∥AE；（2）∵∠CEG＝20°，∴∠AEB＝70°，∵长方形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝70°，∵HG∥AE，∴∠DHG＝∠DAE＝70°．【点拨】此题考查了折叠问题及平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．25