第一章排列与组合

2024/10/291组合数学郝聚涛haojutao163计算机系2024/10/29组合数学-上海理工大学2教材组合数学（第四版），卢开澄卢华明著，清华大学出版社，2019本书共分8章，内容包括:排列与组合递推关系与母函数容斥原理与鸽巢原理Burnside引理与Polya定理区组设计线性规划编码简介组合算法简介考试

时间：第九周课内形式：闭卷内容：上课例题为主成绩：平时+试卷成绩2024/10/29组合数学-上海理工大学32024/10/29组合数学-上海理工大学41666年莱布尼兹所著《组合学论文》一书问世，这是组合数学的第一部专著。书中首次使用了组合论（Combinatorics）一词。1646.7.1.—1716.11.14.）德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人。1664年1月，莱布尼茨完成了论文《论法学之艰难》，获哲学硕士学位。1665年，莱布尼茨向莱比锡大学提交了博士论文《论身份》，1666年，审查委员会以他太年轻(年仅20岁)而拒绝授予他法学博士学位，1667年2月，阿尔特多夫大学授予他法学博士学位，还聘请他为法学教授。1700年2月，他还被选为法国科学院院士。至此，当时全世界的四大科学院：英国皇家学会、法国科学院、罗马科学与数学科学院、柏林科学院都以莱布尼次作为核心成员。2024/10/29组合数学-上海理工大学5始创微积分高等数学上的众多成就

计算机科学贡献1673年莱布尼茨特地到巴黎去制造了一个能进行加、减、乘、除及开方运算的计算机率先为计算机的设计，系统提出了二进制的运算法则，为计算机的现代发展奠定了坚实的基础

丰硕的物理学成果

充分地证明了“永动机是不可能”的观点哲学贡献单子论多才多艺

1693年，莱布尼茨发表了一篇关于地球起源的文章，后来扩充为《原始地球》一书1677年，他写成《磷发现史》，对磷元素的性质和提取作了论述在气象学方面。他曾亲自组织人力进行过大气压和天气状况的观察1691年，莱布尼茨致信巴本，提出了蒸汽机的基本思想。1677年，莱布尼茨发表《通向一种普通文字》，以后他长时期致力于普遍文字思想的研究，对逻辑学、语言学做出了一定贡献。今天，人们公认他是世界语的先驱……2024/10/29组合数学-上海理工大学6组合数学概述组合数学（combinatorialmathematics），又称为离散数学。狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面问题。组合数学主要内容有组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化等。组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。计算机科学即算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。2024/10/29组合数学-上海理工大学7典型问题地图着色问题：对世界地图着色，每一个国家使用一种颜色。如果要求相邻国家的颜色相异，是否总共只需四种颜色？这是图论的问题。船夫过河问题：船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜运过河。只要船夫不在场，羊就会吃白菜、狼就会吃羊。船夫的船每次只能运送一种东西。怎样把所有东西都运过河？这是线性规划的问题。中国邮差问题：由中国组合数学家管梅谷教授提出。邮递员要穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程最短？这不是一个NP完全问题，存在多项式复杂度算法：先求出度为奇数的点，用匹配算法算出这些点间的连接方式，然后再用欧拉路径算法求解。这也是图论的问题。任务分配问题（也称婚配问题）：有一些员工要完成一些任务。各个员工完成不同任务所花费的时间都不同。每个员工只分配一项任务。每项任务只被分配给一个员工。怎样分配员工与任务以使所花费的时间最少？这是线性规划的问题。2024/10/29组合数学-上海理工大学8第一章排列与组合主要内容：一、排列与组合二、排列组合的生成算法三、组合意义的解释与应用举例2024/10/29组合数学-上海理工大学9一、排列与组合

加法法则和乘法法则

一一对应

排列、组合

圆周排列

可重排列

可重组合

不相邻的组合2024/10/29组合数学-上海理工大学101.加法法则与乘法法则加法法则：设具有性质A的事件有m个，具有性质B的事件有n个，则具有性质A或B的事件有m+n个。若

|A|=m,|B|=n,A∩B=,则

|A∪B|=m+n

。集合论语言：基本假设：性质A和性质B是无关的两类。2024/10/29组合数学-上海理工大学11例1

某班选修企业管理的有18人，不选的有10人，则该班共有18+10=28人。例2

假设要从北京坐飞机或者火车或者客车到上海。北京每天到达上海的飞机有5个航班，火车有7趟，客车有10趟，则每天由北京到达上海的旅行方式有5+7+10=22种。2024/10/29组合数学-上海理工大学12乘法法则：设具有性质A的事件有m个，具有性质B的事件有n个，则具有性质A和B的事件有mn个。若

|A|=m,|B|=n,A

B={(a,b)|a

A,b

B},则

|A

B

|=mn

。集合论语言：例3从A到B有三条道路，从B到C有两条道路，则从A经B到C有32=6

条道路。加法法则：得到事件通过两种不同的方法。乘法法则：得到事件通过两个步骤。2024/10/29组合数学-上海理工大学13例4

某种样式的运动服的着色由底色和装饰条纹的颜色配成。底色可选红、蓝、橙、黄，条纹色可选黑、白，则共有42=8种着色方案。若此例改成底色和条纹都用红、蓝、橙、黄四种颜色的话，则方案数就不是44=16，而只有43=12种。2024/10/29组合数学-上海理工大学14例5(1)求小于10000的含1的正整数的个数；

(2)求小于10000的含0的正整数的个数。(1)小于10000的不含1的正整数可看做4位数，但

0000除外.故有9×9×9×9－1＝6560个。含1的有：9999－6560=3439个，

另：全部4位数有104个，不含1的四位数有94个，含1的4位数为两个的差：104－94=3439个。2024/10/29组合数学-上海理工大学159999－7380=2619.9+9+9+9=(9－1)/(9－1)=73802345(2)“含0”和“含1”不可直接套用。0019含1但不含0。不含0的1位数有9个，2位数有92个，3位数有93个，4位数有94个。不含0小于10000的正整数有含0小于10000的正整数有2024/10/29组合数学-上海理工大学164×3×5＝60；(2)6×3＝18个位数有5种取法，千位数有8种取法，百位，十位各有8，7种取法。5×8×8×7＝2240。例6(1)n=73*112*134，求除尽n的数的个数；(2)n=73*142，求除尽n的数的个数；例7

在1000和9999之间有多少每位上的数字均不同的奇数？2024/10/29组合数学-上海理工大学17例8

由a,b,c,d,e这5个字符，从中取6个构成字符串，要求(1)第1，6个字符必为子音字符b，c，d；(2)每个字符串必有两个母音字符a或e，且两个母音字符不相邻；(3)相邻的两个子音字符必不相同。求满足这样的条件的字符串的个数。由条件(1)，两个母音字符的位置不能在1，6，又由条件(2)，位置只能是(2,4),(2,5)和(3,5)之一。对每种格式，母音2×2，相邻子音3×2，其他两个子音3×3。因此答案为

3×（2×2×3×2×3×3）=648。课堂练习2024/10/29组合数学-上海理工大学18abcde1b/c/d32a/e23b/c/d34a/22526b/c/d31b/c/d3223a/e24a/b/c35a/e26b/c/d31b/c/d32a/e23b/c/d3425a/e26b/c/d32024/10/29组合数学-上海理工大学19如我们说A集合有n个元素|A|=n，无非是建立了将A中元与[1,n]元一一对应的关系。在组合计数时往往借助于一一对应实现模型转换。比如要对A集合计数，但直接计数有困难，于是可设法构造一易于计数的B，使得A与B一一对应。2.一一对应“一一对应”概念是一个在计数中极为基本的概念。一一对应既是单射又是满射。2024/10/29组合数学-上海理工大学20一种常见的思路是按轮计场，费事。另一种思路是淘汰的选手与比赛(按场计)集一一对应。99场比赛。例9

在100名选手之间进行淘汰赛(即一场的比赛结果，失败者退出比赛),最后产生一名冠军，问要举行几场比赛？2024/10/29组合数学-上海理工大学21可以先计算对角线的个数，然后计算交点，但是存在在多边形内无交点的情形，比较复杂。可以考虑对应关系：多边形内交点to多边形四个顶点。可以证明这是一一映射（映射，单且满）。例10

设凸n边形的任意三条对角线不共点，求对角线在多边形内交点的个数。2024/10/29组合数学-上海理工大学22

一一对应例

CnH2n+2是碳氢化合物,随着n的不同有下列不同的枝链：

H|H—C—H|H

H|H—C—H|H—C—H|H

H|H—C—H|H—C—H|H—C—H|Hn=1甲烷n=2乙烷n=3丙烷2024/10/29组合数学-上海理工大学23

一一对应

H|H—C—H|H—C—H|H—C—H|H—C—H|H

H|HH—CH||H—C—C—H||H—CH|HHn=4丁烷n=4异丁烷这说明对应CnH2n+2的枝链是有3n+2个顶点的一棵树，其中n个顶点关联的边数为4；其它2n+2个顶点是叶子。对于这样结构的每一棵树，就对应有一种特定的化合物。构造化合物转化为图论问题，计算符合上述条件的树的数目，便可确定对应的不同化合物的数目2024/10/29组合数学-上海理工大学241.2一一对应例

(Cayley定理)n个有标号的顶点的树的数目等于

。两个顶点的树是唯一的。1－2n＝3时，数的数目3。1－2－3，1－3－2，2－1－3思路：n点树《一一对应》长度n-2序列n个字母的长度n-2序列的数目是2024/10/29组合数学-上海理工大学25

一一对应⑦⑥

|

|②—③—①—⑤—④41253逐个摘去标号最小的叶子，叶子的相邻顶点(不是叶子，是内点)形成一个序列，序列的长度为n-2例给定一棵有标号的树边上的标号表示摘去叶的顺序。(摘去一个叶子相应去掉一条边)

第一次摘掉②，③为②相邻的顶点，得到序列的第一个数3

以此类推，消去23465，得到序列31551,长度为7－2=5，这是由树形成序列的过程。2024/10/29组合数学-上海理工大学26

一一对应（复杂）由序列形成树的过程：由序列31551得到一个新序列111233455567生成的过程是首先将31551排序得到11355，因为序列31551的长度为5，得到按升序排序的序列1234567，序列的长度为5+2(即n)，然后将11355按照大小插入到序列1234567中，得到111233455567然后将两个序列排在一起315511112334555672024/10/29组合数学-上海理工大学27一一对应

31551111233455567②—③

15511113455567①—③

55111455567④—⑤

51115567⑤—⑥

11157①—⑤

17第一步推导：将上下两个序列同时去掉上行序列的第一个元素3(用蓝色表示)，去掉下行序列的第一个无重复的元素2(用红色表示)。生成一条边(②—③)。由上序列确定3（蓝色），再确定2（红色），在下序列最小无重元，于是生成边23。（并消除红蓝色点。）依此类推，减到下面剩最后两个元素，这两个元素形成最后一条边。最后形成树。（生成边的序列23，13，45，56，15，17）2024/10/29组合数学-上海理工大学281.2一一对应上述算法描述：给定序列b=(b1b2…bn-2)设a=(123…n-1n)将b的各位插入a,得a’,对()做操作。a’是2n-2个元的可重非减序列。ba’操作是从a’中去掉最小无重元，设为a1,再从b和a’中各去掉一个b中的第一个元素，设为b1，则无序对(a1,b1)是一条边。重复这一操作，得n-2条边，最后a’中还剩一条边，共n-1条边，正好构成一个树。b中每去掉一个元，a’中去掉2个元。2024/10/29组合数学-上海理工大学291.2一一对应由算法知由树T得b=(b1b2…bn-2)，反之，由b可得T。即f：T→b是一一对应。由序列确定的长边过程是不会形成回路的。因任意长出的边(u,v)若属于某回路，此回路中必有一条最早生成的边，不妨就设为(u,v)，必须使u,v都在长出的边中重复出现，但照算法u,v之一从下行消失，不妨设为u，从而不可能再生成与u有关的边了，故由()得到的边必构成一个n个顶点的树。ba’2024/10/29组合数学-上海理工大学30证明23

1

5

511

23

456

7

第一个不出现在上面的数2-3

3-1

4-56-55-11-7⑦⑥

|

|②—③—①—⑤—④2024/10/29组合数学-上海理工大学311.2一一对应证由一棵n个顶点的树可得到一个长度为n－2的序列，且不同的树对应的序列不同，因此。对n用归纳法可证反之，由一个长度为n－2的序列(每个元素为1~n的一个整数)，可得到一棵树，且不同的序列对应的树是不同的，因此 2024/10/29组合数学-上海理工大学32排列的典型例子是取球模型：从n个不同的球中,取出r个,放入r个不同的盒子里，每盒1个。第1个盒子有n种选择,第2个有n-1种选择，······，第r个有n-r+1种选择。故由乘法法则有3.排列、组合定义：从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n

时称为全排列。P(n,r)=n(n-1)······(n-r+1)=n!/(n-r)!P(n,n)=n!2024/10/29组合数学-上海理工大学33例11

由5种颜色的星状物，20种不同的花排列成如下图案：两边是星状物，中间是3朵花，问共有多少种这样的图案？两边是星状物，从五种颜色的星状物中取两个的排列的排列数是P(5,2)=20。20种不同的花取3种排列的排列数是根据乘法法则得图案数为P(20,3)=20×19×18=6840。20×6840=136800。2024/10/29组合数学-上海理工大学34接上例，若A单位的2人排在队伍两端，B单位的3人不能相邻，问有多少种不同的排列方案？(练习)B单位3人按一个元素参加排列，P(8,8)×P(3,3)。

A单位的人排法固定后A*A*A*A*A*A*A，B单位第一人有6种选择，第二人有5种，第三人有4种，因此答案为P(7,7)×6×5×4。例12

A单位有7名代表，B单位有3位代表，排成一列合影要求B单位的3人排在一起，问有多少种不同的排列方案。2024/10/29组合数学-上海理工大学35例13

试求由{1,3,5,7}组成的所有不重复出现的整数的总和。这样的整数可以是1位数,2位数,3位数,4位数，若设是i位数的总和，则S=S1+S2+S3+S4,S1=1+3+5+7=16；于是我们只需要计算Si即可。2024/10/29组合数学-上海理工大学36S4=6(1+3+5+7)1000+6(1+3+5+7)100+6(1+3+5+7)10+6(1+3+5+7)=96000+9600+960+96=106656；S=16+528+10656+106656=117856。

S2=3(1+3+5+7)10+3(1+3+5+7)=480+48=528；S3=6(1+3+5+7)100+6(1+3+5+7)10+6(1+3+5+7)=9600+960+96=10656；2024/10/29组合数学-上海理工大学37组合的个数用C(n,r)

表示。或者用表示。定义：从

n个不同元素中取

r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。C(n,r)=0，若n<r。2024/10/29组合数学-上海理工大学38故有C(n,r)·r!=P(n,r)，C(n,r)=P(n,r)/r!，从n个不同的球中,取出r个,放入r个相同的盒子里,每盒1个，这是从n个中取r个的组合的模型。若放入盒子后再将盒子标号区别，则又回到排列模型。每一个组合可有r!个标号方案。2024/10/29组合数学-上海理工大学39(2)C(5,2)+C(7,2)+C(10,2)=10+21+45=76；(1)5×7+5×10+7×10=155;(3)155+76=231=C(5+7+10,2)。例14

有5本不同的日文书，7本不同的英文书，10本不同的中文书。(1)取2本不同文字的书；(2)取2本相同文字的书；(3)任取两本书。2024/10/29组合数学-上海理工大学40例15

甲和乙两单位共11个成员，其中甲单位7人，乙单位4人，拟从中组成一个5人小组：(1)要求包含乙单位恰好2人；(2)要求至少包含乙单位2人；(3)要求乙单位某一人与甲单位特定一人不能同时在这个小组。试求各有多少种方案。(1)C(4,2)×C(7,3)；(2)C(4,2)×C(7,3)+C(4,3)×C(7,2)+C(4,4)×C(7,1)；(3)C(10,5)+C(9,4)，或C(11,5)-C(9,3)。2024/10/29组合数学-上海理工大学41将[1,300]分成3类：A={i|i≡1(mod3)}={1,4,7,…,298},B={i|i≡2(mod3)}={2,5,8,…,299},C={i|i≡3(mod3)}={3,6,9,…,300}。例16

从[1,300]中取3个不同的数，使这3个数的和能被3整除，有多少种方案？（练习）要满足条件，有四种情形：1.3个数同属于A;2.3个数同属于B;3.3个数同属于C;4.A,B,C各取一数。故共有3C(100,3)+1003=485100+1000000=1485100。2024/10/29组合数学-上海理工大学42解1：a1选择其同伴有7种可能，选定后,余下6人中某一人选择其同伴只有5种可能，余下4人，其中某1人有3种选择可能，在余下的2人只好配成一对，无法选择，故共有N=7×5×3=105。例17

假定有a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8这8位成员，两两配对分成4组，试问有多少种方案？（练习）2024/10/29组合数学-上海理工大学43解2：分成4组。第一组取法为C(8,2)，余下6人，第二组取法为C(6,2)，第三组取法为C(4,2)，剩下为第四组。但4组的顺序是重复的，因此答案为

C(8,2)×C(6,2)×C(4,2)/P(4,4)=105。解3：8人全排列有P(8,8)。分成4组。每组中2人交换是重复的，重复数为2×2×2×2，另外4组的顺序也是重复的，重复数为P(4,4)，因此答案为

P(8,8)/(2×2×2×2×P(4,4))=105。2024/10/29组合数学-上海理工大学44一个进站方案可以表示成：00011001010100，其中“0”表示车，“1”表示间隔。其中“0”是不同元，“1”是相同元。给“1”这6个入口只用5个间隔。任意进站方案可表示成上面14个元素的一个排列。例18

某广场有6个入口，每个入口每次只能通过一辆汽车，现有9辆车要开进广场，有多少种入场方案？2024/10/29组合数学-上海理工大学45解2：在14个元的排列中先确定“1”的位置，有C(14,5)种选择，再确定车的位置，有9！种选择。故C(14,5)·9!即为所求。解3：实际上相当于14个位置中选取9辆汽车的排列，即为P(14,9)。解1：标号可产生5!个14个元的全排列。若设x为所求方案，则x·5!=14!。故

x=14!/5!=726485760。2024/10/29组合数学-上海理工大学46注意到，每个交点只有两个对角线通过，对应了4个顶点所组成的一个组合，不同的交点对应的组合也不相同。故共有C(n,4)个交点。例19

一个凸n边形，它的任何3条对角线都不交于同一点，问它的所有对角线在凸n边形内部有多少个交点。2024/10/29组合数学-上海理工大学47定义：从n个不同的数中不重复的取出取出r个沿一圆周排列，称为一个圆周排列。所有的r-圆周排列数记为Q(n,r)（计算公式？）。注意圆周排列与排列的不同之处在于圆周排列首尾相邻。如a、b、c、d的4种不同排列

abcd,dabc,cdab,bcda,在圆周排列中都是一个排列。4.圆周排列2024/10/29组合数学-上海理工大学48124

31234124

32341124

33412124

34123以4个元素为例Q(n,r)=P(n,r)/r,2≤r≤nQ(n,n)=(n-1)!从n

个中取r

个的圆周排列的排列数为：2024/10/29组合数学-上海理工大学49若无要求，则为Q(8,8)；若要求蓝色珠子一起，则为Q(6,6)×P(3,3)；若要求蓝色珠子不相邻，则为Q(5,5)×5×4×3。例205颗红珠子，3颗蓝珠子装在圆板的四周，试问有多少种方案？若要求蓝色珠子不相邻，又有多少种排列方案？蓝色珠子在一起呢？2024/10/29组合数学-上海理工大学50例215对夫妇出席一个宴会，围一圆桌坐下，试问有几种不同的坐法？要求每对夫妇相邻又如何？若无限制，则为Q(10,10)；若要求相邻，则为Q(5,5)×2×2×2×2×2。2024/10/29组合数学-上海理工大学51选取的r个元素叫做S的一个r-(可重)排列。当时也叫做S

的一个排列。定义：从一个多重集

中有序5.可重排列定义：多重集是指元素可以多次出现的集合，即元素可以重复。我们把某个元素ai出现的次数ni(ni=0,1,2,…)叫做该元素的重复数。通常把含有k种不同元素的多重集S记作2024/10/29组合数学-上海理工大学52定理：设多重集则S的r-(可重)排列数是kr。推论：设多重集且对一切的i=1,2,…k，有ni≥r，则S

的r-(可重)排列数是kr。2024/10/29组合数学-上海理工大学53所求的标