山东省泰安市新泰市正德高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

新泰正德高中高二数学2024年10月月考试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题1．两平行直线，之间的距离为()A. B.3 C. D.2．已知平面上一点,若直线l上存在点P使,则称该直线为点的“相关直线”,下列直线中不是点的“相关直线”的是()A. B. C. D.3．已知直线l经过点,则“直线l的斜率为-1”是“直线l与圆相切”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．点到直线距离的最大值为()A.1 B. C. D.25．已知x，y满足，则的最大值是()A. B.4 C. D.76．若直线是圆的一条对称轴，则()A. B. C.1 D.7．在中，D为BC边上任意一点（D与B，C不重合），且，则为()A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.以上都不对8．已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为()A. B. C. D.二、多项选择题9．已知点P在直线上,且点P到直线的距离为,则m的值可能是()A. B.10 C.5 D.010．与圆的公切线的方程可能为()A. B. C. D.11．已知，圆，圆，则()A.两圆可能外离 B.两圆可能相交 C.两圆可能内切 D.两圆可能内含三、填空题12．直线和的交点的坐标为________.13．已知圆外一点,过点P作圆C的两条切线,切点分别为A和B,则直线AB的方程为________.14．A，B是直线l上的两点，，，，，且直线与直线成的角，则C，D两点间的距离是_______.四、解答题15．求下列方程（组）或不等式的解集.(1)(2)(3)(4)16．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心与外心之间的距离是重心与垂心之间的距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.现已知的三个顶点分别为，，，圆E的圆心E在的欧拉线上，且满足，直线被圆E截得的弦长为.（1）求的欧拉线的方程；（2）求圆E的标准方程.17．已知四棱柱中,底面ABCD为梯形,,平面ABCD,,其中,,N.是的中点,M是的中点.（1）求证平面;（2）求平面与平面的夹角余弦值;18．已知直线.(1)m为何值时,点到直线l的距离最大,并求出最大值;(2)若直线l分别与x轴,y轴的负半轴交于A,B两点,求（O为坐标原点）面积的最小值及此时直线l的方程.19．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，，，，，点E在上，且.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案1．答案：A解析：由题意得：直线，，，，两直线为平行直线，直线，两平行直线之间的距离为.故选：A2．答案：D解析：根据题意,当点M到直线l的距离时,该直线上存在点P使得,此时直线l为点的“相关直线”,对于A,,即,点M到直线l的距离,该直线是点的“相关直线”；对于B,,点M到直线l的距离,该直线是点的“相关直线”；对于C,,点M到直线l的距离,该直线是点的“相关直线”；对于D,,点M到直线l的距离,该直线不是点的“相关直线”.故选：D.3．答案：C解析：由题,圆C是圆心为,半径为的圆,当直线l的斜率不存在时,直线方程为,此时圆心到直线距离为1,不等于半径,与圆不相切不符合;当直线l的斜率存在时,设直线为,化为一般式即,则圆心到直线距离,解得,所以“直线l的斜率为-1”是“直线l与圆C相切”的充要条件,故选：C.4．答案：B解析：点到直线的距离.当时，；当时，，当且仅当，即时等号成立.综上，点到直线距离的最大值为.故选B.5．答案：C解析：方法一：将圆的一般方程化为标准方程，令，则直线与圆有公共点，且当直线与圆相切时，z取得最大或最小值.设直线与圆相切，则有，整理得，解得或，所以的最大值为，故选C.方法二：将圆的一般方程化为标准方程，令，，为参数，，所以，当且仅当时，取得最大值，最大值为，故选C.6．答案：A解析：依题意可知圆心坐标为，又直线是圆的一条对称轴，所以圆心在该直线上，即，解得，故选A.7．答案：A解析：如图所示，过点A作，垂足为O，以BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设，，，.因为，所以，所以，又因为，所以，即，所以.又，故为等腰三角形.8．答案：A解析：方法一：连接OA，由题可知，，因为，所以由勾股定理可得，则.设直线OP绕点P按逆时针方向旋转角后与直线PD重合，则，，且.所以，故选A.方法二：以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系，则圆，设点，因为，且，所以，不妨设.设直线PD的方程为，，，由得，由，解得，则，，所以.因为，，所以.设，则，，当且仅当时等号成立，故选A.9．答案：BD解析：依题意可设,则点P到直线的距离为,解得或0,故答案选B、D.10．答案：CD解析：圆O的圆心为，半径为，圆M的圆心为，半径，由题意得，圆O与圆M的半径之和为，半径之差为0，因为，所以圆O与圆M相交.由题意得，因为圆O与圆M的半径相等，所以公切线的斜率为2.设公切线的方程为，即，由，得，所以公切线的方程为或.故选CD.11．答案：ABC解析：圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径，则，，.当时，，两圆外离；当时，，两圆相交；当时，，两圆内切；当时，，两圆外切.综上所述，两圆可能外离，可能相交，可能内切，可能外切，不可能内含.故选ABC.12．答案：解析：解方程组得所以两条直线交点的坐标为.故答案为：.13．答案：解析：由题意,切点弦AB所在直线的方程为:,化简得:.故答案为:.14．答案：5或解析：，，，或，或故答案为5或.15．答案：(1)(2)(3)(4)解析：(1)由因为,所以或.所以原方程的解集为：.(2)将代入得：,整理得：,解得：或;当时,;当时,.所以原方程组的解集为：(3)由或或.所以原不等式的解集为：.(4)由所以.所以原不等式的解集为：.16．答案：（1）（2）或解析：（1）由，，，可得的重心，即.，，边上的高所在直线为，边上的高所在直线为，即.由得即的垂心，连接GH，则GH所在直线为的欧拉线，，则的欧拉线的方程为，即.（2）设，圆E的半径为r，，，，解得或.①当时，，圆心E到直线的距离，，解得，圆E的方程为.②当时，，圆心E到直线的距离，，解得，圆E的方程为.综上所述，圆E的标准方程为或.17．答案：（1）证明见解析;（2）.解析：（1）取中点P,连接NP,MP,由N是的中点,得,且,由是的中点,得,且,则有,四边形是平行四边形,于是,又平面平面,所以平面.（2）四棱柱中,平面ABCD,,则直线AB,AD,两两垂直,以A为原点,直线AB,AD,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,有,,,,,,则有,,,设平面与平面的法向量分别为,,则有,令,得,,令,得,因此.所以平面与平面的夹角余弦值为.18．答案：(1)(2)解析：(1)已知直线,整理得,由故直线l过定点,点到直线l的距离最大,可知点Q与定点的连线的距离就是所求最大值,即为最大值.,的斜率为,可得,解得;(2)若直线l分别与x轴,y轴的负半轴交于A,B两点,则可设直线l的方程为,,则,,.（当且仅当时,取“=”）,故面积的最小值为12,此时直线l的方程为.19．答案：(1)证明见解析；(2)解析：（1）证明：因为，，，所以，，因为，所以，因为，平面PBC，所以平面PBC，因为平面，所以，因为，，，所以，，取的中点，则，且，所以