寒假作业05正多边形和圆与圆的相关计算-2024年九年级数学寒假培优练（人教版）

限时练习：40min完成时间：月日天气：寒假作业05正多边形和圆与圆的相关计算1.正多边形：各边、各角都相等的多边形．2.正多边形的中心：正多边形外接圆的圆心；正多边形的半径：正多边形外接圆的半径．3.正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离．4.正多边形的中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角．图1图2图35.正多边形中各元素间的关系：1）如图2，设正多边形的边长为，半径为R，边心距为，中心角为；则有：.2）正多边形的一些关系：=1\*GB3①正n边形的中心角；=2\*GB3②正n边形的周长；=3\*GB3③正n边形的面积.6.与圆有关的面积和长度计算：设的半径为，圆心角所对弧长为，弧长公式：扇形面积公式：圆柱体表面积公式：扇形与圆锥的关系：如图3.圆锥体表面积公式：(为母线)常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：①公式法；②割补法；③拼凑法；④等积变换法1．一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（

）A．3 B．5 C．8 D．10【答案】C【解析】这个多边形的边数是，故选C．2．如图，正六边形内接于，半径为，则这个正六边形的边心距的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，连接，，，，是等边三角形，，，，.故选．3．如图，正五边形内接于，与相切于点，连接并延长，交于点，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，连接，与相切，，正五边形内接于，，，，故选B．4．如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业：甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）．乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）．对于两人的作业，下列说法正确的是（

）A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对【答案】C【解析】由甲同学的作业可知，，同理可知，六边形是正六边形，即甲同学的作业正确．由乙同学的作业可知．依次画弧可得．六边形为正六边形，即乙同学的作业正确．故选C.5．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的比为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，连接、.∵、切圆于，∴，，又∵，，∴，故．又为等边三角形，，，，，∴，∴内切圆半径、外接圆半径和高的比是．故选．6．如图，半圆O的直径为10，点C、D在圆弧上，连接，两弦相交于点E．若，则阴影部分面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，连接，，是直径，，，，的度数为，，．故选B．7．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意得：这个几何体为圆锥，如图，过点作于点，根据题意得：，，，∴，∴，即圆锥的母线长为，∴这个几何体的侧面积是．故选B.8．如图，边长为6的正方形的中心与半径为2的的圆心重合，过点作，分别交、于点、，则图中阴影部分的面积为．【答案】【解析】如图，过点作于点，于点．点是正方形的中心，，，，，，即，，，即，，，，，．故填．9．如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角的扇形．(1)求阴影部分面积；(2)用所裁剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．【解析】（1）如图，连接，∵，∴是圆O的直径，∴点A、O、B三点共线，∴，又∵，∴，∵圆的直径为2，则，故．∴；（2）解：的长，则，解得．故该圆锥的底面圆的半径是．10．如图，在的内接正八边形中，，连接．(1)求证；(2)的长为．【解析】（1）如图，连接，正八边形，∴，，，，∴．（2）∵，同理可证：，，∴四边形为等腰梯形，，作，，∵，，在中，，，，同理可得，∵，，，∴四边形是矩形，，．11．如图所示正六边形的面积为6，点是边的中点，连接相交于，若四边形的面积记作，四边形的面积记作，则的值是（

）

A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】连接，如图所示，由正六边形的对称性可知：，，∴是全等的等边三角形，∴四边形是菱形，，同理，，∵，∴，∵点是边的中点，∴，∵，∴，.故选B.12．如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点A，，，，，在圆上．若两个小正六边形的边长均为2，则大正六边形的边长是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，在小正六边形中，，则，在大正六边形中，，，过G作于点H，，在中，，，，，设，则，，，由于，，解得（舍去）或，即，故选A．13．如图，点O是半圆的圆心，是半圆的直径，点在半圆上，且，，，则过点D作于点C，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，连接，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵与与是等底等高的三角形，∴．故选B．14．如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形．

(1)若，则正方形的面积为；(2)如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为16.①求的值；②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．直接写出正方形与正方形的面积比．【解析】（1）如图，连接，四边形是正方形，，

，解得：，正方形的边长为4，正方形的面积为16．（2）①连接，，四边形是正方形，且其面积为16，，设，则，在中，，在中，，，解得（舍），．②连接，，，，且，，，又，，共线，，．15．如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．(1)求的度数；(2)是正三角形吗？请说明理由；(3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．【解析】（1）∵正五边形．∴，∴，∵，∴(优弧所对圆心角)，∴.（2）是正三角形，理由如下：连接，由作图知：,∵，∴，∴是正三角形，∴，∴，同理，∴，即，∴是正三角形；（3）∵是正三角形，∴．∵，∴，∵，∴，∴．16．将既有外接圆又有内切圆的多边形定义为双心多边形．例如，三角形既有外接圆也有内切圆，所以三角形是双心多边形．下列图形中：①正方形；②长方形；③正五边形；④六边形．其中是双心多边形的有（

）A．①②④ B．①③ C．①④ D．②③④【答案】B【解析】①正方形既有外接圆又有内切圆是双心多边形；②长方形一定有外接圆，没有内切圆所以不是双心多边形；③正五边形既有外接圆又有内切圆是双心多边形；④六边形不一定是双心多边形，正六边形有外接圆又有内切圆，非正六边形没有内切圆.故选B.17．请阅读下列材料，解答问题：克罗狄斯·托勒密（约90年—168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理．托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．如图，正五边形ABCDE内接于，，则对角线BD的长为．【答案】【解析】如图，连接AD，AC，∵五边形ABCDE是正五边形，则∠E=∠ABC=∠BCD，AB=BC=CD=2，∴AD=AC=BD，设BD=x，∵ACBD=ABCD+ADBC，即x2=2×2+2x，解得x1=1+，x2=1−（舍去），∴BD=1+．故答案为．18．李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义．(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________；(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”；(3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括．【解析】（1）由题意得，，故答案为.（2）设正方形的边长为1，∴此时正方形的内切圆半径为，∴；设正六边形的边长为1，内切圆圆心为O，则，又∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴；（3），随着n的增大，越来越接近于1．由张衡、祖冲之的研究，精进的取值的方法可知：正多边形，边长数越多，越接近于圆，因此当边长增多时，其周长L也与对应的内切圆周长更接近，其比值更接近于1．19．（2023年江苏无锡中考真题）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】各边相等各角相等的多边形是正多边形，只有各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形，故①是假命题；正三角形和正五边形就不是中心对称图形，故②为假命题；正六边形中由外接圆半径与边长可构成等边三角形，所以外接圆半径与边长相等，故③为真命题；根据轴对称图形的定义和正多边形的特点，可知正n边形共有n条对称轴，故④为真命题.故选C．20．（2023年湖南娄底中考真题）如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心O的两条直线、的夹角为，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，连接，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，∴，，∴，∴扇形与扇形重合，∴，∵为等边三角形，，过作于，∴，，，∴.故选C.21．（2023年山东滨州中考真题）如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等.如图，连接，则，是等边三角形，∴，弓形的面积相等，∴阴影的面积＝扇形的面积，∴图中三个阴影部分的面积之和.故选C.22．（2023年湖北十堰中考真题）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（

）A．5 B． C． D．【答案】B【解析】连接，如图所示，∵为底面圆的直径，，设半径为r,∴底面周长，设圆锥的侧面展开后的圆心角为，∵圆锥母线，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：，解得：，∴，∵半径，∴是等边三角形