数列求和方法归纳（教师版）

数列求和方法归纳总结（解答）分组求和（通项公式为不同的数列类型加减运算）例1.已知等差数列和正项等比数列满足：，，.(1)求数列，的通项公式；(2)已知数列满足，求数列的前项和.解析：（1）设的公差为，的公比为，由可得：，即①，由可得：，即②，联立①②解得：或，因，故，于是，.（2）由（1）得：，，则，故.例2.已知，若.(1)求数列通项公式；(2)设，求数列的前项和.解析：（1）由，可得，故，而，故时，，也适合该式，故；（2）结合（1）可得，故.列项法求和常规列项方法：代数式/数字因式1×因式例1.已知数列的前项和为，，，．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和解析：（1）由得，，即，又，，，即数列是首项为，公比为的等比数列，；（2）由（1）知，，，则，，数列的前项和．例2.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3（1）求{a（2）设bn=(-1)n(an【答案】（1）解：∵a1=3，∴又∵数列{Snn∴Snn=2n+1∵n≥2时，an∴n=1时，a1∴数列{an}（2）解：由（1）可得b所以T==-4n∴数列{bn}的前2n例3.已知数列的前项和为，，．(1)求数列的通项公式(2)设，记数列的前项和为，证明．解析：（1）设，由，得，所以或，由于，所以.所以，，.（2）由知：，故，由所以.错位相减法求和（通项公式为等差数列×等比数列）例1.已知等差数列的前项和为，且(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)若令，求数列的前项和解析：（1）设公差为，中，令得，又，则，解得，故；（2）；（3），则①，故②，故①②得，故.例2.已知正项数列满足；且对任意的正整数都有成立，其中是数列的前项和，为常数.(1)求数列的通项公式；(2)若，证明：数列的前项和.解析：（1）当时，有，可解得；即，所以，两式相减可得，整理得又，所以，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，因此.数列的通项公式为（2）由可得，所以，，两式相减可得，即可得，又，所以，即；所以.奇偶项求和例1.已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，.(1)求数列和的通项公式；(2)若，设数列的前项和为，求.解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），由，，，，得，解得，，所以，.（2）由（1）知，，因此当为奇数时，，当为偶数时，，所以.例2.已知等差数列中的前项和为，公差为，且成等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前30项的和.解析：（1）依题意，设公差为且，又，则，解得，则，故，所以，解得，则，故.（2），，.例3.已知数列的前项和为，满足，数列满足，．(1)求数列、的通项公式；(2)，求数列的前项和；解析：（1）在数列中，当时，解得；当时，由，则，即，因为，故，所以数列是以为首项，为公比的等比数列即.在数列中，，即，则当时，，，，，由累加法得，所以，当时，也符合上式，所以.（2）由（1）可得，当为偶数时，=；当为奇数时，=，综上可得.跟踪训练1（多选）.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则下列说法正确的是（）A．该人第五天走的路程为12里B．该人第三天走的路程为42里C．该人前三天共走的路程为330里D．该人最后三天共走的路程为42里【答案】A,D【解析】【解答】由题意可得此人每天走了路程构成了一个公比为12的等比数列，且S所以S6=a所以an对于A，因为a5=192×(对于B，因为a3=192×(对于C，S3=192×(1-对于D，该人最后三天共走的路程为S6-S故答案为：AD2.数列中，是的前n项和，，是等差数列，且，．(1)求和的通项公式；(2)设，求的前n项和．解析：（1）解：由数列的前项和满足，当时，，解得，当时，，可得，即，所以数列是首项为，公比为的等比数，所以数列的通项公式为，设等差数列的公差为，因为且，可得，所以，所以，则，所以，解得，所以数列的通项公式为.（2）解：由（1）知，，可得，所以，所以数列的前n项和：.3.已知数列的首项是3，且满足．(1)求证：是等比数列；(2)求数列的前项和．解析：（1）证明：由，得，又．所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1）得数列是以1为首项，3为公比的等比数列，，，4.已知为数列的前项和，且.(1)证明：数列为等差数列，并求的通项公式；(2)若，设数列的前项和为，若恒成立，求的范围.解析：（1）对任意的，则，所以数列为等差数列，且其首项为，公差为1，所以，故.（2）当时，，也满足，故对任意的.所以，故.所以的范围为.5.数列满足，，.(1)求，；(2)证明：数列是等差数列；(3)若，求数列的前n项和.解析：（1）令，得；令，得.（2），所以是以为首项，2为公差的等差数列.（3）由（2）得，所以，所以，所以.6.已知等比数列的首项，公比为，的项和为且，，成等差数列.(1)求的通项：(2)若，，求的前项和.解析：（1）由题意，若，由首项，可知，，此时，不符合题意，故，则由，可得化简整理，得，解得（舍去），或，，．（2）由（1），可得，故数列的奇数项是以1为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以为首项，为公差的等差数列，．7.已知数列的前项和为，且.(1)证明：数列是等差数列；(2)已知，求数列的前项和.解析：（1）由，得，令，则，解得；当时，，所以，所以，所以当时，，有，又满足上式，所以，得，所以数列是等差数列.（2）由（1）知，所以，所以，故，两式相减，得，所以.8.已知正