2019高三数学（人教A版文）一轮教师用书第2章第4节二次函数与幂函数

第四节二次函数与幂函数[考纲](教师用书独具)1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\f(1,2)，y＝eq\f(1,x)的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．(对应学生用书第13页)[基础知识填充]1．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)； 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图象与性质函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)图象定义域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))单调性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上减，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上增在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上增，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上减对称性函数的图象关于x＝－eq\f(b,2a)对称2.幂函数 (1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\f(1,2)y＝x－1图象定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)[知识拓展]1．一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0.)) (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＜0.)) (3)ax2＋bx＋c＞0(a＜0)在区间[a，b]恒成立的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fa＞0，,fb＞0.)) (4)ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在区间[a，b]恒成立的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fa＜0，,fb＜0.))2．幂函数y＝xα(α∈R)的图象特征 (1)α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升． (2)α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．() (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是eq\f(4ac－b2,4a).() (3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．() (4)当n＞0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．() [答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，若f(m)＝3，则实数m的值为() A．eq\r(3) B．±eq\r(3) C．±eq\r(9) D．9 D[由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝eq\f(1,2). 所以f(x)＝xeq\f(1,2)＝eq\r(x)， 故f(m)＝eq\r(m)＝3⇒m＝9.]3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是() A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,20))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,20))) C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,20)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,20)，0)) C[由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,1－20a＜0，))得a＞eq\f(1,20).]4．(2017·贵阳适应性考试(二))二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)零点的个数是() A．0 B．1 C．2 D．4 C[因为判别式Δ＝b2＋24＞0，所以原二次函数有2个零点，故选C．]5．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2,0)，B(4,0)且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是________． y＝－x2＋2x＋8[设y＝a(x＋2)(x－4)，对称轴为x＝1， 当x＝1时，ymax＝－9a＝9，∴a ∴y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋2x＋8.](对应学生用书第14页)求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． [解]法一(利用一般式)： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，)) 解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用顶点式)： 设f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)， ∴抛物线的图象的对称轴为x＝eq\f(2＋－1,2)＝eq\f(1,2). ∴m＝eq\f(1,2).又根据题意函数有最大值8，∴n＝8. ∴y＝f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8. ∵f(2)＝－1，∴aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))2＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用零点式)： 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a 又函数的最大值是8，即eq\f(4a－2a－1－－a2,4a)＝8，解得a＝－4， ∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. [规律方法]用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下：[变式训练1]已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式． [解]∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立， ∴f(x)的对称轴为x＝2. 又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2， ∴f(x)＝0的两根为1和3. 设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又∵f(x)的图象过点(4,3)， ∴3a＝3，a ∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)， 即f(x)＝x2－4x＋3.二次函数的图象与性质角度1二次函数的最值问题(1)(2017·广西一模)若xlog52≥－1，则函数f(x)＝4x－2x＋1－3的最小值为() A．－4 B．－3 C．－1 D．0 (2)(2017·安徽皖北第一次联考)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上的最大值为2，则a的值为() A．2 B．－1或－3 C．2或－3 D．－1或2 (1)A(2)D[(1)xlog52≥－1⇒log52x≥log55－1⇒2x≥eq\f(1,5)， 令t＝2xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t≥\f(1,5)))，则有y＝t2－2t－3＝(t－1)2－4， 当t＝1≥eq\f(1,5)，即x＝0时，f(x)取得最小值－4.故选A． (2)函数f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1图象的对称轴为x＝a，且开口向下，分三种情况讨论如下： ①当a≤0时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上是减函数， ∴f(x)max＝f(0)＝1－a，由1－a＝2，得a＝－1. ②当0＜a≤1时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0，a]上是增函数，在[a,1]上是减函数， ∴f(x)max＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a 由a2－a＋1＝2，解得a＝eq\f(1＋\r(5),2)或a＝eq\f(1－\r(5),2).∵0＜a≤1，∴两个值都不满足，舍去． ③当a＞1时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上是增函数， ∴f(x)max＝f(1)＝－1＋2a＋1－a＝2，∴a 综上可知，a＝－1或a＝2.]角度2二次函数中的恒成立问题(1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________.【导学号：79170025】 (2)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________． (1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))[(1)作出二次函数f(x)的图象，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0， 则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＜0，,fm＋1＜0，)) 即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m2－1＜0，,m＋12＋mm＋1－1＜0，))解得－eq\f(\r(2),2)＜m＜0. (2)由题意知2ax2＋2x－3＜0在[－1,1]上恒成立． 当x＝0时，适合； 当x≠0时，a＜eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,3)))2－eq\f(1,6). 因为eq\f(1,x)∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x＝1时，右边取最小值eq\f(1,2)，所以a＜eq\f(1,2). 综上，实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))).] [规律方法]1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． 2．由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.幂函数的图象与性质(1)(2018·兰州模拟)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋α等于() A．eq\f(1,2) B．1 C．eq\f(3,2) D．2 (2)若(2m＋1)＞(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是() A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(－\r(5)－1,2))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，＋∞)) C．(－1,2) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，2)) (1)C(2)D[(1)由幂函数的定义知k＝1.又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(\r(2),2)， 所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α＝eq\f(\r(2),2)，解得α＝eq\f(1,2)，从而k＋α＝eq\f(3,2). (2)因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞)， 且在定义域内为增函数， 所以不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋1≥0，,m2＋m－1≥0，,2m＋1＞m2＋