21直线的倾斜角与斜率（单元教学设计）-2024-2025学年高二数学（人教A版2019选择性）

2．1直线的倾斜角与斜率（单元教学设计）一、【单元目标】（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．（3）能根据斜率判定两条直线平行或垂直．二、【单元知识结构框架】三、【学情分析】本节内容对学生来说是一个新的挑战，尤其是斜率概念的引入和倾斜角与斜率之间的转换关系．部分学生可能在理解斜率的实际意义和应用上存在困难．因此，教学中需注重直观演示和实例分析，帮助学生建立空间想象能力，加深理解．四、【教学设计思路/过程】课时安排：约2课时教学重点：直线的倾斜角、斜率的概念，过两点的直线斜率的计算公式，用斜率判定两条直线平行或垂直．教学难点：理解斜率与倾斜角之间的转换，以及利用斜率判断两直线的位置关系．教学方法/过程：五、【教学问题诊断分析】环节一、情景引入，温故知新情景1：“坡度”在交通工程中是一种量化道路倾斜程度的指标，它通过比较道路在竖直方向上的高度变化与水平方向上的距离变化来得出．具体来说，当一辆汽车从道路的A点行驶到B点时，我们可以测量出两个关键数值：一是汽车在水平方向（即通常所说的“地面”或“水平面”的投影方向）上前进的距离AD，二是汽车在竖直方向上上升（或下降，若下降则DB为负值）的高度DB．坡度k的定义即为这两个数值的比值，即．这个比值直观地反映了道路倾斜的陡峭程度．问题1：“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢?【破解方法】通过生活中的现实情境，提出问题，帮助学生建立倾斜角与斜率的概念．环节二、抽象概念，内涵辨析1．直线的倾斜角【归纳新知】平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角．规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．知识点诠释：（1）要清楚定义中含有的三个条件①直线向上方向；②轴正向；③小于的角．（2）从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．（3）倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合．（4）直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应．（5）已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置．2．直线的斜率问题2：我们如何刻画一条直线的倾斜程度？【破解方法】通过类比坡比，引出斜率的定义．【归纳新知】直线斜率的定义：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．知识点诠释：（1）当直线与x轴平行或重合时，，；（2）直线与x轴垂直时，，k不存在．由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在．直线的倾斜角与斜率之间的关系由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．3．直线两点的斜率公式问题3：在平面直角坐标系中，一条直线可以由一个点和一个倾斜角唯一确定．另一方面，设（其中）是直线上的两点，由两点确定一条直线可知，直线由点唯一确定．所以，可以断定直线的倾斜角一定与两点的坐标有内在联系．到底具有怎样的联系?你觉得可以用什么方法来建立这种联系?【破解方法】先让学生思考，请有想法的学生说一说思路，然后教师再进行引导性提问．【归纳新知】已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式．知识点诠释：对于上面的斜率公式要注意下面五点：（1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直；（2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；（3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；（4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合；（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．4．两直线平行的条件问题4：平面中，两条直线有哪些位置关系?【破解方法】相交、平行、重合．问题5：当直线平行于直线时，它们的斜率满足什么关系?反之，设直线的斜率分别为，当满足什么关系时?【破解方法】学生观察、思考，并分析两条直线的倾斜角与斜率之间的关系．【归纳新知】设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即．因此，若，则．反之，若，则．知识点诠释：（1）公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合；（2）当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则．5．两直线垂直的条件问题6：假设直线的斜率都存在，那么当时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系?反之，两条直线的斜率有怎样的关系时，它们相互垂直?【破解方法】学生观察、思考，并分析两条直线的倾斜角与斜率之间的关系．【归纳新知】设两条直线的斜率分别为．若，则．知识点诠释：（1）公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；（2）当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直．环节三：例题练习，巩固理解题型一：直线的倾斜角与斜率定义【例1】已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率．（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】设直线的斜率为，（1）；（2）；（3）；（4）．【变式11】已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角．（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】设倾斜角为，，（1）因为，所以；（2）因为，所以；（3）因为，所以；（4）因为，所以．题型二：斜率与倾斜角的变化关系【例2】如图，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．

【解析】直线的斜率，直线的斜率，直线的斜率，由>及可知，直线与的倾斜角均为锐角；由可知，直线的倾斜角为钝角．【变式21】求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．（1），；

（2），．【解析】设倾斜角为，（1）因为，所以，所以为锐角；（2）因为，所以，所以为钝角．题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数【例3】已知a，b，c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角．（1），

（2），（3），．【解析】（1）因为，所以，所以，所以直线的倾斜角为；（2）因为的横坐标相等，所以直线轴，所以直线的倾斜角为；（3）因为，所以，所以，所以直线的倾斜角为．【变式31】经过，两点的直线的方向向量为，求k的值．【解析】因为直线的方向向量为，则为直线的斜率，所以，所以的值为．【变式32】过，两点的直线l的倾斜角为，求的值．【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，又，整理得，解得或，当时，，不符合，当时，，符合，综上：．题型四：直线与线段相交关系求斜率范围【例4】经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的倾斜角与斜率k的取值范围，并说明理由．【解析】如下图所示，当直线经过点时，斜率为，此时倾斜角为；当直线经过点时，斜率为，此时倾斜角为，由题意可知，当直线从过点的位置开始，逆时针旋转至过点的位置，经过图中阴影部分时都能满足题意，旋转过程中，倾斜角先从变化到，再从变化到，所以倾斜角的取值范围是：；旋转过程中，斜率先从变化到，再从变化到，所以斜率的取值范围是：．【变式41】已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是【答案】【解析】因为，，，所以，．直线过点且与线段相交，如下图所示：或，直线的斜率的取值范围是：．故答案为：．题型五：直线平行与垂直的判断【例5】已知，，，，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论．【解析】由已知可得直线的斜率，直线的斜率，因为，由图可知：直线．【变式51】已知，，，，试判断直线与的位置关系．【解析】直线的斜率，直线的斜率，因为，所以．【变式52】判断下列各对直线平行还是垂直：（1）经过两点A（2，3），B（﹣1，0）的直线l1，与经过点P（1，0）且斜率为1的直线l2；（2）经过两点C（3，1），D（﹣2，0）的直线l3，与经过点M（1，﹣4）且斜率为﹣5的直线l4．【解析】（1）由题意和斜率公式可得l1的斜率k11，l2斜率k2＝1，k1＝k2，又直线l1，l2不重合，所以两直线平行；（2）由题意和斜率公式可得l1的斜率k1，l2斜率k2＝﹣5，k1•k2＝﹣1，故两直线垂直．题型六：直线平行、垂直在几何问题的应用【例6】已知四边形ABCD的四个顶点是，，，，求四边形ABCD的四条边所在直线的斜率．【解析】，，，．【变式61】已知，，三点，试判断的形状．【解析】如图所示，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率．由，得，即，所以是直角三角形．【变式62】已知四边形ABCD的四个顶点是，，，，求证：四边形ABCD为矩形．【解析】因为四个点的横坐标各不相等，所以四边形四条边所在直线的斜率都存在，所以，，，，所以，，，所以四边形四条边两两垂直，所以四边形四个内角都为，所以四边形是矩形．环节四：小结提升，形成结构问题7：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容：（1）倾斜角是刻画直线相对于x轴的倾斜程度的几何量，为了将它代数化，我们利用了哪些数学思想方法?（2）推导过两点的直线斜率的计算公式时，我们经历了怎样的过程，用了哪些数学思想方法?（3）判断两条直线平行或垂直的充要条件是什么?【破解方法】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力．六、【教学成果自我检测】环节五：目标检测，检验效果1．已知直线l的倾斜角为，则l的斜率为（

）A．1 B．45 C． D．【答案】C【解析】由题意知直线l的倾斜角为，则l的斜率为，故选：C2．若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B【解析】设直线的倾斜角为，则因为，所以，当时，即，则；当时，即，则，所以直线的倾斜角为或．故选：B．3．已知直线的倾斜角分别为30°，53°，125°，斜率分别为，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以，故选：C4．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，，斜率k（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于，且，所以或，故选：D5．已知直线，直线，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为直线的斜率，且，可知直线的斜率所以的倾斜角为．故选：D．【设计意图】落实与理解教材要求的基本