江西省南昌市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题2

南昌一中20232024学年度下学期高二期中考试数学试卷命题人：彭勇审题人：赵子锋试卷总分：150分考试时长：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.曲线在点处的切线方程为(

)A.

B.

C.

D.

2.记为等差数列的前n项和．若，，则(

)A. B. C.10 D.123.数列是等比数列，首项为，公比为，则“”是“数列是递增数列”的(

)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是(

)

A.在上单调递增 B.在上单调递增

C.在时取得极大值 D.在时取得极小值5.已知函数在区间上为单调递增函数，则实数a的取值范围是(

)A. B. C. D.6.已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前n项和为(

)A. B. C. D.7.已知数列的通项公式为，若数列为递减数列，则实数k的取值范围为(

)A. B. C. D.8.若，则(

)A. B.

C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列求导结果错误的是(

)A. B.

C. D.10.已知数列的前n项和为，下列说法正确的是(

)A.若，则是等差数列

B.若是等比数列，且，，则

C.若是等差数列，则

D.若，则是等比数列11.将个数排成n行n列的一个数阵，如右图：

该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列其中已知，，记这个数的和为下列结论正确的有(

)A. B.

C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在等比数列中，，是函数的极值点，则__________13.函数的极值为__________.14.对于数列，定义为数列的“加权和”，已知某数列的“加权和”，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则实数p的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题13分已知函数求函数的导数的表达式；求函数的值域．16.本小题15分为等差数列的前n项和，已知，求数列的通项公式；求，并求的最小值.17.本小题15分

已知等比数列的公比，且，是，的等差中项数列满足，数列的前n项和为

求q的值；

求数列的通项公式．18.本小题17分已知函数，函数求的单调区间；当时，若与的图象在区间上有两个不同的交点，求k的取值范围．19.本小题17分已知函数若恒成立，求实数k的取值范围；证明：答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本题导数的几何意义，属于基础题．

先求出导数，然后求出切线的斜率，最后利用点斜式求出切线方程．【解答】

解：由题知，，，

切线方程为，即，

故选2.【答案】B

【解析】【分析】本题考查等差数列的求和公式，考查运算求解能力，是基础题．

根据题意，可得，即可得解．【解答】

解：为等差数列的前n项和，，，

设公差为d，

，

可得，

故选：3.【答案】B

【解析】【分析】本题考查充分条件和必要条件及等比数列的知识，属一般题.

根据等比数列的知识，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【解答】

解：因为

，则或

当且时，数列单调递增；

当且，数列单调递增；

当且，数列不单调.

而若数列递增，则且或且，可以得到，

故“”是“数列递增”的必要而不充分条件.

故选4.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查了导函数图象与原函数图象的关系，以及利用导数判断函数的单调性、极值，属基础题.

根据图象判断的单调性，由此求得的极值点，进而确定正确选项.【解答】解：观察的图象可知：

在区间上，

则在上单调递减；

在区间上，

则在上单调递增.

所以不是的极值点，是的极大值点.

所以ACD选项错误，B选项正确.

故选5.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，属于基础题.

求出导数，转化为：，，从而求出a的范围.【解答】

解：，

若函数在上单调递增，且，

则在上恒成立，

，

而，则

，

故选6.【答案】C

【解析】【分析】本题考查数列与函数相结合，数列求和以及函数的导数的应用，裂项相消法求和，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．

利用函数的导数，求出切线的斜率，得到，然后利用裂项相消法求解数列的前n项和即可．【解答】

解：函数，

可得：，

因为函数的图象在点处的切线的斜率为，

可得：

，

则数列

的前n项的和为：

故选7.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查数列的函数特征，是基础题.

由数列为递减数列，则，转化为恒成立问题，本题可解.【解答】

解：因为，

由数列为递减数列知，对任意N，，

所以对任意N恒成立，

所以

故选8.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查利用导数比较大小，属于中档题.

设，利用导数判断在上的单调性，从而可判断选项A、B；设，利用导数判断在上单调递减，从而可判断选项C、【解答】解：由题意，设，则，因为在上单调递增，

且，，所以存在，使，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上不是单调函数，无法判断与的大小，故选项A、B错误；设，，当时，，

所以在上单调递减，又，所以，即，

所以，故选项C正确，选项D错误．故选9.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查简单复合函数的求导，属于基础题.

根据导数的运算公式进行求解即可.【解答】

解：，故A错误；

，故B错误；

，故C正确；

，故D错误.

故选10.【答案】ACD

【解析】【分析】本题考查等比、等差数列的前n项和的性质以及应用，涉及等比、等差数列的性质，属于基础题．

根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．【解答】

解：根据题意，依次分析选项：

对于A，若，则，

当时，，

时，也满足上式，

所以，则易得是等差数列，A正确，

对于B，若是等比数列，当时，则，B错误，

对于C，是等差数列，则，C正确，

对于D，若，则，

当时，，

时，也满足上式，

所以，则是等比数列，D正确，

故选：11.【答案】ACD

【解析】【分析】本题考查的是等差数列、等比数列的通项公式、求和公式以及基本性质，属于较难题.

根据条件结合等差数列等比数列的性质逐个选项分析即可.【解答】

解：选项由题意，该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列，且，，可得，，所以，解得或舍去，所以选项A是正确的；选项B：又由，所以选项B不正确；选项又由

，所以选项C是正确的；选项又由这个数的和为S，则………

，所以选项D是正确的.

故选12.【答案】2

【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的极值、一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

对求导得，可得、是的两个实数根，结合等比数列的性质即可得出．【解答】

解：，

，

，是函数的极值点，

、是的两个实数根，

，

，

故答案为：13.【答案】

【解析】【分析】本题考查了函数求导及利用导数研究函数的极值的相关知识，属于中档题.

先直接求出导函数，然后判断导函数的正负性，进而判断函数的单调性，然后求得极值.【解答】解：

函数的定义域为，且，

令，得，当x变化时，，y的变化情况如下表：x2+0+0+y↗极大值↘↗非极值↗当时，y有极大值，为

故答案为14.【答案】

【解析】【分析】本题考查了数列的新定义问题，等差数列的单调性和最值的判断，属于中档题.

首先利用，构造从而计算出

，进一步得到，以及，利用等差数列的单调性即可得到答案.【解答】

解：由题意的，

，，

两式作差得，

，，

检验当时，

符合题意，

所以，

，

则数列是等差数列，

若对任意的恒成立，

则，

解得

故答案为15.【答案】解：，，

，；

，

由得，，

函数在上单调递增，

，

；

函数的值域为

【解析】本题考查基本初等函数的求导公式，导数的乘法运算，以及利用导数求函数最值，属于基础题．

根据基本初等函数的求导公式和导数的乘法运算，即可求导出；

当时，可得出，从而得出在上是增函数，即可求出的最小值和最大值，进而得出的值域．16.【答案】解：为等差数列的前n项和，，

，

解得，，

数列的通项公式

时，取最小值为

【解析】本题考查等差数列的通项公式、前n项和的最小值的求法，考查运算求解能力，属于基础题．

由等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的通项公式．

求出从而可得时，取最小值．17.【答案】解：等比数列的公比，

且，是，的等差中项，

可得，

解得，

由，可得或舍去，

则q的值为2；

由及可得，

解得，故，

设，

可得时，，

时，可得，

上式对也成立，

则，

即有，

可得…

…，

…，

相减可得…

，

化简可得

【解析】本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式及等差数列的性质、错位相减法的运用，考查运算能力．

运用等比数列的通项公式和等差数列中项性质，解方程可得公比q；

设，运用数列的递推式可得，再由数列的恒等式求得…，运用错位相减法，可得所求数列的通项公式．18.【答案】解：由题意可得的定义域为，且因为，

所以①当时，由，得；由，得

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为

②当时，由，得；由，得

故函数的单调递减区间为，单调递增区间为

综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为

当时，令，得，即，

则与的图象在上有两个不同的交点，

等价于在上有两个不同的实数根．

设，则

由，得；由，得

所以，函数在上单调递增，在上单调递减，故

因为，，且，

所以要使在上有两个不同的实数根，则，

即k的取值范围为

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点与方程根的关系，导数中的零点问题，属于较难题.

求解导函数，然后分类讨论求单调区间；

利用参变分离法，将题目条件转化为在上有两个不同的实数根，构造函数，求导，判断函数单调性并求解最值，从而