专题11等腰三角形（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.1等腰三有形（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】全等三角形的判定与性质（知识回顾）1.判定定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（AAS）2.判定三角形全等的一般思路已知两边找夹角→SAS已知两边找第三边→SSS已知一边一角边为角的对边→找任意一角→AAS已知一边一角边为角的邻边找角的另一邻边→SAS已知一边一角边为角的邻边找角的另一邻角→ASA已知一边一角边为角的邻边找边的对角→AAS已知两角找夹边→ASA已知两角找角的对边→AAS3.全等三角形的性质全等三角形的对应边相等、对应角相等.特别提醒1.证明两个三角形全等需要三个条件，三个条件中至少有一组对应边相等.2.证明两个三角形全等时，对应顶点必须写在对应的位置上.3.“全等三角形的对应边相等、对应角相等”是证明线段相等、角相等的重要依据.【知识点二】等腰三角形的性质定理及其推论1.性质定理等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”）.2.推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及低边上的高线互相重合（简写成“三线合一”）.3.对称性等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线（或低边上的高线、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴.等腰三角形中特殊线段的性质（1）等腰三角形两底角的平分线相等；（2）等腰三角形两腰上的中线相等；（3）等腰三角形两腰上的高线相等；特别提醒适用条件：必须在同一三角形中.作用：是证明角相等的常用方法，应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便.【知识点三】等边三角形的性质定理（1）等边三角形内角的性质定理等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.（2）等边三角形的其他性质①等边三角形的三条边都相等；②等边三角形是轴对称图形，他有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线；③等边三角形各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等.特别解读等边三角形是特殊的等腰三角行，所以；1.任意两边都可以作为腰；2.任意一个角都可以作为顶角；3.任意一边上都“三线合一”.【知识点四】等腰三角形的判定定理1.判定定理有两个角相等的三角形是等腰三角行（简写成“等角对等边”）.2.等腰三角形的性质定理与判定定理的异同相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”.不同点：有三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定.特别提醒“等角对等边”是我们以后证明两条线段相等的常用方法，在证明过程中，经常通过计算三角形各角的度数，或利用角的关系的到角相等，从而得到所对的边相等.【知识点五】反证法1.概念在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.2.用反证法证明结论的一般步骤设：假设结论的反面是正确的.归谬：从假设出发，通过演绎推理，推导出与基本事实、已有定理、定义或已知条件相矛盾的结果.定论：由矛盾说明假设不成立，进而得出原结论正确.用反证法证明时，否定的是命题的结论，而不是否定已知条件.特别解读适合用反证法证明得命题类型：1.结论以否定形式出现的命题；2.唯一性命题；3.结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题.【知识点六】等边三角形的判定定理1.判定定理1三个角都相等的三角形是等边三角形2.判定定理2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.证明等边三角形的思维导图：三角形思路1三边相等等边三角形三角形思路2三角相等等边三角形三角形等腰三角形等腰三角形有一个角等于等边三角形三角形等腰三角形等腰三角形60°等边三角形三角形的判定等腰三角形有一个角等于等边三角形三角形的判定等腰三角形60°等边三角形特别解读在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，都可以用判定定理2判定等边三角形.等边三角形的判定方法：1.若已知三边关系，一般选用定义判定；2.若已知三角关系，一般选用判定定理1判定；3.若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定定理2判定.【知识点七】含30°角的直角三角形的性质1.定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.几何语言：如图,在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=½AB2.作用应用于证线段的倍分关系和求线段的长短.特别解读应用此定理，必须满足两个条件：1.在直角三角形中；2.有一个锐角为30°，二者缺一不可.【考点目录】【考点1】等腰三角形的性质定理（等边对等角）➼求值或证明【考点2】等腰三角形的性质定理（三线合一）➼求值或证明【考点3】等腰三角形的性质定理（等角对等边）➼求值或证明【考点4】等腰三角形的性质与判定➼求值或证明【考点5】等边三角形的性质➼求值或证明【考点6】等边三角形的判定➼求值或证明【考点7】等边三角形的性质与判定➼求值或证明【考点8】等边三角形的性质与判定（含的直角三角形）➼求值或证明【考点9】反证法➼求值或证明【考点1】等腰三角形的性质定理（等边对等角）➼求值或证明【例1】（2023上·山西长治·八年级校考期中）如图所示，在中，，，，点D在线段上运动（不与点B，C重合），连接，作，交边于点E．（1）当时，__________．（2）当等于多少时，？请说明理由．【答案】（1）；（2）当时，，理由见详解【分析】本题主要考查全等三角形的判定及三角形内角和，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；（1）根据题意易得，然后问题可求解；（2）由题意易得，然后根据“”可判定三角形全等．（1）解：∵，，∴，∴，故答案为；（2）解：当时，，理由如下：∵，，，∴，∵，，∴，在和中，，∴．【变式1】（2023上·黑龙江佳木斯·八年级统考期末）如图，，点在边上，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是由，得到，．由全等三角形的性质推出，由等腰三角形的性质得到，求出，，即可得到．解：，，∵，∴，，，∴．故选：B．【变式2】（2023上·浙江温州·八年级校考期中）如图，已知，点在同一直线上，设的度数为度，度数为度，当时，的取值范围为．【答案】【分析】本题考查等腰三角形的性质定理以及三角形的内角和定理和解不等式组的知识，根据可得，进而得，利用三角形得内角和定理可得，由x得范围即可解决．解：∵，∴，∵，，∴，，∴，∵∴，∴，∵，∴，∵度数为y度，∴，则：，∵，∴，∴，故答案为：．【考点2】等腰三角形的性质定理（三线合一）➼求值或证明【例2】（2019上·河南新乡·八年级校考期中）如图，在中，是边上的中点，连接平分交于点，过点作交于点，（1）若，求的度数；（2）求证：．【答案】（1）；（2）见分析【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明，再利用等腰三角形的性质求出即可解决问题；（2）只要证明即可解决问题；（1）解：∵，为中点，（2）∵平分，又【变式1】（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在中，，D是线段上（不含端点B，C）的动点．若线段长为正整数，则点D的个数共有（

）A．5个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理的计算．首先过A作，当D与E重合时，最短，首先利用等腰三角形的性质可得，进而可得的长，利用勾股定理计算出长，然后可得的取值范围，进而可得答案．解：如图：过A作于E，∵在中，，∴当，∴，∵D是线段上的动点（不含端点B，C）．若线段的长为正整数，∴，∴或，当时，在靠近点B和点C端各一个，故符合条件的点D有3点．故选：B．【变式2】（2023上·辽宁大连·八年级校联考期中）如图，是等边三角形，是边上的高，，点E是边的中点，点是线段上的一个动点，当最小值为．

【答案】4【分析】本题考查了最短路径问题及等边三角形的性质，理解“两点之间线段最短”是解题的关键．先根据“两点之间线段最短”找到最小值，再根据等边三角形的性质进行求解．解：如图：

∵是等边三角形，是边上的高，∴，∴B、关于直线对称，，∵是等边三角形，为的中点，，故答案为：4．【考点3】等腰三角形的性质定理（等角对等边）➼求值或证明【例3】（2023上·江苏宿迁·八年级校联考阶段练习）如图，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为．（1）求证：为等腰三角形；（2）求的函数表达式；（3）求折痕的长．【答案】（1）见分析；（2）；（3）【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质求出，得到即可；（2）在中，利用勾股定理求出，进而得到，可得点E、F的坐标，然后利用待定系数法求的函数解析式即可；（3）利用两点间距离公式求解即可．解：（1）证明：∵，∴，由折叠得：，∴，∴，即为等腰三角形；（2）解：∵，∴，，由折叠得：，在中，，即，解得：，∴，，∴，∴，设直线的函数表达式为，代入、得：，解得：，∴直线的函数表达式为；（3）∵，，∴．【点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，待定系数法的应用，坐标与图形性质，熟练掌握折叠的性质，求出点E、F的坐标是解题的关键．【变式1】（2023上·八年级课时练习）如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（）

A． B．2 C．4 D．1【答案】B【分析】根据平分，，证出，得到，即可．解：平分，，，，，，，，又，，，，，，，故选：B．【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【变式2】（2023上·浙江台州·八年级校考期中）如图，D为外一点，，BD平分的一个外角，，若，，则的长为．【答案】6【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．设与延长线交于E点，根据等边对等角可得，根据证明，可得，从而可求、的长度．解：如图，设与延长线交于E点．∵，∴．又∵平分，，∴，，又∵，∴，∴，，∴，∴，故答案为：6．【考点4】等腰三角形的性质与判定➼求值或证明【例4】（2023上·甘肃武威·八年级校考期末）如图，与均为等腰直角三角形，连接，，相交于点H．（1）求证：；（2）求的大小．【答案】（1）见分析；（2）．【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．（1）根据等腰直角三角形的性质得到，即可证明；（2）设与交于点B，由得到从而证明即可得到答案．（1）解：与均为等腰直角三角形，，，，即，，；（2）解：设与交于点B，，，又，；．【变式1】（2023上·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形的中线的性质，延长交于，证明，再由等腰三角形的性质可得，根据三角形的中线的性质可得，，由此进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．解：如图，延长交于，，平分，，，，，，，，，，，，，故选：C．【变式2】（2023上·重庆南岸·九年级校考期中）如图，在四边形中，对角线相交于点E，，，，，则．【答案】【分析】此题考查了勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解决此类问题的关键．通过过点A作于点F，作含30度角的直角三角形，计算求解即可．解：过点A作于点F，∵，∴，在中，，∵，，，，，∴，在中，，，，，，，∴．故答案为．【考点5】等边三角形的性质➼求值或证明【例5】（2023上·福建南平·八年级校考阶段练习）如图，点E在上，和都是等边三角形．求证：（1）（2）猜想：三条线段之间的关系是________，并说明理由．【答案】（1）证明见分析；；（2）；理由见分析.【分析】题目主要考查等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质，（1）根据等边三角形的性质得出，，，确定，再由全等三角形的判定证明即可；（2）利用（1）中全等三角形的性质进行等量代换即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．解：（1）证明：∵和都是等边三角形，∴，，，∴，即，在和中，，∴；（2），证明如下：∵，∴，∵，∴．【变式1】（2023上·河南商丘·八年级统考期中）如图，在正中，点D是边上任意一点，过点D作于F，交于点E，则的度数为（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．先根据等边三角形的性质得出，根据直角三角形的性质求出，再根据平角定义求解即可．解：∵是等边三角形，∴，∵于F，交于点E，∴，∴，∴，故选：B．【变式2】（2021下·上海浦东新·七年级校考期末）如图，在中，D，E是的三等分点，且是等边三角形，则．【答案】/120度【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质．利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出，进而利用三角形内角和定理求出即可．解：是的三等分点，且是等边三角形，，，，．故答案为：．【考点6】等边三角形的判定➼求值或证明【例6】（2023上·广东惠州·八年级校考期中）如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，且，．

（1）求证：是等腰三角形；（2）当等于多少度时，是等边三角形？请证明你的结论．【答案】（1）证明见分析；（2）当时，是等边三角形，证明见分析【分析】（1）先根据等边对等角和三角形外角的性质证明，再由对顶角相等得到，由垂线的定义和三角形内角和定理推出，再由，得到，推出，由此即可证明是等腰三角形；（2）根据（1）所求，只需要满足即可，再由三角形外角的性质即可得到的度数，据此可得答案．解：（1）证明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：当时，是等边三角形，证明如下：∵，，∴，∵，∴是等边三角形．【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，证明是解题的关键．【变式1】（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）下列条件不能判定是等边三角形的是（

）A． B．C．， D．【答案】D【分析】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的定义及等边三角形的判定定理．注意：等边三角形的判定定理有：①三边都相等的三角形是等边三角形，②三角都相等的三角形是等边三角形，③有一个角等于的等腰三角形是等边三角形．根据等边三角形的定义和判定定理判断即可．解：A．∵，∴是等边三角形，故A选项不符合题意；B．∵，∴是等边三角形，故B选项不符合题意；C．∵，，∴是等边三角形，故A选项不符合题意；D．∵∠A+∠B=2∠C，，∴，不能判断是等边三角形，故D选项符合题意，故选：D．【变式2】（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）若三个内角的度数分别为m、n、p，且，则这个三角形为．【答案】等边三角形/正三角形【分析】本题考查了非负数的性质和等边三角形的判定，非负数的性质，根据非负数的性质列出算式，求出m、n、p的关系，根据等边三角形的判定方法解答即可．解：∵，∴，∴，∴∴为等边三角形．故答案为：等边三角形．【考点7】等边三角形的性质与判定➼求值或证明【例7】（2023上·山东东营·七年级校考期中）如图是等边三角形．（1）如图①，，分别交于点D、E．求证：是等边三角形；（2）如图②，仍是等边三角形，点B在的延长线上，连接，求证：．【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键．（1）先由等边三角形的性质得到，再由平行线的性质得到，由此即可证明结论；（2）利用等边三角形的性质得到，进而得到，由此证明，即可证明．解：（1）证明：∵是等边三角形，∴，∵，∴，∴是等边三角形；（2）证明：∵和都是等边三角形，∴，∴，即，∴，∴．【变式1】（2019上·广东深圳·八年级深圳实验学校校考期中）如图，是以边长为2的等边三角形，则点A关于x轴的对称点的坐标为（）A．B．C． D．【答案】D【分析】过点A作，根据等边三角形的性质，确定点A的坐标，结合关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数计算即可．解：如图，过点A作，∵是以边长为2的等边三角形，∴，∴，∴点A的坐标是，∴点A关于x轴的对称点的坐标为．故选：D．【变式2】（2023上·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，点C在直线上，，点P为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为度．【答案】【分析】本题主要考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，轴对称最短线路问题．作点B关于直线的对称点D，连接，，，当点P为与的交点时，的值最小．由轴对称易证，结合证得是等边三角形，可得，结合已知根据等腰三角形性质可求出，即可解决问题．解：如图，作点B关于直线的对称点D，连接，，，当点P为与的交点时，的值最小．由轴对称可得：，，，∴，，∴，即，∵，∴是等边三角形，∴∵，∴，∴，∵∴，∴．故答案为：【考点8】等边三角形的性质与判定（含的直角三角形）➼求值或证明【例8】（2023上·河北石家庄·八年级校考阶段练习）如图，点，，，在直线上，点，在直线的异侧，，，．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）证明见分析；（2）．【分析】（）先证明，再根据即可证明；（）由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，则可得出答案；本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件．解：（1）∵，∴，在与中，，∴；（2）∵；∴；∵；；∴；∴，∴．【变式1】（2023上·河北沧州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随