文科数学一轮复习高考帮全国版试题第8章第4讲直线平面垂直的判定及性质（考题帮数学文）

第四讲直线、平面垂直的判定及性质题组直线、平面垂直的判定及性质1.[2017全国卷Ⅲ,10,5分][文]在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC2.[2013新课标全国Ⅱ,4,5分]已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l3.[2017北京,18,14分][文]如图841,在三棱锥PABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(Ⅰ)求证:PA⊥BD;图841(Ⅱ)求证:平面BDE⊥平面PAC;(Ⅲ)当PA∥平面BDE时,求三棱锥EBCD的体积.4.[2017山东,18,12分][文]由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图842所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.(Ⅰ)证明:A1O∥平面B1CD1;(Ⅱ)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.图8425.[2016四川,17,12分][文]如图843,在四棱锥PABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=12(Ⅰ)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由;(Ⅱ)证明:平面PAB⊥平面PBD.图8436.[2015新课标全国Ⅰ,18,12分][文]如图844,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.(Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面BED;(Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥EACD的体积为63,求该三棱锥的侧面积图8447.[2015湖北,20,13分][文][数学文化题]《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图845所示的阳马PABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连接DE,BD,BE.(Ⅰ)证明:DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;(Ⅱ)记阳马PABCD的体积为V1,四面体EBCD的体积为V2,求V1V图845A组基础题1.[2018南昌市高三调考,10]如图846,四棱锥PABCD中,△PAB与△PBC是正三角形,平面PAB⊥平面PBC,AC⊥BD,则下列结论不一定成立的是()图846A.PB⊥AC B.PD⊥平面ABCDC.AC⊥PD D.平面PBD⊥平面ABCD2.[2018南宁市摸底联考,16]如图847,在正方形ABCD中,AC为对角线,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点.现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H.下列说法错误的是(将符合题意的序号填到横线上).

图847①AG⊥△EFH所在平面;②AH⊥△EFH所在平面;③HF⊥△AEF所在平面;④HG⊥△AEF所在平面.3.[2018广东七校联考,19]如图848,在四棱锥PABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为菱形,AD=2,∠DAB=60°,E为AB的中点.图848(1)证明:平面PCD⊥平面PDE;(2)若PD=3AD,求点E到平面PBC的距离.4.[2018唐山市五校联考,19]如图849,在四棱锥PABCD中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点.(1)求证:平面EAC⊥平面PBC;(2)若PC=2,求三棱锥CPAB的高.图8495.[2017成都市三诊,18]如图8410,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,四边形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,DE=2,M为线段BF的中点,连接CM,DM,EM.(1)求三棱锥MCDE的体积;(2)求证:DM⊥平面ACE.图8410B组提升题6.[2018惠州市一调,19]如图8411,在底面是菱形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,∠ABC=60°,AA1=AC=2,A1B=A1D=22,点E在A1D上.(1)证明:AA1⊥平面ABCD;(2)当A1EED为何值时,A1B∥平面EAC,并求出此时直线A1B与平面图84117.[2018辽宁五校联考,19]如图8412所示,等腰梯形ABCD的底角A等于60°,直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD,∠EDA=90°,且ED=AD=2AB=2AF.(1)证明:平面ABE⊥平面EBD;(2)若三棱锥ABDE的外接球的体积为82π3,求三棱锥A图84128.[2017南昌市三模,19]如图8413,四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形,平面PAB⊥平面ABCD,PB=PC,∠ABC=45°.(1)求证:AB⊥PC;(2)若△PAB是边长为2的等边三角形,求三棱锥PABC外接球的表面积.图8413答案1.C由正方体的性质,得A1B1⊥BC1,B1C⊥BC1,所以BC1⊥平面A1B1CD,又A1E⊂平面A1B1CD,所以A1E⊥BC1,故选C.2.D由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l,故选D.3.(Ⅰ)因为PA⊥AB,PA⊥BC,AB∩BC=B,AB,BC⊂平面ABC,PA⊄平面ABC,所以PA⊥平面ABC.因为BD⊂平面ABC,所以PA⊥BD.(Ⅱ)因为AB=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC.由(Ⅰ)知,PA⊥BD,又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,BD⊄平面PAC,所以BD⊥平面PAC.又BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(Ⅲ)因为PA∥平面BDE,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BDE=DE,所以PA∥DE.因为D为AC的中点,所以DE=12PA=1,BD=DC=2由(Ⅰ)知,PA⊥平面ABC,所以DE⊥平面ABC.所以三棱锥EBCD的体积V=16BD·DC·DE=14.(Ⅰ)如图D844,取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,图D844由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C,又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.(Ⅱ)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EM∥AC,所以EM⊥BD,又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1E⊥BD,因为B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1,又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM,又B1D1⊂平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.5.图D845(Ⅰ)取棱AD的中点M(M∈平面PAD),如图D845,点M即所求的一个点.理由如下:因为AD∥BC,BC=12AD,所以BC∥AM,且BC=AM所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM∥AB.又AB⊂平面PAB,CM⊄平面PAB,所以CM∥平面PAB.(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)(Ⅱ)由已知,得PA⊥AB,PA⊥CD,因为AD∥BC,BC=12AD,所以直线AB与CD相交所以PA⊥平面ABCD.因为BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.连接BM,如图D845所示,因为AD∥BC,BC=12AD所以BC∥MD,且BC=MD.所以四边形BCDM是平行四边形.所以BM=CD=12AD,所以BD⊥又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.又BD⊂平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD.6.(Ⅰ)因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE.因为BE∩BD=B,BE,BD⊂平面BED,AC⊄平面BED,所以AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.(Ⅱ)设AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,可得AC=3x,BD=x,所以AG=GC=32x,GB=GD=x因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中,可得EG=32由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形,可得BE=22由已知,得三棱锥EACD的体积VEACD=13×12AC×GD×BE=624x3=63从而可得AE=EC=ED=6.所以△EAC的面积为3,△EAD的面积与△ECD的面积均为5.故三棱锥EACD的侧面积为3+25.7.(Ⅰ)因为PD⊥底面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PD⊥BC.由底面ABCD为长方形,有BC⊥CD,又PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD.因为DE⊂平面PCD,所以BC⊥DE.因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC.因为PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.由BC⊥平面PCD,DE⊥平面PBC,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形,即四面体EBCD是一个鳖臑,其四个面的直角分别是∠BCD,∠BCE,∠DEC,∠DEB.(Ⅱ)由已知,知PD是阳马PABCD的高,所以V1=13S长方形ABCD·PD=13BC·CD·由(Ⅰ)知,DE是鳖臑DBCE的高,BC⊥CE,所以V2=13S△BCE·DE=16BC·CE在Rt△PDC中,因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE=CE=22CD于是V1V2=13BCA组基础题1.B如图D846,对于选项A,取PB的中点O,连接AO,CO.∵在四棱锥PABCD中,△PAB与△PBC是正三角形,平面PAB⊥平面PBC,∴AO⊥PB,CO⊥PB,∵AO∩CO=O,∴PB⊥平面AOC,∵AC⊂平面AOC,∴PB⊥AC,故选项A正确;对于选项B,设AC与BD交于点M,易知M为AC的中点,若PD⊥平面ABCD,则PD⊥BD,由已知条件知点D满足AC⊥BD且位于BM的延长线上,∴点D的位置不确定,∴PD与BD不一定垂直,∴PD⊥平面ABCD不一定成立,故选项B不正确;对于选项C,∵AC⊥PB,AC⊥BD,PB∩BD=B,∴AC⊥平面PBD,∵PD⊂平面PBD,∴AC⊥PD,故选项C正确;对于选项D,∵AC⊥平面PBD,AC⊂平面ABCD,∴平面PBD⊥平面ABCD,故选项D正确.选B.图D8462.①③④根据折叠前AB⊥BE,AD⊥DF可得折叠后AH⊥HE,AH⊥HF,可得AH⊥平面EFH,即②正确;∵过点A只有一条直线与平面EFH垂直,∴①不正确;∵AG⊥EF,AH⊥EF,∴EF⊥平面HAG,∴平面HAG⊥平面AEF,过H作直线垂直于平面AEF,该直线一定在平面HAG内,∴③不正确;∵HG不垂直AG,∴HG⊥平面AEF不正确,④不正确,综上,说法错误的是①③④.3.(1)∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥AB,连接DB,如图D847,图D847∵在菱形ABCD中,∠DAB=60°,∴△DAB为等边三角形,又E为AB的中点,∴AB⊥DE,又PD∩DE=D,∴AB⊥平面PDE.∵CD∥AB,∴CD⊥平面PDE.∵CD⊂平面PCD,∴平面PCD⊥平面PDE.(2)连接EC,如图D847,∵AD=2,∴PD=23,∴在Rt△PDC中,PC=(23)2+∴易知S△PBC=12×2×42-(22)2=15,S△EBC=12×设点E到平面PBC的距离为h,由VPEBC=VEPBC得,13S△EBC·PD=13S△PBC·解得h=155∴点E到平面PBC的距离为1554.(1)因为PC⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以PC⊥AC.因为AB=2,AD=CD=1,所以AC=BC=2,所以AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC.又BC∩PC=C,所以AC⊥平面PBC.因为AC⊂平面EAC,所以平面EAC⊥平面PBC.(2)由PC=2,PC⊥CB,得S△PBC=12×(2)2=1由题意易知Rt△PCA≌Rt△PCB≌Rt△ACB,所以PA=PB=AB=2,所以S△PAB=12×2×2sin60°=3由(1)知,AC为三棱锥APBC的高,设三棱锥CPAB的高为h,则13S△PAB·h=13S△PBC·AC,即13×3h=13×1×2故三棱锥CPAB的高为635.(1)如图D848,记AC∩BD=O.∵底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,∴AC⊥BD,且AC=23,BD=2.∵平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD,∴AC⊥平面BDEF.∵DE=2,M为线段BF的中点,∴S△DEM=12×2×2=2∴VMCDE=VCDEM=13S△DEM·AC2=13×2×3图D848(2)连接OE,如图D848所示.由(1),可知AC⊥平面BDEF,∴AC⊥DM.又由(1),知在矩形BDEF中,BD=DE=2,∴四边形BDEF为正方形.∴在正方形BDEF中,tan∠BDM=12,tan∠DOE=2∴∠BDM+∠DOE=90°,∴OE⊥DM.∵AC∩OE=O,且AC,OE⊂平面ACE,∴DM⊥平面ACE.B组提升题6.(1)因为四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,所以AB=AD=AC=2,在△AA1B中,由AA12+AB2=A1B2,知AA1⊥同理AA1⊥AD,又AB∩AD=A,所以AA1⊥平面ABCD.(2)当A1EED=1时,A1B∥平面EAC.证明如下:如图D849,连接BD交AC于点O,当A1EED=1,即点E为A1D的中点时,连接OE,则OE∥A1B,又A1B⊄平面EAC图D849直线A1B与平面EAC之间的距离等于点A1到平面EAC的距离,因为E为A1D的中点,所以点A1到平面EAC的距离等于点D到平面EAC的距离,VDEAC=VEACD,设AD的中点为F,连接EF,则EF∥AA1,且EF=1,所以EF⊥平面ACD,又△ACD为边长为2的等边三角形,所以可求得S△ACD=3,所以VEACD=13×1×3=3又AE=2,AC=2,CE=EF2+CF2=2,所以S△EAC=72,所以1