福建省厦门市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学

厦门市2023—2024学年第二学期高二年级质量检测数学试题满分：150分考试时间：120分钟考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号，姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，，，则（）A. B. C.1 D.42.用1，2，3，4，5可以排成数字不重复的三位数的个数为（）A. B. C. D.3.若，，则（）A. B. C. D.4.函数图象大致是（）A. B. C. D.5.等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（）A.2 B. C.4 D.6.在四面体中，，，，，则与所成角余弦值为（）A. B. C. D.7.展开式中各项系数之和为64，则该展开式中的系数是（）A. B. C.60 D.2408.在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线与圆：有公共点，则可以是（）A.1 B.2 C.3 D.410.对于变量和变量，经过随机抽样获得成对样本数据，，2，3，…，10，且，样本数据对应的散点大致分布在一条直线附近.利用最小二乘法求得经验回归方程：，分析发现样本数据对应的散点远离经验回归直线，将其剔除后得到新的经验回归直线，则（）A变量与变量具有正相关关系B.剔除后，变量与变量的样本相关系数变小C.新的经验回归直线经过点D.若新的经验回归直线经过点，则其方程为11.已知函数，，则（）A.在上单调递增B.当时，有且只有一个极值点C.若有两个极值点，则D.若有两个极值点，，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为右支上一点，且，则的面积为______.13.把5张座位编号为1，2，3，4，5的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法共有______种.（用数字作答）14.某一地区某种疾病的患病率为，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.1.该地区现有3人的试验反应均是阳性，则这3人中恰有1人患该疾病的概率是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设为正项等比数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，，求的前项和.16.为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某班级兴趣小组调查了全班50位同学，得到如下数据：性别篮球运动合计喜欢不喜欢男生25女生10合计2050（1）完成上述列联表，根据小概率值独立性检验，能否认为喜欢篮球运动与性别有关联？（2）该班级要从甲、乙两人中选派1人参加篮球挑战赛.比赛设置5个挑战项目，参赛人员随机抽取3个项目进行挑战.已知甲只能挑战成功其中3个项目，乙每个项目挑战成功的概率均为，甲、乙两人挑战每个项目成功与否均互不影响.请根据挑战成功次数的期望和方差，分析派谁去参加挑战赛更合适.附：，其中.0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.82817.已知函数在处的切线方程为.（1）求b，k；（2）若的极大值为0，求的取值范围.18.已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记的轨迹为.（1）求的方程；（2）过原点的直线交于两点，过作直线的垂线交于点（异于点），直线与轴，轴分别交于点.设直线，的斜率分别为，.（ⅰ）证明：定值；（ⅱ）求四边形面积的最大值.19.设随机变量的概率密度函数为（当为离散型随机变量时，为的概率），其中为未知参数，极大似然法是求未知参数的一种方法.在次随机试验中，随机变量的观测值分别为，，…，，定义为似然函数.若时，取得最大值，则称为参数的极大似然估计值.（1）若随机变量的分布列为123其中.在3次随机试验中，的观测值分别为1，2，1，求的极大似然估计值.（2）某鱼池中有鱼尾，从中捞取50尾，做好记号后放回鱼塘.现从中随机捞取20尾，观测到做记号的有5尾，求的极大似然估计值.（3）随机变量的概率密度函数为，.若，，…，是的一组观测值，证明：参数的极大似然估计值为.厦门市2023—2024学年第二学期高二年级质量检测数学试题满分：150分考试时间：120分钟考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号，姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，，，则（）A. B. C.1 D.4【答案】D【解析】【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.【详解】等差数列中，，，所以，解得.故选：D2.用1，2，3，4，5可以排成数字不重复的三位数的个数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】根据题意结合排列公式即可表示.【详解】用1，2，3，4，5可以排成数字不重复的三位数的个数.故选：B.3.若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对立事件概率公式和条件概率公式求得结果；【详解】，又，则；故选：C.4.函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性即可求解.【详解】因为，所以为奇函数，当时，为减函数，为增函数，故为增函数，故B选项正确.故选：B.5.等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（）A.2 B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】正三角形的另外两个顶点关于轴对称，设另外两个顶点坐标分别是，把顶点代入抛物线方程化简即可求解.【详解】设正三角形得边长为，由图可知正三角形的另外两个顶点关于轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是，把顶点代入抛物线方程得解得，所以正三角形的边长为.故选：D.6.在四面体中，，，，，则与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的夹角公式和数量积的运算律，即可求解异面直线夹角.【详解】由题知，，令为与所成夹角，则.故选：A7.展开式中各项系数之和为64，则该展开式中的系数是（）A. B. C.60 D.240【答案】A【解析】【分析】先用赋值法求得项数n，再由多项式乘法分步得到完成项即可.【详解】取代入，得，解得，展开式中的项是先从6个因式中选两个取，再在其余4个因式中选三个取，剩下一个因式取，这样得到的项为，故该展开式中的系数是.故选：A8.在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量求出点到平面的距离.【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，由，，得，则，令，得，所以点到平面的距离.故选：D【点睛】方法点睛：求点到平面的距离可以利用几何法，作出点到平面的垂线段求解；也可以用向量法，求出平面的法向量，再求出这一点与平面内任意一点确定的向量在法向量的投影即可.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线与圆：有公共点，则可以是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】CD【解析】【分析】根据直线与圆相交或相切，则圆心到直线的距离，可解问题.【详解】圆的圆心坐标为，半径为，由于直线与圆有公共点，则，解得，由于，所以符合条件的选项为C、D.故选：CD.10.对于变量和变量，经过随机抽样获得成对样本数据，，2，3，…，10，且，样本数据对应的散点大致分布在一条直线附近.利用最小二乘法求得经验回归方程：，分析发现样本数据对应的散点远离经验回归直线，将其剔除后得到新的经验回归直线，则（）A.变量与变量具有正相关关系B.剔除后，变量与变量的样本相关系数变小C.新的经验回归直线经过点D.若新的经验回归直线经过点，则其方程为【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件，由正负相关性和样本相关系数的概念可判断A、B；求出新样本的中心点，进而求出新回归直线的斜率，再判断C、D.【详解】依题意，经验回归方程：，因此相关变量x，y具有正相关关系，A正确；由剔除的是偏离直线较大的异常点，得剔除该点后，新样本数据的线性相关程度变强，即样本相关系数的绝对值变大，B错误；原样本中，，剔除一个偏离直线较大的异常点后，新样本中，，因此剔除该异常点后的回归直线方程经过点，C错误；由新的回归直线经过点，得新的回归直线斜率为，设，将点代入，得，所以其方程为，D正确.故选：AD11.已知函数，，则（）A.在上单调递增B.当时，有且只有一个极值点C.若有两个极值点，则D.若有两个极值点，，则【答案】ACD【解析】【分析】利用导数的正负来判断单调性和极值点，而极值点可以利用导数的零点来研究，对于，可用极值点偏移来证明即可.【详解】对于A，由得：，当时，，所以在上单调递增，故A正确；对于B，当时，由，则，再令，则，由此可知：当时，，则在上递增，即，可得：在上也递增，当时，，则在上递减，即，可得：在上也递增，则判断是单调递增函数，没有极值点，故B错误；对于C，由有两个极值点，则有两个零点，即，则等价于函数与的图象有两个交点，可设曲线过点的切线方程为：当直线与切线重合时可知：，解得，再结合图象，可知：当，直线与曲线一定有两个交点，且这两个交点满足原函数有两个极值点的条件，故，故C正确；对于D，由有两个极值点，则有两个零点，则，要证明，只需要证明，即证明，由上面可知，则，而当时，，则在上递增，所以只需要证明f′x2所以只需要证明f′x1构造函数，则又令，则，则在上递减，即φx>φ2所以当时，，即在上递减，因为所以gx1则f′x1−f′故选：ACD.【点睛】方法点睛：（1）判断含参函数的极值点问题转化为导数的零点问题，然后再利用二阶导数继续分析判断或用构造直线与曲线相交问题，数形结合来研究参数的范围；（2）对于双变量不等式问题，利用极值点偏移方法来证明研究.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为右支上一点，且，则的面积为______.【答案】6【解析】【分析】根据双曲线的方程求出，由双曲线的定义求出，然后利用余弦定理求出，再由同角三角函数的关系求出，最后利用三角形的面积公式可求得答案.【详解】由，得，则，因为为右支上一点，所以，因为，所以，由余弦定理得，因为，所以，所以的面积为.故答案为：613.把5张座位编号为1，2，3，4，5的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法共有______种.（用数字作答）【答案】96【解析】【分析】由题意得先从5张票中选出两张连续编号的票，再将这两张连续的票分给其中1人，最后将剩下的3张票分给剩下的3人即可.【详解】由题意得先从5张票中选出两张连续编号的票，有12，23，34，45，4种方法，再将这两张连续的票分给其中1人，有种方法，最后将剩下的3张票分给剩下的3人，有种方法，所以由分步乘法原理可知共有种方法故答案为：9614.某一地区某种疾病的患病率为，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.1.该地区现有3人的试验反应均是阳性，则这3人中恰有1人患该疾病的概率是______.【答案】##【解析】【分析】根据全概率公式和贝叶斯公式求出一个人试验反应是阳性且这个人是患疾病得概率，再根据二项分布即可求解.【详解】设事件表示抽查的人是患这种疾病的，事件表示试验反应是阳性，则事件表示抽查的人是不患这种疾病的，事件表示试验反应是阴性，所以，有1人的试验反应均是阳性，则这1人患该疾病为事件，则，现有3人的试验反应均是阳性，则这3人中患该疾病的人数为随机变量，则随机变量服从二项分布，，当时，.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设为正项等比数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，，求的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质，列出关于的方程，即可求解.（2）先利用累乘法求出的通项公式，再利用裂项相消法求出前项和.【小问1详解】因为是正项等比数列，所以，公比.因为，所以，则，即，则，得（舍）或，又因为，所以，所以的通项公式为.【小问2详解】依题意得，当时，，即.因为，所以，当时，符合上式，所以的通项公式为.因为，所以.16.为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某班级兴趣小组调查了全班50位同学，得到如下数据：性别篮球运动合计喜欢不喜欢男生25女生10合计2050（1）完成上述列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢篮球运动与性别有关联？（2）该班级要从甲、乙两人中选派1人参加篮球挑战赛.比赛设置5个挑战项目，参赛人员随机抽取3个项目进行挑战.已知甲只能挑战成功其中3个项目，乙每个项目挑战成功概率均为，甲、乙两人挑战每个项目成功与否均互不影响.请根据挑战成功次数的期望和方差，分析派谁去参加挑战赛更合适.附：，其中.0.100.050.010.0012.7063.8416.63510828【答案】（1）表格见解析，认为篮球运动与性别无关联.（2）派甲去参加挑战赛更合适.【解析】【分析】（1）列出列联表后，进行独立性检验即可.（2）求出甲乙得分的方差后，比较得到甲的成绩更加稳定即可.【小问1详解】列联表如下：性别篮球运动合计喜欢不喜欢男生20525女生101525合计302050零假设为：喜欢篮球运动与性别无关联.根据列联表中的数据，经计算得到：根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为篮球运动与性别无关联.【小问2详解】设甲挑战成功项，可能取值为1，2，3；；.所以的分布列为：123，.设乙挑战成功项，则，所以，，所以，，即甲和乙的水平相当，但甲发挥更稳定，所以派甲去参加挑战赛更合适.17.已知函数在处的切线方程为.（1）求b，k；（2）若的极大值为0，求的取值范围.【答案】（1），.（2）.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可知，，切点为，将切点坐标代入，以上两式联立可求出和的值.（2）由（1）得，定义域为，求出，再对参数分类讨论，得到参数的取值范围.【小问1详解】，切点为，所以，所以，.【小问2详解】由（1）得，定义域为，.①当时，，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以有极小值，无极大值，不符合题意；②当时，，令，得或.ⅰ）若，则，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以有极小值，极大值为，不符合题意；ⅱ）若，则，所以在上单调递减，所以无极值，不符合题意；ⅲ）若，则，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以有极小值，极大值为，满足题意.综上所述，.18.已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记的轨迹为.（1）求的方程；（2）过原点的直线交于两点，过作直线的垂线交于点（异于点），直线与轴，轴分别交于点.设直线，的斜率分别为，.（ⅰ）证明：为定值；（ⅱ）求四边形面积的最大值.【答案】（1）（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）.【解析】【分析】（1）设，根据题意得，用两点间距离公式代入计算即可.（2）（ⅰ）设，，则，把点代入方程可得，，结合斜率，化简即可证明.（ⅱ）由题意得，直线的斜率一定存在，且不为0，因为，结合（1）的结论可计算，从而可得直线的方程，继而可得，，所以四边形的面积为，利用结合基本不等式即可求解.【小问1详解】设，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则，即，得，化简